Per he gli oggetti non si dilatano
in un universo in espansione?
Il problema
Quando si parla di espansione dell'universo viene spesso sollevata un'obie-
zione: se tutto si espande, ome possiamo a orger ene? La risposta e he la
premessae falsa: none vero he tutto si espande.
Piu pre isamente: l'espansione e un fenomeno valido su s ala osmologi a,
ma non valido per singole regioni di spazio-tempo dove siano presenti on en-
trazionidimateria(es. unagalassia)etantomenoper singolioggetti,peres.un
atomo o un orpo ma ros opi o.
In realta 'e una di erenza tra i due asi: nel primo i si basa sul fatto
he ilmodelloLFRW vale per un universo omogeneo, mentre bisogna aspettarsi
deviazioni lo ali in presenza di disomogeneita. Non onos o al oli espli iti in
materia, enon e di questo he voglio o uparmi.
Ilse ondo aso, per separarlo dal primo, va enun iato os: dimostrare he
an he in un universo omogeneo un singolo oggetto \a s ala umana" (un'astro-
nave, o an he un'asta rigida, per non dire di un oggetto mi ros opi o ome un
atomo) non si a orge dell'espansione, he su queste s ale spaziali e del tutto
tras urabile per intervalli di tempo ragionevoli. In altreparole: per ontrastare
l'espansioneo orronoforze minus ole, hepossonoessereprodottedadeforma-
zioni altrettanto minus ole negli oggetti.
Farooraunmodellos hemati odelproblema,nelqualeepossibiledareuna
stima quantitativa.
Un modello sempli e
Consideriamoduemasse uguali ollegate daun loe situatein unaregione
intergalatti a, dove solo gli e etti medi della urvatura sono sensibili.
Se non i fosse il lo, o se questo fosse in nitamente debole, ias una delle
duemasseseguirebbeunageodeti adellageometriadiLFRW.Peres.potrebbero
essere ferme nel rif. omovente, ma allora in un universo inespansione le masse
si allontanerebbero una dall'altra e il lo dovrebbe aumentare di lunghezza nel
tempo. In queste ondizioni un lo di elasti ita nita appli herebbe alle due
masse due forze opposte, he le farebbero deviare dalle geodeti he.
Esistonoperoan hegeodeti henon\ omoventi,"in uiladistanzatraidue
orpipuovariareinmododiverso. Ilprimopassoperlarisoluzionedelproblema
onsiste nel determinarequeste geodeti he.
LageometriaLFRWeunageometriaasezionispazialiomogeneeeisotrope.
Seguiroquilenotazionidi[1℄,eiriferimenti(formule,n.dipag.) sonoallostesso
link.
Comeespressione della metri a assumo la (16{8):
d
2
=dt 2
R 2
d
2
+ 2
d#
2
+sin 2
#d' 2
(1)
dove t e il tempo osmi o, la oordinata radiale, # e ' oordinate angolari.
Questenonentranoingio o,inquantosonointeressatosoloageodeti heradiali,
dove entrambe restano ostanti e possono essere prese = 0. Ho an he fatto la
s elta( )= , orrispondente asezionispaziali piatte,se ondoil modellooggi
prevalente. Inoltre R (parametro di s ala) dipende solo da t. L'origine della
oordinata radiale sara presa in un punto opportuno (v. appresso).
Ladistanzatraduepuntisuunastessasezionespaziale(stessat),unopreso
ome origine( =0,#=0, '=0) el'altro he hasolo 6=0,e
`=R (t) : (2)
Come vedremo tra po o, le urve lungo le quali sono ostanti le tre oordinate
spaziali ,#,'sonogeodeti he. Le hiamerogeodeti he omoventi. Vistala(2),
lungounageodeti a omoventela distanza`varia on t a ausa dell'espansione.
Mi onverra usare la vera de nizione del parametro dis ala:
a(t)=R (t)=R
0
(3)
dove l'indi e
0
sta a indi are i valori al tempo presente t
0
. Di onseguenza, al
posto di usero
`
0
=R
0
(4)
e la metri a si s rivera
d
2
=dt 2
a 2
d`
0 2
: (5)
Come , an he `
0
e ostante su una geodeti a omovente. Inve e su una
generi a geodeti a `
0
non sara ostante, ome non sara ostante . La distanza
propria`dall'originesuunageodeti a omoventesis rive,usandole(2),(3),(4):
`=a(t)`
0
: (6)
Da qui si ri ava l'interpretazione si a della ordinata `
0
di un dato punto P
dello spazio-tempo:
{ si prende lageodeti a omovente he passa per P
{ su questa geodeti asi prende il punto P
0
he ha t=t
0
{ `
0
e la distanza di P
0
dall'origine.
