Come noto per questo tipo di destinazione d’uso, essendo a rischio di affollamento, l’attuale normativa

ANALISI DI TIPOLOGIE RICORRENTI E RIFERIMENTO AD UN CASO SPECIFICO

Dopo l’inquadramento generale delle questioni relative ad archi e volte si intende, in questo capitolo, scendere nello specifico presentando il manufatto che è stato oggetto dello studio. La trattazione sarà divisa in due parti: nella prima si forniranno tutte le indicazioni di carattere geometrico relative a questo particolare tipo di orizzontamento mentre nella seconda verranno esaminati i funzionamenti statici di volte ricorrenti. In quest’ultima fase i modelli utilizzati sono stati ottenuti variando quello relativo al caso reale. Il capitolo terminerà con l’analisi della condizione della volta in questione nella fase che precede l’esecuzione dell’intervento di rinforzo.

2.1 I

Il caso preso in esame è costituito da due volte poste a copertura dei locali ad uso ristorante della porzione di un edificio in muratura risalente alla metà del XIX secolo sito a Pisa in piazza dell’Arcivescovado.

Fig. 2.1: immagine aerea. L’edificio in cui si trova la volta è evidenziato col cerchio rosso.

60

61

Come noto per questo tipo di destinazione d’uso, essendo a rischio di affollamento, l’attuale normativa

prevede l’attribuzione del sovraccarico accidentale di 500 kg / m

.

Piazza dell'Arcivescovado Via C orta Torre pendente

Duomo

Fig. 2.2: pianta schematica della zona in cui si trova l’edificio evidenziato in rosso.

Lo studio si concentrerà sull’orizzontamento di maggiore superficie che è stato rilevato in modo da avere notizie certe sullo spessore della volta e su quello dei muri di imposta, sulla tipologia e sulla natura dei materiali della struttura portante e del rinfianco. Prima del rinforzo è stato messo a nudo l’estradosso asportando il materiale di riempimento ciò ha consentito l’osservazione diretta e l’acquisizione di notizie utili sulle modalità costruttive.

Si è quindi rilevato che la volta è del tipo a specchio ed è costruita con mezzane in folio di dimensioni (24x12,5x2,5 cm); essa presenta una pianta rettangolare di (494x464 cm) ed ha una monta di 124 cm. Lo studio viene condotto evidenziando la funzionalità dei vari componenti (padiglione, rotoli, rinfianco, lunette ed unghie).

Questi manufatti erano costruiti da maestranze esperte sulla base di conoscenze empiriche che indicavano forme, materiali e tecniche di esecuzione.

L’elemento portante principale è costituito da un padiglione a sesto ribassato costruito con mezzane in folio assemblate con malta di gesso. L’utilizzo di questo tipo di miscela che indurisce in breve tempo nel passato era diffuso e consentiva la costruzione senza bisogno di centine.

1 Decreto Ministeriale 16 gannaio 1996: “Norme tecniche relative ai criteri generali per la verifica di sicurezza delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi”.

62 Tettoia su suolo pubblico

Sala

PIAZZA DELL'ARCIVESCOVADO Sala

Sala- ingresso

Sala Sala

Sala

Ufficio

Cucina

WC disabili

Filtro

Vano scale condominialiRip. sottoscala

Fig. 2.3: pianta dell’edificio: in celeste si evidenzia la collocazione della volta analizzata.

Sugli spicchi del padiglione sono aggiunte due “unghie”, anch’esse di mezzane in folio, che vanno ad attestarsi ai muri perimetrali verticali sui due lati minori del solaio.

Questi elementi sagomano a botte l’estradosso della volta.

Due rotoli, costruiti con mezzane disposte a coltello di dimensioni (24x12,5x2,5) cm, irrigidiscono il padiglione.

Il rinfianco è realizzato con due tipi di materiale; malta, nella parte bassa del manufatto, su tutto il contorno in prossimità dell’imposta, materiale sciolto di varia pezzatura fino alla quota di posa dei pavimenti.

Otto lunette costruite con mezzane in folio riducono l’entità del carico del

riempimento. La loro presenza assolve anche il compito di evitare avvallamenti nel

pavimento dovuti all’assestamento del materiale di allettamento sovrastante.

63

Nelle volte di buona fattura era prassi realizzare il rinfianco con riempimenti non eccessivamente pesanti allo scopo di ridurre la sollecitazione della volta limitando l’eccentricità della curva delle pressioni (fig. 2.4). Nei casi in cui veniva utilizzato del materiale incoerente esteso fino alla quota di posa del pavimento è più probabile che si manifestino nella volta situazioni di dissesto.

Fig. 2.4: rinfianco cellulare: controvoltine (lunette), vasi di terracotta, muretti trasversali (frenelli).

Fig. 2.5: esempio generico di disposizione dei rinfianchi cellulari realizzati con frenelli.

64

Per quanto concerne l’apparecchio, la volta presenta una disposizione delle mezzane in filari longitudinali posti parallelamente ai rispettivi muri di imposta; negli spigoli gli elementi si addentrano alternativamente dando luogo ad una intersezione dei filari a spina di pesce.

All’intradosso delle volte, sulla superficie affrescata visibile dall’interno delle sale da pranzo, era presente un importante quadro fessurativo. Dei testimoni inoltre rilevavano la frequente presenza sui tavoli di frammenti di terra e polvere, provenienti dal soffitto.

Al piano superiore si osservavano infine vistosi avvallamenti del pavimento, nelle zone indicate in pianta nella figura 2.12, dove le mattonelle risultano smosse o spezzate.

Il quadro fessurativo, visibile dall’interno delle sale da pranzo sull’intradosso delle volte, è rappresentato in figura 2.10; in particolare si osservano diverse lesioni che si originano dai vertici del poligono di base e procedono in direzione delle diagonali. Più precisamente, nelle due sale si notano due importanti lesioni (A1 e A2) che si originano sugli spigoli in corrispondenza delle aperture di accesso e procedono parallele in diagonale; i bordi smussati ed anneriti ne testimoniavano la formazione in epoca remota. Sullo spigolo opposto, nella medesima direzione, si aprivano altre due fessure:

la B1, nella prima stanza, era particolarmente sottile e si estendeva per un breve tratto, mentre la B2, nella stanza adiacente, nasceva in corrispondenza dell’apertura, oggi tamponata, nella parete che separa le due sale e si estendeva per un lungo tratto nella solita direzione diagonale, giungendo in prossimità della parete opposta. Il primo tratto della B1 mostrava i bordi anneriti e smussati, mentre il tratto terminale, probabilmente di recente formazione, appariva sottile con i bordi taglienti. Infine la B3, piuttosto sottile e di vecchia formazione, nasceva insieme alla B2 e proseguiva specularmente nella prima sala.

