Linguaggio matematico:

♦

♦

Linguaggio matematico:

insiemi discreti/continui

♦

♦

G

G

li

l

i i in n si

s

ie em mi i n nu um me er ri ic ci i

♦

♦

Quantificatori logici e i connettivi proposizionali che useremo

♦

♦

Linguaggio insiemistico

♦

♦

Operazioni elementari tra insiemi

Rosalba Barattero

ESERCITAZIONE N.1

23 settembre 2008

ESERCITAZIONI : martedì ore 14.30-16 , aula 506 E:mail: baratter@dima.unige.it

Homepage: http://www.dima.unige.it/~baratter

( ~

SI FA PREMENDO

ALT+126)

TEORIA : prof. Fulvio MORA

Giovedì ora 11-13, aula 509

MATEMATICA DISCRETA : etimologia da Zanichelli

♦discreto

[ vc. dotta, lat. discretu (m), part. pass. di discernere ′discer- nere ′: 1262 ca.

agg.

1 †Che sa discernere, giudicare rettamente

…†Saggio, avveduto: uomo prudente e discreto.

…

♦discernere

[vc. dotta, lat. discernere ‘scegliere (cernere) separando (dis-)’; 1262 ca.]

5 (mat.) Composto di parti separate e distinte | Detto di spazio ta- le che i sottoinsiemi costituiti da un solo punto siano tutti aperti | Detto di grandezza che può assumere solo valori separati e distinti fra loro. CONTR. Continuo.

QUALI DEGLI INSIEMI NUMERICI SEGUENTI SONO ′DISCRETI ′ ?

ù = {0,1,2,3,4,…,…}

I NUMERI NATURALI

Z

= {…-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

G

LI

I

NTERI

Q = {

^m_n ^{|m ,n∈Zen≠0}

} I R

AZIONALI

R = Q ∪{irrazionali} I

REALI

C = R ∪ …

I

COMPLESSI

ù ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R⊂ C (

INCLUSIONI TRA INSIEMI

)

R

APPRESENTAZIONE SULLA RETTA EUCLIDEA

Risposta facile: ù ^e Z sono insiemi discreti, essendo costituiti da ′parti ′ ( matematicamente si chiamano elementi ) separate.

Tra due interi c’è sempre un numero ra- zionale, ad esempio tra 1 e 2 c’è

2 1

!

0 1 2 3 4 . .

-3 -2 -1 0 1 2 3

ù

Z

Q = {

^m_n ^{|m ,n∈Zen≠0}

} I R

AZIONALI SONO UN INSIEME DISCRETO

? Ad esempio tra 0 e 1 troviamo

2 1

,

3 1

,

4 1

, … ,

n 1

con n intero maggiore di zero.

I pitagorici credevano che tutti i razionali esaurissero la retta !

Finchè non scoprirono che c’erano anche i numeri incom- mensurabili.

Così i pitagorici scoprono le grandezze incommensurabili e di conseguenza devono ammettono l’esistenza dei numeri irrazionali : la retta costituita dai razionali è piena di buchi tra un razionale ed un altro !

I razionali sono un insieme infinito discreto, che è possibile

′contare fino all’infinito′.

Se il lato misura 1, allora per il teorema di Pitagora:

2 2

2 1 2 d

1 + = =

Quindi la diagonale del qua- drato misura

2

.

E

2

non è intero, né è una frazione !

2

=1,4142……..

Tra il lato e la diagonale del

quadrato non c’è nessuna u-

nità di misura comune !

Mentre la retta è costituita da un insieme continuo di nu- meri (punti): i numeri reali R, che costituiscono un insieme non discreto ( continuo)!

C lo studieremo più avanti.

Supponiamo per assurdo che

2

sia razionale, allora si può scrivere

2

=

b

a

con a, b interi , b ≠0 e possiamo supporre di aver ridotto la frazione ai minimi termini , cioè che a e b non abbiano alcun fattore comune.

Eleviamo al quadrato: 2 =

₂² b a

⇒ 2 b

²

=a

²

(*)

⇒ 2 b

²

è pari ( divisibile per 2)

⇒ a

²

è pari

⇒ a è pari

⇒ si può scrivere a=2k, con k intero

⇒ sostituendo in (*) 2 b

²

= 4k

²

⇒ b

²

= 2k

²

⇒ b

²

è pari

⇒ b è pari

A

SSURDO

: essendo a e b pari , avrebbero il numero 2 a fattor comune, contro l’ipotesi !

Il simbolo ′⇒′ denota ′se … allora′ : vedi pag.10

PROVA :

2

non è un numero razionale

D

OMANDA

: gli irrazionali sono tutti e soli i numeri del tipo

ⁿ a

?

♣ ′QUASI′ tutti i numeri reali sono irrazionali.

♣ Altri esempi celebri di irrazionali: il numero e , il numero d’oro o sezione aurea

2 5 1+

etc.

