Compito di Fisica Matematica, 2/5/2011
Prof. F. Bagarello
Risolvere almeno 6 dei seguenti quesiti:
(1) Per quali valori di α la funzione u(x, y) = sin(x) (e−αy+ ey) `e la parte reale di una f (z) analitica? Ottenere, per questi α, la f (z) associata.
(2) Calcolare l’integrale I =∫∞
0 dxx4x+12 .
(3) Verificare se l’integrale ∫∞
−∞(f (x))(1 + πg′(x)) e−x2dx definisce un prodotto scalare sul sottoinsieme delle funzioni diL2(R) che ammettono derivata prima (almeno).
(4) Ottenere lo sviluppo in serie di Fourier per la funzione f (x) = cos(x) + ex.
(5) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Fourier della funzione
f (x) = 1 (2x + i e)2.
(6) Risolvere l’equazione differenziale 2y′′(t)+y′(t)+5y(t) = 1, con le condizioni iniziali y(0) = 1 e y′(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(7) Sviluppare in serie di Laurent nell’intorno dei suoi punti singolari la f (z) = 1+zez22 e deter- minarne la parte singolare.
(TdP1) Dimostrare che la funzione f (x) = N|x| e−|x|`e una densit`a di probabilit`a per un’opportuna scelta di N . Ricavare la funzione caratteristica associata ed i momenti di ordine 1 e 2.
(TdP2) Consideriamo un’urna contenente dei bussolotti numerati da 1 a 5. Determinare la probabilit`a che, in tre estrazioni successive (senza reintroduzione), i risultati appaiano in ordine non decrescente.
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