Compito di Fisica Matematica, 1/7/2011
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 9 cfu risolva almeno sei dei seguenti quesiti e quello da 6 cfu almeno quattro:
(1) Verificare che la mappa
<< f, g >>:= 1
∫
Re−x2dx
∫
R
f (x)g(x)e−x2dx,
definisce un prodotto scalare su L2(R). Fornire un esempio di una funzione h(x) per cui < h, h >=
∞ ma << h, h >>< ∞.
(2) Calcolare i seguenti integrali
I1=
∫ ∞
−∞
x5dx
x8+ 1, nonch`e I2=
∫ ∞
0
x2dx x4+ 1
(3) Sviluppare in serie di Taylor nell’intorno di z0= 0 la f (z) = ez2+π(1 + z3) e determinarne il raggio di convergenza.
(4) Calcolare l’autoconvoluzione della funzione f (x) = e−(x+π)2. (5) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Fourier della funzione
f (x) = {
sin(x), x∈ [−1, 1];
0, altrove.
(6) Studiare la natura delle singolarit´a della funzione f (z) = z21−1ez, fornirne lo sviluppo di Laurent ed, in correspondenza delle singolarit´a, calcolare il valore dei residui.
(7) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione f (t) = u(t) t2, stabilen- done l’ascissa di convergenza.
(TdP1) Ottenere N , se possibile, in modo che la funzione f (x) = Nx42+1 sia una densit`a di probabilit`a. Ottenere i momenti della variabile aleatoria associata fino al terzo ordine.
(TdP2) Trovato α affinch`e f (x) = α rect(3x) sia una densit`a di probabilit`a, determinarne la funzione cumulativa associata.
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