LE FRAZIONI
A volte è necessario dividere una certa grandezza, ad esempio una pizza, una striscia di stoffa, un segmento, ecc.., in TANTE PARTI UGUALI.
Supponiamo, ad esempio, che tre bambini vogliano dividere una tavoletta di cioccolata in modo da mangiarne tutti e tre la stessa quantità: essi devono, quindi, dividere la tavoletta di cioccolata in tre parti uguali.
Questa operazione prende il nome di frazionare. Quindi FRAZIONARE significa DIVIDERE in PARTI UGUALI.
Nel nostro caso, avremo:
Abbiamo frazionato la nostra tavoletta di cioccolata, dividendola in tre parti uguali.
Ogni bambino prende una parte della tavoletta.
Cioè ogni bambino prende:
che si legge "un terzo" oppure "uno su tre" o ancora "uno fratto tre". E si può scrivere anche
1/3.
Quella che abbiamo appena scritto è una FRAZIONE.
In una frazione troviamo:
un numeratore;
un denominatore;
una linea di frazione.
Il DENOMINATORE, nel nostro caso 3, indica in quante PARTI UGUALI è stato DIVISO l'INTERO.
Il NUMERATORE, nel nostro caso 1, indica quante PARTI dell'INTERO sono state PRESE.
NUMERATORE e DENOMINATORE si dicono, TERMINI della FRAZIONE.
La LINEA di FRAZIONE rappresenta il segno della DIVISIONE.
Una frazione rappresenta anche un modo diverso di scrivere l'operazione della DIVISIONE.
Infatti:
Nel nostro esempio, la tavoletta di cioccolata è stata divisa in tre parti uguali, una di esse rappresenta 1/3 dell'intera tavoletta: 1/3 prende il nome di unità frazionaria.
Quindi l'UNITA' FRAZIONARIA è OGNI PARTE nella quale viene DIVISO l'INTERO.
sono tutte UNITA' FRAZIONARIE.
Immaginiamo di prendere la FRAZIONE due terzi:
Essa, indica che, data una certa grandezza, questa è stata DIVISA in TRE PARTI UGUALI delle quali ne sono state PRESE DUE.
Quindi possiamo affermare che, il simbolo 2/3, indica DUE OPERAZIONI che è necessario eseguire su una grandezza (una tavoletta di cioccolata, una pizza, una torta, un segmento, un angolo, ecc...):
DIVIDERE la grandezza in 3 PARTI UGUALI;
PRENDERE 2 delle PARTI OTTENUTE.
Per questa ragione si dice che la frazione 2/3 è l'OPERATORE che applicato ad una grandezza, lo divide in 3 parti uguali e prende 2 delle parti ottenute.
In modo del tutto simile si procede per calcolare la FRAZIONE di un NUMERO.
Immaginiamo, ad esempio, di voler calcolare i 5/6 di 42.
Si tratterà di dividere il numero 42 in 6 parti uguali e di prenderne 5.
Quindi, DIVIDIAMO il numero 42 per 6 e MOLTIPLICHIAMO il risultato ottenuto per 5. Ovvero:
Quindi i 5/6 di 42 equivalgono a 35.
Vediamo qualche altro esempio:
7/9 di 63 (63 : 9) x 7 = 7 x 7 = 49 3/5 di 45 (45 : 5) x 3 = 9 x 3 = 27
21/30 di 1.800 (1.800 : 30) x 21 = 60 x 21 = 1.260 2/3 di 12 (12 : 3) = 4 x 2 = 8
FRAZIONI PARTICOLARI
In questa lezione ci occuperemo di alcune FRAZIONI PARTICOLARI. Vediamo, insieme, quali sono.
1. Innanzitutto possiamo dire che QUALSIASI NUMERO INTERO può essere scritto sotto forma di FRAZIONE.
Ad esempio, il numero 8 può essere scritto come
Come sappiamo una frazione non è altro che una divisione, dove il NUMERATORE rappresenta il DIVIDENDO e il DENOMINATORE rappresenta il DIVISORE. Quindi:
Pertanto, dire "otto fratto uno", è come dire "8 diviso 1" che come sappiamo è uguale ad 8. Ciò significa che OGNI NUMERO INTERO può essere scritto come una FRAZIONE che ha al NUMERATORE il NUMERO stesso e, al DENOMINATORE, l'UNITA'.
