Segue la spiegazione del campionamento reale di un segnale. Dunque si introducono i concetti di oversampling e downsampling e i relativi vantaggi.

1 C AMPIONAMENTO DI S ^EGNALI

In questo capitolo si introducono i concetti della teoria classica del campionamento.

Segue la spiegazione del campionamento reale di un segnale. Dunque si introducono i concetti di oversampling e downsampling e i relativi vantaggi.

1.1 Richiami alla teoria del campionamento dei segnali

Il campionamento di un segnale analogico è un passaggio obbligato, per ottenere sequenze numeriche processabili con le moderne tecniche numeriche di elaborazione dei segnali, tramite architetture DSP.

Si tratta di una fase molto delicata e critica nel passaggio da analogico a digitale:

infatti da un segnale continuo si vuole estrapolare un insieme di campioni equidistanziati nel tempo ad ampiezza finita, dai quali in seguito si possa comunque ricostruire il segnale sorgente fedelmente.

La teoria secondo il teorema di Nyquist [7], asserisce che un segnale a banda limitata, quindi a tempo infinito, possa essere campionato a una frequenza pari al doppio della sua banda (che ci darà una serie infinita di campioni).

La formula è quindi:

= = 2 ∙ ,

dove B

è la banda di un segnale passa basso.

Anche un segnale passa banda può essere comunque interpretato come un segnale passa basso, infatti:

= +

, indicando con la banda del segnale a radiofrequenza.

La regola di Nyquist ci garantisce appunto che si possa passare dal segnale analogico

al segnale numerico e viceversa senza perdere informazione. Questo deriva dal fatto

che la corretta frequenza di campionamento, ossia quella di Nyquist, evita il

fenomeno della sovrapposizione delle repliche in frequenza, detto aliasing. Se si verificasse tale fenomeno, non sarebbe possibile filtrare la replica centrata a frequenza nulla di un segnale passa basso, perché nella banda del segnale campionato si sommerebbero la code delle repliche vicine.

Per ricostruire il segnale passa basso quindi si filtra la replica centrata a frequenza nulla con una rect ideale, che nel tempo equivale ad interpolare i campioni per recuperare il segnale sorgente. Infatti, se il teorema di Nyquist è verificato, sempre dalla teoria si può ricostruire il segnale a partire dai suoi campioni con la formula di Whittaker–Shannon:

! = ∑

! ∙ # $

) .

1.2 Campionamento e interpolazione reale di segnali

Nella pratica non esistono segnali a banda limitata e quindi si deve considerare la banda essenziale, ossia quella che contiene la percentuale significativa dell’energia del segnale, entro un intervallo di frequenze limitato. Risulta che una piccola parte dell’energia, purtroppo, viene irreversibilmente persa. Tuttavia si tratta di una perdita di informazione irrilevante, se la banda viene correttamente stimata.

D’altra parte si pone un altro problema: il campionamento ideale con segnale campionante di durata nulla non è realizzabile. E’ possibile tuttavia campionare il segnale con impulsi rettangolari di breve durata, che vengono denominati in genere con rect o gate.

Questo tipo di campionamento comporta delle variazioni spettrali rispetto al caso

ideale. Infatti a un rect nel tempo, corrisponde una sinc in frequenza. Quest’ultima

sagoma lo spettro in questo modo: le repliche vengono scalate in ampiezza rispetto

all’andamento della funzione sinc centrata nella frequenza nulla [6][7][9]. Si può

vedere questo effetto in figura 1-1.

Figura 1-1

Questo richiede che si implementino dei filtri a sinc inversa per recuperare, se necessario, le repliche a discapito di un innalzamento inevitabile del rumore.

Per quanto riguarda l’operazione inversa di campionamento, l’interpolazione, non sarà possibile generare una sinc infinita per ogni campione. Vi sono diverse tecniche di interpolazione, che giustamente si prefiggono di approssimare la sinc. Tuttavia discostandoci dalla teoria si perde altra informazione del segnale sorgente.

La ricostruzione del segnale analogico a partire dai singoli campioni, avviene con un filtro interpolatore e quindi un filtro passa basso che taglia le repliche dovute alla risposta non ideale del filtro interpolatore: se il filtro interpolatore fosse ideale, il filtro passa basso sarebbe superfluo.

Per quanto riguarda il filtro di uscita, non è possibile avere un filtraggio analogico perfetto: anche in questo caso la realizzabilità si scontra con la teoria. Non esiste nessun filtro capace di una risposta ideale, perciò le repliche, in uscita dal filtro interpolatore, anche se sensibilmente attenuate, non saranno mai cancellate. Inoltre nei pressi del corner del filtro si verifica una brusca rotazione di fase, che introduce ritardo di gruppo diverso da zero e quindi distorce il segnale.

In definitiva, in uscita dal filtro interpolatore in genere si ha:

! = ∑

! ∙ , - ./ , ! 01# 2 - ./2

. 4 (nell’esempio in figura 1-2, .

