Relazioni fra minori di taglia ﬁssata

(1)

Matteo Varbaro

Dipartimento di Matematica, Universit`a di Genova

Da una collaborazione con Winfried Bruns e Aldo Conca

(2)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Consideriamo la matrice (m ≤ n):

X =







x

₁₁

x

₁₂

· · · · x

_1n

x

₂₁

x

₂₂

· · · · x

_2n

.. . .. . . .. ... .. . x

_m1

x

_m2

· · · x

_mn







dove le x

_ij

sono indeterminate su un campo k di caratteristica 0.

DOMANDA: Fissato t ≤ m, quali relazioni algebriche intercorrono

fra i t-minori di X ?

(3)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Consideriamo la matrice (m ≤ n):

X =







x

₁₁

x

₁₂

· · · · x

_1n

x

₂₁

x

₂₂

· · · · x

_2n

.. . .. . . .. ... .. . x

_m1

x

_m2

· · · x

_mn







dove le x

_ij

sono indeterminate su un campo k di caratteristica 0.

DOMANDA: Fissato t ≤ m, quali relazioni algebriche intercorrono

fra i t-minori di X ?

(4)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Consideriamo la matrice (m ≤ n):

X =







x

₁₁

x

₁₂

· · · · x

_1n

x

₂₁

x

₂₂

· · · · x

_2n

.. . .. . . .. ... .. . x

_m1

x

_m2

· · · x

_mn







dove le x

_ij

sono indeterminate su un campo k di caratteristica 0.

DOMANDA: Fissato t ≤ m, quali relazioni algebriche intercorrono

fra i t-minori di X ?

(5)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Consideriamo la matrice (m ≤ n):

X =







x

₁₁

x

₁₂

· · · · x

_1n

x

₂₁

x

₂₂

· · · · x

_2n

.. . .. . . .. ... .. . x

_m1

x

_m2

· · · x

_mn







dove le x

_ij

sono indeterminate su un campo k di caratteristica 0.

DOMANDA: Fissato t ≤ m, quali relazioni algebriche intercorrono

fra i t-minori di X ?

(6)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Consideriamo la matrice (m ≤ n):

X =







x

₁₁

x

₁₂

· · · · x

_1n

x

₂₁

x

₂₂

· · · · x

_2n

.. . .. . . .. ... .. . x

_m1

x

_m2

· · · x

_mn







dove le x

_ij

sono indeterminate su un campo k di caratteristica 0.

DOMANDA: Fissato t ≤ m, quali relazioni algebriche intercorrono

fra i t-minori di X ?

(7)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Consideriamo la matrice (m ≤ n):

X =







x

₁₁

x

₁₂

· · · · x

_1n

x

₂₁

x

₂₂

· · · · x

_2n

.. . .. . . .. ... .. . x

_m1

x

_m2

· · · x

_mn







dove le x

_ij

sono indeterminate su un campo k di caratteristica 0.

DOMANDA: Fissato t ≤ m, quali relazioni algebriche intercorrono

fra i t-minori di X ?

(8)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Consideriamo la matrice (m ≤ n):

X =







x

₁₁

x

₁₂

· · · · x

_1n

x

₂₁

x

₂₂

· · · · x

_2n

.. . .. . . .. ... .. . x

_m1

x

_m2

· · · x

_mn







dove le x

_ij

sono indeterminate su un campo k di caratteristica 0.

DOMANDA: Fissato t ≤ m, quali relazioni algebriche intercorrono

fra i t-minori di X ?

(9)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Equivalentemente, quali equazioni definiscono la variet` a affine:

Z = {∧

^t

φ : φ ∈ Hom

k

(W , V )} ⊂ A

^N

,

dove dim

_k

V = m, dim

_k

W = n e N =

^m_t

_n

t

. Se t = m, Z

` e il cono affine sulla Grassmanniana G (m, n), e le equazioni desiderate sono le relazioni di Pl¨ ucker (in particolare quadriche).

Se t < m, ha ancora senso definire le relazioni di Pl¨ ucker,

ed esse danno ancora luogo ad equazioni che si annullano su Z .

Per` o non bastano pi` u a definire Z .

(10)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Equivalentemente, quali equazioni definiscono la variet` a affine:

Z = {∧

^t

φ : φ ∈ Hom

k

(W , V )} ⊂ A

^N

,

dove dim

_k

V = m, dim

_k

W = n e N =

^m_t

_n

t

. Se t = m, Z

` e il cono affine sulla Grassmanniana G (m, n), e le equazioni desiderate sono le relazioni di Pl¨ ucker (in particolare quadriche).

Se t < m, ha ancora senso definire le relazioni di Pl¨ ucker,

ed esse danno ancora luogo ad equazioni che si annullano su Z .

Per` o non bastano pi` u a definire Z .

(11)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Equivalentemente, quali equazioni definiscono la variet` a affine:

Z = {∧

^t

φ : φ ∈ Hom

k

(W , V )} ⊂ A

^N

, dove dim

_k

V = m, dim

_k

W = n e N =

^m_t

_n

t

. Se t = m, Z

` e il cono affine sulla Grassmanniana G (m, n), e le equazioni desiderate sono le relazioni di Pl¨ ucker (in particolare quadriche).

Se t < m, ha ancora senso definire le relazioni di Pl¨ ucker,

ed esse danno ancora luogo ad equazioni che si annullano su Z .

Per` o non bastano pi` u a definire Z .

(12)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Equivalentemente, quali equazioni definiscono la variet` a affine:

Z = {∧

^t

φ : φ ∈ Hom

k

(W , V )} ⊂ A

^N

, dove dim

_k

V = m, dim

_k

W = n e N =

^m_t

_n

t

. Se t = m, Z

` e il cono affine sulla Grassmanniana G (m, n), e le equazioni desiderate sono le relazioni di Pl¨ ucker (in particolare quadriche).

Se t < m, ha ancora senso definire le relazioni di Pl¨ ucker,

ed esse danno ancora luogo ad equazioni che si annullano su Z .

Per` o non bastano pi` u a definire Z .

(13)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Equivalentemente, quali equazioni definiscono la variet` a affine:

Z = {∧

^t

φ : φ ∈ Hom

k

(W , V )} ⊂ A

^N

, dove dim

_k

V = m, dim

_k

W = n e N =

^m_t

_n

t

. Se t = m, Z

` e il cono affine sulla Grassmanniana G (m, n), e le equazioni desiderate sono le relazioni di Pl¨ ucker (in particolare quadriche).

Se t < m, ha ancora senso definire le relazioni di Pl¨ ucker,

ed esse danno ancora luogo ad equazioni che si annullano su Z .

Per` o non bastano pi` u a definire Z .

(14)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Equivalentemente, quali equazioni definiscono la variet` a affine:

Z = {∧

^t

φ : φ ∈ Hom

k

(W , V )} ⊂ A

^N

, dove dim

_k

V = m, dim

_k

W = n e N =

^m_t

_n

t

. Se t = m, Z

` e il cono affine sulla Grassmanniana G (m, n), e le equazioni desiderate sono le relazioni di Pl¨ ucker (in particolare quadriche).

Se t < m, ha ancora senso definire le relazioni di Pl¨ ucker,

ed esse danno ancora luogo ad equazioni che si annullano su Z .

Per` o non bastano pi` u a definire Z .

