Come dicevamo k è detto RAPPORTO DI SIMILITUDINE. Esso può essere 1

FIGURE SIMILI

Due o più figure sono SIMILI se hanno la STESSA FORMA.

Due poligoni aventi lo STESSO NUMERO di LATI si dicono simili se hanno

 Lati corrispondenti in proporzione

 Angoli corrispondenti congruenti

In simboli possiamo scrivere :

Come dicevamo k è detto RAPPORTO DI SIMILITUDINE. Esso può essere ⋛1



Se k > 1, allora la figura A’B’C’ è un INGRANDIMENTO di ABC



Se k<1, allora la figura A’B’C’ è una RIDUZIONE di ABC

 Nel caso in cu k = 1, allora A’B’C’ è CONGRUENTE ad ABC

CRITERI DI SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI

PRIMO CRITERIO di SIMILITUDINE

Due triangoli sono simili se hanno due coppie di angoli corrispondenti congruenti

SECONDO CRITERIO di SIMILITUDINE Due triangoli sono simili se hanno

- una coppia di angoli corrispondenti congruenti

- i lati che li comprendono in proporzione

TERZO CRITERIO di SIMILITUDINE Due triangoli sono simili se hanno - i lati corrispondenti in proporzione

SIMILITUDINE : ALTEZZE, PERIMETRI E AREE

In due triangoli simili, il rapporto tra ALTEZZE corrispondenti è uguale al rapporto di similitudine k

In due poligoni simili, il RAPPORTO TRA i PERIMETRI è uguale al RAPPORTO DI SIMILITUDINE

In due poligoni simili, il rapporto tra le aree è UGUALE AL QUADRATO del rapporto di similitudine

ESEMPI ESEMPIO 1

Calcola il rapporto di similitudine tra i quadrati ABCD e A’B’C’D’, sapendo che

AB = 20 cm A’B’ = 30 cm

Per calcolare k ci basta dividere le lunghezze dei lati corrispondenti. In questo caso otteniamo :

k = 30 / 20 = 1,5

Siccome k>1, allora il quadrato A’B’C’D’ è un ingrandimento di ABCD Esempio 2

Consideriamo i due triangoli ABC e A’B’C’

Sapendo che

 A’B’ = 20 cm

 A’C’ = 10 cm

 B’C’ = 15 cm E che

 AB = 12 cm

Calcola il rapporto di similitudine tra i due triangoli e determina la lunghezza di BC e AC Calcoliamo il rapporto di similitudine

Per poter calcolare i lati mancanti, ci basta impostare le proporzioni corrispondenti:

Sostituendo i valori numerici otteniamo

⟶ 10 : AC = 5 : 3 ⟶ AC = (10 x 3) : 5 = 6 cm ⟶ 15 : y = 5 : 3 ⟶ BC = (15 x 3) : 5 = 9 cm

Calcola la misura del perimetro del seguente triangolo rettangolo, sapendo che BC = 75 cm

CH = 48 cm

Per calcolare il cateto AC, possiamo applicare il PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE BC : AC = AC : CH

AC = √75 •48 = √3600 = 60 cm

Per determinare il cateto AB, invece, dobbiamo innanzi tutto calcolare la sua proiezione sull’ipotenusa. Risulta

BH = BC – CH = 75 – 48 = 27 cm

Applichiamo ora nuovamente il Primo Teorema di Euclide e determiniamo AB BC : AB = AB : BH

AB = √75 •27 = √2025 = 45 cm

Il perimetro del triangolo ABC è quindi:

P

= AB + BC + AC = 45 + 75 + 60 = 180 cm ESEMPIO 4 :

1) Calcola la misura dell’altezza relativa all’ipotenusa nel triangolo rettangolo ABC, sapendo che HB = 3,6 dm

HC = 64 cm

Innanzi tutto trasformiamo i dm in cm.

HB = 3,6 dm = 36 cm

Per calcolare l’altezza AH ci basta applicare il SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE:

BH : AH = AH : CH Risulta quindi :

AH = √ 36•64 = √2304 = 48 cm

2) Determina perimetro ed area del triangolo assegnato

A questo punto, possiamo calcolare gli altri due cateti. L’ipotenusa è infatti BC = 36 + 64 = 100 cm

Per il primo teorema di Euclide abbiamo:

BC : AB = AB : BH BC : AC = AC : CH Ovvero

AB = √ 36•100 = 60 cm AC = √ 100•64 = 80 cm L’area è quindi

AB • AC : 2 = 2400 cm

BC • AH : 2 = 2400 cm

P = AB + BC + AC = 60 + 100+ 80 = 240 cm ESERCIZI

 Due rettangoli hanno un rapporto di similitudine di 5/3. Sapendo che il rettangolo più grande ha base e altezza lunghe rispettivamente 25 cm e 60 cm, calcola il perimetro e l'area dei due rettangoli.