Dalla metri a (5) segue per la lagrangiana W (6{13), tras urando ome
dettole oordinate #e ':
W = 1
2
"
dt
d
2
a 2
d`
0
d
2
#
(7)
he non dipende da `
0
: ne seguela ostante del moto
a 2
d`
0
d
=q: (8)
La ostanteq aratterizzalaparti olaregeodeti a,inquantoilpuntodipartenza
edasupporredato: (t
0
;`
0
). Inparti olare,q =0de nis equella heho hiamato
\geodeti a omovente": `
0
( )= ost:
Per le geodeti he di tipo temposara 2W =1:
dt
d
2
a 2
d`
0
d
2
=1:
Sostituendoin questa d`
0
=d =q=a 2
, he deriva dalla(8), si ha
dt
d
2
=1+ q
2
a 2
: (9)
Da(8) e (9) si ottiene un'espressione per _
`
0
=d`
0
=dt lungo la geodeti a:
_
`
0
=
q
a p
a 2
+q 2
(10)
he potra essere integrata, in linea di prin ipio, ogni volta he sia nota la fun-
zione a(t).
Nota: Da qui in poi _
`
0 ,
`
0
, e . stanno a indi are derivate rispetto al tempo
osmi o t.
Avro an he bisogno di
`
0
, he ri avo derivando la (10):
`
0
=
qa_ (2a 2
+q 2
)
a 2
(a 2
+q 2
) 3=2
: (11)
A elerazione relativa di due geodeti he radiali
Tornando al modellosempli e, poniamo le due masse in due posizioni sim-
metri he, a distanza `
0
rispetto al entro del lo, he prendo ome origine
del lo resti sempre nell'origine. Per una delle masse ed `
0
varieranno nel
tempo, mentre potremo tenere, ome gia detto, sse # e ': #= '=0. L'altra
massa avra la stessa e la stessa `
0
, ma #=, '=0.
Derivando duevolte la (6) ottengo
_
`= _ a
a
`+ q
p
a 2
+q 2
(12)
`=
a
a
`+
q 3
_ a
a(a 2
+q 2
) 3=2
: (13)
Posso sempli arequeste in duemodi:
1) posso al olare tutto in t
0
2) posso assumere q 1 (logiusti hero piu avanti).
Per t =t
0
le (12), (13) diventano (tenendo presente he a(t
0
)=1):
_
`=a_`
0 +
q
p
1+q 2
`=a`
0 +
q 3
_ a
(1+q 2
) 3=2
e tras urando q 2
e potenzesuperiori:
_
`=a_`
0
+q (14)
`=a`
0
: (15)
Dis ussione
La (14) serve solo per giusti are l'ipotesi q 1. Osserviamo infatti he a_
none he H
0
(18{3) e quindi vale 7:710 27
m 1
(pag. 18{5). Se vogliamo he
le masse siano ferme ( _
` = 0) dovremo prendere q = a_ `
0
. Qualunque valore
ragionevolesi prenda per `
0
, sara sempre q 1.
La(15) mostra he
`non saramainullose lemassesono libere; maa ausa
del lo la (15) va modi ata, aggiungendovi l'a elerazione F=m dovuta alla
tensione F del lo. Sara
`=0 se F =m`
0
a.
asi ri avaderivandola (18{3) dove va usata per E(a)la de nizione (18{4)
oi valori (18{17) per gli :
E(a)= r
0:7+ 0:3
a 3
:
a=H
0 _
aE(a)+H
0 aE
0
(a)a_ =H
0 _
a[E(a)+aE 0
(a)℄
=H 2
0
aE(a)[E(a)+aE 0
(a)℄
he per t=t
0
si sempli a:
a=H
2
0
[1+E 0
(1)℄=0:55H 2
0
=3:310 53
m 2
=2:910 36
s 2
:
Usiamo la (15) per al olare l'a elerazione di una delle masse rispetto al
entro, prendendo per es. `
0
=1km:
`=2:910 33
m=s 2
:
Supponiamopurem=10 3
kg ;perannullarel'a elerazioneil lodovraeser itare
su ias una massa unaforza F =2:910 30
N.
Dato he una simile forza puo essere prodotta dal lo on allungamento
inosservabile per molti ordini di grandezza, si apis e per he in questo ome in
qualunque altro modello analogo l'espansione dell'universo non altera in modo
apprezzabile i sistemi he sono tenuti insieme da forze non gravitazionali.
[1℄ http://www.sagredo.eu/l ezio ni/ irg /