Anche le volte a copertura del vano scale condominiale presentavano alcune lesioni che procedevano nella direzione di quelle descritte sopra: la C costituiva l’ideale prosecuzione della A2 e, poiché solo da pochi anni era stata effettuata la verniciatura, si poteva pensare che il movimento fosse ancora in atto. A causa dell’intervento di tinteggiatura interna ed esterna eseguito solo pochi anni fa nelle due sale da pranzo, non era possibile accertare la presenza di lesioni sui muri circostanti. Ciò nonostante, nel punto di origine della B1, si osservava sull’intonaco una sottilissima fessura che si esauriva procedendo verso il basso.

Nel corso del sopralluogo al piano superiore, era stata rilevata una certa

corrispondenza tra le posizioni degli avvallamenti del pavimento e quelle delle fessure

sottostanti; inoltre sulle volte del secondo piano, decorate con affreschi recentemente

restaurati, si riscontrava, osservando le stuccature, lo stesso quadro fessurativo rilevato

65

all’intradosso delle volte sottostanti. È evidente la presenza di una direzione dominante di apertura delle fessure.

Le fessure sulle volte a specchio che, dagli spigoli, procedevano verso la mezzeria sono, in genere, manifestazioni legate alla natura di tali strutture ed alla particolare disposizione dei laterizi.

Il fatto che le lesioni A1, A2, e B2 nascevano in corrispondenza di discontinuità della muratura sottostante e che gli avvallamenti del pavimento al primo piano si trovavano in corrispondenza delle A1, B2 e B3, era indice di una serie di assestamenti locali che possono compromettere la statica della volta.

La presenza di una direzione prevalente di apertura delle fessure era sintomo di una patologia che interessava l’intero edificio e coinvolgeva, presumibilmente, anche i fabbricati circostanti. Data la natura compressibile del terreno che si riscontrava nella zona adiacente la Torre, si può ipotizzare un cedimento fondale differenziale del fabbricato in direzione Sud – Est Nord- Ovest, indotto da possibili disomogeneità del sottosuolo e accentuato dalle continue vibrazioni generate dagli automezzi che, frequentemente, da via S. Ranierino, attraverso via Corta, entrano nella piazza dell’Arcivescovado.

Al necessario intervento di consolidamento si è aggiunta l’esigenza di rinforzo per la volontà del committente di adibire a ristorante anche gli spazi del primo piano mutandone la destinazione d’uso.

Fig. 2.6: vista dell’estradosso della volta dopo la rimozione del riempimento incoerente. Si notano il padiglione, i rotoli, le lunette e le unghie parzialmente demolite e successivamente ripristinate.

68 Fig. 2.7: esploso assonometrico. 1) padiglione; 2) rotoli; 3) unghie; 4) rinfianco di materiale debolmente

legato; 5) lunette; 6) riempimento di materiale sciolto.

Fig. 2.8: vista assonometrica (per maggior chiarezza si è omesso il materiale di riempimento).

69 Fig. 2.9: vista assonometrica.

SALA SALA

VANO SCALE CONDOMINIALI

50

30 40

60 35

360

645

CORRIDOIO

Fig. 2.10: quadro fessurativo, è evidente la presenza di una direzione dominante di apertura delle fessure.

70 Fig. 2.11: immagine di una lesione all’intradosso.

UFFICIO

50

30 40

60 35

UFFICIO Avvallamento in corrispondenza

della lesione A1

Avvallamento in corrispondenza delle lesioni B2 e B3

Fig. 2.12: avvallamenti riscontrati nel pavimento del primo piano.

71

2.2 C

L’analisi della risposta di strutture murarie inizia a trovare il primo ostacolo concettuale nella definizione dei parametri meccanici che descrivono adeguatamente la risposta globale della muratura che, come noto, è un materiale anisotropo con direzioni di scorrimento preferenziali. Per le costruzioni esistenti si riscontra l’ulteriore difficoltà della stima della consistenza della malta e dei mattoni impiegati; la mancanza di standardizzazione nella produzione con la variabile della qualità della materia prima e le abitudini esecutive locali introducono ulteriori incertezze difficilmente quantificabili rispetto a quanto non sia possibile fare oggi sulla produzione di materiali edilizi.

In questo paragrafo si procede con una disamina storica sullo sviluppo dello studio e della sperimentazione dei materiali per poi tornare al caso considerato di cui attribuiremo le caratteristiche meccaniche dei materiali.

2.2.1 N

Nei testi storici di tecnologia delle costruzioni i vari autori riferiscono in genere delle resistenze meccaniche dei singoli elementi che costituiscono la muratura non fornendo, salvo rari casi in cui non sono descritte le modalità di prova, notizie circa il funzionamento globale della compagine.

Le prime notizie storiche sulla resistenza dei mattoni si devono e E. M. Gauthey (1732- 1806), che nel 1774 pubblicò sul “Journal de Phisique” che aveva ottenuto una resistenza compresa tra 130 e 170 . Successivamente, nel 1818, J. Rennie compì delle prove sui mattoni inglesi dell’epoca ottenendo un risultato inferiore al precedente e compreso tra 40 e 120 . Nel 1833 Louis Vicat eseguì una sperimentazione su mattoni di argilla cruda ed il valore massimo di resistenza a compressione che ottenne è di 35 .

cm

/ kg

cm

/ kg

cm

/ kg

Un lavoro sistematico è il trattato “Istruzioni di Architettura, Statica e Idraulica” di Nicola Cavalieri di San Bertoldo, del 1845, nel quale vengono riportati il peso specifico e la resistenza della murature riprendendo ed analizzando i precedenti studi. Cavalieri riportò i valori della resistenza dei mattoni forniti delle esperienze di Gauthey e Rennie ed affermò che, qualora non sia possibile effettuare una sperimentazione specifica sui mattoni da utilizzare, per prudenza deve essere adottato come valore di resistenza a schiacciamento il minimo fra i valori ottenuti dalle esperienze eseguite vale a dire 40