(15)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Equivalentemente, quali equazioni definiscono la variet` a affine:

Z = {∧

^t

φ : φ ∈ Hom

k

(W , V )} ⊂ A

^N

, dove dim

_k

V = m, dim

_k

W = n e N =

^m_t

_n

t

. Se t = m, Z

` e il cono affine sulla Grassmanniana G (m, n), e le equazioni desiderate sono le relazioni di Pl¨ ucker (in particolare quadriche).

Se t < m, ha ancora senso definire le relazioni di Pl¨ ucker,

ed esse danno ancora luogo ad equazioni che si annullano su Z .

Per` o non bastano pi` u a definire Z .

(16)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Equivalentemente, quali equazioni definiscono la variet` a affine:

Z = {∧

^t

φ : φ ∈ Hom

k

(W , V )} ⊂ A

^N

, dove dim

_k

V = m, dim

_k

W = n e N =

^m_t

_n

t

. Se t = m, Z

` e il cono affine sulla Grassmanniana G (m, n), e le equazioni desiderate sono le relazioni di Pl¨ ucker (in particolare quadriche).

Se t < m, ha ancora senso definire le relazioni di Pl¨ ucker,

ed esse danno ancora luogo ad equazioni che si annullano su Z .

Per` o non bastano pi` u a definire Z .

(17)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Equivalentemente, quali equazioni definiscono la variet` a affine:

Z = {∧

^t

φ : φ ∈ Hom

k

(W , V )} ⊂ A

^N

, dove dim

_k

V = m, dim

_k

W = n e N =

^m_t

_n

t

. Se t = m, Z

` e il cono affine sulla Grassmanniana G (m, n), e le equazioni desiderate sono le relazioni di Pl¨ ucker (in particolare quadriche).

Se t < m, ha ancora senso definire le relazioni di Pl¨ ucker,

ed esse danno ancora luogo ad equazioni che si annullano su Z .

Per` o non bastano pi` u a definire Z .

(18)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Equivalentemente, quali equazioni definiscono la variet` a affine:

Z = {∧

^t

φ : φ ∈ Hom

k

(W , V )} ⊂ A

^N

, dove dim

_k

V = m, dim

_k

W = n e N =

^m_t

_n

t

. Se t = m, Z

` e il cono affine sulla Grassmanniana G (m, n), e le equazioni desiderate sono le relazioni di Pl¨ ucker (in particolare quadriche).

Se t < m, ha ancora senso definire le relazioni di Pl¨ ucker,

ed esse danno ancora luogo ad equazioni che si annullano su Z .

Per` o non bastano pi` u a definire Z .

(19)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Equivalentemente, quali equazioni definiscono la variet` a affine:

Z = {∧

^t

φ : φ ∈ Hom

k

(W , V )} ⊂ A

^N

, dove dim

_k

V = m, dim

_k

W = n e N =

^m_t

_n

t

. Se t = m, Z

` e il cono affine sulla Grassmanniana G (m, n), e le equazioni desiderate sono le relazioni di Pl¨ ucker (in particolare quadriche).

Se t < m, ha ancora senso definire le relazioni di Pl¨ ucker,

ed esse danno ancora luogo ad equazioni che si annullano su Z .

Per` o non bastano pi` u a definire Z .

(20)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Per esempio, in una matrice 3 × 4 la seguente relazione fra 2-minori ` e una cubica minimale:

det





[12|12] [12|13] [12|14]

[13|12] [13|13] [13|14]

[23|12] [23|13] [23|14]



 = 0

L’anello delle coordinate della variet` a descritta ` e la sottoalgebra di Sym(V ⊗ W

^∗

), generata da V

t

V ⊗ V

t

W

^∗

, sia essa A

_t

(m, n).

Quello che vogliamo fare ` e trovare i generatori minimali di J

t

(m, n), il nucleo dell’omomorfismo:

S

t

(m, n) = Sym

t

^ V ⊗

t

^ W

^∗

−→ A

_t

(m, n).

(21)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Per esempio, in una matrice 3 × 4 la seguente relazione fra 2-minori ` e una cubica minimale:

det





[12|12] [12|13] [12|14]

[13|12] [13|13] [13|14]

[23|12] [23|13] [23|14]



 = 0

L’anello delle coordinate della variet` a descritta ` e la sottoalgebra di Sym(V ⊗ W

^∗

), generata da V

t

V ⊗ V

t

W

^∗

, sia essa A

_t

(m, n).

Quello che vogliamo fare ` e trovare i generatori minimali di J

t

(m, n), il nucleo dell’omomorfismo:

S

t

(m, n) = Sym

t

^ V ⊗

t

^ W

^∗

−→ A

_t

(m, n).

(22)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Per esempio, in una matrice 3 × 4 la seguente relazione fra 2-minori ` e una cubica minimale:

det





[12|12] [12|13] [12|14]

[13|12] [13|13] [13|14]

[23|12] [23|13] [23|14]



 = 0

L’anello delle coordinate della variet` a descritta ` e la sottoalgebra di Sym(V ⊗ W

^∗

), generata da V

t

V ⊗ V

t

W

^∗

, sia essa A

_t

(m, n).

Quello che vogliamo fare ` e trovare i generatori minimali di J

t

(m, n), il nucleo dell’omomorfismo:

S

t

(m, n) = Sym

t

^ V ⊗

t

^ W

^∗

−→ A

_t

(m, n).

(23)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Per esempio, in una matrice 3 × 4 la seguente relazione fra 2-minori ` e una cubica minimale:

det





[12|12] [12|13] [12|14]

[13|12] [13|13] [13|14]

[23|12] [23|13] [23|14]



 = 0

L’anello delle coordinate della variet` a descritta ` e la sottoalgebra di Sym(V ⊗ W

^∗

), generata da V

t

V ⊗ V

t

W

^∗

, sia essa A

_t

(m, n).

Quello che vogliamo fare ` e trovare i generatori minimali di J

t

(m, n), il nucleo dell’omomorfismo:

S

t

(m, n) = Sym

t

^ V ⊗

t

^ W

^∗

−→ A

_t

(m, n).

(24)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Per esempio, in una matrice 3 × 4 la seguente relazione fra 2-minori ` e una cubica minimale:

det





[12|12] [12|13] [12|14]

[13|12] [13|13] [13|14]

[23|12] [23|13] [23|14]



 = 0

L’anello delle coordinate della variet` a descritta ` e la sottoalgebra di Sym(V ⊗ W

^∗

), generata da V

t

V ⊗ V

t

W

^∗

, sia essa A

_t

(m, n).

Quello che vogliamo fare ` e trovare i generatori minimali di J

t

(m, n), il nucleo dell’omomorfismo:

S

t

(m, n) = Sym

t

^ V ⊗

t

^ W

^∗

−→ A

_t

(m, n).

(25)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Per esempio, in una matrice 3 × 4 la seguente relazione fra 2-minori ` e una cubica minimale:

det





[12|12] [12|13] [12|14]

[13|12] [13|13] [13|14]

[23|12] [23|13] [23|14]



 = 0

L’anello delle coordinate della variet` a descritta ` e la sottoalgebra di Sym(V ⊗ W

^∗

), generata da V

t

V ⊗ V

t

W

^∗

, sia essa A

_t

(m, n).