Se passiamo alla rappresentazione decimale abbiamo:

• I razionali sono i decimali limitati ( interi o con un n° fi-

nito di cifre significative dopo la virgola) e i decimali il- limitati periodici.

• Gli irrazionali sono decimali illimitati e non periodici.

NO ! Ad esempio π =

d

C

(1770) Lambert

prova che π è irra-

zionale.

COSA STUDIAMO

IN

MATEMATICA DISCRETA ?

•

I

NATURALI E L

’

INDUZIONE

•

G

LI INTERI E LORO PROPRIETÀ

, M.C.D.,

ALGORITMO EUCLIDEO

•

L’

ARITMETICA

M

ODULARE

, G

LI INSIEMI FINITI

Z

N

•

FUNZIONI

,

RELAZIONI TRA INSIEMI

…

Rappresentazione degli insiemi

1 )

Z

= {…-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

GLI INTERI

2) Q = {

^m_n ^{|m ,n∈Zen≠0}

} I R

AZIONALI

La 1) non è corretta, essendo l’insieme Z infinito.

(Per ora non siamo in grado di scrivere ′meglio′ l’insieme Z).

Se l’insieme è finito, è invece corretto elencare tutti i suoi elementi e lo si descrive così in forma tabulare.

La 2) è corretta ed è un esempio di rappresentazione ca- ratteristica :

l’insieme viene caratterizzato scrivendo la proprietà di cui godono tutti i suoi elementi.

Si legge ′l’insieme dei numeri

n

m

tali che m, n appartengo- no a Z e n è diverso da zero′

n ∈ Z

elemento

appartenenza

insieme

ESERCIZIOC1.

Rappresentazione di insiemi

Rappresentare i seguenti insiemi, usando la forma tabulare o carat- teristica :

a) l’insieme dei numeri naturali, multipli di 3

b) l’insieme dei numeri naturali multipli di 3 e minori di 100 c) l’insieme degli interi relativi il cui valore assoluto è minore di 2 d) l’insieme dei numeri relativi pari o maggiori di 30

a) I numeri naturali costituiscono l’insieme infinito ù = {0,1,2,3,4,5,6,………}.

Scegliamo tra gli elementi di ù, quelli multipli di 3: A = {0,3,6,…}.

Ma questa forma non è tabulare, perché non abbiamo enumerato tutti gli elementi. Usiamo la forma caratteristica, evidenziando la proprietà comune a tutti gli elementi

{x ∈ U | p(x)}

Allora A = {x ∈ ù | x = 3k , k∈ù^}.

b) B = {x ∈ù | x < 100 e x = 3k , k∈ù}

= {x∈ù | x = 3k, 0≤k≤33 } (due diverse rappresentazioni ! ) c) C = {x ∈ Z | |x| < 2 }={0,1,-1} (due diverse rappresentazioni !) d) D = {x ∈ Z | x=2k, k∈ Z oppure x>30}

insieme Proprietà di tutti gli x di U

QUANTIFICATORI LOGICI

• ∀ x si legge ′per ogni x′

• ∃ x si legge ′esiste x′

∃ x si legge ′non esiste x′

ESERCIZIO 2.

QUANTIFICATORI LOGICI

E’ vero che ∀ n∈ù si ha che n²+n è pari ?

Si tratta di una proposizione, ossia di un’affermazione che può essere vera o falsa.

Iniziamo vedendo qualche caso particolare : n=0 : n²+n = 0

0 si può considerare pari essendo divisibile per 2 ( 0 è divisibile per qualsiasi numero): vero

n=1 : n²+n =2

2 è divisile per 2 : vero n=2 : n²+n =6

6 è divisile per 2 , infatti 6 = 2⋅3 : vero

Nei 3 casi esaminati la prop. è vera,ma è vera ∀n∈ù ? Se è falsa occorre provare che ∃n∈ù tale che n²+n non è divi- sibile per 2.

Se è vera occorre mostrare che ∀n∈ù, n²+n è divisibile per 2.

n²+n = n(n+1) è il prodotto di due naturali consecutivi e quindi uno dei due è pari. Sia ad es. n pari, ossia n= 2k. Allora n²+n = n(n+1) = 2k(2k+1)= 2[k(2k+1)]: vero ∀n∈ù .

ESERCIZIO 3.

QUANTIFICATORI LOGICI

a) E’ vero che ∃ n∈ ù

^*

(ù-{0}) ^{tale che n}

²

^{+n+1 è}

primo ?

b) E’ vero che n

²

+n+1 è primo

∀n∈

ù

^*

^?

a) secondo la definizione di numero primo:

n è primo se n>1 e n è divisibile solo per 1 e per sé stesso

Proviamo con n=1 : n

²

+n+1 =3 che è primo.

