• Allegato Esercizi . • Risoluzione di equazioni e disequazioni per via grafica . • Il valore assoluto . • Disequazioni esponenziali . • Equazioni esponenziali . 6^ Lezione

6^ Lezione

• Equazioni esponenziali .

• Disequazioni esponenziali .

• Il valore assoluto .

• Risoluzione di equazioni e disequazioni per via grafica .

Corso di Analisi: Algebra di Base

• Allegato Esercizi .

EQUAZIONI ESPONENZIALI

Per equazione esponenziale intenderemo un’equazione in cui la variabile reale x compaia come esponente. La risoluzione di un tale tipo di equazione si prefigura sullo stesso

modello di un’equazione logaritmica , quando si riesca ad ottenere , ai rispettivi membri , due potenze della stessa base , con gli stessi coefficienti e dello stesso grado.

La definizione di logaritmo imponeva come ipotesi la positività della base del logaritmo stesso ; e per tale ragione l’esistenza della funzione esponenziale è vincolata dunque alla positività della sua base .

E’ evidente dunque che la risoluzione di un’equazione esponenziale non comporterà nessuna condizione di realtà ( è data come ipotesi ) e sarà vincolata quindi al solo uso delle proprietà delle potenze.

Riassumiamole brevemente :

( ) ( )

n ma mn

a

an a n

n b n a n b a

ab n bn

an

m an n m a

m an am an

m an am an

a a a

=

− =

=

÷

=

⋅

= ⋅

= −

÷

= +

⋅

=

=



 



 1 1

1 0

INDICE

Così come abbiamo fatto per la funzione logaritmo andiamo a rappresentare il grafico che esprime il comportamento di qualsiasi esponenziale nei casi suddetti :

Quindi se abbiamo per es : 2^x =16 ⇒ 2^x =2⁴ ⇒ x =4

Es : 2^x+1 +2^x =48 ⇒ 2^x⋅2¹+2^x =48 ⇒

(

)

3 2⋅ ^x = ⋅3 2⁴

3 2 3 3

2

3⋅ = ⋅ ⁴

⇒ ^x ⇒ 2^x =2⁴ ⇒ x=4

Es : 3^x⋅2^x −216=0 ⇒

( )

Es : 10^{3 x} = 10^{x−3 ( )2}

3

3 10

10

= −

⇒ ^{x x}

2 3 3

= −

⇒ x x

2x=3x−9 ⇒ x =9

y y =a^x y y =a^x

( a>1 ) ( 0< <a 1) 1 1

x x

INDICE

Es :

4 3 1

2 3 3

2 ^{+ +}



 



= 



 



 ^{x x 1 3 4}

2 3 2

3 ^{− − +}



 



= 



 



⇒ 

x x

4 3

1= +

−

−

⇒ x x

4

−5

=

⇒ x

Es. 3 8⋅ ^2x−1 =384 ⇒ 3⋅8^2x ⋅8⁻¹ =384 384 8

8 3⋅ ² =

⇒ ^x

3 384 8

8² = ⋅

⇒ ^x

8^2x =128 8⋅ ⇒ 8^2x =2^{10 ⇒}

( )

3

=5

⇒ x

Anche per le equazioni esponenziali così come per i logaritmi esiste il caso particolare :

Es : 2^2x+1− ⋅3 2^x + =1 0 ⇒ 2¹⋅2^2x −3⋅2^x +1=0 e posto 2^x = t

2t² − + =3t 1 0





 +

=

⇒ =

= ±

−

= ±

⇒

1 12 4

1 3 4

8 9 3

2 1

12

t t t

di qui si ha che : 2 1 2

2 1

x

x

=

= +

⇒ 2 2

2 2

2

1 2

0 x x

=

=

log

⇒ 0

2 log₂ 1

=

= x x

Nota Bene : vogliamo ricordare che dalla definizione di logaritmo sarà che :

n a

n a

a n

an

=

= log

log

INDICE

DISEQUAZIONI ESPONENZIALI

Il procedimento di risoluzione delle disequazioni esponenziali non si discosta dallo schema usato per le equazioni. E’ evidente che la risoluzione consisterà in intervalli nei quali varierà la variabile x.