Esempi:
5/1 5 : 1 = 5
15/1 15 : 1 = 15
7/1 7 : 1 = 7
20/1 20 : 1 = 20
2. Un altro esempio di frazione particolare è rappresentato dalle frazioni nelle quali, numeratore e denominatore sono lo stesso numero.
Ad esempio
Questa frazione può essere scritta come segue:
Quindi, dire "otto fratto otto", è come dire "8 diviso 8" che come sappiamo è uguale ad 1. Ciò significa che ogni FRAZIONE che ha al NUMERATORE e
al DENOMINATORE lo STESSO NUMERO è uguale all''UNITA'.
Esempi:
3/3 3 : 3 = 1
17/17 17 : 17 = 1
6/6 6 : 6 = 1
4/4 4 : 4 = 1
3. Abbiamo poi le frazioni con lo ZERO al NUMERATORE, come
Scrivere "zero fratto tre", è come dire "0 diviso 3" che come sappiamo è uguale a 0, infatti stiamo cercando quel numero che, moltiplicato per 3 mi dà 0. Infatti:
Quindi possiamo dire che ogni FRAZIONE che ha al NUMERATORE lo ZERO (e a DENOMINATORE un numero DIVERSO da ZERO) è uguale a ZERO.
Esempi:
0/1 0 : 1 = 0
0/12 0 : 12 = 0 0/25 0 : 25 = 0
0/8 0 : 8 = 0
4. Abbiamo, poi, le frazioni con lo zero a denominatore.
Ad esempio
Questa frazione può essere scritta come segue:
Quindi noi cerchiamo quel numero, che moltiplicato per zero, dà quattro. Chiaramente si tratta di una frazione priva di significato, dato che qualsiasi numero moltiplicato per zero, dà zero. Quindi questa frazione è IMPOSSIBILE.
Pertanto ogni FRAZIONE che ha al DENOMINATORE lo ZERO ( e al NUMERATORE un numero DIVERSO da ZERO) è priva di significato e si dice IMPOSSIBILE.
Esempi:
3/0 3 : 0 IMPOSSIBILE 11/0 11 : 0 IMPOSSIBILE 260/0 260 : 0 IMPOSSIBILE
5. Infine possiamo avere la frazione
che equivale a dire:
In questo caso stiamo cercando un numero che moltiplicato per zero, dà zero. Come sappiamo, ogni numero, moltiplicato per zero, ha come risultato zero. Quindi, il QUOZIENTE di questa divisione potrebbe essere QUALSIASI NUMERO pertanto si parla di forma INDETERMINATA.
Ricapitolando:
1/1, 2/1, 3/1, 4/1, ... 1, 2, 3, 4, ...
1/1, 2/2, 3/3, 4/4, ... 1
0/1, 0/2, 0/3, 0/4, ... 0
1/0, 2/0, 3/0, 4/0, ... IMPOSSIBILE
0/0 INDETERMINATA
PROBLEMI CON LE FRAZIONI
In questa lezione vogliamo vedere come possono essere risolti due tipici PROBLEMI con le FRAZIONI.
1. Il primo tipo di problema è quello nel quale conosciamo una certa quantità e ne dobbiamo CALCOLARE una PARTE.
Esempio:
un negoziante ha acquistato 500 vasetti di marmellata e ne ha venduti i 4/5. Quanti vasetti di marmellata gli sono rimasti?
Per sapere quanti vasetti di marmellata sono rimasti al nostro negoziante, dobbiamo prima calcolare quanti ne ha venduti.
Noi sappiamo che ha venduto i 4/5 dei vasetti acquisti, cioè di 500. Quindi:
vasetti (500 : 5) x 4 = 100 x 4 = 400 - vasetti venduti
500 vasetti comprati - 400 vasetti venduti = 100 vasetti rimasti.
2. Il secondo tipo di problema è quello nel quale conosciamo una certa parte e dobbiamo CALCOLARE il TOTALE.
Esempio:
un recipiente è stato riempito per 3/7 con 45 litri d'acqua. Qual è la capacità del recipiente?
Per sapere quanti litri d'acqua contiene tutto il recipiente, dobbiamo partire col calcolare a quanti litri d'acqua corrisponde 1/7 del recipiente. Noi sappiamo che i 3/7 del recipiente contengono 45 litri d'acqua, quindi:
45 litri : 3 = 15 litri
La capacità dell'intero recipiente è pari a 7/7, quindi 15 litri x 7 = 105 litri - capacità del recipiente.
