ESERCITAZIONE 4 (17/11/2017)
1. Dimostrare che il metodo di Gauss-Seidel applicato al sistema Ax = b con
A =
3 2 −1 1 3 −1 0 2 3
, e b =
1 0
−1
`
e convergente. Calcolare i primi due passi del metodo usando come vettore iniziale x0 = [1, −1, 0]T.
Soluzione.
D =
3 0 0 0 3 0 0 0 3
, E =
0 0 0
−1 0 0
0 −2 0
, F =
0 −2 1
0 0 1
0 0 0
BG−S = (D − E)−1F =
0 −2/3 1/3
0 2/9 2/9
0 −4/27 −4/27
essendo ρ(BG−S) = 272 < 1 il metodo di Gauss-Seidel converge.
Le prime due iterate sono:
x(1) = 1, −1
3, −1 9
T
, x(2) =14 27, −17
81, − 43 243
T
. 2. Data la matrice
A =
2 0 0 α
0 α 1 0 0 1 α 0
α 0 0 2
trovare i valori del parametro α tali che:
• A `e non singolare;
• A `e definita positiva;
• i metodi di Jacobi e Gauss-Seidel convergono.
Soluzione.
• det(A) 6= 0 per α 6= ±1, ±2;
• essendo A simmetrica, sar`a definita positiva quando tutti i suoi autovalori sono positivi. Si trova quindi che A `e definita positiva per 1 < α < 2;
1
• i metodi di Jacobi e Gauss-Seidel convergono per 1 < α < 2.
3. Data la matrice
A =
β 1/2 0
1/2 β 1/2
0 1/2 β
determinare i valori del parametro β tali che:
• A `e non singolare ;
• A `e definita positiva;
• il metodo di Jacobi converge.
Fissato β = 2 si calcolino le prime due iterate del metodo di Jacobi in corrispondenza al termine noto e al vettore iniziale
b = (8, 3, 4)T, x = (0, 0, 0)T .
Soluzione.
• A `e non singolare per β 6= 0, ±√12;
• A `e definita positiva per β >
√ 2 2 ;
• il metodo di Jacobi converge quando ρ(BJ) < 1.
Nel caso del metodo di Jacobi la matrice d’iterazione B `e data da D−1(E + F ) e nel nostro caso sar`a
BJ =
1/β 0 0
0 1/β 0
0 0 1/β
·
0 −1/2 0
−1/2 0 −1/2
0 −1/2 0
=
0 −2β1 0
−2β1 0 −2β1 0 −2β1 0
e si ha che ρ(BJ) < 1 per β > √1
2. Fissato β = 2, le prime due iterate sono
x(1) = (4, 3/2, 2)T, x(2) =
29 8 , 0,13
8
T
.
2