Vogliamo ricordare inoltre che per disequazioni , la cui base sia minore di uno, al momento di eliminare la base stessa bisognerà cambiare il verso alla disequazione.

Es : 2^x+2 ≥32 ⇒ 2^x+2 ≥2⁵ ⇒ x+2≥5 ⇒ x≥3

Es : 4^x−6 ≤64 ⇒ 4^x−6 ≤4³ ⇒ x− ≤6 3 ⇒ x≤9

Es : 8 2⋅ ^x > ⋅81 3^x−1 ⇒ 2³⋅2^x >3⁴⋅3^x−1 ⇒ 2³⋅2^x > ⋅ ⋅3⁴ 3^x 3⁻¹

2 3

3

2 3

4

3 x x >

⋅

3

2 3 3

2 



 



>



 



⇒ 

x

3

2 3 2

3 



 



>



 



⇒ 

−x

⇒ −x>3 3

9

INDICE

x< −3

allo stesso modo potevamo risolvere : 2 3

2 3

 3

 

 >

 



− x

−3

<

⇒ x

Es : 3^{− −x 2} ≥81 ⇒ 3^−x−2 ≥3⁴ ⇒ −x−2≥4 ⇒ x≤ −6

opp. 1 3

1 3

2 4

 

 ≥  



+ −

x

⇒ x+2≤−4 ⇒ x≤−6

Per il caso particolare si ha :

3^2x −3^x+1+ >2 0 ⇒ 3^2x −3⋅3^x +2>0 e posto 3^x =t si ha :

t²− + >3t 2 0 ⇒

( ) (

)

(

) (

)

e quindi risolvendo tale disequazione fattoriale si ha :

( )

(

)

0

3 ⇒ >

>

⇒

>

−

>

⇒

>

⇒

>

−

x x

x x

x x

- 3

- 6

INDICE

e quindi

per cui si ha x <0 , x>log₃2.

IL VALORE ASSOLUTO

Considerato n un qualsiasi numero reale, con la scrittura :

n che si legge “ valore assoluto di n ”

intendiamo rappresentare il numero stesso, se n ≥0 , oppure l’opposto se n≤0 .

In sostanza avremo :







<

⇒

−

=

≥

⇒

=

0 0 n n

n

n n

n

es.







=

−

= +

5 5

5 5

Allo stesso modo quindi tratteremo di un polinomio :

0 log₃2

+ - +





<

−

⇒ ≥

0 ) ( )

(

0 ) ( )

) (

( A x se A x

x A se x

x A A

INDICE

E quindi se dobbiamo risolvere un’equazione del tipo :

2x− ⋅ − +3 x 2 3x− =4 0 avremo che :

1) ^2x− ⋅ − +³

(

)

(

)

E quindi risolvendo la prima :

1) 2x =−2→x=−1 da verificare nell’intervallo x≥2 e quindi non accettabile.

Infatti  →

2)

54 10

8x= ⇒ x= da verificare nell’intervallo x <2 e quindi accettabile.

-1 2

4

5 2

INDICE

Es : 2+ + +x 4 3x− +2 3x− =3 0

1) ²+ + +

(

)

(

)

+ ≥

− ≥





4 0

3 3 0

2) ²+ + +

(

)

(

)

+ >

− <





4 0

3 3 0

3) 2+ − − +

(

)

(

)

+ <

− >





4 0

3 3 0

4) 2+ − − +

(

)

(

)

+ <

− <





4 0

3 3 0

Da cui risolvendo avremo che :

1)

17 0

1

7x+ = ⇒ x=− da verificare in x x

≥ −

≥



 4 1

soluzione non accettabile .

