Requisiti di un indice di variabilità

(1)

∆ ∆

Unità 5

Gli indici di variabilità e forma

(2)

∆

Requisiti di un indice di variabilità

• Gli indici di variabilità devono soddisfare alcuni requisiti necessari:

1. Devono assumere un valore non negativo 2. Devono assumere un valore nullo quando la

distribuzione è costante, ovvero tutte le

osservazioni sono uguali tra loro (in tal caso si parla di variabile degenere)

3. Aggiungendo una costante a una variabile, l’indice di variabilità non deve cambiare

STATISTICA - Università di Salerno 2

(3)

∆

La variabilità:

esempio voti esami

• Distribuzioni statistiche molto diverse possono presentare la stessa posizione.

STATISTICA - Università di Salerno

A 22 22 23 23 24 25 26 27 27 28 28 B 22 22 22 22 22 25 28 28 28 28 28 C 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25

= 25 x

A

= 25 x

B

= 25 x

C

3

(4)

∆

La variabilità:

^esempio

• Distribuzioni statistiche molto diverse possono presentare la stessa posizione.

(5)

∆

La variabilità

• La variabilità è l’attitudine di un fenomeno ad assumere differenti modalità.

• Distinguiamo le misure di variabilità in quattro classi:

A. variabilità rispetto ad una posizione (media, mediana) B. variabilità delle modalità ordinate

C. variabilità reciproca (mutua) tra tutte le modalità di un carattere considerate due a due.

D. variabilità delle frequenze

(6)

∆

Varianza: serie di dati

= Media degli

scarti al quadrato

La varianza è un indice di variabilità appartenente alla categoria A. Essa può essere calcolata soltanto per caratteri quantitativi.

( )

∑

=

− −

=

ⁿ

i

x

n x s

1 2 2

1 1

N.B.: la formula e il simbolo cambiano a seconda che si lavori sul campione (statistica) o sulla popolazione (parametro)

( )

∑

=

−

=

^N

i

x

N

₁

x

2

1

2

σ

6

(7)

∆

Varianza:

^esempio

• Distribuzioni statistiche molto diverse possono presentare la stessa posizione.

A 22 22 23 23 24 25 26 27 27 28 28 B 22 22 22 22 22 25 28 28 28 28 28 C 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25

2

4.91 σ

A

=

2

8.18 σ

B

=

2

0.0 σ

C

=

= 25 x

A

= 25 x

B

= 25 x

C

7

(8)

∆

Varianza: proprietà (1)

Variabilità nulla

2

0 σ = Variabilità massima

x x

x

1

=

2

= L =

_N

=

x N x

x x

x

N

=

₂ ₋₁

0

1

L

( ¹ )

2

= x N −

σ

( ¹ )

0 ≤ σ

²

≤ x

²

N −

8

(9)

∆

Varianza: proprietà (2)

Y = ⋅ b X σ

_Y²

= ⋅ ^b

²

σ

_X²

Y = + a X σ

_Y²

= σ

_X²

Y = + ⋅ a b X σ

_Y²

= ⋅ b

²

σ

_X²

2 2

2

= µ − x

σ ∑

=

^N

i

x

i

dove N

1 2 2

µ 1

9

(10)

∆

Varianza: distribuzioni di frequenza

Distribuzioni di frequenza

(N.B.: formula per campione)

Distribuzioni di frequenza con dati raggruppati in classi

(N.B.: formula per campione)

( )

∑

=

− −

=

^k

i

x n

n x s

1 2 2

1 1

( )

∑

=

− −

=

^k

i

x n

n c s

1 2 2

1 1

10

(11)

∆

Varianza: distribuzioni di frequenza

1 2 k

N = + + n n L + n

X n

_i

x

₁

n

₁

x

₂

n

₂

… …

x

_k

n

_k

N

(x

_i

- )

²

· n

_i

(x

₁

- )

²

· n

₁

(x

₂

- )

²

· n

₂

…

(x

_k

- )

²

· n

_k

( )

∑

=

−

=

^k

i

x n

N

₁

x

2

1

2

σ

x x x

x ∑ ( )

= k

−

i

x n

x

1

2

11

(12)

∆

Deviazione Standard

Una difficoltà nell’interpretazione della varianza è che essa viene espressa nella unità di misura del fenomeno al quadrato.

Per ovviare a questo inconveniente si può utilizzare lo Scarto Quadratico Medio _o Deviazione Standard

2 2

oppure s = s

= σ σ

12

(13)

∆

Esempio

Paese GNI ($ correnti)

Nicaragua 420

Honduras 850

Guatemala 1690

El Salvador 1990

Panama 3260

Costa Rica 3960

Mexico 5080

Canada 21050

United States 34260

63 , 247 .

= 1

σ

56 , 013 .