Stop ! La proposizione a) è vera

b) n=2 : n

²

+n+1 = 7 , che è primo : vera n=3 : n

²

+n+1 = 13, che è primo : vera

n=4 : n

²

+n+1 =21, che NON è primo (divisibile per 3 e per 7) : falsa

Poiché abbiamo trovato che esiste almeno un nu- mero

n∈

ù per cui l’affermazione ′n

²

+n+1 è primo′

è falsa, ne segue che b) è falsa !

Osservazione: La negazione di

∀n P(n) ( per ogni n è vera la proposizione P(n))

è : ∃ almeno n t.c. P(n) è falsa

CONNETTIVI PROPOSIZIONALI

Tra le particelle logiche, che connettono due proposizioni , quelle che usiamo noi sono le seguenti:

⇒ indica il condizionale ′se … allora ′

⇔ indica il bicondizionale ′se e solo se′

A⇒B ( A, B proposizioni) si legge anche ′A implica B′,

′A è condizione sufficiente per B′

A⇔B ( A, B proposizioni) si legge anche ′A equivale a B′,

′A è condizione necessaria e sufficiente per B′

Esempi

Sia n∈ ù

1. n divisibile per 6 ⇒ n pari

2. n pari ⇒ ( non implica ) n divisibile per 6 3. n divisibile per 6 ⇔ n è divisibile per 2 e per 3

2

P

ROVARE LA

1.

Sia n∈ ù

1. n divisibile per 6 ⇒ n pari

Se n è divisibile per 6 si può scrivere n=6 k,con k∈ ù.

Allora n=6k =2(3k) . E quindi n è divisibile per 2 , ossia è pari.

P

ROVARE LA

2.

Sia n∈ ù

2. n pari ⇒ n divisibile per 6 ( non implica ) per n=8 si ha : n è pari , ma n non è divisibile per 6.

P

ROVARE LA

3.

3. n divisibile per 6 ⇔ n è divisibile per 2 e per 3 Occorre provare le due implicazioni:

n divisibile per 6 ⇒ n è divisibile per 2 e per 3 n divisibile per 6 ⇐ n è divisibile per 2 e per 3

( lasciato per esercizio , insieme alla 4. )

ESERCIZIOC4.

Insiemi : sottoinsiemi, unione,intersezione

Siano dati i tre insiemi :

A= { x ∈ N | x ≤ 6 }, B= { x ∈ Z | -3 < x < 1 }, C = { x ∈ B | x < 0 }.

Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono false :

a) 0 ∈ A b) -1 ∉ B c) 0 ∈ A ∪ C

d) -1 ∈ A ∩ B e) { -2 } ∈ B ∩ C f) C ⊆ A g) { 1 } ⊆ A ∪ B

Soluzione

Scrittura tabellare dei tre insiemi:

A= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, B= { -2, -1, 0 }, C = { -2, -1 }.

0 ∈ A elemento

appartenenza

insieme

A ∪ B = { x ∈ X | x ∈ A oppure x ∈ B } UNIONE (X è l’insieme “universo” in cui A e B sono contenuti )

A ∩ B = { x ∈ X | x ∈ A e x ∈ B } INTERSEZIONE

RISPOSTE :

a)V b)F C)V d)F

e)F ({-2 } è un insieme e non un elemento : scrittura scorretta)

A ⊆ B ⇔ ∀ x ( x∈ A ⇒ x ∈ B ) INCLUSIONE

RISPOSTE :

f)F C = { -2, -1 }

⊄

A= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

perché –1 ∈ C , ma –1 ∉ A ( in questo caso nessun elemento di C appartiene ad A ,ma ne basta uno ! ) g) V { 1 } ⊆ A ∪ B è un’inclusione tra insiemi, vera, perché l’elemento 1∈A ⇒1∈A∪B ⇒ l’insieme {1} ⊆ A ∪ B

♦DA RICORDARE

A ⊆ B ⇔ ∃ almeno un x tale che x∈A e x∉B

ESERCIZIOC5.

Uguaglianza di insiemi, inclusioni

Siano A={x∈Q | x

²

-5x+6=0}, B= {x∈Q | x

³

-5x

²

+6x=0}.

Stabilire se A=B, A⊆B, B⊆A.

Due insiemi A, B sono uguali quando ∀x si ha:

x∈A ⇔ x∈B.

Equivalentemente:

A=B ⇔ A⊆B e B⊆A

• Vediamo se A⊆B :

x∈A ⇔ x∈Q e x soddisfa l’equazione x

²

-5x+6=0 ⇒ x∈Q e ( moltiplicando per x ≠0 ) x soddisfa l’equazione x(x

²

-5x+6)=0, ossia l’equazione x

³

-5x

²

+6x=0

⇒ x∈B ⇒ A⊆B

• Vediamo ora se B⊆A:

No : 0∈B perché soddisfa l’equazione x

³

-5x

²

+6x=0, ma 0∉A perché non soddisfa l’equazione x

²

-5x+6=0

Quindi A≠ B , A⊂B ( contenuto strettamente !).