-4 -1/7 +1

INDICE

2) x+7=0 ⇒ x=−7 da verificare in x x

+ >

− <





4 0

3 3 0

soluzione non accettabile

3)

5 0 7

7

5x− = ⇒ x= da verificare in x x

+ <

− >





4 0

3 3 0

equazione priva di significato poiché :

4) −x−1=0 ⇒ x =−1 da verificare in x x

+ <

− <





4 0

3 3 0

non accettabile

Nel caso precedente, e più in generale, quando ci troviamo a discutere due o più valori assoluti possiamo comportarci come segue :

2+ + +x 4 3x− +2 3x− =3 0 andiamo a discutere simultaneamente i due valori assoluti ; e cioè :

x x

+ ≥

− ≥

4 0

3 3 0 oppure x x

+ ≤

− ≤

4 0

3 3 0 ( per comodità assumeremo il 1° schema) -4 +1

-4 +1

-4 -1 +1

INDICE

e quindi : x x

≥ −

≥ + 4

1 tali risultati singoli li riporteremo in uno schema tipico delle disequazioni fattoriali.

nella linea riassuntiva finale avremo gli intervalli che ci indicheranno dove studiare l'equazione data , con i relativi segni assunti dai valori assoluti.

E quindi sarà :

2− − +x 4 3x− −2 3x+ =3 0 per x ≤ −4

2+ + +x 4 3x− −2 3x+ =3 0 per − < < +4 x 1

2+ + +x 4 3x− +2 3x− =3 0 per x > +1

Riassumendo quindi si ha :

1) − − =x 1 0 per x≤ −4

2) x+ =7 0 per − < < +4 x 1

3) 7x+ =1 0 per x≥ +1

e cioè gli stessi risultati a cui siamo arrivati precedentemente.

N .B. I segni di uguaglianza tra i vari intervalli possono essere considerati indistintamente appartenenti all’una o all’altra equazione.

-4 +1 + - +

INDICE

RISOLUZIONE DI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI PER VIA GRAFICA

Vogliamo verificare se esiste, oltre il metodo di risoluzione algebrico, un altro tipo di risoluzione per le equazioni e le disequazioni.

Tale metodo viene definito per via grafica intendendo con ciò il confronto di due grafici ognuno dei quali rappresentato da rispettive espressioni ai due membri di un’equazione o di una disequazione.

La suddivisione dei termini che portano al confronto tra tali espressioni avviene in modo del tutto arbitrario, preferendo comunque la forma più semplice possibile. Si tratterà quindi di confrontare e leggere il risultato che si otterrà .

Es : risolvere

0 1 4 3 ²

3− x + x− =

x come si può notare da una analisi immediata il polinomio non è scomponibile tramite Ruffini per valori interi della x.

Ecco quindi che si rende necessario uno studio dell’equazione diverso dal metodo algebrico e si procede di conseguenza col metodo grafico.

Separiamo in maniera del tutto arbitraria i termini dell’equazione :

x³ =3x² −4x+1

Rappresenteremo di conseguenza i grafici delle rispettive funzioni :

1 4 3 ²

2 3 1

+

−

=

=

x x y

x y

INDICE

La soluzione dell’equazione è rappresentata dall’ascissa del punto di intersezione dei due grafici .

E quindi : x =a con 0<a<1 .

Allo stesso modo per la corrispondente disequazione : x³−3x² +4x−1>0

x³ >3x²−4x+1

per x> a con 0<a <1 .

Risulta evidente che il valore corretto di a non è valutabile se non in modo approssimato : useremo un metodo cosiddetto di interpolazione per determinare questo valore .

Valuteremo i valori che assumono le due funzioni negli estremi dell’intervallo

[

]

( ) ( )

2 1

+

=

= y

y

( )

( )

2 1

=

= y y

INDICE

( ) ( )

2 1

+

=

= y

y

4 1 2

1 8 1 2 1

2 1

−

=



 





=



 





y y

( ) ( )

2 1

+

=

= y

y

16 3 4 1

64 1 4 1

2 1

=



 





=



 





y y

ecco dunque che il valore di a rientra nell’intervallo



 2 ,1 4

1 .

Volendo approssimare con maggior precisione possiamo continuare la restrizione dell’intervallo :

16 3 4 1

64 1 4 1

2 1

=



 





=



 





y y

64 5 8

3

512 27 8

3

2 1

−

=



 





=



 





y y

ecco dunque che il valore di a rientra nell’intervallo



 8 , 3 4

1 .