Quello che vogliamo fare ` e trovare i generatori minimali di J

t

(m, n), il nucleo dell’omomorfismo:

S

t

(m, n) = Sym

t

^ V ⊗

t

^ W

^∗

−→ A

_t

(m, n).

(26)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Per esempio, in una matrice 3 × 4 la seguente relazione fra 2-minori ` e una cubica minimale:

det





[12|12] [12|13] [12|14]

[13|12] [13|13] [13|14]

[23|12] [23|13] [23|14]



 = 0

L’anello delle coordinate della variet` a descritta ` e la sottoalgebra di Sym(V ⊗ W

^∗

), generata da V

t

V ⊗ V

t

W

^∗

, sia essa A

_t

(m, n).

Quello che vogliamo fare ` e trovare i generatori minimali di J

t

(m, n), il nucleo dell’omomorfismo:

S

t

(m, n) = Sym

t

^ V ⊗

t

^ W

^∗

−→ A

_t

(m, n).

(27)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Per esempio, in una matrice 3 × 4 la seguente relazione fra 2-minori ` e una cubica minimale:

det





[12|12] [12|13] [12|14]

[13|12] [13|13] [13|14]

[23|12] [23|13] [23|14]



 = 0

L’anello delle coordinate della variet` a descritta ` e la sottoalgebra di Sym(V ⊗ W

^∗

), generata da V

t

V ⊗ V

t

W

^∗

, sia essa A

_t

(m, n).

Quello che vogliamo fare ` e trovare i generatori minimali di J

t

(m, n), il nucleo dell’omomorfismo:

S

t

(m, n) = Sym

t

^ V ⊗

t

^ W

^∗

−→ A

_t

(m, n).

(28)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

Per esempio, in una matrice 3 × 4 la seguente relazione fra 2-minori ` e una cubica minimale:

det





[12|12] [12|13] [12|14]

[13|12] [13|13] [13|14]

[23|12] [23|13] [23|14]



 = 0

L’anello delle coordinate della variet` a descritta ` e la sottoalgebra di Sym(V ⊗ W

^∗

), generata da V

t

V ⊗ V

t

W

^∗

, sia essa A

_t

(m, n).

Quello che vogliamo fare ` e trovare i generatori minimali di J

t

(m, n), il nucleo dell’omomorfismo:

S

t

(m, n) = Sym

t

^ V ⊗

t

^ W

^∗

−→ A

_t

(m, n).

(29)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

S

t

, A

t

, J

t

e J

t

⊗

_S_t

k sono G -rappresentazioni, dove G = GL(V ) × GL(W )

PROBLEMA: Trovare la decomposizione in G -rappresentazioni irriducibili di J

t

⊗

_S_t

k.

Questo problema si ` e rivelato molto difficile: infatti non riusciamo

a risolverlo! Per` o crediamo di avere intuito la risposta. In questo

talk decomporremo un sottomodulo di J

_t

⊗

_S_t

k, e poi daremo delle

ragioni per credere che questo sottomodulo sia gi` a tutto J

t

⊗

_S_t

k.

(30)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

S

t

, A

t

, J

t

e J

t

⊗

_S_t

k sono G -rappresentazioni, dove G = GL(V ) × GL(W )

PROBLEMA: Trovare la decomposizione in G -rappresentazioni irriducibili di J

t

⊗

_S_t

k.

Questo problema si ` e rivelato molto difficile: infatti non riusciamo

a risolverlo! Per` o crediamo di avere intuito la risposta. In questo

talk decomporremo un sottomodulo di J

_t

⊗

_S_t

k, e poi daremo delle

ragioni per credere che questo sottomodulo sia gi` a tutto J

t

⊗

_S_t

k.

(31)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

S

t

, A

t

, J

t

e J

t

⊗

_S_t

k sono G -rappresentazioni, dove G = GL(V ) × GL(W )

PROBLEMA: Trovare la decomposizione in G -rappresentazioni irriducibili di J

t

⊗

_S_t

k.

Questo problema si ` e rivelato molto difficile: infatti non riusciamo

a risolverlo! Per` o crediamo di avere intuito la risposta. In questo

talk decomporremo un sottomodulo di J

_t

⊗

_S_t

k, e poi daremo delle

ragioni per credere che questo sottomodulo sia gi` a tutto J

t

⊗

_S_t

k.

(32)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

S

t

, A

t

, J

t

e J

t

⊗

_S_t

k sono G -rappresentazioni, dove G = GL(V ) × GL(W )

PROBLEMA: Trovare la decomposizione in G -rappresentazioni irriducibili di J

t

⊗

_S_t

k.

Questo problema si ` e rivelato molto difficile: infatti non riusciamo

a risolverlo! Per` o crediamo di avere intuito la risposta. In questo

talk decomporremo un sottomodulo di J

_t

⊗

_S_t

k, e poi daremo delle

ragioni per credere che questo sottomodulo sia gi` a tutto J

t

⊗

_S_t

k.

(33)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

S

t

, A

t

, J

t

e J

t

⊗

_S_t

k sono G -rappresentazioni, dove G = GL(V ) × GL(W )

PROBLEMA: Trovare la decomposizione in G -rappresentazioni irriducibili di J

t

⊗

_S_t

k.

Questo problema si ` e rivelato molto difficile: infatti non riusciamo

a risolverlo! Per` o crediamo di avere intuito la risposta. In questo

talk decomporremo un sottomodulo di J

_t

⊗

_S_t

k, e poi daremo delle

ragioni per credere che questo sottomodulo sia gi` a tutto J

t

⊗

_S_t

k.

(34)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

S

t

, A

t

, J

t

e J

t

⊗

_S_t

k sono G -rappresentazioni, dove G = GL(V ) × GL(W )

PROBLEMA: Trovare la decomposizione in G -rappresentazioni irriducibili di J

t

⊗

_S_t

k.

Questo problema si ` e rivelato molto difficile: infatti non riusciamo

a risolverlo! Per` o crediamo di avere intuito la risposta. In questo

talk decomporremo un sottomodulo di J

_t

⊗

_S_t

k, e poi daremo delle

ragioni per credere che questo sottomodulo sia gi` a tutto J

t

⊗

_S_t

k.

(35)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

S

t

, A

t

, J

t

e J

t

⊗

_S_t

k sono G -rappresentazioni, dove G = GL(V ) × GL(W )

PROBLEMA: Trovare la decomposizione in G -rappresentazioni irriducibili di J

t

⊗

_S_t

k.

Questo problema si ` e rivelato molto difficile: infatti non riusciamo

a risolverlo! Per` o crediamo di avere intuito la risposta. In questo

talk decomporremo un sottomodulo di J

_t

⊗

_S_t

k, e poi daremo delle

ragioni per credere che questo sottomodulo sia gi` a tutto J

t

⊗

_S_t

k.

(36)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

S

t

, A

t

, J

t

e J

t

⊗

_S_t

k sono G -rappresentazioni, dove G = GL(V ) × GL(W )

PROBLEMA: Trovare la decomposizione in G -rappresentazioni irriducibili di J

t

⊗

_S_t

k.

Questo problema si ` e rivelato molto difficile: infatti non riusciamo

a risolverlo! Per` o crediamo di avere intuito la risposta. In questo

talk decomporremo un sottomodulo di J

_t

⊗

_S_t

k, e poi daremo delle

ragioni per credere che questo sottomodulo sia gi` a tutto J

t

⊗

_S_t

k.