.

).

Figure 1-2 Il modulo della risposta in frequenza è una sinc:

7 ! .1

∙

9 (

.1

∙ # .!.

Dopo che le repliche vengono sagomate dal filtro interpolatore, è compito del filtro analogico cercare di tagliarle. E’ immediato comprendere che più le repliche sono distanziate in frequenza, più efficace è l’azione del filtro.

1.3 Oversampling

Il concetto di sovracampionamento si basa sul campionare il segnale analogico ad una frequenza maggiore di quella di Nyquist [11]. Questa tecnica comporta notevoli vantaggi, al costo di una elettronica più veloce ed un maggior carico di dati da processare.

A parità di reiezione delle repliche, specie nel caso in cui la banda è estesa, con il sovracampionamento si può fare un filtraggio analogico meno selettivo, che comporta una minore distorsione di fase, in quanto la frequenza di corner del filtro è più distante dal segnale utile.

Matematicamente, si definisce la trasformata di Fourier di una sequenza numerica (TDF) nel modo seguente:

∑

.!1

(

∑

> -

! .

Risulta che aumentando la frequenza di campionamento di un fattore L, le repliche si allontanino dello stesso fattore moltiplicativo (è sufficiente effettuare un banale cambio di variabile nella TDF sostituendo . con

):

∑

A

B 1

=

∑

> − E

! .

Lo stesso risultato è possibile ottenerlo a partire da un sequenza numerica effettuando zero-padding: questa procedura consiste nell’ inserire un certo numero di zeri tra un campione e il successivo aumentando di fatto la frequenza, e poi filtrando in modo opportuno.

Come noto, i campioni ottenuti dal sovracampionamento sono fortemente correlati, per cui l’informazione associata ad essi è molto bassa. Dal teorema di Nyquist si evince come per descrivere una sinusoide, bastino due campioni per periodo, quindi a prima vista sovracampionare appare sovrabbondante. Tuttavia a partire dal segnale numerico estrapolato da un segnale analogico o da un segnale sintetizzato, non è possibile ricostruire la sinusoide senza aggiungere delle armoniche che sono di disturbo. Questo avviene per il fatto che al DAC non arrivano sufficienti campioni per costruire fedelmente il segnale e che il filtro analogico che segue, non è ideale.

Si può affermare, con certezza, che il sovracampionamento migliora sensibilmente il rapporto segnale-rumore. Infatti in formule si ha:

FGH = 6.02 ∙ G + 1.76N + 10 ∙ O PFH!,

ove OSR è il fattore di sovracampionamento ed N il numero di bit usati dal DAC (legge dei 6 dB). N è anche detto ENOB (Effective Number of Bits), per indicare il numero di bit di risoluzione del dispositivo, che è proporzionale alla dinamica del segnale: questa è il rapporto tra la massima ampiezza e la minima esprimibile digitalmente.

Quindi risulta che si guadagna 1 bit di risoluzione in più (+6dB), se si sovracampiona 4 volte la frequenza di Nyquist. In generale si guadagna n bit di risoluzione per una frequenza di campionamento pari a:

= 4

∙ .

Con le repliche più distanti la risoluzione degli spettri aumenta sensibilmente e si sovrappongono di meno. Si vengono a generare delle cosiddette zone di Nyquist, dove si presenteranno le repliche, come si può vedere in figura 1-3 e in figura 1-4.

Figure 1-3

Le zone di Nyquist sono gli intervalli frequenziali dove si trovano le repliche: sono definite tra i multipli consecutivi della metà della frequenza di campionamento; le pari hanno lo spettro ribaltato, le dispari no.

Figura 1-4

Quindi se i campioni sono fortemente correlati tra di loro, si avrà una maggiore risoluzione, che comporta in aggiunta un restringimento della banda.

Infatti nel caso di campionamento alla frequenza di Nyquist, la distanza temporale tra i campioni è tale, che il salto di ampiezza degli stessi è così ampio da imporre una brusca transizione e quindi un allargamento della banda. Questo problema deriva dal fatto che il filtro interpolatore reale ha sempre risposta finita.

Mentre nel caso di sovracampionamento, i campioni sono più vicini e la differenza tra le ampiezze diminuisce. Risulta che la risposta del filtro è più dolce, tanto da evitare un allargamento della banda e l’avvicinamento delle repliche tra di loro.

Ovviamente avremo sempre l’interconnessione tra due curve, ma il passaggio sarà meno brusco e ci permetterà di tenere maggiormente contenuta la banda.

Questo fenomeno è visibile all’atto pratico, causa della risposta non infinita di un

qualunque filtro interpolatore.

Eventuali offset dovuti ai pochi campioni, possono essere corretti eventualmente anche con rumore additivo generato artificialmente. Tale tecnica prende il nome di dithering ( figura 1-5).