INDICE

ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI ESPONENZIALI ESERCIZI SULLE EQUAZIONI ESPONENZIALI

ESERCIZI SULLE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO ESERCIZI SULLA RISOLUZIONE GRAFICA DI EQ. E DIS. RAZIONALI INTERE

Esercizi della 6°lezione di Algebra di base

GUIDA

Torna all'indice degli esercizi Nasconde le soluzioni

Visualizza le soluzioni di tutti gli esercizi Visualizza solo la soluzione dell'esercizio USO DEI PULSANTI

Torna all'indice della lezione

?

INDIETRO

RISOLVI

NASCONDI

INDICE ESERCIZI

Risolvere le seguenti equazioni esponenziali:

1. 2^x =32

2^x = 32 ⇒ 2^x = 2⁵ ⇒ x = 5

2. 5 2 5

⋅ ^x = 4

2 2 2

4 2 1

5 1 4 2 5

4 2 5

5⋅ ^x = ⇒ ^x = ⋅ ⇒ ^x = ⇒ ^x = ⁻² ⇒ x = −

3. 3^−x =27

3^−x = 27 ⇒ 3^−x = 3³ ⇒ −x = 3 ⇒ x = −3

4. 4 7⋅ ^−x =28

7 7 1 1

4 7 28

28 7

4⋅ ^−x = ⇒ ^−x = ⇒ ^−x = ⇒ −x = ⇒ x = −

5. 4 2⋅ ^x +2^x =40

( )

3

2 2

5 2 2

5 5

2 1

4 2 40

2 2

4 ^{3 3 3}

=

⇒

=

⇒

⋅

=

⋅

⇒

⋅

= +

⇒

= +

⋅

x

x x

x x

x

6. 2^x+3+2^x =72

( )

3 2

2

3 2 1

2 2 3

2 2

2 2 72

2 2

3

2 3 3

2 3 3

3

=

⇒

=

⇒

⋅

= +

⇒

⋅

= +

⋅

⇒

=

+ +

x x

x x

x x

x

?

?

?

?

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

7. 2 3

8 27



 

 =^x

3

3 2 3

2 3

2 3

2 27

8 3

2 ³

3

3  ⇒ =



 



= 



 



⇒ 

 =



 



⇒ 

 =



 



 x

x x

x

8. 3

2

16 81



 

 =^x

4

2 3 2

3 2

3 2

3 3

2 2

3 81

16 2

3 ⁴

4 4

4 4

−

=

⇒



 



= 



 



⇒ 

=



 



⇒ 

=



 



⇒ 

=



 



 ⁻

−

−

x

x x

x x

9. 2 3 1

6

x ⋅ x =

( )

6 3 1

2^x⋅ ^x = ⇒ ⋅ ^x = ⁻¹ ⇒ ^x = ⁻¹ ⇒ x = −

10. 2 5 5

2

x ⋅ ⁻x =

1

5 2 5

2 5

2 5

2 2

5 5

2 2

5 5 2

1

1 1

−

=

⇒



 



= 



 



⇒ 

 =



 



⇒ 

=

⇒

=

⋅

−

−

− −

x

x x

x x x

x

11. 2^x ⋅^x 4 =8

Poiché la definizione di radicale impone come condizione di realtà la positività dell'indice : C.R. ⇒ x > 0

?

?

?

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

( )





=

⇒ =

= +

−

⇒ + =

⇒

= +

⇒

=

⇒

=

⋅

⇒

=

⋅

⇒

=

⋅

⇒

=

⋅

+

2 1

0 2

3 3 3 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

4 2 8

4 2

2 1

2 2

3 2

3 2

3 1

2 3

1

x x

x x x

x x

x x x

x x

x x x x

x x x

x

e rispettando la condizione di realtà , entrambi i valori ottenuti sono soluzione dell'equazione .

12. 5

5 1 5^x−3⋅^x =

Poiché la definizione di radicale impone come condizione di realtà la positività dell'indice : C.R. ⇒ x > 0

1 0

1 1 2

3

1 1 3 5

5 5

5 5 5

5 1 5

12 2

2

1 3 1

1 1

3 3

=

⇒

= +

−

− ⇒ + =

⇒ −

−

= +

−

⇒

=

⇒

=

⋅

⇒

=

⋅ ^{− − −+ −}

−

x x

x x x x

x x

x x

x x x x

x x

che esprime la soluzione dell'equazione .