= 11

Tutti

σ

13

(14)

∆

Campo di variazione o range

• Questo indice di variabilità appartiene alla categoria B.

• È un indice di variabilità poco attendibile perché non robusto

Min Max

Range = −

14

(15)

∆

Differenza tra quartili

• Questo indice di variabilità appartiene alla categoria B.

• Esso misura la variabilità del 50% dei dati centrali

• È quindi un indice di variabilità robusto

1

3

Q

DI = −

15

(16)

∆

Indici di variabilità: il coefficiente di variazione

• Un indice indipendente dall’unità di misura è il coefficiente di variazione

CV ₌ σ x

16

(17)

∆

Coefficiente di variazione:

^esempio

A 22 22 23 23 24 25 26 27 27 28 28 B 22 22 22 22 22 25 28 28 28 28 28 C 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25

A

2.22 σ =

B

2.86 σ =

C

0.0 σ =

A

0.09 CV =

B

0.11 CV =

C

0.0 CV =

17

(18)

∆

Limitazioni del CV

• Non è definito per fenomeni con media nulla.

• Perde di significato per fenomeni con media molto piccola e prossima a zero.

18

(19)

∆

Scostamento semplice mediano

• Se l’indice di posizione scelto è la

mediana, la dispersione del fenomeno intorno a questa posizione viene

misurata dallo scostamento semplice mediano:

( ) ⁼ ^∑ ⁻

= N

i

x

i

Me Me N

S

1

19

(20)

∆

Scostamento semplice medio

• Un altro indice appartenente alla categoria A. è basato sugli scarti assoluti dalla media

• Si dimostra che:

( ) ∑

=

−

=

^N

i

x

N x x

S

1

STATISTICA - cdl in SAO e SPRI -

Università di Salerno 20

( ) ( ) ^Me ^≤ ^S ^x ^≤ ^σ

S

(21)

∆

Riepilogo sugli indici statistici

• Riassumono alcune caratteristiche delle distribuzioni di frequenza consentendo il confronto tra diverse distribuzioni.

• Possono calcolarsi basandosi solo sulle frequenze oppure anche sulle modalità del carattere.

• Qualora l’indice coinvolga anche le modalità del carattere, quest’ultimo deve essere

necessariamente quantitativo.

(22)

∆

Tipi di indici

• Indici assoluti.

• Indici relativi.

• Indici normalizzati

22

(23)

∆

Indici assoluti

• Sono misure che variano liberamente tra un minimo ed un massimo, anche infiniti.

• L’intervallo di variazione dell’indice dipende dal campo di variazione della variabile in esame.

• Sono espressi nella stessa unità di misura del fenomeno oggetto di studio.

• Esempi:

– Media

– Deviazione standard

– ………

23

(24)

∆

Indici relativi

• Sono misure svincolate dall’unità di misura

• Sono ottenuti:

– rapportando due indici assoluti

– rapportando un indice assoluto al suo massimo

• Sono “numeri puri” e sono utili per confrontare fenomeni simili.

• Esempi:

– Coefficiente di variazione – …………

24

(25)

∆

Indici normalizzati

• Sono particolari indici relativi il cui campo di

variazione è un intervallo finito, generalmente [0, 1] oppure [-1, +1].

• Vengono utilizzati per sintesi e confronto di qualsiasi tipo di fenomeno, misurato anche in unità diverse, purché logicamente confrontabili.

• Esempi:

– Coefficiente di variazione normalizzato – …………

25

(26)

∆

Una tecnica di normalizzazione

0 ≤ Φ ≤* 1

( ) ( )

min Φ ≤ Φ ≤ max Φ

Indice compreso tra un minimo ed un massimo

( ) ( ) ( )

* Min

Max Min Φ − Φ

Φ = Φ − Φ

Indice normalizzato

26

(27)

∆

Aspetti rilevanti distribuzione

• Posizione : è un valore rappresentativo della distribuzione nella sua globalità.

• Variabilità : è l’attitudine di una variabile ad assumere diverse modalità.

• Forma : è l’aspetto complessivo di una

distribuzione rispetto a configurazioni standard

– simmetria

– grado di appiattimento (curtosi).

(28)

∆

Forma di una distribuzione

• Due distribuzioni possono avere stessa posizione e variabilità ma differire per il peso, l’importanza, dei valori più grandi o più piccoli, rispetto al valore

centrale, a causa di un comportamento

differenziato nelle due “code” della distribuzione.

(29)

∆

Simmetria

• Una distribuzione è simmetrica, rispetto ad un dato valore, se presenta un comportamento

speculare rispetto ad un asse passante per tale valore.

(30)

∆

Esempio (1)

(31)

∆

Esempio (2)

(32)

∆

Esempio: Asimmetria positiva

(33)

∆

Esempio: Asimmetria negativa

(34)

∆

Commento (1)

• Distribuzione simmetrica: media = mediana.

