INTRODUZIONE
Le leggi del moto devono descrivere i moti di particelle e corpi nello spazio tridimensionale.
L’estensione dei concetti cinematici di spostamento, velocità, accelerazione nello spazio a tre dimensioni necessitano di strumenti formali opportuni: i vettori.
Le leggi dinamiche della traslazione e della rotazione si esprimono più rigorosamente e sinteticamente in termini di grandezze vettoriali, piuttosto che di relazioni scalari (fra numeri).
Questo fatto è inoltre la prova dell’esistenza di simmetrie di traslazione e rotazione dello spazio fisico.
Si introduce il vettore come strumento di rappresentazione di grandezze fisiche spaziali con le sue proprietà formali.
Si definiscono le principali operazioni fra vettori, scoprendo che hanno, a volte, proprietà molto diverse delle corrispondenti operazioni fra quantità scalari (numeri).
VETTORI E SCALARI
Il cambiamento di posizione di una particella nello spazio viene detto spostamento della particella
Lo spostamento viene rappresentato da un segmento che va dalla posizione iniziale a quella finale indipendentemente dal tragitto effettivamente percorso
Speleologo che risale il Tight Tube nel sistema di grotte del Mammout-Flint, la caverna più lunga del mondo
Il verso dello spostamento viene messo in evidenza da una freccia
posta all’estremità del segmento
VETTORI E SCALARI
Uno spostamento nello spazio è quindi caratterizzato da:
1. Una lunghezza che rappresenta l’entità dello spostamento
2. Una direzione che rappresenta la retta su cui giace lo spostamento
3. Un verso che rappresenta l’orientamento dello spostamento sulla direzione
Le quantità matematiche che si comportano come gli spostamenti nello spazio vengono chiamate vettori.
medesimo spostamento
traiettoria effettiva
spostamenti successivi
spostamento totale
VETTORI E SCALARI
Molte grandezze fisiche, quali ad esempio velocità, accelerazione, forza, campo elettrico, ecc. possono essere rappresentate con vettori.
I vettori hanno intensità, direzione e verso e si combinano secondo regole che costituiscono l’algebra vettoriale.
Le grandezze fisiche specificate completamente da un solo numero
vengono chiamate scalari: temperatura, massa, densità, ecc.
SOMMA VETTORIALE METODO GRAFICO
Rappresentazione grafica dei vettori
spostamento N-E di 42 m scala 1 cm = 10 m
due numeri definiscono un vettore nel piano
Convenzioni di scrittura
• nella stampa : vettore d , ; modulo |d|,d
• scrittura manuale : ; modulo d
d
d
SOMMA VETTORIALE METODO GRAFICO
s ≠
a + b
a +
b =
Metodo PUNTA-CODA per l’addizione di vettori
s
Non si tratta di somma algebirca (NON è espressa da una somma di numeri)
PROPRIETÀ COMMUTATIVA ED ASSOCIATIVA DELLA SOMMA
d +
e +
( f ) = ( d + e ) + f
a +
b =
b + a
Regola del parallelogramma