13. ^2x−12 = ^x+12

Poiché la definizione di radicale impone come condizione di realtà la positività dell'indice :

C.R.







−

>

⇒ >

 ⇒



>

+

>

⇒ −

1 2 1 0

1

0 1

2

x x x

x

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

E quindi :

2

> 1 x

( )( ) ( )( )

2 0

2

1 1 2

1 2 1

1 2

1 1

1 1

2 2 1

2 2

2 ¹

1 1

2 1 1

1 2

=

⇒

=

−

⇒

+

−

= − +

−

⇒ +

= +

⇒ −

=

⇒

= ^{+ − +}

−

x x

x x

x x

x x x

x

x x x

x

che esprime la soluzione dell'equazione .

14. 3

3 2 2

4^x⋅ ^x+1⋅ ^x−1 =

( )

0 24

24

1 24

1 3

8 1

3 2 1

3 2

3 2 3

3 2 2 3

3 2 3 2 2 3 2

3 2 2 4

0

3 3

3 1

2 1

1

=

⇒

=

⇒

=

⇒

=

⋅

⇒

=

⋅

⇒

=

⋅

⇒

⋅ =

⇒ ⋅

=

⋅

⋅

⋅

⋅

⇒

=

⋅

⋅ ^{+ − −}

x x

x x

x x x

x x

x x x

x x x

x x

15. 2^x ⋅2^x+1 =8

1 3

1 2

2 2

2 2

2 2 8

2

2 ^{1 3 2 1 3}

=

⇒

= +

⇒

=

⇒

=

⋅

⋅

⇒

=

⋅ ^{+ +}

x x

x x

x x

x

-1 2 1

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

16. 3^2x −5⋅3^x +6=0

( )







=

⇒ =







=

⇒ =







=

=





=

⇒ =

= +

−

⇒

=

= +

⋅

−

⇒

= +

⋅

−

=

1 2 log

3 3

3 log 3

3 3

2 3

3 0 2

6 5

3 0

6 3 5 3 0

6 3 5 3

3

32 log 1

2 1 2 2

x x

che n ricordando cui

da

ndo risostitue t e

t t t

t posto

x x

x x x x

x x

x

a a

n

17. 5^2x−5^x −6=0

( )

( )





= ℜ

∈

⇒ ∀/







=

⇒ =







=

−

=





=

−

⇒ =

=

−

−

⇒

=

=

−

−

⇒

=

−

−

= −

3 log

5 5

5 5

log

3 5

2 5

3 0 2

6

5 0

6 5 5 0

6 5 5

5

1 2 1

2 2

53 log

5 2 log

x x

che n ricordando cui

da

ndo risostitue t e

t t t

t posto

x x

x x x

x x x

x

a a

n

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

18. 5^2x−3⋅5^x −4=0

( )

( )





= ℜ

∈

⇒ ∀/







=

⇒ =







=

−

=





=

−

⇒ =

=

−

−

⇒

=

=

−

⋅

−

⇒

=

−

⋅

−

= −

4 log

5 5

5 log 5

4 5

1 5

4 0 1

4 3

5 0

4 5 3 5 0

4 5 3 5

5

1 2 1

2 2

54 log

5 1 log

x x

che n ricordando cui

da

ndo risostitue t e

t t t

t posto

x x

x x x x

x x

x

a a

n

19. 7 7⋅ ^2x− ⋅50 7^x + =7 0





=

−

⇒ =







=

⇒ =







=

=







=

⇒ =

= +

−

⇒

=

⇒

= +

⋅

−

⋅

−

1 1 7

7

7 7

7 7

7 7 1

7 7 1 0

7 50 7

7 0

7 7 50 7 7

1

1 2 1

2

x x

ndo risostitue e

t t t

t

t posto

x x

x x x

x x

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

20. 3⋅2^4x−5⋅2^2x +2=0

( )







=



 



= 

 ⇒





=



 



= 

⇒









=



 