(37)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

S

t

, A

t

, J

t

e J

t

⊗

_S_t

k sono G -rappresentazioni, dove G = GL(V ) × GL(W )

PROBLEMA: Trovare la decomposizione in G -rappresentazioni irriducibili di J

t

⊗

_S_t

k.

Questo problema si ` e rivelato molto difficile: infatti non riusciamo

a risolverlo! Per` o crediamo di avere intuito la risposta. In questo

talk decomporremo un sottomodulo di J

_t

⊗

_S_t

k, e poi daremo delle

ragioni per credere che questo sottomodulo sia gi` a tutto J

t

⊗

_S_t

k.

(38)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

S

t

, A

t

, J

t

e J

t

⊗

_S_t

k sono G -rappresentazioni, dove G = GL(V ) × GL(W )

PROBLEMA: Trovare la decomposizione in G -rappresentazioni irriducibili di J

t

⊗

_S_t

k.

Questo problema si ` e rivelato molto difficile: infatti non riusciamo

a risolverlo! Per` o crediamo di avere intuito la risposta. In questo

talk decomporremo un sottomodulo di J

_t

⊗

_S_t

k, e poi daremo delle

ragioni per credere che questo sottomodulo sia gi` a tutto J

t

⊗

_S_t

k.

(39)

I n t r o d u z i o n e a l p r o b l e m a

S

t

, A

t

, J

t

e J

t

⊗

_S_t

k sono G -rappresentazioni, dove G = GL(V ) × GL(W )

PROBLEMA: Trovare la decomposizione in G -rappresentazioni irriducibili di J

t

⊗

_S_t

k.

Questo problema si ` e rivelato molto difficile: infatti non riusciamo

a risolverlo! Per` o crediamo di avere intuito la risposta. In questo

talk decomporremo un sottomodulo di J

_t

⊗

_S_t

k, e poi daremo delle

ragioni per credere che questo sottomodulo sia gi` a tutto J

t

⊗

_S_t

k.

(40)

D e c o m p o s i z i o n e d i A

t

Una G -decomposizione di A

_t

(m, n) ` e stata trovata da De Concini, Eisenbud e Procesi: Diremo che una partizione λ = (λ

₁

, . . . , λ

_k

) di d t ` e ammissibile se k ≤ d.

DEP: A

t

(m, n)

d

∼ = M

λ`td

L

λ

V ⊗ L

λ

W

^∗

dove i λ sono partizioni ammissibili tali che λ

1

≤ m.

Emerge una prima differenza col caso della Grassmanniana:

t = m ⇐⇒ la G -rappresentazione A

_t

(m, n)

_d

` e irriducibile ∀ d ∈ N

(41)

D e c o m p o s i z i o n e d i A

t

Una G -decomposizione di A

_t

(m, n) ` e stata trovata da De Concini, Eisenbud e Procesi: Diremo che una partizione λ = (λ

₁

, . . . , λ

_k

) di d t ` e ammissibile se k ≤ d.

DEP: A

t

(m, n)

d

∼ = M

λ`td

L

λ

V ⊗ L

λ

W

^∗

dove i λ sono partizioni ammissibili tali che λ

1

≤ m.

Emerge una prima differenza col caso della Grassmanniana:

t = m ⇐⇒ la G -rappresentazione A

_t

(m, n)

_d

` e irriducibile ∀ d ∈ N

(42)

D e c o m p o s i z i o n e d i A

t

Una G -decomposizione di A

_t

(m, n) ` e stata trovata da De Concini, Eisenbud e Procesi: Diremo che una partizione λ = (λ

₁

, . . . , λ

_k

) di d t ` e ammissibile se k ≤ d.

DEP: A

t

(m, n)

d

∼ = M

λ`td

L

λ

V ⊗ L

λ

W

^∗

dove i λ sono partizioni ammissibili tali che λ

1

≤ m.

Emerge una prima differenza col caso della Grassmanniana:

t = m ⇐⇒ la G -rappresentazione A

_t

(m, n)

_d

` e irriducibile ∀ d ∈ N

(43)

D e c o m p o s i z i o n e d i A

t

Una G -decomposizione di A

_t

(m, n) ` e stata trovata da De Concini, Eisenbud e Procesi: Diremo che una partizione λ = (λ

₁

, . . . , λ

_k

) di d t ` e ammissibile se k ≤ d.

DEP: A

t

(m, n)

d

∼ = M

λ`td

L

λ

V ⊗ L

λ

W

^∗

dove i λ sono partizioni ammissibili tali che λ

1

≤ m.

Emerge una prima differenza col caso della Grassmanniana:

t = m ⇐⇒ la G -rappresentazione A

_t

(m, n)

_d

` e irriducibile ∀ d ∈ N

(44)

D e c o m p o s i z i o n e d i A

t

Una G -decomposizione di A

_t

(m, n) ` e stata trovata da De Concini, Eisenbud e Procesi: Diremo che una partizione λ = (λ

₁

, . . . , λ

_k

) di d t ` e ammissibile se k ≤ d.

DEP: A

t

(m, n)

d

∼ = M

λ`td

L

λ

V ⊗ L

λ

W

^∗

dove i λ sono partizioni ammissibili tali che λ

1

≤ m.

Emerge una prima differenza col caso della Grassmanniana:

t = m ⇐⇒ la G -rappresentazione A

_t

(m, n)

_d

` e irriducibile ∀ d ∈ N

(45)

D e c o m p o s i z i o n e d i A

t

Una G -decomposizione di A

_t

(m, n) ` e stata trovata da De Concini, Eisenbud e Procesi: Diremo che una partizione λ = (λ

₁

, . . . , λ

_k

) di d t ` e ammissibile se k ≤ d.

DEP: A

t

(m, n)

d

∼ = M

λ`td

L

λ

V ⊗ L

λ

W

^∗

dove i λ sono partizioni ammissibili tali che λ

1

≤ m.

Emerge una prima differenza col caso della Grassmanniana:

t = m ⇐⇒ la G -rappresentazione A

_t

(m, n)

_d

` e irriducibile ∀ d ∈ N

(46)

D e c o m p o s i z i o n e d i A

t

Una G -decomposizione di A

_t

(m, n) ` e stata trovata da De Concini, Eisenbud e Procesi: Diremo che una partizione λ = (λ

₁

, . . . , λ

_k

) di d t ` e ammissibile se k ≤ d.

DEP: A

t

(m, n)

d

∼ = M

λ`td

L

λ

V ⊗ L

λ

W

^∗

dove i λ sono partizioni ammissibili tali che λ

1

≤ m.

Emerge una prima differenza col caso della Grassmanniana:

t = m ⇐⇒ la G -rappresentazione A

_t

(m, n)

_d

` e irriducibile ∀ d ∈ N

(47)

D e c o m p o s i z i o n e d i A

t

Una G -decomposizione di A

_t

(m, n) ` e stata trovata da De Concini, Eisenbud e Procesi: Diremo che una partizione λ = (λ

₁

, . . . , λ

_k

) di d t ` e ammissibile se k ≤ d.

DEP: A

t

(m, n)

d

∼ = M

λ`td

L

λ

V ⊗ L

λ

W

^∗

dove i λ sono partizioni ammissibili tali che λ

1

≤ m.