SOTTRAZIONE DI VETTORI METODO GRAFICO
Definizione di vettore opposto
Regola di sottrazione di vettori
a −
( b ) = a + − ( ) b
a −
( b ) = a − b → ( a − b ) + b = a
Definizione analoga alla definizione di sottrazione valida per gli scalari
3 = 5 − 2 → 3+ 2 = 5
Somma algebrica
b −
b = 0
COMPONENTI DEI VETTORI
Nel caso tridimensionale il metodo grafico non è facilmente applicabile
Si utilizza largamente per definire le operazioni fra vettori (anche in due dimensioni) il metodo analitico, basato sulla scomposizione del vettore in componenti
a
x= a cos ϕ a
y= asin ϕ
Risoluzione di un vettore in componenti cartesiane
a = a
x2+ a
y2tan ϕ = a
y/ a
xLe componenti di un vettore:
• sono scalari positivi o negativi o nulli
• definiscono univocamente il vettore
• consentono di ottenere modulo e direzione del vettore (segni di ax e ay)
ESTENSIONE AL CASO TRIDIMENSIONALE
θ angolo polare
φ angolo azimutale
a
x= asin θ cos ϕ ; a
y= asin θ sin ϕ a
z= a cos θ
a = a
x2+ a
y2+ a
z2cos θ = a
z/ a; tan ϕ = a
y/ a
xFormule inverse
Il vettore è definito da 3 numeri: a
x, a
y,a
zoppure modulo e angoli q e f
Le componenti cartesiane del vettore:
IL VERSORE
ˆi, ˆj, ˆk
Versori della terna cartesiana
Il versore è un vettore unitario adimensionale che rappresenta una direzione nello spazio ed un verso
vettore componente
Scomposizione di vettori lungo gli assi
a = a
xˆi + a
yˆj + a
zk ˆ
Espressione dei vettori in termini di vettori componenti
a = a
xˆi + a
yˆj
Molti problemi possono essere semplificati dall’uso della scomposizione in vettori componenti
Il vettore è sostituito dai suoi vettori componenti che ne riproducono gli effetti
SOMMA VETTORIALE
METODO DELLE COMPONENTI
Due o più vettori si possono sommare usando il metodo analitico:
Somma per componenti
s =
a + b
s
xˆi + s
yˆj = a
xˆi + a
yˆj + b
xˆi + b
yˆj = a
x+ b
x( ) ˆi + a (
y+ b
y) ˆj
s
x= a
x+ b
xs
y= a
y+ b
ys = s
x2+ s
y2= ( a
x+ b
x)
2+ a (
y+ b
y)
2tan ϕ = s
ys
x= a
y+ b
ya
x+ b
xSomma di scalari
ESEMPI DI APPLICAZIONE DELLA SOMMA VETTORIALE
Un’automobile viaggia verso Est per 32 Km. Quindi, prima di fermarsi, verso Nord per altri 47 Km. Determinare lo spostamento risultante.
s =
a + b
s
x= a
x+ b
x= 32 km + 0 = 32 km s
y= a
y+ b
y= 0 + 47km = 47km
s = s
x2+ s
y2= ( 32 km )
2+ 47km ( )
2= 57km
tan ϕ = s
ys
x= 47km
32 km = 1, 47, ϕ = arctan 1, 47 ( ) = 56°
ESEMPI DI APPLICAZIONE DELLA SOMMA VETTORIALE
Somma di tre vettori complanari
a = 4, 3ˆi −1, 7 ˆj;
b = −2, 9ˆi + 2, 2 ˆj;
c = −3, 6 ˆj
s
x= a
x+ b
x+ c
x= 1, 4 s
y= a
y+ b
y+ c
y= −3,1 s = s
xˆi + s
yˆj =1, 4ˆi − 3,1ˆj
s = s
x2+ s
y2= 3, 4; ϕ = arctan −3,1 /1, 4 ( ) = 294°
PRODOTTO DI VETTORI
Come gli scalari anche i vettori si possono moltiplicare con scalari o fra di loro generando grandezze con dimensioni diverse.