2

. cm / kg

Nel “Corso di costruzioni civili e militari” (1876) di Alberto Gebba vengono

riportati valori di sicurezza di murature di mattoni e giunti di calce o malta di cemento,

72

ottenuti da studi di Collignon e compresi fra i 6 ed i 10 , valori di tensioni ammissibili piuttosto bassi, indice di murature povere.

cm

/ kg

G. A. Breymann nel “Trattato generale di costruzioni civili” del 1884, sulla base dei risultati ottenuti da sperimentazioni di laboratorio, fornisce alle murature resistenze variabili da un minimo di 3-4 , per elementi in ciottolate e malta di modesta qualità, ad un massimo di 50 per setti in granito a conci squadrati.

cm

/ kg

cm

/ kg

L’opera che occupa un ruolo predominante per l’ingegneria ottocentesca è dovuta a Giovanni Curioni che dal 1864 al 1884 pubblicò il trattato in sei volumi su “L’arte di fabbricare, ossia corso completo di istituzioni tecnico-pratiche per gli Ingegneri, per i Periti in Costruzione e pei Periti Misuratori”. Curioni si occupò delle pietre naturali da costruzione e dei mattoni utilizzati all’epoca di cui riporta la resistenza a schiacciamento e la densità inoltre, per malte e cementi, si ritrovano le composizioni chimiche ed i valori di resistenza. L’autore riguardo alle resistenze a rottura non riporta le dimensioni dei prismi sottoposti alle prove né il numero delle prove effettuate su cui veniva calcolata la media tra i risultati; questo indica l’assenza di una tecnica standardizzata nella esecuzione delle prove.

I provini utilizzati avevano la medesima altezza ma sezioni di dimensioni diverse;

per le prove venivano utilizzate “apposite leve atte a produrre date pressioni ognor crescenti mediante l’applicazione di pesi noti, od anche coll’impiego di convenienti macchine valevoli a dare delle pressioni” per comprimere gradatamente ed uniformemente i provini su una base “essendo immobile e ben appoggiata l’altra”.

Curioni sottolinea che l’azione doveva essere diretta secondo l’asse del provino senza che il corpo inflettesse e pertanto doveva essere garantita la solidità delle basi fisse: si tratta di prove a compressione centrata. Al fine di evitare l’inflessione laterale i provini lunghi venivano contenuti da robuste guide preventivamente unte per ridurne l’attrito. Si trovano nel citato trattato anche alcuni valori di resistenza a trazione ottenuti da prove su corpi prismatici omogenei. La prova a trazione veniva effettuata appendendo il provino verticalmente ad una estremità mentre dall’altra veniva fissato un piatto di bilancia sul quale venivano posti dei pesi.

MATERIALE RESISTENZA A TRAZIONE (kg/cm²) Calcare bianco a grana fina ed omobenea 144

Mattoni di Provenza, ben cotti 19,5

Mattoni ordinari, deboli 8

Fig. 2.13: esempio di resistenze a trazione di pietra naturale e mattoni (Curioni 1868).

73

Nel trattato di Curioni, come detto, si ritrovano anche le composizioni delle malte le cui caratteristiche sono funzione delle quantità e delle qualità degli elementi che la compongono.

Le malte aeree comuni venivano all’ora confezionate secondo tre composizioni diverse: una parte di calce viva in polvere e tre parti di sabbia, una parte di calce viva o spenta in pasta e due parti di sabbia ovvero, infine, due parti di calce spenta in pasta e tre parti di sabbia.

La malta idraulica era composta da:

- calce idraulica e sabbia;

- calce idraulica, sabbia e pozzolana;

- calce comune e pozzolana.

La miscela poteva essere di due tipi: una parte di calce idraulica viva e tre parti di sabbia ovvero due parti di calce idraulica spenta e cinque parti di sabbia.

MALTE PESO SPECIFICO (Kg/dm³)

RESISTENZA A COMPRESSIONE

) (Kg/cm2

Malta comune di calce grassa e

sabbia- fresca 1,70 19

Malta di calce grassa e sabbia a

18 mesi 1,63 30

Gesso impastato con acqua 1,46 50

Gesso impastato con latte di

calce 1,57 72

Fig. 2.14: resistenza a compressione di alcune malte (Curioni 1868).

Nel testo di Curioni si osserva la mancanza di indicazioni circa la resistenza delle murature considerate nel funzionamento globale, questo tipo di informazioni sono invece presenti nel “Manuale dell’Architetto” di Daniele Donghi datato 1905 di cui si riporta la tabella sottostante.

Un altro fondamentale trattato di costruzioni è dovuto a Campanella, il “Trattato generale teorico pratico dell’arte dell’ingegnere civile, industriale ed architetto”

(1928) in cui si trova una informazione che precorre la moderna meccanica delle

murature: la resistenza della muratura è determinata dalla resistenza della malta solo se

essa è scadente o debole in confronto ai blocchi utilizzati mentre malte resistenti

determinano la rottura dei mattoni per disgregazione, ovvero per trazione trasversale.

74 TIPO DI MATTONE

RESISTENZA A COMPRESSIONE MATTONE

) (Kg/cm2

TENSIONE AMMISSIBILE MURATURA (Kg/cm²)

Mattoni ordinari 150-200 6-8

Mattoni scelti 200-250 8-10

Mattoni forato o vuoti 100-150 4

Fig. 2.15: estratto di resistenze a compressione di mattoni e murature (Donghi 1905).

Campanella riferisce di un criterio impiegato per assegnare la resistenza a compressione di una muratura valutata un decimo della resistenza dell’elemento (malta o pietra, intesa come elemento lapideo o mattone) meno resistente. Questa riduzione teneva conto della possibile presenza di mattoni o pietre di resistenza inferiore a quella media, di malta mal preparata e di giunti non perfettamente riempiti. Il fattore di sicurezza di un decimo poteva essere ridotto ad un sesto qualora il manufatto fosse costruito con particolari cure e con una scrupolosa scelta dei materiali da utilizzare.