=

⇒







=

=







=

⇒ =

= +

−

⇒

=

= +

⋅

−

⋅

⇒

= +

⋅

−

⋅

=

0

3 log 2 2 1 0

2

3 log 2 2

2 2

2 log 2

1 2

3 2 2

1 3 2 0

2 5 3

2 0

2 2 5 2

3 0

2 2 5 2 3

2 2

2 2

2 2

1 1 2

2 2 2

2 2

4

0 3 2 log2

x x x

x

che n ricordando cui

da

ndo risostitue e

t t t

t

t posto

x x

x x x x

x x

x

a a

n

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali:

21. 32

2 1 <



 



 ^x

2 2 2 5 5

2 32 1

2

1 _{5 5}

−

>

⇒

<

−

⇒

<

⇒

 <



 



⇒ 

 <



 



 −

x

x x

x x

22. 128

4 1 >



 



 ^x

2 7

2 2

2 2 2 1

2 128 1

4

1 _{7 2 7}

2 7

2

−

<

⇒

>

⇒

 >



 



⇒ 

 >



 



⇒ 

 >



 



 −

x

x x

x x

23.

243 1024 4

3 ³

>



 



 ^x

3 5 5

3

4 3 4

3 3

4 4

3 3

4 4

3 243

1024 4

3 ^{3 5 3 5}

5 3 5

3

−

>

⇒

−

<

⇒



 



> 



 



⇒ 



 



> 



 



⇒ 

 >



 



⇒ 

 >



 



 ⁻

x x

x x

x x

24. 3 2

32 243



 

 >^x

5

2 3 2

3 3

2 2

3 243

32 2

3 ⁵

5

5  ⇒ > −



 



> 



 



⇒ 

>



 



⇒ 

>



 



 ⁻

x

x x

x

?

?

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

25. 2^x+1+2^x >48

( )

4 3

2 3

2

3 2 1

2 2 3

2 2

2 2 48

2 2

4

4 4

1

>

⇒

⋅

>

⋅

⇒

⋅

>

+

⇒

⋅

>

+

⋅

⇒

>

+ +

x x

x x

x x

x

26. 2^x−1⋅5^x+1 <25

1 10

10 5

2 5

2

2 5 5 5 2

5 5 2 2 25

5

2 ^{1 1 1 2}

<

⇒

<

⇒

⋅

<

⋅

⇒

⋅ <

⇒

<

⋅

⋅

⋅

⇒

<

⋅ ^{+ −}

−

x x

x x

x x x

x x

x

27. ^x

x

x − −

+  ≥ ⋅



 



+ ¹

1 8 7

7 7 1

( )

2 1

1 2

7 7

7 8 8

7 7 7 1 8

7 7

7 7 2 7

7 7 7

2 7

7 7

7 8 7 1

2 2

3 1

3 1

1 1

≥

⇒

≥

⇒

≥

⇒

⋅

≥

⋅

⋅ ⇒

≥ +

⇒

⋅

⋅

≥ +

⋅

⇒

⋅

≥ +

⇒

⋅

 ≥



 



+ ^{− − + − −}

+

x

x x

x x

x

x x

x x

x x x

x x

si noti come nella disequazione esponenziale fratta si sia trascurata la discussione del denominatore in quanto termine sempre positivo .

?

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

28. 5^x⋅^x 5 >25

Poiché la definizione di radicale impone come condizione di realtà la positività dell'indice : C.R. ⇒ x > 0

{}

0 1

2 2 1

1 2 5

5 5

5 5 25

5 5

2 2

2 1

2 1

− ℜ

∈

∀

⇒

>

+

−

⇒ + >

⇒

>

+

⇒

>

⇒

>

⋅

⇒

>

⋅ ⁺

x x

x x x x

x

x x

x x x x

x x

anche in questo caso nella disequazione razionale fratta abbiamo trascurato la discussione del denominatore in quanto termine positivo ( vedi condizione di realtà ) . Quindi l'insieme soluzione della disequazione iniziale è dato da : x > 0 , x ≠ 1 .