Emerge una prima differenza col caso della Grassmanniana:

t = m ⇐⇒ la G -rappresentazione A

_t

(m, n)

_d

` e irriducibile ∀ d ∈ N

(48)

D e c o m p o s i z i o n e d i A

t

Una G -decomposizione di A

_t

(m, n) ` e stata trovata da De Concini, Eisenbud e Procesi: Diremo che una partizione λ = (λ

₁

, . . . , λ

_k

) di d t ` e ammissibile se k ≤ d.

DEP: A

t

(m, n)

d

∼ = M

λ`td

L

λ

V ⊗ L

λ

W

^∗

dove i λ sono partizioni ammissibili tali che λ

1

≤ m.

Emerge una prima differenza col caso della Grassmanniana:

t = m ⇐⇒ la G -rappresentazione A

_t

(m, n)

_d

` e irriducibile ∀ d ∈ N

(49)

I l g r u p p o H

Per decomporre J

t

⊗

_S_t

k potrebbe essere utile decomporre J

t

. Grazie a (DEP), decomporre J

t

equivale a decomporre S

t

. Purtroppo decomporre S

_t

` e estremamente difficile: infatti ` e equivalente a decomporre L

_µ

V

t

V

per ogni partizione µ.

Questo si pu` o vedere tramite la formula di Cauchy:

(S

t

)

_d

= Sym

^d

(E ⊗ F

^∗

) ∼ = M

µ`d

L

µ

E ⊗ L

µ

F

^∗

.

dove E = V

t

V , F = V

t

W e l’azione ` e di H = GL(E ) × GL(F ).

(50)

I l g r u p p o H

Per decomporre J

t

⊗

_S_t

k potrebbe essere utile decomporre J

t

. Grazie a (DEP), decomporre J

t

equivale a decomporre S

t

. Purtroppo decomporre S

_t

` e estremamente difficile: infatti ` e equivalente a decomporre L

_µ

V

t

V

per ogni partizione µ.

Questo si pu` o vedere tramite la formula di Cauchy:

(S

t

)

_d

= Sym

^d

(E ⊗ F

^∗

) ∼ = M

µ`d

L

µ

E ⊗ L

µ

F

^∗

.

dove E = V

t

V , F = V

t

W e l’azione ` e di H = GL(E ) × GL(F ).

(51)

I l g r u p p o H

Per decomporre J

t

⊗

_S_t

k potrebbe essere utile decomporre J

t

. Grazie a (DEP), decomporre J

t

equivale a decomporre S

t

. Purtroppo decomporre S

_t

` e estremamente difficile: infatti ` e equivalente a decomporre L

_µ

V

t

V

per ogni partizione µ.

Questo si pu` o vedere tramite la formula di Cauchy:

(S

t

)

_d

= Sym

^d

(E ⊗ F

^∗

) ∼ = M

µ`d

L

µ

E ⊗ L

µ

F

^∗

.

dove E = V

t

V , F = V

t

W e l’azione ` e di H = GL(E ) × GL(F ).

(52)

I l g r u p p o H

Per decomporre J

t

⊗

_S_t

k potrebbe essere utile decomporre J

t

. Grazie a (DEP), decomporre J

t

equivale a decomporre S

t

. Purtroppo decomporre S

_t

` e estremamente difficile: infatti ` e equivalente a decomporre L

_µ

V

t

V

per ogni partizione µ.

Questo si pu` o vedere tramite la formula di Cauchy:

(S

t

)

_d

= Sym

^d

(E ⊗ F

^∗

) ∼ = M

µ`d

L

µ

E ⊗ L

µ

F

^∗

.

dove E = V

t

V , F = V

t

W e l’azione ` e di H = GL(E ) × GL(F ).

(53)

I l g r u p p o H

Per decomporre J

t

⊗

_S_t

k potrebbe essere utile decomporre J

t

. Grazie a (DEP), decomporre J

t

equivale a decomporre S

t

. Purtroppo decomporre S

_t

` e estremamente difficile: infatti ` e equivalente a decomporre L

_µ

V

t

V

per ogni partizione µ.

Questo si pu` o vedere tramite la formula di Cauchy:

(S

t

)

_d

= Sym

^d

(E ⊗ F

^∗

) ∼ = M

µ`d

L

µ

E ⊗ L

µ

F

^∗

.

dove E = V

t

V , F = V

t

W e l’azione ` e di H = GL(E ) × GL(F ).

(54)

I l g r u p p o H

Per decomporre J

t

⊗

_S_t

k potrebbe essere utile decomporre J

t

. Grazie a (DEP), decomporre J

t

equivale a decomporre S

t

. Purtroppo decomporre S

_t

` e estremamente difficile: infatti ` e equivalente a decomporre L

_µ

V

t

V

per ogni partizione µ.

Questo si pu` o vedere tramite la formula di Cauchy:

(S

t

)

_d

= Sym

^d

(E ⊗ F

^∗

) ∼ = M

µ`d

L

µ

E ⊗ L

µ

F

^∗

.

dove E = V

t

V , F = V

t

W e l’azione ` e di H = GL(E ) × GL(F ).

(55)

I l g r u p p o H

Per decomporre J

t

⊗

_S_t

k potrebbe essere utile decomporre J

t

. Grazie a (DEP), decomporre J

t

equivale a decomporre S

t

. Purtroppo decomporre S

_t

` e estremamente difficile: infatti ` e equivalente a decomporre L

_µ

V

t

V

per ogni partizione µ.

Questo si pu` o vedere tramite la formula di Cauchy:

(S

t

)

_d

= Sym

^d

(E ⊗ F

^∗

) ∼ = M

µ`d

L

µ

E ⊗ L

µ

F

^∗

.

dove E = V

t

V , F = V

t

W e l’azione ` e di H = GL(E ) × GL(F ).

(56)

I l g r u p p o H

Per decomporre J

t

⊗

_S_t

k potrebbe essere utile decomporre J

t

. Grazie a (DEP), decomporre J

t

equivale a decomporre S

t

. Purtroppo decomporre S

_t

` e estremamente difficile: infatti ` e equivalente a decomporre L

_µ

V

t

V

per ogni partizione µ.

Questo si pu` o vedere tramite la formula di Cauchy:

(S

t

)

_d

= Sym

^d

(E ⊗ F

^∗

) ∼ = M

µ`d

L

µ

E ⊗ L

µ

F

^∗

.

dove E = V

t

V , F = V

t

W e l’azione ` e di H = GL(E ) × GL(F ).

(57)

I l g r u p p o H

Per decomporre J

t

⊗

_S_t

k potrebbe essere utile decomporre J

t

. Grazie a (DEP), decomporre J

t

equivale a decomporre S

t

. Purtroppo decomporre S

_t

` e estremamente difficile: infatti ` e equivalente a decomporre L

_µ

V

t

V

per ogni partizione µ.

Questo si pu` o vedere tramite la formula di Cauchy:

(S

t

)

_d

= Sym

^d

(E ⊗ F

^∗

) ∼ = M

µ`d

L

µ

E ⊗ L

µ

F

^∗

.

dove E = V

t

V , F = V

t

W e l’azione ` e di H = GL(E ) × GL(F ).