2.2.2 R

:

La difficoltà della caratterizzazione meccanica delle murature è insita nell’individuazione delle proprietà dei singoli materiali che la compongono le quali risultano essere funzione della direzione di sollecitazione nonché della modalità di prova; la risposta complessiva della compagine è inoltre funzione della tessitura ovvero delle modalità di accoppiamento tra blocchi e malta.

La resistenza a compressione monoassiale di un mattone può essere ricavata mediante una prova di compressione diretta ma il risultato che otterremo sarà diverso se la pressa comprime le facce di superficie maggiore ovvero quelle minori.

Fig. 2.16: modalità di prova su singoli mattoni in laterizio (Binda 1994).

75

Per ovviare a questo inconveniente è prassi eseguire tali prove su prismi di dimensioni ridotte e standardizzate, questo consente una caratterizzazione del laterizio piuttosto che del mattone. Analoghe condizioni di prova vengono impiegate per la determinazione dei parametri di resistenza delle malte. In entrambi i casi i provini sono dei cubetti di 4 cm di lato oppure dei parallelepipedi a base quadrata con lato di 4 cm ed altezza di 10 cm.

Fig. 2.17: modalità di prova di prismi di laterizio (Binda 1994).

Le prove su prismi di muratura coinvolgono campioni di dimensioni maggiori di cui si riportano nel seguito delle immagini esplicative (fig. 2.20).

Nelle tabelle sottostanti si sintetizzano dei risultati di prove eseguite e pubblicate in letteratura che portano a dedurre che la resistenza della muratura è inferiore a quella del laterizio, elemento forte del composito, ma superiore a quella della malta. La risposta tensione-deformazione medie di un assemblaggio di cubetti (4x4x4 cm) di laterizio, di un prisma (4x4x10 cm) di malta e di un prisma di muratura è riportata in figura 2.22 dove è evidente la veridicità dell’affermazione precedente.

LEGANTE AGGREGATI RAPPORTO

ACQUA/LEGANTE

Mix 1 1 4,4 1,1

Mix 2 1 3 0,6

Fig. 2.18: composizione delle malte sottoposte a prova, rapporti in peso (Binda 1994).

76

CB EB

Numero provini fu(MPa)

25 14,25

23 10,52 Numero provini

) 10 ( ε_u ⋅ ⁻³

17 9,01

13 5,66 Numero provini

(MPa) E_s(30-50%)

18 2171

23 2156

Fig. 2.19: resistenze a compressione di singoli prismi 4x4x4 e terne di prismi 4x4x4 di laterizio. Il modulo di elasticità è calcolato nell’intervallo 0,3-0,5 f_u.

Fig. 2.20: modalità di prova su prismi di muratura (Binda 1994).

Fig. 2.21: disposizione degli estensimetri sui prismi di muratura (Binda 1994).

77 Fig. 2.22: risposta tensione- deformazione di laterizio (EB), muratura (MU6H), e malta (EM) (Binda

1994).

2.2.3 A

’

Si consideri un prisma di muratura, formato da un assemblaggio di malta e mattoni, uniformemente compresso sulle basi per cui soggetto ad una tensione verticale uniforme

(fig. 2.23).

σ

xm xm

zm

zm

y

y xb

zb

zb

xb

y y

y y

d

b

mt

bt

y

x z

Fig. 2.23: modello e simbologia utilizzati in fase elastica (Hendry 1986).

78

Si considera un mattone non di estremità ed il giunto di malta adiacente.

La malta è il materiale più deformabile e quindi tende a dilatarsi trasversalmente in misura maggiore rispetto al mattone, dotato di un minore coefficiente di Poisson.

I due elementi, fino alla perdita di aderenza, risultano connessi quindi, se si assimila il campione ad un mezzo stratificato illimitato, il mattone è soggetto ad una componente di trazione nel piano orizzontale e mentre la malta appare cimentata da una componente di compressione e . Il materiale più debole, la malta, è soggetto ad uno stato di compressione triassiale per cui la resistenza è maggiore di quella monoassiale; nel mattone lo stato di tensione è di compressione-trazione biassiale per cui la resistenza manifestata è minore rispetto a quella determinata con prove monoassiali.

σ

σ

σ

σ

Questi stati triassiali di tensione nei singoli componenti giustificano l’osservazione sperimentale che la resistenza della muratura è superiore a quella della malta ed inferiore a quella del mattone.

Le deformazioni trasversali indotte nel mattone dallo stato di compressione verticale sono fornite dalle equazioni di legame elastico isotropo:

( )

[ ] [ ( ) ] ^;

E , 1

E 1

xb y b zb b zb zb

y b xb b

xb

= ⋅ σ + ν ⋅ σ − σ ε = ⋅ σ + ν ⋅ σ − σ

ε (27)

analogamente per la malta:

[ ( ) ] [ ( ) ] ^.

E , 1

E 1

xm y m zm m zm zm

y m xm m

xm

= ⋅ σ + ν ⋅ σ − σ ε = ⋅ σ + ν ⋅ σ − σ

ε (28)

E ed

sono i moduli elastici della malta (pedice m) e del mattone (pedice b) mentre e

E

ν

ν sono i rispettivi coefficienti di Poisson.

Per l’equilibrio del complesso mattone-malta la risultante delle tensioni trasversali di trazione nel mattone deve uguagliare la risultante delle tensioni di compressione nella malta:

,

,

xb

xm

= α ⋅ σ σ = α ⋅ σ

σ (29)

dove rappresenta il rapporto fra l’altezza del mattone e lo spessore del giunto di malta.

α

79

Per congruenza le deformazioni trasversali del mattone e della malta devono essere uguali

per cui le componenti di tensione risultano:

( ) (

)

m b b

b m m b y zb

xb

E 1 1 E

E E

ν

−

⋅

⋅ α

− ν

−

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅ ν − ν

⋅ σ

= σ

=

σ . (30)

Per il laterizio si assume un criterio di rottura alla Coulomb il che implica un legame lineare alla rottura tra la tensione verticale ultima di compressione e la tensione orizzontale di trazione della muratura (fig. 2.24):

f

σ

(

xb

f f

f

f ⋅ −

=

σ ) ^{, (31)}

dove e rappresentano la resistenza media a compressione e a trazione del mattone.

c

f

f

fM

fb t c

fb

Tensione trasversale di compressione

Tensione trasversale di trazione Dominio di crisi

Fig. 2.24: dominio di resistenza del laterizio in stato d compressione-trazione (Hendry 1986).

