Analisi Stocastica – Foglio di esercizi n. 8

Analisi Stocastica – Foglio di esercizi n. 8

Esercizio 1 (Processo di Ornstein-Uhlenbeck). Dato un moto browniano reale B = {B_t}_t≥0, introduciamo il processo stocastico V = {V_t}_t≥0 definito da

V_t := e^−bt

 x + σ

Z t 0

e^budB_u

 ,

dove b, σ > 0 e x ∈ R. Si noti che l’integrando `e deterministico, per cui l’integrale stocastico `e un integrale di Wiener. In particolare, V `e un processo gaussiano (vedi foglio di esercizi n. 6).

(a) Si mostri che V `e un processo di Itˆo, calcolandone il differenziale stocastico. Si mostri in particolare che V risolve l’equazione differenziale stocastica

(dV_t = σ dB_t − b V_tdt

V0 = x .

(b) Si mostri che E(V_t) = x e^−bt e Cov(V_s, V_t) = ^σ_2b² (e^−b(t−s)− e^−b(t+s)), per s < t.

(c) Sia U = {U_t}_t≥0 il processo definito da Ut := e^−bt



x + σ

√2b(B_e^2bt− B1)

 . Si mostri che i processi U e V hanno la stessa legge.

Esercizio 2. Sia B = {B_t}_t≥0 un moto browniano reale e siano a, b > 0 e θ ∈ R.

Introduciamo il processo X = {X_t}_t≥0 definito da

X_t = e^12θ2t cos θ(B_t− ^b−a₂ )
. (a) Si dimostri che X `e una martingala.

(b) Indicando con τ := inf{t ≥ 0 : Bt6∈ (−a, b)} il tempo di uscita di B dall’inter- vallo (−a, b), si spieghi perch´e si ha X_τ = e^12θ2τcos(θ(^a+b₂ )).

(c) (*) Si assuma che E(e^12θ2τ) < ∞. Si mostri che si pu`o applicare il teorema d’arresto a X e si deduca che

E(e^12θ2τ) = cos(θ(^a−b₂ )) cos(θ(^a+b₂ )).

Ricordiamo la formula di Itˆo per funzioni dipendenti dal tempo: se X `e un processo di Itˆo reale e se Φ = Φ(t, x) `e una funzione da R⁺× R → R di classe C¹in t e C² in x, si ha

dΦ(t, X_t) = ∂Φ

∂t(t, X_t) dt + ∂Φ

∂x(t, X_t) dX_t + 1 2

∂²Φ

∂x²(t, X_t) dhXi_t.

Ricordiamo anche la formula di integrazione per parti: se X, Y sono processi di Itˆo reali, con differenziali stocastici dXt= ϕ^X_t dBt + ψ_t^Xdt e dYt= ϕ^Y_t dBt + ψ_t^Y dt, si ha

d(XtYt) = XtdYt + YtdXt + ϕ^X_t ϕ^Y_t dt .

Ultima modifica: 9 gennaio 2010.