Per risolvere il problema ci basta scrivere le proporzioni:

5 : 3 = 25 : x 5: 3 = 60 : y Otteniamo così:

In generale, ci basta moltiplicare per l’inverso di k le misure date e ricavare quelle sconosciute

 In un rettangolo la somma e la differenza delle due dimensioni misurano 126 cm e 54 cm.

Sapendo che un rettangolo simile a esso ha l'area di 90 cm², calcolane il perimetro In questo caso, dobbiamo innanzitutto ricavare le dimensioni del primo rettangolo.

Sappiamo che, se conosciamo la somma e la differenza tra due grandezze, possiamo ricavarle facilmente. Risulta infatti

Calcoliamo ora l’area di questo rettangolo, per ricavare il rapporto di similitudine.

A₁ = b₁ ∙ h₁ = 3240 cm² A₁: A₂ = k² = 36

significa che k = √36 = 6

Per ricavare il perimetro del secondo rettangolo, quindi, ci basta calcolare quello del primo e dividere il risultato per k, oppure dividere per 6 b₁ e h₁ e calcolare poi il perimetro richiesto.

Abbiamo

P₁ = (b₁ + h₁) ∙ 2 = 252 cm P₂ = P₁ : k = 252 : 6 = 42 cm

 In un rombo le diagonali misurano rispettivamente 42 cm e 56 cm. Sapendo che un rombo simile ha il lato lungo 5 cm, calcola perimetro e area del secondo rombo.

Dobbiamo innanzitutto calcolare il lato del primo rombo applicando il lato dei rombo dato.

Risulta : l₁ =

Calcoliamo ora il rapporto di similitudine tra i due rombi :

Ci basta quindi calcolare area e perimetro del rombo dato per ottenere anche i valori relativi al secondo rombo.

 Due pentagoni hanno un rapporto di similitudine di 3/11. Sapendo che il primo pentagono ha il perimetro di 165 cm, calcola perimetro e area del secondo

Siccome : 3: 11 = 165 : x

possiamo calcolare facilmente il perimetro del secondo pentagono:

x = (11 • 165) : 3 = 605 cm Ricordiamo ora che

L'area di un pentagono regolare si trova moltiplicando la lunghezza del perimetro (p) per

Inoltre

APOTEMA = LATO x 0,688

Per calcolare l’area di un pentagono, quindi, dobbiamo innanzitutto ricavare il lato.

Conoscendo il perimetro dei primo pentagono, ci basta dividere tale valore per 5 : l2 = P2 : 5 = 605: 5 = 121 cm

Calcoliamo ora l’apotema : a₂ = 121 x 0,688 = 83,248 cm Calcoliamo infine l’area :

A2 = (P2 • a2 ) : 2 = 25182,52 cm²

 In due poligoni simili il rapporto di similitudine è 3/2. Calcola il perimetro del secondo poligono, sapendo che quello del primo è di 57 cm, l'area del primo poligono, sapendo che l'area del secondo è di 576 cm².

Per ricavare il perimetro del secondo poligono ci basta dividere quello del poligono dato per il rapporto di similitudine:

P2 = (P1 : k ) = 57 : k = 38 cm per le aree abbiamo

A₁ : A₂ = k² ovvero :

A₁ = A₂ • k² = 1296 cm²

 In un trapezio isoscele la somma e la differenza delle basi misurano rispettivamente 62 cm e 14 cm e l'area è di 744 cm². Calcola l'altezza e il perimetro di un trapezio simile avente l'area di 18600 cm²

 In un trapezio rettangolo la somma delle basi misura 42 cm e la base minore è i 5/9 della maggiore, come il lato obliquo. Tracciando l'altezza BH si individua il triangolo rettangolo BHC. Determina l'area e l'ipotenusa di un triangolo simile, avente il cateto minore lungo 12

 Due triangoli sono simili e i lati del primo misurano 54 cm, 36 cm e 84 cm. Sapendo cm che un lato del secondo, corrispondente al lato minore del primo, misura 48 cm, calcola la misura degli altri lati.