1

ε

= ε

; ε

= ε

.

80

Sostituendo la 31 nella 30 si ottiene il valore della resistenza della muratura in funzione dello stato verticale di compressione:

( ) ( )

.

E 1 1 E

E E f f 1

1 f

f

m m

b b

b m m b t b c b c

b M

ν

−

⋅

⋅ α

− ν

−

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅ ν − ν

⋅ +

= (32)

Secondo questo approccio è possibile definire le caratteristiche elastiche di un materiale elastico isotropo equivalente:

( ) ( )

1

2 b b 2 m m b m b

m b m

b m m b b

m m

m b b

E E E

1 E

1

E 2 E

E E E

−

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ν

ν −

⋅ ⋅ ν

−

⋅ η +

⋅ ν

−

⋅ η

⋅ ν

−

⋅

⋅ ν η

⋅ η

⋅ η + η +

= (33)

ν = η

⋅ ν

+ η

⋅ ν

, (34)

dove i termini e rappresentano le frazioni volumetriche delle due fasi (malta e mattoni):

η

η

b m m m

t t

t

= +

η ,

m b

b

b

t t

t

= +

η . (35)

I valori della resistenza della muratura determinati secondo questo approccio sono

qualitativamente in accordo con i risultati sperimentali sebbene sia da segnalare la

discrepanza spesso considerevole dal punto di vista quantitativo. Tale errore si

attribuisce alla stima delle resistenze e dei coefficienti di Poisson dei singoli

componenti, all’ipotesi di risposta lineare di malta e mattone fino a rottura ed infine alla

considerazione della muratura come mezzo stratificato che ignora la presenza di campi

di tensione variabili sul piano orizzontale conseguenti alla presenza dei giunti di malta

verticali.

81

2.2.4 I

Nel caso specifico della volta di piazza dell’Arcivescovado non è stata effettuata alcuna prova sperimentale per la calibrazione del modello quindi si è cercato di attribuire ai vari materiali dei valori mediamente plausibili dei parametri meccanici.

Per quanto concerne il padiglione, le unghie e le lunette, elementi costruiti con mezzane in folio, ed i rotoli, composti da mezzane di coltello, è stata effettuata una trattazione basata sulle ipotesi del paragrafo 2.2.3.

In particolare, con la simbologia del precedente paragrafo, si è assunto:

- MPa E

= 3000

; - E

= 500 MPa

; - ν

= 0 , 15

; - ν

= 0 , 35

.;

- t

= 12 , 5 cm per gli elementi disposti in folio;

- t

= 2 , 5 cm per gli elementi di coltello.

Con l’applicazione delle (33), (34) e (35) si ottiene:

- E

= 1900 MPa e ν

= 0 , 15 per padiglione, unghie e lunette;

- E

= 2200 MPa e ν

= 0 , 16 per i rotoli.

Tutti gli altri parametri che sono stati attribuiti ai materiali nella realizzazione dei modelli di calcolo per simulare il reale comportamento del manufatto, nella fase che precede l’intervento di consolidamento, si sintetizzano nella seguente tabella (fig. 2.20).

Si anticipa in questa sede che il materiale di riempimento, nella fase di consolidamento, verrà asportato e sostituito con del calcestruzzo alleggerito le cui proprietà saranno specificate nel capitolo 3.

Con la redazione e lo studio dei modelli si vuol tentare di percepire il funzionamento reale del manufatto, nonostante le numerose e sostanziali approssimazioni, senza peraltro confondere il fatto con la sua rappresentazione.

I valori dei moduli del rinfianco e del riempimento sono abbastanza bassi da riprodurre i materiali di scarsa qualità con cui sono costruiti.

Il peso del pavimento è stimato 30 kg / m

.

1 Binda, 1994.

2 Binda, 1994.

3 T.P. Tassios “Meccanica delle murature”, Liguori Editore, 1995.

4 T.P. Tassios “Meccanica delle murature”, Liguori Editore, 1995.

82 COMPONENTI

DELLA VOLTA DENSITA’ (kg/m³) MODULO DI ELASTICITA’ (MPa)

COEFF. DI POISSON Padiglione, unghie,

lunette 1800 1900 0,15

Rotoli 1800 2200 0,16

Rinfianco 1600 300 0,1

Riempimento 1600 100 0,1

Fig. 2.25: tabella delle caratteristiche dei materiali della volta studiata.

83

2.3 E

Nel presente paragrafo si descrivono e si analizzano i modelli di calcolo di diversi tipi di volte ricorrenti costruiti sulla base geometrica del manufatto di piazza dell’Arcivescovado.

Per condurre le analisi è stato utilizzato il programma di calcolo Straus7 Versione 2.2.3.

Le griglie costruite per simulare il reale comportamento degli elementi sono state generate manualmente senza l’ausilio della funzione di “automeshing” di cui è dotato il programma; questo per avere a disposizione delle maglie regolari che consentano una minore difficoltà nella gestione dei risultati forniti dal software.

Per lo studio del funzionamento statico dei casi ricorrenti e del caso reale si utilizzano più modelli con diversi gradi di dettaglio mentre nel terzo capitolo verrà introdotta una schematizzazione più grossolana per ridurre l’onere di calcolo al solutore.

2.3.1 V

In questo paragrafo si esegue l’analisi della sola volta in folio.

La struttura è stata schematizzata con 5929 nodi e 5940 elementi shell progettati garantendone un rapporto di forma non superiore a tre.

Al materiale schematizzato elastico, omogeneo ed isotropoecondo sono state attribuite le seguenti proprietà: peso per unità di volume di 1800 , modulo di elasticità di 1900 MPa e coefficiente di Poisson di 0,15.

m

/ kg

Il modello è stato vincolato bloccando le traslazioni dei nodi alle imposte consentendone la rotazione.