Figura 1-5

1.4 Banda di un segnale sintetizzato numericamente

In questo paragrafo si vuole presentare l’occupazione di banda di un segnale generato numericamente e le possibili soluzioni per la riduzione della stessa, grazie all’uso di oversampling.

Si mostra qui di seguito delle simulazioni MATLAB eseguite durante il lavoro di

tirocinio.

Figura 1-6

In figura 1-6 si può osservare che le repliche si allontanano a frequenza doppia semplicemente raddoppiando la frequenza di campionamento. Segue un dettaglio nel tempo della sinusoide in figura 1-7.

Figura 1-7

Questi due grafici ribadiscono il concetto spiegato nel paragrafo precedente:

sovracampionare comporta un allontanamento delle repliche e ciò garantisce una

migliore efficacia del filtro nel cancellare le stesse.

Sempre tramite simulazioni MATLAB, si mostra come si può risolvere una problematica di notevole rilevanza nel mondo delle telecomunicazioni: mantenere lo spettro entro una maschera predefinita. Spesso il segnale generato per via numerica occupa una banda superiore a quella prevista (cioè la banda teorica), e quindi è necessario filtrarlo con filtri radome, selettivi in frequenza. Tuttavia se nel segnale generato per via numerica la parte modulante viene sovracampionata, la banda si restringe e può rispettare le maschere predefinite, senza la necessità di sottoporre il segnale ad ulteriori filtri.

Questa problematica in particolare si evidenzia nelle modulazioni d’angolo, perché hanno banda generalmente più estesa di quelle di ampiezza. Infatti nelle modulazioni d’angolo la banda totale occupata è pari alla banda di Carson:

R

= S + 1! ∙

,

in cui S è l’indice di modulazione ( per un segnale FM, S =

) e B

la banda del segnale modulante.

Campionando il segnale modulante alla frequenza di Nyquist, avremmo nella banda di Carson poche sinc a banda larga: questo avviene perché si modula il segnale solo con poche frequenze istantanee che trasmettono un elevato bit rate (Si ricorda che in una modulazione d’angolo, il segnale modulante agisce direttamente sulla frequenza istantanea del segnale generato.).

Mentre sovracampionionando il segnale modulante, si usa un numero elevato di frequenze istantanee che trasmettono a basso bit rate: quindi si generano molte sinc a banda più stretta e più vicine tra loro. Questo permette di abbassare l’interferenza con i canali vicini e rispettare le maschere più agevolmente.

Questo effetto si può mostrare con la seguente figura 1-8, ove il segnale in blu è la banda di un segnale FM con il segnale modulante sovracampionato ed in celeste la banda di un segnale FM con il segnale modulante alla sua frequenza originaria.

In particolare con la portante ad 1 MHz e il segnale modulante a 1 KHz.

Naturalmente la distanza tra le righe di Bessel è uguale per entrambi, perché la banda

del segnale modulante rimane la stessa, ma cambiano le ampiezze delle righe di

Bessel, perché le code dello spettro scendono a zero più rapidamente per il segnale

modulante sovracampionato.

Figura 1-8

1.5 Downsampling

In questo paragrafo per completezza si mostra l’operazione opposta al sovracampionamento: il sottocampionamento (undersampling).

E’ immediato capire che lavorare a frequenze più basse permette di usare elettronica meno veloce e quindi meno costosa, con il vantaggio di processare meno campioni.

Il sottocampionamento non può essere applicato nei segnali passa basso, perchè verrebbe violato il teorema Nyquist e quindi si perderebbe informazione dovuto al fenomeno dell'aliasing. Invece questa tecnica è utilizzabile nei segnali passa banda.

Infatti per il teorema Nyquist, un segnale passa banda viene interpretato come un passa basso e quindi campionato alla sua massima frequenza. In realtà è possibile mantenere integra l'informazione, sottocampionando il segnale, purché venga rispettato Nyquist per la banda a radiofrequenza.

Da ciò ne si ricava un duplice vantaggio:

1) Si elabora un minor numero di campioni a bassa frequenza.

2) Si effettua una traslazione in banda base puramente numerica dello spettro a radiofrequenza.

Quindi la frequenza minima sufficiente per conservare integra l'informazione è pari

Questa tecnica viene anche chiamata bandpass sampling, harmonic sampling, IF sampling, o direct IF-to-digital conversion.

Nell'immagine 1-9 che segue, si può notare l'effetto dell'undersampling su un segnale di banda 20Mhz centrata a 70Mhz, sottocampionato a 28 Mhz.

Figura 1-9

Questa tecnica ha la necessità di usare filtri più selettivi rispetto al caso

dell'oversampling, perché le repliche sono più vicine. Inoltre a causa del

campionamento naturale le repliche sono sagomate dalla funzione sinc, come visto

nel secondo paragrafo di questo capitolo. Ciò non toglie che se adeguatamente

studiata, questa tecnica si rivela molto efficace e in certe circostanze persino

necessaria (ad esempio si veda l’elaborazione di segnali ad elevata frequenza).