Per i vettori definiamo tre diversi tipi di prodotto
Prodotto di un vettore per uno scalare
c a
scalare vettore
• modulo uguale a “ca”=|ca|
• direzione uguale a quella del vettore
• verso concorde al vettore se c>0, discorde se c<0 Prodotto scalare di due vettori
a ⋅
b = a bcos ϕ
• Il prodotto scalare di due vettori produce una quantità scalare
• È il prodotto del modulo di un vettore per la componente dell’altro lungo il primo
a ⋅
b = a bcos ( ϕ )
a ⋅
b = b a cos ( ϕ )
PRODOTTO DI VETTORI
Molte grandezze fisiche si esprimono in termini del prodotto scalare: lavoro, potenziale elettrico, potenza elettrica …
Due vettori ortogonali hanno prodotto scalare nullo, questa è la condizione di ortogonalità fra due vettori
Prodotto scalare in componenti cartesiane
Coseno dell’angolo spaziale fra due vettori
ˆi⋅ ˆi = ˆj⋅ ˆj = ˆk⋅ ˆk =1; ˆi⋅ ˆj = ˆi⋅ ˆk = ˆj⋅ ˆk = 0
a ⋅
b = a (
xˆi + a
yˆj + a
zk ˆ ) ⋅ b (
xˆi + b
yˆj + b
zk ˆ ) =
a
xb
xˆi⋅ ˆi + a
yb
yˆj⋅ ˆj + a
zb
zk ⋅ ˆk = a ˆ
xb
x+ a
yb
y+ a
zb
za ⋅
b = a
xb
x+ a
yb
y+ a
zb
z= a b cos ϕ cos ϕ =
a ⋅
b = a
xb
x+ a
yb
y+ a
zb
zPRODOTTO DI VETTORI PRODOTTO VETTORIALE
Il prodotto vettoriale di due vettori è un vettore
• direzione ortogonale al piano formato dai due vettori
• verso definito dalla regola della mano destra
• modulo
c = a ×
b = a bsinϕ
La regola della mano destra definisce per convenzione le terne destrorse
ˆi × ˆj = ˆk
iˆ jˆ
kˆ
http://www.surendranath.org/Applets/Math/VectorProduct/VectorProductApplet.html angolo interno regola della mano destra
PRODOTTO DI VETTORI PRODOTTO VETTORIALE
Il prodotto vettore non è commutativo
Due vettori paralleli hanno prodotto vettoriale nullo (condizione di parallelismo)
Prodotti vettoriali di versori della terna
Prodotto vettoriale in componenti cartesiane
a ×
( b ) = − ( b × a )
ˆi × ˆi = ˆj× ˆj = ˆk× ˆk = 0; ˆi × ˆj = ˆk; ˆj× ˆk = ˆi; ˆk× ˆi = ˆj ˆj × ˆi = − ˆk; ˆk× ˆj = −ˆi; ˆi× ˆk = − ˆj
a ×
b = a
(
xˆi + a
yˆj + a
zkˆ ) × b (
xˆi + b
yˆj + b
zkˆ ) =
axbx
ˆi × ˆi + a
xbyˆi × ˆj + a
xbzˆi × ˆk +
aybxˆj × ˆi + a
ybyˆj × ˆj + a
ybzˆj × ˆk +
a b k × ˆi + a
ˆ
b k × ˆj + aˆ
b k × ˆkˆ
Ordine ciclico
PRODOTTO DI VETTORI PRODOTTO VETTORIALE
Proprietà dei versori della terna
Regola mnemonica di calcolo del prodotto vettoriale: il determinante simbolico
Molte grandezze fisiche si esprimono in termini di prodotto vettoriale: il momento di una forza, il momento angolare, la forza di Lorentz, ecc.
a × b =
= axbyˆi × ˆj + axbzˆi × ˆk + aybxˆj × ˆi + aybzˆj × ˆk + azbxk × ˆi + aˆ zbyk × ˆj =ˆ
= axbyk − aˆ xbzˆj − aybxk + aˆ ybzˆi + azbxˆj − azbyˆi = aybz − azby
( )
ˆi + a(
zbx − axbz)
ˆj + a(
xby − aybx)
kˆa × b =
ˆi ˆj kˆ ax ay az bx by bz
= ˆi a
(
ybz − azby)
− ˆj a(
xbz − azbx)
+ ˆk a(
xby − aybx)
ESEMPIO
Un vettore a nel piano xy è diretto a 250° dall’asse positivo delle x in senso antiorario ed ha modulo uguale a 7,4 unità. Un vettore b ha modulo pari a 5,0 unità ed è diretto parallelamente all’asse z. Calcolare il prodotto scalare ed prodotto vettoriale a x b.
a ⋅
b = abcos
ϕ = ab cos90° = 7, 4 ( ) ( 5, 0 ) ( ) 0 = 0
a ×
b = absin
ϕ
= 7, 4( ) (
5, 0)
sin 90° = 37ax = 7, 4 cos250° = −2, 5; bx = 0 ay = 7, 4sin 250° = −7, 0; by = 0
az = 0 bz = 5, 0
a ×
b = −7, 0#$
( ) (
5, 0)
− 0( ) ( )
0 %&ˆi+ 0#$( ) ( )
0 − −2, 5( ) ( )
5 %& ˆj++ −2, 5#$