FRAZIONI PROPRIE, IMPROPRIE ED APPARENTI
Le FRAZIONI possono essere di TRE TIPI diversi:
1. FRAZIONI PROPRIE;
2. FRAZIONI IMPROPRIE;
3. FRAZIONI APPARENTI.
1. Le frazioni PROPRIE sono quelle nelle quali il NUMERATORE èMINORE rispetto al DENOMINATORE.
2. La frazione propria indica una QUANTITA' MINORE dell'INTERO. Essa è minore dell'unità. Esempio:
NUMERATORE < DENOMINATORE 3 < 5
2. Le frazioni IMPROPRIE sono quelle nelle quali il NUMERATORE è MAGGIORE rispetto al DENOMINATORE.
La frazione propria indica una QUANTITA' MAGGIORE dell'INTERO. Essa è maggiore dell'unità.
Esempio:
NUMERATORE > DENOMINATORE 7 > 5
3. Le frazioni APPARENTI sono quelle nelle quali il NUMERATORE è UGUALE o MULTIPLO rispetto al DENOMINATORE.
La frazione apparente indica UNO o PIU' INTERI. Esempi:
NUMERATORE = DENOMINATORE 5 = 5
oppure
NUMERATORE multiplo DENOMINATORE 10 multiplo 5
FRAZIONI COMPLEMENTARI
Nell'immagine sottostante abbiamo disegnato un segmento. Lo abbiamo diviso in 8 parti uguali: 5 di esse le abbiamo colare in giallo e le restanti tre in grigio.
La parte in giallo rappresenta i 5/8 del nostro segmento.
La parte in grigio rappresenta i 3/8 del nostro segmento.
5/8 e 3/8 sono due FRAZIONI COMPLEMENTARI, cioè due frazioni che,SOMMATE formano l'INTERO.
Vediamo di seguito, alcuni esempi di FRAZIONI COMPLEMENTARI.
Esempi:
FRAZIONI COMPLEMENTARI
2/5 3/5
3/8 5/8
1/4 3/4
7/11 4/11
6/9 3/9
4/10 6/10
FRAZIONI EQUIVALENTI
Immaginiamo di avere 3 tavolette di cioccolata identiche l'una all'altra per peso e dimensioni.
Mario mangia 1/2 della sua tavoletta.
Anna mangia 2/4 della sua tavoletta.
Giovanni mangia 4/8 della sua tavoletta.
Osserviamo l'immagine:
Come è evidente, Mario, Anna e Giovanni hanno mangiato la stessa quantità di cioccolata.
Quindi, le frazioni
seppure scritte in maniera diversa, hanno lo STESSO VALORE. Esse si dicono FRAZIONI EQUIVALENTI.
Quindi possiamo scrivere.
Quindi, generalizzando, possiamo dire che due o più FRAZIONI sono
EQUIVALENTI tra loro quando, pur essendo scritte in modo diverso,rappresentano lo STESSO VALORE.
Se osserviamo le frazioni scritte sopra notiamo che la frazione 2/4 si ottiene dalla frazione 1/2 moltiplicando numeratore e denominatore per il numero 2. Infatti:
Allo stesso modo possiamo ottenere la frazione 4/8 dalla frazione 1/2moltiplicando numeratore e denominatore per il numero 4. Infatti:
Notiamo anche che possiamo ottenere la frazione 2/4 dalla frazione 4/8dividendo numeratore e denominatore per il numero 2. Infatti:
Generalizzando possiamo affermare che
se MOLTIPLICHIAMO DIVIDIAMO (laddove è possibile), i due TERMINI di una frazione per UNO STESSO NUMERO diverso da zero, otteniamo una FRAZIONE EQUIVALENTE a quella data.
Quindi, partendo da una frazione, ad esempio 3/4, e applicando la regola appena vista, possiamo ottenere una infinità di frazioni equivalenti.
Esempio:
ecc...
Quindi:
Allo stesso modo, partendo da una frazione, ad esempio 12/24, e dividendo numeratore e denominatore per un divisore comune possiamo ottenere delle frazioni equivalenti a quella data.
Esempio:
ecc...