Il carico considerato sulla volta è quello relativo al riempimento all’estradosso, al pavimento ed al peso proprio del padiglione. I carichi del riempimento e del pavimento sono stati attribuiti agli elementi che costituiscono la griglia come pressioni agenti secondo l’asse Z. Il peso del rinfianco varia in funzione del suo spessore che è massimo in corrispondenza della imposta del padiglione (125 cm) ed è minimo nella zona centrale (2 cm). Al pavimento si è assegnato un peso costante di 30 . La totalità dei carichi applicati rappresentano un carico complessivo di circa 16154 kg.

m

/ kg

Si evidenzia che il modello, per costruzione, trascura la benefica capacità di

contenimento laterale del riempimento.

84 Fig. 2.26: pianta della mesh.

Fig. 2.27: proiezione sul piano ZX della mesh (direzione parallela al lato minore in pianta); analoga risulta la vista sul piano ZY.

85 Fig. 2.28: vista assonometrica della mesh.

La figura (2.29) mostra gli spostamenti nodali nella direzione globale Z. Gli spostamenti di valore assoluto maggiori si riscontrano nelle zone con minore curvatura;

appaiono evidenti, contrassegnati dal colore blu, gli abbassamenti nella parte alta della volta localizzati nella zona centrale di ognuno dei quattro spicchi che costituiscono il manufatto. L’entità di questi spostamenti assume un valore massimo pari a 3 mm.

Scendendo verso le reni dei gusci si nota la riduzione degli abbassamenti fino a giungere nelle zone, contrassegnate dal viola, in cui si riscontrano innalzamenti con valore massimo dell’ordine del mm. Le zone in cui si intersecano i gusci presentano spostamenti compresi tra i valori estremi sopra riportati data la loro maggiore rigidezza locale.

Una attenta analisi dell’andamento degli spostamenti ci anticipa importanti informazioni circa lo stato tensionale dell’elemento. Nelle zone in cui si riscontra uno spostamento di verso negativo secondo l’asse globale Z, le fibre di intradosso risulteranno tese mentre quelle di estradosso compresse; viceversa per le parti in cui gli elementi tendono ad avere spostamenti positivi.

Le figure di riferimento sono le numero 2.30, 2.31, 2.32, 2.33, le quali rappresentano le tensioni principali massime (11) e minime (22) per l’estradosso (-z) e l’intradosso (+z). In bianco si sono volute evidenziare quelle zone in cui le tensioni di trazione eccedono il valore 0,2 , ritenuto il massimo accettabile per questo tipo di muratura. Come si poteva evincere dallo studio della deformata le zone maggiormente tese sono all’estradosso nelle zone che presentano abbassamenti negativi ed all’intradosso dove gli spostamenti sono positivi; l’entità delle tensioni di trazione è tale che il modello in questione non è idoneo a fornire una soluzione plausibile per questa

cm

/

kg

86

tipologia di volta. Questa analisi risulta comunque utile per iniziare a tracciare un ideale percorso volto alla comprensione della funzione che ogni elemento assolve per un corretto funzionamento globale della compagine.

Fig. 2.29: abbassamenti secondo l’asse Z degli elementi.

Fig. 2.30: tensioni principali massime all’estradosso della volta.

87 Fig. 2.31: tensioni principali massime all’intradosso della volta.

Fig. 2.32: tensioni principali minime all’estradosso.

88 Fig. 2.33: tensioni principali minime all’intradosso.

89

2.3.2 V

Proseguendo il percorso iniziato nel paragrafo precedente si analizza il comportamento della volta a padiglione con l’aggiunta dei rotoli. Questi conferiscono al padiglione un fondamentale apporto irrigidente in prossimità delle reni, contenendone la tendenza allo spanciamento, ed in chiave, zona in cui, per costruzione, si ha la minore curvatura.

La maglia di elementi piani utilizzata nel modello precedente rimane invariata: si aggiungono i rotoli costruiti con mezzane disposte di coltello e modellati con elementi solidi. A modellazione compiuta risultano 8366 nodi, 5940 elementi piani e 1840 elementi solidi.

Fig. 2.34: pianta della mesh.

I rotoli, completi di speroni aventi le medesime caratteristiche meccaniche, sono

vincolati esternamente per mezzo di elementi che reagiscono solo a compressione: i

90

cutt-off bar. In particolare, ogni nodo esterno degli speroni in contatto con il muro è vincolato con questo tipo di elemento beam il quale risulta efficace solo se lo sperone tende a spingere verso l’esterno.

In figura 2.36 si vede un particolare di questa tipologia di elementi; il nodo estremo di questi pendoli è fisso nelle tre direzioni possibili di moto.

Fig. 2.35: vista assonometrica del modello.

I nodi di imposta del padiglione sono vincolati secondo quanto espresso nel precedente paragrafo per cui sono bloccate le tre traslazioni secondo gli assi globali mentre sono lasciate libere le rotazioni.

L’utilizzo di questo tipo di elementi comporta l’esecuzione di una analisi elastica di tipo non lineare per cui sono stati impostati dieci incrementi di carico da 0,1 a 1.

I carichi sono: il peso proprio, il carico dovuto al pavimento assunto pari a 30 ed il carico dovuto alla presenza del materiale di riempimento avente peso per unità di volume di 1600 . Tutti i carichi esterni sono stati applicati agli elementi come pressioni agenti in direzione globale Z; il riempimento, per il calcolo dell’entità del carico da attribuire al modello, è stato considerato costante a tratti approssimando una realtà assai più complessa in cui la variazione del suo spessore segue l’andamento della superficie di estradosso della volta. Il peso totale dei carichi permanenti è circa uguale al caso già analizzato ed assume valore pari a 24700 kg.

m

/ kg

m

/

kg

91 Fig. 2.36: particolare dello sperone i cui nodi sono vincolati esternamente per mezzo di pendoli efficaci

solo se compressi: una eventuale tendenza alla rotazione dello sperone intorno ai suoi nodi di base, verso il centro della volta sarebbe libera.

Le caratteristiche meccaniche attribuite ai materiali per l’esecuzione dell’analisi sono quelle riportate nel paragrafo 2.2.4.

Si riportano nel seguito i grafici sintetizzanti i risultati dell’analisi che, confrontati con quelli ottenuti nell’analisi precedente, mostrano la variazione del funzionamento globale per effetto dell’introduzione dei rotoli.

E’ importante notare la riduzione dell’estensione delle zone in cui le tensioni principali massime superano il limite posto a 0,02 MPa: questo per l’azione irrigidente dei rotoli posizionati dove la volta appariva più debole.