(58)

R e l a z i o n i q u a d r a t i c h e

Siccome (J

_t

)

₁

= 0, abbiamo che (J

_t

⊗

_S_t

k)

₂

= (J

_t

)

₂

. Dunque descrivere le relazioni quadratiche minimali fra t-minori equivale a decomporre (J

_t

)

₂

. Grazie a (DEP) ci` o equivale a decomporre (S

_t

)

₂

. Questo non ` e un’impresa difficile, e si ottiene:

J

t

(m, n)

2

∼ = M

p,q

L

τp

V ⊗ L

τq

W

^∗

dove τ

i

= (t + i , t − i ) ` 2t, p = 0, . . . , min{t, m − t},

q = 0, . . . , min{t, n − t}, p 6= q and p + q is even.

(59)

R e l a z i o n i q u a d r a t i c h e

Siccome (J

_t

)

₁

= 0, abbiamo che (J

_t

⊗

_S_t

k)

₂

= (J

_t

)

₂

. Dunque descrivere le relazioni quadratiche minimali fra t-minori equivale a decomporre (J

_t

)

₂

. Grazie a (DEP) ci` o equivale a decomporre (S

_t

)

₂

. Questo non ` e un’impresa difficile, e si ottiene:

J

t

(m, n)

2

∼ = M

p,q

L

τp

V ⊗ L

τq

W

^∗

dove τ

i

= (t + i , t − i ) ` 2t, p = 0, . . . , min{t, m − t},

q = 0, . . . , min{t, n − t}, p 6= q and p + q is even.

(60)

R e l a z i o n i q u a d r a t i c h e

Siccome (J

_t

)

₁

= 0, abbiamo che (J

_t

⊗

_S_t

k)

₂

= (J

_t

)

₂

. Dunque descrivere le relazioni quadratiche minimali fra t-minori equivale a decomporre (J

_t

)

₂

. Grazie a (DEP) ci` o equivale a decomporre (S

_t

)

₂

. Questo non ` e un’impresa difficile, e si ottiene:

J

t

(m, n)

2

∼ = M

p,q

L

τp

V ⊗ L

τq

W

^∗

dove τ

i

= (t + i , t − i ) ` 2t, p = 0, . . . , min{t, m − t},

q = 0, . . . , min{t, n − t}, p 6= q and p + q is even.

(61)

R e l a z i o n i q u a d r a t i c h e

Siccome (J

_t

)

₁

= 0, abbiamo che (J

_t

⊗

_S_t

k)

₂

= (J

_t

)

₂

. Dunque descrivere le relazioni quadratiche minimali fra t-minori equivale a decomporre (J

_t

)

₂

. Grazie a (DEP) ci` o equivale a decomporre (S

_t

)

₂

. Questo non ` e un’impresa difficile, e si ottiene:

J

t

(m, n)

2

∼ = M

p,q

L

τp

V ⊗ L

τq

W

^∗

dove τ

i

= (t + i , t − i ) ` 2t, p = 0, . . . , min{t, m − t},

q = 0, . . . , min{t, n − t}, p 6= q and p + q is even.

(62)

R e l a z i o n i q u a d r a t i c h e

Siccome (J

_t

)

₁

= 0, abbiamo che (J

_t

⊗

_S_t

k)

₂

= (J

_t

)

₂

. Dunque descrivere le relazioni quadratiche minimali fra t-minori equivale a decomporre (J

_t

)

₂

. Grazie a (DEP) ci` o equivale a decomporre (S

_t

)

₂

. Questo non ` e un’impresa difficile, e si ottiene:

J

t

(m, n)

2

∼ = M

p,q

L

τp

V ⊗ L

τq

W

^∗

dove τ

i

= (t + i , t − i ) ` 2t, p = 0, . . . , min{t, m − t},

q = 0, . . . , min{t, n − t}, p 6= q and p + q is even.

(63)

R e l a z i o n i q u a d r a t i c h e

Siccome (J

_t

)

₁

= 0, abbiamo che (J

_t

⊗

_S_t

k)

₂

= (J

_t

)

₂

. Dunque descrivere le relazioni quadratiche minimali fra t-minori equivale a decomporre (J

_t

)

₂

. Grazie a (DEP) ci` o equivale a decomporre (S

_t

)

₂

. Questo non ` e un’impresa difficile, e si ottiene:

J

t

(m, n)

2

∼ = M

p,q

L

τp

V ⊗ L

τq

W

^∗

dove τ

i

= (t + i , t − i ) ` 2t, p = 0, . . . , min{t, m − t},

q = 0, . . . , min{t, n − t}, p 6= q and p + q is even.

(64)

R e l a z i o n i q u a d r a t i c h e

Siccome (J

_t

)

₁

= 0, abbiamo che (J

_t

⊗

_S_t

k)

₂

= (J

_t

)

₂

. Dunque descrivere le relazioni quadratiche minimali fra t-minori equivale a decomporre (J

_t

)

₂

. Grazie a (DEP) ci` o equivale a decomporre (S

_t

)

₂

. Questo non ` e un’impresa difficile, e si ottiene:

J

t

(m, n)

2

∼ = M

p,q

L

τp

V ⊗ L

τq

W

^∗

dove τ

i

= (t + i , t − i ) ` 2t, p = 0, . . . , min{t, m − t},

q = 0, . . . , min{t, n − t}, p 6= q and p + q is even.

(65)

R e l a z i o n i q u a d r a t i c h e

Siccome (J

_t

)

₁

= 0, abbiamo che (J

_t

⊗

_S_t

k)

₂

= (J

_t

)

₂

. Dunque descrivere le relazioni quadratiche minimali fra t-minori equivale a decomporre (J

_t

)

₂

. Grazie a (DEP) ci` o equivale a decomporre (S

_t

)

₂

. Questo non ` e un’impresa difficile, e si ottiene:

J

t

(m, n)

2

∼ = M

p,q

L

τp

V ⊗ L

τq

W

^∗

dove τ

i

= (t + i , t − i ) ` 2t, p = 0, . . . , min{t, m − t},

q = 0, . . . , min{t, n − t}, p 6= q and p + q is even.

(66)

R e l a z i o n i q u a d r a t i c h e

Siccome (J

_t

)

₁

= 0, abbiamo che (J

_t

⊗

_S_t

k)

₂

= (J

_t

)

₂

. Dunque descrivere le relazioni quadratiche minimali fra t-minori equivale a decomporre (J

_t

)

₂

. Grazie a (DEP) ci` o equivale a decomporre (S

_t

)

₂

. Questo non ` e un’impresa difficile, e si ottiene:

J

t

(m, n)

2

∼ = M

p,q

L

τp

V ⊗ L

τq

W

^∗

dove τ

i

= (t + i , t − i ) ` 2t, p = 0, . . . , min{t, m − t},

q = 0, . . . , min{t, n − t}, p 6= q and p + q is even.

(67)

R e l a z i o n i q u a d r a t i c h e

Siccome (J

_t

)

₁

= 0, abbiamo che (J

_t

⊗

_S_t

k)

₂

= (J

_t

)

₂

. Dunque descrivere le relazioni quadratiche minimali fra t-minori equivale a decomporre (J

_t

)

₂

. Grazie a (DEP) ci` o equivale a decomporre (S

_t

)

₂

. Questo non ` e un’impresa difficile, e si ottiene:

J

t

(m, n)

2

∼ = M

p,q

L

τp

V ⊗ L

τq

W

^∗

dove τ

i

= (t + i , t − i ) ` 2t, p = 0, . . . , min{t, m − t},

q = 0, . . . , min{t, n − t}, p 6= q and p + q is even.