Quindi:
Notiamo anche che, se il NUMERATORE di una frazione è DIVISIBILE per il suo DENOMINATORE, la frazione è UGUALE al NUMERO INTERO che si ottiene DIVIDENDO il NUMERATORE per il DENOMINATORE.
Esempi:
SEMPLIFICAZIONE DI UNA FRAZIONE
La PROPRIETA' FONDAMENTALE delle frazioni ci dice che,
se MOLTIPLICHIAMO o DIVIDIAMO (laddove è possibile), i due TERMINI di una frazione per UNO STESSO NUMERO diverso da zero, otteniamo
una FRAZIONE EQUIVALENTE a quella data.
Questa proprietà può essere utile per SOSTITUIRE, quando è possibile, una certa FRAZIONE con un'altra avente i TERMINI più PICCOLI.
Prendiamo, per esempio la frazione:
Il numeratore e il denominatore della frazione possono essere divisi entrambi per il numero 7.
Così facendo otterremo una frazione equivalente a quella data:
La frazione 2/9 è stata ottenuta SEMPLIFICANDO la frazione 14/63.
Allora possiamo dire che per SEMPLIFICARE una
frazione basta DIVIDERE entrambi i TERMINI per uno stesso DIVISORE COMUNE.
Esempio:
Attraverso una serie di divisioni successive otteniamo:
La frazione che abbiamo ottenuto, 5/6, non può più essere semplificata perché i due termini 5 e 6non hanno nessun divisore comune. Essa si dice RIDOTTA AI MINIMI TERMINI o anche IRRIDUCIBILE
Quindi, una frazione si dice RIDOTTA AI MINIMI TERMINI quando il NUMERATORE e il DENOMINATORE sono PRIMI TRA LORO.
Vediamo alcuni esempi di frazioni ridotte a minimi termini:
RIDUZIONE DI UNA FRAZIONE AI MINIMI TERMINI
Nella lezione precedente abbiamo visto che una frazione si dice RIDOTTA AI MINIMI TERMINI quando il NUMERATORE e
il DENOMINATORE sono PRIMI TRA LORO.
Sempre nella stessa lezione abbiamo visto come è possibile RIDURRE una frazione ai MINIMI TERMINI attraverso delle successive
divisioni del NUMERATORE e DENOMINATORE per uno stesso divisore, fino a quando la frazione diventa IRRIDUCIBILE.
Cerchiamo ora di chiarire meglio come è possibile procedere a ridurre una frazione ai minimi termini.
Per effettuare questa operazione si possono seguire vari metodi:
1. Se DIVIDIAMO DUE NUMERI per il loro M.C.D., otteniamo come risultato due NUMERI PRIMI TRA LORO.
Applicando questa regola possiamo RIDURRE una FRAZIONE ai MINIMI TERMINI DIVIDENDO numeratore e denominatore per il loro M.C.D.
Come sappiamo il M.C.D. di due o più numeri si ottiene SCOMPONENDO tali numeri
in FATTORI PRIMI e moltiplicando i FATTORI PRIMI COMUNI, ciascuno preso una sola volta, col MINIMO ESPONENTE.
Vediamo, allora, come possiamo ridurre una frazione ai minimi termini.
Esempio:
Scomponiamo il numeratore 108, e il denominatore 567.
Quindi:
108 = 22 x 33 567 = 34 x 7.
Calcoliamo il M.C.D. dei due numeri prendendo i fattori primi comuni con il minimo esponente:
M.C.D. (108; 567) =33 = 27.
Dividiamo numeratore e denominatore della frazione per il M.C.D.
2. Un secondo modo di procedere consiste nello SCOMPORRE NUMERATORE e
DENOMINATORE in fattori primi e nel SOPPRIMERE i FATTORI COMUNI ai due termini della frazione.
Scriviamo 108 e 567, sotto forma di prodotto di fattori primi.
Poi sopprimiamo i fattori primi comuni. L'unico fattore primo comune è il 3 che va preso con esponente 3. Quindi è come se dividessimo numeratore e denominatore per 33.
Avremo:
3. Se i termini della frazione sono numeri piccoli, ci si può limitare a DIVIDERLI entrambi per tutti i loro DIVISORI COMUNI.