Esistono porzioni di volta localizzate in cui le trazioni che fornisce l’analisi non

potrebbero essere sopportate dalla muratura di mezzane in folio assemblate con malta di

gesso senza il manifestarsi di fessure. In particolare queste zone sono localizzate

all’estradosso in prossimità dell’imposte, per effetto della tendenza allo spanciamento,

ed in corrispondenza degli spigoli in cui si intersecano gli spicchi del padiglione. Così

come al paragrafo precedente il modello non converge: per trovare una soluzione

equilibrata è indispensabile considerare il contributo del rinfianco.

92 Fig. 2.37: configurazione deformata con l’indicazione dell’abbassamenti degli elementi.

Fig. 2.38: tensioni principali massime all’estradosso della volta.

93 Fig. 2.39: tensioni principali massime all’intradosso della volta.

Fig. 2.40: tensioni principali minime all’estradosso della volta.

94 Fig. 2.41:

Nelle immagini seguenti (fig. 2.42; fig. 2.43), sfruttando le caratteristiche di simmetria del problema, si sono rappresentati i due semi-rotoli entro i quali si è indicato l’andamento delle funicolari dei carichi. Le linee tratteggiate rappresentano l’inviluppo dei limiti geometrici del nocciolo d’inerzia per ogni sezione del rotolo mentre in rosa e blu sono state rappresentate le funicolari della totalità dei carichi applicati nel primo caso e dei pesi permanenti, al netto del sovraccarico accidentale, nel secondo.

La figura 2.42 rappresenta il semi-arco relativo al lato maggiore del solaio.

Le curve tracciate si arrestano prima di giungere alle imposte per il disturbo degli speroni che rendono difficoltosa l’interpretazione dell’andamento delle tensioni, comunque minori di quelle ai reni ed in chiave, in quella zona.

Osservando l’andamento delle curve si vede come, all’aumentare del carico, la curva delle pressioni tende ad abbassarsi ai reni e ad alzarsi in chiave: queste immagini confermano la modalità di collasso, nota nella teoria degli archi, secondo la quale le cerniere plastiche che rendono la struttura labile si formerebbero nelle zone sopra citate.

Per l’arco di luce minore, maggiormente sollecitato per la sua maggiore rigidezza, si

nota che la funicolare esce dal nocciolo d’inerzia implicando una eventuale

parzializzazione della sezione se consideriamo il materiale privo di resistenza a trazione.

95 Fig. 2.42: vista laterale del semi-arco di luce maggiore, in rosa la funicolare della totalità dei carichi

applicati, in blu quella relativa ai soli carichi permanenti.

Fig. 2.43: vista laterale del semi-arco di luce minore, in rosa la funicolare della totalità dei carichi applicati, in blu quella relativa ai soli carichi permanenti.

96

2.3.3 V

Nel passato la zona di estradosso delle volte tra l’imposta e le reni era rinfiancata con del materiale debolmente legato o, in alcuni casi, con vasi ed anfore in argilla aventi caratteristiche di leggerezza e notevole rigidezza per la forma a doppia curvatura. Con il rinfianco si riducono le tensioni di trazione che si generano all’estradosso della volta in prossimità delle imposte.

In questo modello è studiata la volta con rotoli e materiale di rinfianco sul contorno:

si compie un ulteriore passo verso l’analisi dello schema riferito al caso specifico.

La maglia di elementi piani ha le medesime caratteristiche di quella utilizzata nel caso precedente con l’eccezione di una maggiore frammentazione degli elementi che verranno uniti alle lunette nel modello presentato nel paragrafo successivo. Questa apparente differenza non altera il risultato dell’analisi.

Fig. 2.44: pianta del modello.

97

I rotoli sono realizzati con elementi solidi e differiscono rispetto al paragrafo 2.3.2 alle imposte: per rendere il modello più simile al caso particolare che verrà analizzato successivamente.

Il rinfianco è stato schematizzato con elementi solidi le cui caratteristiche meccaniche, come quelle degli altri gruppi di elementi, sono riportate nel paragrafo 2.2.4.

Il modello è composto da: 13517 nodi, 487 elementi cut-off bar, 6448 elementi piani e 6360 elementi solidi. Il vincolo dei nodi al contorno è schematizzato con elementi incapaci di resistere a trazione. Al riempimento laterale non è stata attribuita alcuna condizione di vincolo se dovesse tendere a ruotare verso il centro della volta come i rotoli se tendessero a sollevarsi dalle imposte.

I nodi di imposta del padiglione, comuni con quelli di base degli elementi del rinfianco e degli archi estradossali, sono liberi esclusivamente di ruotare.

La prima analisi è stata eseguita con l’applicazione dei soli carichi permanenti dopodichè si è cercata la soluzione prima con l’aggiunta di un carico accidentale uniformemente distribuito di 200 e poi di 500 . Permangono anche in questo caso delle zone in cui le tensioni di trazione eccedono il valore massimo stabilito con la differenza che il modello giunge a convergenza sia nella prima condizione di carico sia nella seconda. Ciò significa che con l’applicazione dei soli carichi permanenti o con l’aggiunta del carico uniformemente distribuito di 200 il sistema ammette soluzione, questo non accade se applichiamo il sovraccarico di entità maggiore.

m

/

kg kg / m

m

/ kg

Nelle figure seguenti si riportano i diagrammi delle tensioni principali degli elementi piani che costituiscono il padiglione.

L’andamento delle tensioni esprime chiaramente l’effetto del rinfianco sul

padiglione. Rispetto ai casi precedenti si nota la netta riduzione della distribuzione delle

tensioni di trazione per l’effetto di contrasto, offerto dal rinfianco, alla tendenza del

padiglione allo spanciamento. Le zone critiche in cui verosimilmente si formeranno

delle lesioni si trovano sulle diagonali in cui si intersecano i gusci di padiglione.

98 Fig. 2.45: vista assonometrica del modello.

Fig. 2.46: abbassamenti secondo Z.

99 Fig. 2.47: tensioni principali massime all’estradosso della volta.

Fig. 2.48: tensioni principali massime all’intradosso della volta.