Me x =

34

(35)

∆

Commento (2)

• Asimmetrica positiva: mediana < media

Me x >

35

(36)

∆

Commento (3)

• Asimmetrica negativa: mediana > media

Me x <

36

(37)

∆

Distribuzione simm. unimodale

Mo Me

x = =

37

(38)

∆

Commento (2)

• In una distribuzione unimodale valgono le seguenti relazioni:

– Media = Mediana = Moda (simmetria)

– Moda < Mediana < Media (asimmetria +) – Media < Mediana < Moda (asimmetria -)

(39)

∆

Indici di asimmetria

• Un indice di asimmetria misura la presenza di asimmetria in una distribuzione. E’ logico

aspettarsi che tale indice sia:

– Nullo quando la distribuzione è simmetrica – Negativo quando vi è asimmetria negativa – Positivo quando vi è asimmetria positiva

(40)

∆

Misure di asimmetria (1)

s

0 A >

Asimmetria positiva

s

0 A <

Asimmetria negativa

s

0 A =

^Simmetria

Me x

A

_s

= −

40

(41)

∆

Misure di asimmetria (2)

1 1 ≤

^*

≤

− A

_s

* > 0 As

*

= 0 A

s

Asimmetria positiva

Asimmetria negativa Simmetria

* < 0 As

σ

Me

A

_s^*

= x −

(42)

∆

Misure di asimmetria (3)

( ) ( )

(

³³ ²²

) (

²² ¹¹

)

R

Q Q Q Q

A Q Q Q Q

− − −

= − + −

R

0 A >

Asimmetria positiva

R

0 A <

Asimmetria negativa

R

0 A =

^Simmetria

Indice di Yule e Bowley

42

(43)

∆

Misure di asimmetria (4)

• Questo indice è

– positivo, nel caso di asimmetria positiva – negativo, nel caso di asimmetria negativa – nullo, per distribuzioni simmetriche

Indice di Fisher

∑

=

 

 



 −

=

^N

i

x

x N

₁

3 1

1 γ σ

43

(44)

∆

Formule per distribuzioni…

Distribuzioni di frequenza

Distribuzioni di frequenza in classi di modalità

∑

=

 

 



 −

=

^k

i

x n

x N

₁

3 1

1 γ σ

∑

=

 

 



 −

≅

^k

i

x n

c N

₁

3 1

1 γ σ

44

(45)

∆

Curtosi

• Due distribuzioni che hanno approssimativamente stessa media, varianza e indice di asimmetria, possono ancora differire per la diversa “pesantezza” delle due code.

• È quindi necessario tener conto di un ulteriore aspetto della distribuzione, legato al concetto di curtosi

• Per curtosi si intende il maggiore o minore appuntimento e, conseguentemente, il peso più o meno marcato delle code rispetto alla parte centrale della distribuzione

.

(46)

∆

Requisiti di un indice di variabilità

Unità 5

Gli indici di variabilità e forma

Requisiti di un indice di variabilità

• Gli indici di variabilità devono soddisfare alcuni requisiti necessari:

1. Devono assumere un valore non negativo 2. Devono assumere un valore nullo quando la

distribuzione è costante, ovvero tutte le

osservazioni sono uguali tra loro (in tal caso si parla di variabile degenere)

3. Aggiungendo una costante a una variabile, l’indice di variabilità non deve cambiare

La variabilità:

• Distribuzioni statistiche molto diverse possono presentare la stessa posizione.

= 25 x

= 25 x

= 25 x

La variabilità:

• Distribuzioni statistiche molto diverse possono presentare la stessa posizione.

La variabilità

• La variabilità è l’attitudine di un fenomeno ad assumere differenti modalità.

• Distinguiamo le misure di variabilità in quattro classi:

A. variabilità rispetto ad una posizione (media, mediana) B. variabilità delle modalità ordinate

C. variabilità reciproca (mutua) tra tutte le modalità di un carattere considerate due a due.

D. variabilità delle frequenze

Varianza: serie di dati

= Media degli

scarti al quadrato

La varianza è un indice di variabilità appartenente alla categoria A. Essa può essere calcolata soltanto per caratteri quantitativi.

( )

∑

− −

=

x

n x s

1 1

( )

∑

−

=

x

N

x

1

σ

Varianza:

• Distribuzioni statistiche molto diverse possono presentare la stessa posizione.

4.91

σ

=

8.18

σ

=

0.0 σ

=

= 25 x

= 25 x

= 25 x

Varianza: proprietà (1)

Variabilità nulla

0

σ = Variabilità massima

x x

x

x

=

= L =

=

x N x

x x

x

=

=

=

=

=

0

L

( 1 )

= x N −

σ

( 1 )

0 ≤ σ

( ¹ )

( ¹ )

= ⋅ ^b