TRASFORMAZIONE DI UNA FRAZIONE IN UN’ALTRA EQUIVALENTE
In una delle precedenti lezioni abbiamo detto che due o più FRAZIONI sono
EQUIVALENTI tra loro quando, pur essendo scritte in modo diverso,rappresentano lo STESSO VALORE.
Inoltre abbiamo visto che, data una frazione, ne otteniamo un'altra
EQUIVALENTE alla prima MOLTIPLICANDO o DIVIDENDO (laddove è
possibile), i due TERMINI della prima per UNO STESSO NUMERO diverso da zero.
Esempio:
Queste frazioni sono tutte equivalenti alla frazione 2/3 che è RIDOTTA AI MINIMI TERMINI. Ricordiamo che una frazione si dice RIDOTTA AI MINIMI
TERMINI quando il NUMERATORE e il DENOMINATORE sono PRIMI TRA LORO.
Inoltre queste frazioni sono state tutte ottenute, partendo dalla prima, e moltiplicando numeratore e denominatore per 2, 3, 4, 5, ....
Ora, data la frazione 2/3, vogliamo trovare una FRAZIONE EQUIVALENTE che abbia per denominatore 21.
Per prima cosa dobbiamo chiederci se ciò è possibile, cioè se esiste una frazione equivalente a 2/3 che abbia come denominatore 21.
Dato che 2/3 è una frazione ridotta ai minimi termini, per ottenere una frazione ad essa equivalente dobbiamo moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso numero.
Non potremmo, invece, dividerli per uno stesso numero essendo essi primi tra loro.
Quindi, perché ci sia un frazione equivalente a 2/3 che abbia come denominatore21 è necessario che 21 sia MULTIPLO di 3.
Allora possiamo affermare che una frazione RIDOTTA AI MINIMI TERMINI può essere TRASFORMATA in un'altra EQUIVALENTE e con DENOMINATORE ASSEGNATO, solo se questo è MULTIPLO del DENOMINATORE della frazione data.
Nel nostro esempio, essendo 21 multiplo di 3 possiamo dire che esiste una frazione equivalente a 2/3 avente come denominatore 21.
Ora chiediamoci come possiamo fare per trovarla.
Se dividiamo 21 per 3 troviamo il numero che moltiplicato per il denominatore della prima frazione permette di avere il denominatore della seconda frazione.
Quindi:
21 : 3 = 7.
Ora, si tratterà di moltiplicare, numeratore e denominatore per 7 e avremo la frazione cercata:
Quindi, la frazione equivalente di 2/3 avente come denominatore 21 è 14/21.
Allora possiamo affermare che
per TRASFORMARE una frazione ridotta ai minimi termini in un'altra
EQUIVALENTE e avente un DATO DENOMINATORE è necessario che quest'ultimo sia MULTIPLO di quello della frazione data. Se ciò si verifica per trovare tale frazione dobbiamo:
DIVIDERE il DENOMINATORE DATO per il DENOMINATORE della prima frazione;
MOLTIPLICARE il numero ottenuto per entrambi i TERMINI della prima frazione.
Nel caso in cui la frazione di partenza non è ridotta ai minimi termini, occorrerà dapprima RIDURLA AI MINIMI TERMINI e poi procedere nel modo indicato in precedenza.
Vediamo, di seguito, alcuni esempi.
Esempio 1.
Frazione: 12/16
Denominatore della frazione equivalente: 108 Frazione ridotta ai minimi termini:
Trasformazione possibile?
108 : 4 = 27 - si perché 108 è multiplo di 4 Trasformazione nella frazione equivalente:
Esempio 2.
Frazione: 54/63
Denominatore della frazione equivalente: 108 Frazione ridotta ai minimi termini:
Trasformazione possibile?
108 : 7 = 15,43 - no perché 108 non è multiplo di 7
Esempio 3.
Frazione: 34/216
Denominatore della frazione equivalente: 108 Frazione ridotta ai minimi termini:
Con la riduzione ai minimi termini abbiamo già operato la trasformazione richiesta.
MINIMO COMUNE DENOMINATORE (m.c.d.)
Nella lezione precedente abbiamo visto come è possibile trasformare una frazione in un'altra equivalente e avente un dato denominatore.
Ora vogliamo, invece, vedere come è possibile TRASFORMARE DUE o PIU' FRAZIONI in altre EQUIVALENTI e aventi tutte lo STESSO DENOMINATORE.