100 Fig. 2.49: tensioni principali minime all’estradosso della volta.

Fig. 2.50: tensioni principali minime all’intradosso della volta.

101 Fig. 2.51: abbassamenti secondo Z.

Fig. 2.52: tensioni principali massime all’estradosso della volta.

102 Fig. 2.53: tensioni principali massime all’intradosso della volta.

Fig. 2.54: tensioni principali minime all’estradosso della volta.

103 Fig. 2.55: tensioni principali minime all’intradosso della volta.

Come nel paragrafo precedente si conclude la disamina di questa tipologia di volte

con il tracciamento delle funicolari dei carichi degli archi estradossali. Per quanto

riguarda l’applicazione dei carichi permanenti le funicolari appaiono, in entrambi gli

archi, interne al nocciolo d’inerzia; questo non accade con l’aggiunta del carico

accidentale di 500 kg/m

.

104 Fig. 2.56: vista laterale del semi-arco di luce maggiore, in rosa la funicolare dei carichi permanenti ed

accidentali applicati, in blu quella relativa ai soli carichi permanenti.

Fig. 2.57: vista laterale del semi-arco di luce maggiore, in rosa la funicolare dei carichi permanenti ed accidentali applicati, in blu quella relativa ai soli carichi permanenti.

105

2.3.4 C

Come nei casi precedenti la redazione della maggior parte della maglia delle parti “in folio” è stata realizzata manualmente, sulla base geometrica del disegno ricavato dal rilievo, nel programma Rhinoceros 3.0. Successivamente la mesh è stata importata in Straus7 e completata per garantire la coincidenza dei nodi nelle delicate zone di intersezione delle sue componenti.

Sulla maglia costruita sono stati impostati tutti gli elementi solidi che rappresentano il rinfianco sul contorno della volta ed il riempimento negli spazi compresi tra le lunette.

Rispetto al modello utilizzato al paragrafo 2.3.3 sono stati aggiunti gli elementi rappresentanti le lunette, il rinfianco tra esse e le unghie. Si riporta in tabella (fig. 2.58) il numero degli elementi utilizzati per ogni gruppo.

GRUPPO

NUMERO ELEMENTI

“TRAVE”

NUMERO ELEMENTI PIANI

NUMERO ELEMENTI SOLIDI

Padiglione - 6448 - Lunette - 6856 - Unghie - 2912 -

Rinfianco della volta - - 4856

Rinfianco tra le lunette - - 10412

Archi estradossali - - 1504

Cutt-off bar 677 - -

Fig. 2.58: numero degli elementi utilizzati per ogni gruppo del modello.

Anche questa volta i vincoli sul bordo sono stati realizzati con elementi resistenti solo a compressione. I gradi di libertà dei nodi di imposta del padiglione rimangono invariati rispetto ai casi precedenti.

Le analisi sono state differenziate in base ai carichi applicati al medesimo modello:

inizialmente si è determinata la soluzione considerando i soli carichi fissi al quale successivamente si è aggiunto il carico uniformemente distribuito di 200 ed infine quello di 500 .

kg/m

kg/m

La somma totale dei carichi fissi è di 16800 kg: confrontando questo valore con

quello corrispondente al modello senza unghie e lunette si nota la funzione di

alleggerimento di questi elementi. In particolare la creazione dei vuoti al di sotto degli

elementi citati comporta uno sgravio di peso di circa 7900 kg.

106

Si ricorda che le caratteristiche meccaniche attribuite agli elementi sono quelle espresse nel paragrafo 2.2.4.

Dall’esecuzione delle analisi si riscontra la mancata convergenza quando si considera il carico variabile di maggiore entità oltre ai pesi permanenti.

I problemi maggiori permangono in corrispondenza degli spigoli in cui le unghie si attestano al padiglione: proprio in questa zona si potevano osservare due lesioni all’intradosso della volta studiata.

La presenza delle unghie porta il sistema a funzionare tipo volta a botte quindi i carichi applicati sono ripartiti verso i lati di imposta di maggiore lunghezza sancendo il mancato cimento delle teste di padiglione impostate sui lati minori. La volta appare a padiglione all’intradosso ma il suo comportamento è a botte.

Dalla deformata si constata la notevole rigidezza globale che consente spostamenti minimi con eccezione per la parte estrema dell’unghia i cui nodi sono stati vincolati unilateralmente. Così facendo non è stata bloccata la traslazione secondo l’asse globale Z.

In figura 2.74 si è tracciata la funicolare dei carichi per l’arco estradossale impostato

sui lati maggiori del rettangolo della pianta. Avendo indicato le linee immaginarie che

sanciscono i limiti del nocciolo d’inerzia si nota come la curva delle pressioni vi sia

sempre compresa.

107 Fig. 2.59: pianta del modello.

Fig. 2.60: vista assonometrica del modello.

108 Fig. 2.61: vista assonometrica di metà modello.

Fig. 2.62: particolari del modello realizzato: in blu il padiglione, in bordeaux l’unghia, in verde le lunette, in viola il riempimento tra le lunette, in ciano il rinfianco ed in rosa l’arco estradossale.

109 Fig. 2.63: tensioni principali massime all’estradosso della volta sollecitata dal solo peso proprio.

Fig. 2.64: tensioni principali massime all’intradosso della volta.

110 Fig. 2.65: tensioni principali minime all’estradosso.

Fig. 2.66: tensioni principali minime all’intradosso.

111 Fig. 2.67: spostamenti in direzione globale Z.

Fig. 2.68: tensioni principali massime all’estradosso della volta sollecitata dal peso proprio e dal sovraccarico accidentale di 200 kg/m².

112 Fig. 2.69: tensioni principali massime all’intradosso della volta.

Fig. 2.70: tensioni principali minime all’estradosso della volta.

113 Fig. 2.71: tensioni principali minime all’intradosso della volta.

Fig. 2.72: spostamenti nodali in direzione globale Z.

114 Fig. 2.73: indicazione dei sistemi di riferimento locali utilizzati per la determinazione delle curve delle

pressioni dei rotoli ed andamento delle tensioni nella sezione significativa chiamata A.

115 Fig. 2.74: funicolare dei carichi dell’arco estradossale di luce minore (in blu del solo peso proprio in

rosa del peso proprio e del sovraccarico accidentale di 500 kg/m²).