(68)

R e l a z i o n i q u a d r a t i c h e

Soffermiamoci un secondo nel caso t = 3 e m ≥ 6. Le partizioni in gioco sono: τ

₀

= (3, 3), τ

₁

= (4, 2), τ

₂

= (5, 1) e τ

₃

= (6);

dunque (J

₃

)

₂

si decompone come:

(L

τ₀

V ⊗ L

τ₂

W

^∗

) ⊕ (L

τ₂

V ⊗ L

τ₀

W

^∗

) ⊕ (L

τ₁

V ⊗ L

τ₃

W

^∗

) ⊕ (L

τ₃

V ⊗ L

τ₁

W

^∗

)

I primi due addendi diretti corrispondono a relazioni di Pl¨ ucker, ma gli altri no. Il polinomio “corrispondente a L

_τ₁

V ⊗ L

_τ₃

W

^∗

” ` e:

X

σ∈Σ2 ρ∈Σ6

(−1)

^σ

(−1)

^ρ

[1, 2, 2 + σ(1)|ρ(1), ρ(2), ρ(3)][1, 2, 2 + σ(2)|ρ(4), ρ(5), ρ(6)].

(69)

R e l a z i o n i q u a d r a t i c h e

Soffermiamoci un secondo nel caso t = 3 e m ≥ 6. Le partizioni in gioco sono: τ

₀

= (3, 3), τ

₁

= (4, 2), τ

₂

= (5, 1) e τ

₃

= (6);

dunque (J

₃

)

₂

si decompone come:

(L

τ₀

V ⊗ L

τ₂

W

^∗

) ⊕ (L

τ₂

V ⊗ L

τ₀

W

^∗

) ⊕ (L

τ₁

V ⊗ L

τ₃

W

^∗

) ⊕ (L

τ₃

V ⊗ L

τ₁

W

^∗

)

I primi due addendi diretti corrispondono a relazioni di Pl¨ ucker, ma gli altri no. Il polinomio “corrispondente a L

_τ₁

V ⊗ L

_τ₃

W

^∗

” ` e:

X

σ∈Σ2 ρ∈Σ6

(−1)

^σ

(−1)

^ρ

[1, 2, 2 + σ(1)|ρ(1), ρ(2), ρ(3)][1, 2, 2 + σ(2)|ρ(4), ρ(5), ρ(6)].

(70)

R e l a z i o n i q u a d r a t i c h e

Soffermiamoci un secondo nel caso t = 3 e m ≥ 6. Le partizioni in gioco sono: τ

₀

= (3, 3), τ

₁

= (4, 2), τ

₂

= (5, 1) e τ

₃

= (6);

dunque (J

₃

)

₂

si decompone come:

(L

τ₀

V ⊗ L

τ₂

W

^∗

) ⊕ (L

τ₂

V ⊗ L

τ₀

W

^∗

) ⊕ (L

τ₁

V ⊗ L

τ₃

W

^∗

) ⊕ (L

τ₃

V ⊗ L

τ₁

W

^∗

)

I primi due addendi diretti corrispondono a relazioni di Pl¨ ucker, ma gli altri no. Il polinomio “corrispondente a L

_τ₁

V ⊗ L

_τ₃

W

^∗

” ` e:

X

σ∈Σ2 ρ∈Σ6

(−1)

^σ

(−1)

^ρ

[1, 2, 2 + σ(1)|ρ(1), ρ(2), ρ(3)][1, 2, 2 + σ(2)|ρ(4), ρ(5), ρ(6)].

(71)

R e l a z i o n i q u a d r a t i c h e

Soffermiamoci un secondo nel caso t = 3 e m ≥ 6. Le partizioni in gioco sono: τ

₀

= (3, 3), τ

₁

= (4, 2), τ

₂

= (5, 1) e τ

₃

= (6);

dunque (J

₃

)

₂

si decompone come:

(L

τ₀

V ⊗ L

τ₂

W

^∗

) ⊕ (L

τ₂

V ⊗ L

τ₀

W

^∗

) ⊕ (L

τ₁

V ⊗ L

τ₃

W

^∗

) ⊕ (L

τ₃

V ⊗ L

τ₁

W

^∗

)

I primi due addendi diretti corrispondono a relazioni di Pl¨ ucker, ma gli altri no. Il polinomio “corrispondente a L

_τ₁

V ⊗ L

_τ₃

W

^∗

” ` e:

X

σ∈Σ2 ρ∈Σ6

(−1)

^σ

(−1)

^ρ

[1, 2, 2 + σ(1)|ρ(1), ρ(2), ρ(3)][1, 2, 2 + σ(2)|ρ(4), ρ(5), ρ(6)].

(72)

R e l a z i o n i q u a d r a t i c h e

Soffermiamoci un secondo nel caso t = 3 e m ≥ 6. Le partizioni in gioco sono: τ

₀

= (3, 3), τ

₁

= (4, 2), τ

₂

= (5, 1) e τ

₃

= (6);

dunque (J

₃

)

₂

si decompone come:

(L

τ₀

V ⊗ L

τ₂

W

^∗

) ⊕ (L

τ₂

V ⊗ L

τ₀

W

^∗

) ⊕ (L

τ₁

V ⊗ L

τ₃

W

^∗

) ⊕ (L

τ₃

V ⊗ L

τ₁

W

^∗

)

I primi due addendi diretti corrispondono a relazioni di Pl¨ ucker, ma gli altri no. Il polinomio “corrispondente a L

_τ₁

V ⊗ L

_τ₃

W

^∗

” ` e:

X

σ∈Σ2 ρ∈Σ6

(−1)

^σ

(−1)

^ρ

[1, 2, 2 + σ(1)|ρ(1), ρ(2), ρ(3)][1, 2, 2 + σ(2)|ρ(4), ρ(5), ρ(6)].

(73)

R e l a z i o n i q u a d r a t i c h e

Soffermiamoci un secondo nel caso t = 3 e m ≥ 6. Le partizioni in gioco sono: τ

₀

= (3, 3), τ

₁

= (4, 2), τ

₂

= (5, 1) e τ

₃

= (6);

dunque (J

₃

)

₂

si decompone come:

(L

τ₀

V ⊗ L

τ₂

W

^∗

) ⊕ (L

τ₂

V ⊗ L

τ₀

W

^∗

) ⊕ (L

τ₁

V ⊗ L

τ₃

W

^∗

) ⊕ (L

τ₃

V ⊗ L

τ₁

W

^∗

)

I primi due addendi diretti corrispondono a relazioni di Pl¨ ucker, ma gli altri no. Il polinomio “corrispondente a L

_τ₁

V ⊗ L

_τ₃

W

^∗

” ` e:

X

σ∈Σ2 ρ∈Σ6

(−1)

^σ

(−1)

^ρ

[1, 2, 2 + σ(1)|ρ(1), ρ(2), ρ(3)][1, 2, 2 + σ(2)|ρ(4), ρ(5), ρ(6)].