Immaginiamo di avere le seguenti frazioni:
Innanzitutto notiamo che queste frazioni sono RIDOTTE AI MINIMI TERMINI cioè il NUMERATORE e il DENOMINATORE sono numeri PRIMI TRA LORO.
Affinché le nostre frazioni possano essere TRASFORMATE in altre
EQUIVALENTI e aventi entrambe lo STESSO DENOMINATORE è necessario che questo denominatore sia MULTIPLO di tutte e due le frazioni date.
Noi sappiamo che i multipli di due o più numeri sono infiniti e che il più piccolo di essi è il minimo comune multiplo che si abbrevia con la sigla m.c.m.
Tra tutti i multipli comuni dei denominatori delle frazioni date scegliamo, allora, il più piccolo di essi in modo da rendere anche più semplici i calcoli.
Dobbiamo allora cercare il m.c.m. tra 4 e 3.
m.c.m. (4; 3).
Ricordiamo che il m.c.m. si ottiene SCOMPONENDO i numeri dati in FATTORI PRIMI e moltiplicando i FATTORI PRIMI COMUNI e NON COMUNI, ciascuno preso una sola volta, col MASSIMO ESPONENTE.
Quindi:
4 = 22 3 = 3.
m.c.m. (4; 3) = 22 x 3 = 12.
Il denominatore comune alle frazioni date sarà, quindi, 12. Esso prende il nome diMINIMO COMUNE DENOMINATORE e si abbrevia con la sigla m.c.d.
A questo punto sappiamo quale denominatore dovranno avere le due frazioni e possiamo procedere come nella trasformazione di una frazione in un'altra equivalente e di dato denominatore. Ovvero, per ciascuna delle frazioni date, dobbiamo:
DIVIDERE il DENOMINATORE COMUNE trovato per il DENOMINATORE della frazione;
MOLTIPLICARE il numero ottenuto per entrambi i TERMINI della frazione.
Tornando al nostro esempio, avremo:
12 : 4 =3
e
12 : 3 =4
Quindi le due frazioni cercate sono:
Nel caso in cui le frazioni di partenza non fossero ridotte ai minimi termini, occorrerà dapprima RIDURLE AI MINIMI TERMINI e poi procedere nel modo indicato in precedenza.
Possiamo dire, quindi, che per RIDURRE più frazioni al MINIMO COMUNE DENOMINATORE, si procede nel modo seguente:
se necessario si RIDUCONO le frazioni AI MINIMI TERMINI;
si trova il m.c.m. dei DENOMINATORI delle frazioni ridotte ai minimi termini;
per ciascuna frazione ridotta ai minimi termini si procede come segue:
o si DIVIDE il m.c.m. trovato per il DENOMINATORE della frazione;
o si MOLTIPLICA il numero ottenuto per il NUMERATORE e il DENOMINATORE della frazione.
Vediamo, di seguito, alcuni esempi.
Esempio 1.
Frazioni: 3/8, 7/12 - sono entrambe già ridotte ai minimi termini m.c.d.: m.c.m. (8; 12)
8 = 23 12 = 22 x 3
m.c.m. (8; 12) = 23 x 3 = 24
Trasformazione nelle frazioni equivalenti:
24 : 8 = 3
24 : 12 = 2
Frazioni cercate: 9/12, 14/24.
Esempio 2.
Frazioni: 15/24, 44/48 - la prima è ridotta ai minimi termini - la seconda no Frazioni ridotte ai minimi termini:
15/24, 11/12
m.c.d.: m.c.m. (24; 12) 24 = 23 x 3
12 = 22 x 3
m.c.m. (24; 12) = 23 x 3 = 24
Trasformazione nelle frazioni equivalenti:
24 : 24 = 1
24 : 12 = 2
Frazioni cercate: 15/24; 22/24.
Esempio 3.
Frazioni: 7/9, 11/15 - sono entrambe già ridotte ai minimi termini m.c.d.: m.c.m. (9; 15)
9 = 32 15 = 3 x 5
m.c.m. (9; 15) = 32 x 5 = 45
Trasformazione nelle frazioni equivalenti:
45 : 9 = 5
45 : 15 = 3
Frazioni cercate: 35/45, 33/45.
CONFRONTO TRA FRAZIONI
Vediamo, ora, come è possibile CONFRONTARE tra loro DUE FRAZIONI, cioè stabilire se esse sono equivalenti o diseguali e, in quest'ultimo caso quale delle due è maggiore e quale minore.
A tale proposito si possono distinguere TRE casi diversi:
1. Le due frazioni hanno lo STESSO DENOMINATORE e diverso numeratore.
Supponiamo di avere le seguenti frazioni:
Rappresentiamo, graficamente, le due frazioni:
Si nota subito che 5/8 è maggiore di 3/8.
Poiché i due interi, rappresentati dalle due frazioni, sono divisi in un numero di parti uguali, sarà maggiore la frazione con numeratore maggiore, poiché esso indica che sono state prese un numero maggiore di pari.
Ne deduciamo che, date due frazioni che hanno lo STESSO
DENOMINATORE la MAGGIORE è quella con NUMERATORE MAGGIORE.
2. Le due frazioni hanno lo STESSO NUMERATORE e diverso denominatore.
Supponiamo di avere le seguenti frazioni:
Rappresentiamo, graficamente, le due frazioni:
Si nota subito che 2/3 è maggiore di 2/6.
I due interi, rappresentati dalle due frazioni, sono divisi in un numero diverso di parti. Il primo in tre parti e il secondo in sei pari. Di conseguenza ogni parte nella quale è divisa il primo intero è più grande rispetto alla singola parte nella quale è diviso il secondo intero.
Poiché il numero delle parti prese sono le stesse, 2 parti del primo intero (le cui parti sono più grandi) saranno maggiori di 2 parti del secondo intero.
Ne deduciamo che, date due frazioni che hanno lo STESSO NUMERATORE la MAGGIORE è quella con DENOMINATORE MINORE.
3. Le due frazioni hanno NUMERATORE e DENOMINATORE DIVERSI.
Supponiamo di avere le seguenti frazioni:
Rappresentiamo, graficamente, le due frazioni:
Graficamente notiamo che 2/3 è maggiore di 1/2.
Tuttavia se vogliamo eseguire in modo agevole il loro confronto senza ricorrere alla
rappresentazione grafica è sufficiente ridurre le frazioni date al minimo comune denominatore.
In questo modo avremo due frazioni con lo STESSO DENOMINATORE è sarà sufficiente applicare la regola precedente ovvero è maggiore la frazione con NUMERATORE MAGGIORE.
Tornando al nostro esempio
Frazioni: 1/2, 2/3 - sono entrambe già ridotte ai minimi termini m.c.d.: m.c.m. (2; 3) = 2 x 3 = 6
Trasformazione nelle frazioni equivalenti:
6 : 2 = 3
6 : 3 = 2
Ora si tratta di confrontare le frazioni: 3/6, 4/6.
La maggiore è 4/6.
Un caso particolare di confronto tra frazioni con numeratore e denominatore diversi è rappresentato dall'ipotesi in cui occorre confrontare una FRAZIONE PROPRIA con una
FRAZIONE IMPROPRIA.
Ricordiamo che le frazioni PROPRIE sono quelle nelle quali il
NUMERATORE è MINORE rispetto al DENOMINATORE, mentre le
frazioni IMPROPRIE sono quelle nelle quali il NUMERATORE è MAGGIORE rispetto al DENOMINATORE.
Poiché la frazione impropria rappresenta sempre una quantità maggiore dell'unità, mentre la frazione propria rappresenta una quantità minore dell'unità la prima sarà
senz'altro MAGGIORE rispetto alla seconda. Quindi in questo caso non c'è bisogno di ridurre le due frazioni al minimo comune denominatore.
Vediamo, di seguito, alcuni esempi:
Frazioni da confrontare
3/7, 5/7 Stesso denominatore - più grande quella con numeratore maggiore
5/7 > 3/7 1/5, 1/7 Stesso numeratore - più grande quella
con denominatore minore
1/5 > 1/7
9/8, 3/5 9/8 frazione impropria 3/5 frazione propria
Frazione impropria maggiore della frazione propria
9/8 > 3/5
1/5, 11/15 Numeratore e denominatore diversi m.c.d. (5; 15 ) = 15
1/5 = 3/15 11/15
confronto tra 3/15 e 11/15
11/15 > 3/15
Ricordiamo che > è il simbolo di MAGGIORE. Quindi 5/7 > 3/7
si legge "5/7 è maggiore di 3/7".
