Compito di Fisica Matematica, 18/7/2011
Prof. F. Bagarello
Lo studente risolva almeno sei dei seguenti quesiti:
(1) Calcolare il residuo della funzione f (z) = z21+5f (z), con ˜˜ f (z) funzione analitica, in cor- rispondenza di z1 = 5i e di z2 = −5i. In particolare: in che condizioni su ˜f (z), z1 `e un polo del primo ordine per f (z)? In che condizione `e una singolarit`a essenziale? Ed una singolarit`a eliminabile?
(2) Verificare che la funzione f (z) = sin(z) + cos (z) `e analitica e calcolare ∫
γf (z) dz dove γ
`e l’unione dei due segmenti γ∫ 1 ={0 ≤ x ≤ 1, y = 0} e γ2 ={x = 1, 0 ≤ y ≤ 1}. Calcolare poi
Γf (z) dz, Γ essendo il segmento y = x con 0≤ x ≤ 1 (x = ℜ(z) ed y = ℑ(z)).
(3) Sviluppare in serie di Taylor nell’intorno di z0 = π la f (z) = ez2cos (z) e determinarne il raggio di convergenza.
(4) Sviluppare in serie di Fourier la funzione
f (x) = {
ex−1, x∈ [−π, π];
0, altrove,
(5) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Fourier della funzione
f (x) = 1 (x− i)2. Calcolare inoltre la sua norma,∫∞
−∞|f(x)|2dx.
(6) Calcolare l’autoconvoluzione della funzione definita al punto (4).
(7) Calcolare la derivata nel senso debole della distribuzione φ(t) = u(t) sin2(t).
(8) Data una funzione f (x) = u(x) g(x) ottenere che condizioni devono essere soddisfatte dalla g(x) perch`e f (x) sia una densit`a di probabilit`a. Fornire un esempio e calcolare la funzione cumu- lativa associata.
(9)
Verificare che i coefficienti pn := (1− x)xn, n = 0, 1, 2, 3, . . ., possono essere adoperati per definire una prova aleatoria, a patto che x soddisfi opportune condizioni. Esplicitare tali condizioni.
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