(74)

R e l a z i o n i q u a d r a t i c h e

Soffermiamoci un secondo nel caso t = 3 e m ≥ 6. Le partizioni in gioco sono: τ

₀

= (3, 3), τ

₁

= (4, 2), τ

₂

= (5, 1) e τ

₃

= (6);

dunque (J

₃

)

₂

si decompone come:

(L

τ₀

V ⊗ L

τ₂

W

^∗

) ⊕ (L

τ₂

V ⊗ L

τ₀

W

^∗

) ⊕ (L

τ₁

V ⊗ L

τ₃

W

^∗

) ⊕ (L

τ₃

V ⊗ L

τ₁

W

^∗

)

I primi due addendi diretti corrispondono a relazioni di Pl¨ ucker, ma gli altri no. Il polinomio “corrispondente a L

_τ₁

V ⊗ L

_τ₃

W

^∗

” ` e:

X

σ∈Σ2 ρ∈Σ6

(−1)

^σ

(−1)

^ρ

[1, 2, 2 + σ(1)|ρ(1), ρ(2), ρ(3)][1, 2, 2 + σ(2)|ρ(4), ρ(5), ρ(6)].

(75)

R e l a z i o n i q u a d r a t i c h e

Soffermiamoci un secondo nel caso t = 3 e m ≥ 6. Le partizioni in gioco sono: τ

₀

= (3, 3), τ

₁

= (4, 2), τ

₂

= (5, 1) e τ

₃

= (6);

dunque (J

₃

)

₂

si decompone come:

(L

τ₀

V ⊗ L

τ₂

W

^∗

) ⊕ (L

τ₂

V ⊗ L

τ₀

W

^∗

) ⊕ (L

τ₁

V ⊗ L

τ₃

W

^∗

) ⊕ (L

τ₃

V ⊗ L

τ₁

W

^∗

)

I primi due addendi diretti corrispondono a relazioni di Pl¨ ucker, ma gli altri no. Il polinomio “corrispondente a L

_τ₁

V ⊗ L

_τ₃

W

^∗

” ` e:

X

σ∈Σ2 ρ∈Σ6

(−1)

^σ

(−1)

^ρ

[1, 2, 2 + σ(1)|ρ(1), ρ(2), ρ(3)][1, 2, 2 + σ(2)|ρ(4), ρ(5), ρ(6)].

(76)

R e l a z i o n i q u a d r a t i c h e

Soffermiamoci un secondo nel caso t = 3 e m ≥ 6. Le partizioni in gioco sono: τ

₀

= (3, 3), τ

₁

= (4, 2), τ

₂

= (5, 1) e τ

₃

= (6);

dunque (J

₃

)

₂

si decompone come:

(L

τ₀

V ⊗ L

τ₂

W

^∗

) ⊕ (L

τ₂

V ⊗ L

τ₀

W

^∗

) ⊕ (L

τ₁

V ⊗ L

τ₃

W

^∗

) ⊕ (L

τ₃

V ⊗ L

τ₁

W

^∗

)

I primi due addendi diretti corrispondono a relazioni di Pl¨ ucker, ma gli altri no. Il polinomio “corrispondente a L

_τ₁

V ⊗ L

_τ₃

W

^∗

” ` e:

X

σ∈Σ2 ρ∈Σ6

(−1)

^σ

(−1)

^ρ

[1, 2, 2 + σ(1)|ρ(1), ρ(2), ρ(3)][1, 2, 2 + σ(2)|ρ(4), ρ(5), ρ(6)].

(77)

F o r m u l a d i P i e r i

Data λ = (λ

₁

, . . . , λ

_k

) ` d , sia ˜ λ = (λ

₁

+ t, λ

₁

, λ

₂

, . . . , λ

_k

). Se µ ` d + t ` e tale che λ ⊂ µ ⊂ ˜ λ, diremo che µ ` e un successore di λ e che λ ` e un predecessore di µ. Ad esempio se t = 2

λ = λ = ˜

La partizione di sotto γ non ` e un successore di λ, mentre µ lo ` e:

γ = µ =

(78)

F o r m u l a d i P i e r i

Data λ = (λ

₁

, . . . , λ

_k

) ` d , sia ˜ λ = (λ

₁

+ t, λ

₁

, λ

₂

, . . . , λ

_k

). Se µ ` d + t ` e tale che λ ⊂ µ ⊂ ˜ λ, diremo che µ ` e un successore di λ e che λ ` e un predecessore di µ. Ad esempio se t = 2

λ = λ = ˜

La partizione di sotto γ non ` e un successore di λ, mentre µ lo ` e:

γ = µ =

(79)

F o r m u l a d i P i e r i

Data λ = (λ

₁

, . . . , λ

_k

) ` d , sia ˜ λ = (λ

₁

+ t, λ

₁

, λ

₂

, . . . , λ

_k

). Se µ ` d + t ` e tale che λ ⊂ µ ⊂ ˜ λ, diremo che µ ` e un successore di λ e che λ ` e un predecessore di µ. Ad esempio se t = 2

λ = λ ˜ =

La partizione di sotto γ non ` e un successore di λ, mentre µ lo ` e:

γ = µ =

(80)

F o r m u l a d i P i e r i

Data λ = (λ

₁

, . . . , λ

_k

) ` d , sia ˜ λ = (λ

₁

+ t, λ

₁

, λ

₂

, . . . , λ

_k

). Se µ ` d + t ` e tale che λ ⊂ µ ⊂ ˜ λ, diremo che µ ` e un successore di λ e che λ ` e un predecessore di µ. Ad esempio se t = 2

λ = λ ˜ =

La partizione di sotto γ non ` e un successore di λ, mentre µ lo ` e:

γ = µ =

(81)

F o r m u l a d i P i e r i

Data λ = (λ

₁

, . . . , λ

_k

) ` d , sia ˜ λ = (λ

₁

+ t, λ

₁

, λ

₂

, . . . , λ

_k

). Se µ ` d + t ` e tale che λ ⊂ µ ⊂ ˜ λ, diremo che µ ` e un successore di λ e che λ ` e un predecessore di µ. Ad esempio se t = 2

λ = λ ˜ =

La partizione di sotto γ non ` e un successore di λ, mentre µ lo ` e:

γ = µ =

(82)

F o r m u l a d i P i e r i

Data λ = (λ

₁

, . . . , λ

_k

) ` d , sia ˜ λ = (λ

₁

+ t, λ

₁

, λ

₂

, . . . , λ

_k

). Se µ ` d + t ` e tale che λ ⊂ µ ⊂ ˜ λ, diremo che µ ` e un successore di λ e che λ ` e un predecessore di µ. Ad esempio se t = 2

λ = λ ˜ =

La partizione di sotto γ non ` e un successore di λ, mentre µ lo ` e:

γ = µ =

(83)

F o r m u l a d i P i e r i

Data λ = (λ

₁

, . . . , λ

_k

) ` d , sia ˜ λ = (λ

₁

+ t, λ

₁

, λ

₂

, . . . , λ

_k

). Se µ ` d + t ` e tale che λ ⊂ µ ⊂ ˜ λ, diremo che µ ` e un successore di λ e che λ ` e un predecessore di µ. Ad esempio se t = 2

λ = λ ˜ =

La partizione di sotto γ non ` e un successore di λ, mentre µ lo ` e:

γ = µ =