29. 2^2x − ⋅5 2^x + <4 0

( )

2 0

2 2

2 )

. (

4 2

1 4

1 0

4 5

2 0

4 2 5 2 0

4 2 5 2

2 0

2 2 2

<

<

⇒

<

<

⇒

<

<

<

<

⇒

<

+

−

⇒

=

<

+

⋅

−

⇒

<

+

⋅

−

x potenze

prop cui

da

ndo risostitue e

t t

t

t posto

x

x x

x x

x x

30. 3

1 3 3^x + 1_x >

ℜ

∈

∀

⇒ ℜ

∈

∀

⇒

<

−

=

∆

⇒

>

+

−

⇒

=

⇒

>

+

−

⋅

⇒

>

+

−

⇒ + >

⇒

>

+ ⁺_{+ +} ⁺

x t

t t t

posto ^x

x x

x x x

x x

x x

x

0 35

0 3

3 3

0 3

3 3 3

0 3

3 3 3

3 3

3 3

3 1 3

3 1

2 2

1 2 1

1 1 2

?

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni in valore assoluto.

31. x² −5x + =4 0





<

−

=

−

⇒ =





<

= + +





≥

=

⇒ =





≥

= +

−

⇒

= +

−

0

4 ,

1 0

0 4

) 5

0

4 ,

1 0

0 4

) 5 0

4 5

2 1

2

2 1

2

2

x

x x

x x b x

x

x x

x x a x

x x

da cui per i rispettivi sistemi :

e quindi le soluzioni dell'equazione : x = ±4 , x = ±1 .

32. x² +4x − =5 0





<

<

− ℜ

∈

⇒ ∀/







<

+

=

−

−

−





≥

−

≤

−

=

⇒ =







≥ +

=

− +

⇒

=

− +

0 0 4

4

0 5

) 4

0 ,

4

5 ,

1 0

4

0 5

) 4 0

5 4

2 2

2 1

2 2

2

x x x

x

x b x

x x

x x

x x

x a x

x x

da cui per i rispettivi sistemi :

e quindi le soluzioni dell'equazione : x = −5 , x = +1 . 0 +1 +4

U

-4 -1 0

-5 -4 0 +1

U

-4 0

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

33. x² −3x− =2 0









<

+

= −

−

= −

 ⇒



<

−

=

− +







≥

=

=

 ⇒



≥

−

= +

−

⇒

=

−

−

3 2

2 17 , 3

2 17 3 0

2 3

0 2

) 3

3 2

2 ,

1 0

2 3

0 2

) 3

0 2

3

2 2 1

2 1

2

2

x

x x

x x b x

x

x x

x x a x

x x

da cui per i rispettivi sistemi :

e quindi le soluzioni dell'equazione : , 1 , 2

2 17

3± = + = +

= − x x

x

34. (x+1)²−3x+ =1 0

( )

( )

( )





−

<

−

=

−

⇒ =





<

+

= +

⇒ +





<

+

= + + +





−

≥

=

−

⇒ =





≥ +

=

−

⇒ −





≥ +

=

−

− +

⇒

= +

− +

1

4 ,

1

0 1

0 4

5 0

1

0 3

3 ) 1

1

2 ,

1

0 1

0 2

0 1

0 3

3 ) 1

0 1

3 1

2 1

2 2

2 1

2 2

2

x

x x

x x x x

x b x

x

x x

x x x x

x a x

x x

da cui per i rispettivi sistemi :

e quindi le soluzioni dell'equazione : x = −4 , x = −1 , x = +2 3

+2 +1 +2

U

2 17 3−

−

2 17 3+

−

3 +2

-1 +2

U

-4 -1

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

35. 2x x+ −3 2 3( x+ + =5) x 0

( )

( )

( )







−

<

+

= −

−

=−

⇒





<

+

=

−

−

⇒ −





<

+

= +

−

−

−

−







−

≥

=

−

⇒ =





≥ +

=

−

⇒ +





≥ +

= +

−

− +

⇒

= + +

− +

3

4 41 , 11

4 41 11

0 3

0 10

11 2

0 3

0 10

6 3 ) 2

3

2 2 ,

5 0

3

0 10

2

0 3

0 10

6 3 ) 2

0 5

3 2 3 2

2 1

2

2 1

2

x

x x

x

x x x

x x

x b x

x

x x

x x x x

x x

x a x

x x

x x

da cui per i rispettivi sistemi :

e quindi le soluzioni dell'equazione : , 2

2 , 5

4 41

11− = − = +

= − x x

x .

-3 2

−5 +2

U

4 41 11−

− -3 4

41 11+

−

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

36. 2x x( + −3) 2 3( x+ + =5) x 0

( ) ( )

( )

( )







<

+

= −

−

= −

⇒





<

=

−

−

⇒ −





<

=

−

−

− +

−







≥

=

−

⇒ =





≥

=

−

⇒ +





≥

= +

−

− +

⇒

= + +

− +

0

4 89 , 13

4 89 13

0

0 10

13 2

0

0 10

6 3 ) 2

0

2 2 ,

5 0

0 10

2

0

0 10

6 3 ) 2

0 5

3 2 3 2

2 1

2

2 1

2

x

x x

x

x x

x

x x

x b x

x

x x

x x x x

x x

x a x

x x

x x

da cui per i rispettivi sistemi :

e quindi le soluzioni dell'equazione : , 2

4 89

13± = +

= − x

x .

37. x−3(x+3)− x− (x+ )+ x− = 5

2 2

15

2 1

3 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

(

) (

)

3 3

15 0 15

1 2 5 2 2 3

3 0 3

3 1 2 15

2 2 5

3 3

=

− + +

−

− +

−

⇒

− = + +

−

− +

⇒ −

− = + +

− − +

−

x x

x x

x

x x

x x

x x x

x x

x

2

−5 0 +2

U

4 89 13−

−

4 89 13+

− 0

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

Discutiamo quindi il segno degli argomenti dei singoli valori assoluti :

2 3 0

2

0 3

≥

⇒ ≥

≥

−

≥

−

x x x

x , e tramite rappresentazione grafica :

Riassumendo l'equazione iniziale è del tutto equivalente a :

^3x−3

(

)

(

) (

)

⇒

( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )





>

=

−

⇒ +





>

=

− + +

−

− +

−





≤

<

= + +

⇒ −





≤

<

=

− + +

−

− + +

−





≤

= + +

⇒ −





≤

=

− + + +

−

− + +

−

3

0 28

10 2

3

0 1

2 5 2 2 3

3 ) 3

3 2

0 26

10 4

3 2

0 1

2 5 2 2 3

3 ) 3

2

0 18

10 2

2

0 1

2 5 2 2 3

3 ) 3

2 2

2

x

x x

x

x x

x x

c x

x x x

x

x x

x x

b x

x

x x

x

x x

x x

a x

2 3

- + + - - +

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

⇒





>

=

−

⇒ =





>

=

− +







≤

<

= +

= −

 ⇒



≤

<

=

−

−







≤

= +

= −

 ⇒



≤

=

−

−

3

2 ,

7 3

0 14

) 5

3 2

4 129 , 5

4 129 5

3 2

0 13

5 ) 2

2

2 61 , 5

2 61 5 2

0 9

) 5

2 1

2

2 1

2

2 1

2

x

x x

x x c x

x

x x

x x b x

x

x x

x x a x

da cui per i rispettivi sistemi :

⇒

e quindi le soluzioni dell'equazione :

2 61 5−

=

x .

-7 2 3 2

61 5−

2 2

61 5+

4 129 5−

2 3 4

129 5+

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

38. 3 1 2

2 1

3 2 x

x

x x +

− − +

− =

Discutiamo quindi il segno degli argomenti dei singoli valori assoluti :

1 2 0

1

0 2

>

⇒ >

>

−

>

−

x x x

x , e tramite rappresentazione grafica :

Riassumendo l'equazione iniziale è del tutto equivalente a :

3 1 2

2 1

3 2 x

x

x x +

− − +

− =

⇒





>

=

⇒ +







>

− =

− +

− +





<

<

=

−

⇒ −







<

<

− =

− +

− +





<

=

−

⇒ −







<

− =

− +

− +

2 0 5

2

2 3 1

2 2

1 3 )

2 1

0 4

13 11 2

1

2 3 1

2 2

1 3 )

1

0 12

13 7

1

2 3 1

2 2

1 3 )

2 2 2

x x x x

x x x

x c

x x x

x x x x x b

x

x x

x

x x x x a

1 2

- + + - - +

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA