Algebra – Problemi di ammissione

(1)

Algebra – Problemi di ammissione

1. Per ogni intero positivo n, poniamo f(n) = n + max

m∈ N : 2²^m ≤ n2ⁿ . Determinare l’immagine della funzione f.

2. Siano a, b, c numeri reali positivi tali che a+ b + c ≥ 1

a + 1 b + 1

c. Dimostrare che

a b +b

c+ c a ≥ 1

ab+ 1 bc + 1

ca.

3. Sia n > 3 un numero intero. Determinare la pi`u grando costante an e la pi`u piccola costante bn tali che

an≤ Xn

i=1

xi

xi−1+ xi+ xi+1 ≤ bn,

per ogni n-upla di numeri reali positivi (x1, . . . , xn). Si intende che nella sommatoria gli indici sono pensati modulo n.

(2)

Algebra – Sessioni dello stage

4. Siano m ed n due numeri interi, con n > m ≥ 0. Siano I e J due insiemi di indici, con

|I| = |J| = n e |I ∩ J| = m. Per ogni k ∈ I ∪ J sia uk un vettore dello spazio.

Supponiamo che X

i∈I

ui

=

X

j∈I

uj

= 1.

Dimostrare che X

k∈I∪J

|u^k|² ≥ 2 m+ n. 5. Siano a, b, c numeri reali positivi tali che

ab+ bc + ca ≤ abc.

Dimostrare che 3 +

ra²+ b² a+ b +

rb²+ c² b+ c +

rc²+ a² c+ a ≤

√2√

a+ b +√

b+ c +√ c+ a

. 6. Dimostrare che

a²+ b²+ c² ≥p

3 (a³b+ b³c+ c³a) per ogni terna (a, b, c) di numeri reali positivi.

7. Determinare tutte le funzioni f : (0, +∞) → (0, +∞) tali che

f(x + y − z) + f(2√xz) + f(2√yz) = f(x + y + z) per ogni terna (x, y, z) di numeri reali positivi tali che x + y > z.

8. Sia n un intero positivo, e sia (ε1, . . . , ε_n−1) ∈ {0, 1}ⁿ⁻¹. Definiamo per ricorrenza i numeri a0, . . . , an e b0, . . . , bn ponendo

a₀ = b0 = 1, a₁ = b1 = 7, e successivamente, per ogni i = 1, . . . , n − 1,

ai+1 = 2a_i−1+ 3ai se εi = 0, 3ai−1+ ai se εi = 1, bi+1 = 2bi−1+ 3bi se εn−i = 0,

3b_i−1+ bi se ε_n−i = 1.

Dimostrare che an = bn.

Winter Camp Pisa 2010 – Pag. 2 di 11

(3)

Combinatoria – Problemi di ammissione

1. Alberto e Barbara hanno inventato il seguente gioco. All’inizio ci sono 2009 pile di monete, che indichiamo con P1, . . . , P2009. Ad ogni mossa ogni giocatore sceglie una pila Pi non vuota e sposta un certo numero di monete a sua scelta (almeno una, al massimo tutte) da Pi a P_i−1. Se la pila prescelta è la P1, allora le monete scelte vengono eliminate dal gioco. Alberto è il primo a giocare, poi i giocatori muovono a turno. Chi non ha più mosse valide perde.

All’inizio la pila Pi contiene i monete per ogni i = 1, . . . , 2008, mentre la pila 2009 contiene k monete.

Determinare per quali valori di k Alberto ha una strategia vincente.

2. Sulla lavagna `e stato scritto un numero reale r. Ad ogni passaggio `e possibile scegliere un numero x tra quelli scritti, cancellarlo, e sostituirlo con due numeri a e b tali che 2x² = ab. Partendo dal numero r scritto all’inizio, ed operando k²− 1 volte nel modo indicato, si termina con k² numeri scritti, non necessariamente tutti distinti.

Dimostrare che almeno uno di tali numeri `e minore od uguale di kr.

3. Gli elementi di una matrice n × m sono numeri interi. Una operazione consiste nel- l’aggiungere un intero a propria scelta a tutti gli elementi di una stessa riga o di una stessa colonna. Si sa che per infiniti interi k `e possibile, facendo un numero finito di operazioni a partire dalla configurazione iniziale, ottenere una matrice i cui elementi sono tutti multipli di k.

Dimostrare che, con un numero finito di operazioni, `e possibile ottenere anche la matrice nulla (quella con tutti gli elementi uguali a zero).

(4)

Combinatoria – Sessioni dello stage

4. Sia n un intero positivo, e sia N = n² + 1. Una scacchiera N × N `e suddivisa in N² quadratini. Ogni quadratino `e colorato scegliendo tra N colori, e facendo in modo che ognuno degli N colori sia utilizzato N volte.

Dimostrare che esiste sicuramente una riga od una colonna in cui compaiono almeno n+ 1 colori.

5. Su un tavolo sono allineate 2009 pedine, ciascuna delle quali ha un lato bianco ed un lato nero. Inizialmente tutte le pedine mostrano il lato bianco, tranne una. Successi- vamente, ad ogni mossa `e possibile scegliere una qualunque pedina nera, e ribaltare le sue due vicine (se la pedina scelta si trova agli estremi della fila, una sola pedina sar`a ribaltata).

(a) Determinare per quali posizioni iniziali della pedina nera `e possibile giungere, mediante un’opportuna successione di mosse, alla configurazione in cui tutte le pedine mostrano il lato nero.

(b) Trattare lo stesso problema nel caso di una fila contenente 2010 pedine.

6. Sia dato un grafo con 2009 vertici. Determinare quali delle seguenti ipotesi implicano l’esistenza di un percorso chiuso che tocca una ed una sola volta tutti i vertici (circuito hamiltiniano).

(a) Ogni vertice `e collegato con almeno 1004 altri vertici.

(b) Ogni vertice `e collegato con almeno 1005 altri vertici.

(c) Ogni vertice `e collegato con esattamente 1004 altri vertici.

(5)

Geometria – Problemi di ammissione

1. Sia ABCD un quadrilatero convesso, e siano P e Q due punti interni ad esso. Suppo- niamo che i quadrilateri ADQP e BCQP siano ciclici. Supponiamo inoltre che esista un punto E appartenente al segmento P Q tale che

∠P BE = ∠QCE, ∠P AE = ∠QDE.

(a) Sia F l’ulteriore intersezione tra la retta BC e la circonferenza circoscritta al triangolo ECQ.

Dimostrare che la retta EF `e parallela a BP . (b) Dimostrare che il quadrilatero ABCD `e ciclico.

2. Sia ABCD un trapezio con lati paralleli AB e CD. Sia E un punto sul prolungamento del segmento BC dalla parte di C, e sia F un punto sul segmento AD tali che ∠EAD =

∠FBC. La retta EF incontra la retta CD in I e incontra la retta AB in J. Sia K il punto medio di EF , che supponiamo non appartenere alla retta CD.

Dimostrare che il quadrilatero ABIK `e ciclico se e solo se il quadrilatero CDJK `e ciclico.

3. Due circonferenze Γ1 e Γ2 si intersecano in due punti distinti A e B, e sono tangenti internamente ad una terza circonferenza Γ nei punti D ed E, rispettivamente. Sia C uno dei punti di intersezione tra la retta AB e Γ. La circonferenza Γ1 incontra nuovamente la retta DC in F e la retta DE in H. La circonferenza Γ2 incontra nuovamente la retta EC in G e la retta ED in I.

Dimostrare che il quadrilatero F GHI `e ciclico.

(6)

Geometria – Sessioni dello stage

4. (a) Sia Γ una circonferenza, AB una sua corda. Siano Γ1 e Γ2 che si intersecano in M e N e tangenti internamente a Γ e ad AB.

Provare che MN passa per il punto medio dell’arco AB nel semipiano che non contiene M e N.

(b) Siano ora Γ1 e Γ2 circonferenze che non si intersecano e tangenti internamente a Γ. Le loro tangenti interne comuni intersecano Γ in 4 punti. Siano B e C due di questi punti che giacciono dalla stessa parte rispetto alla congiungente dei centri di Γ1 e Γ2.

Dimostrare che BC ´e parallelo a una tangente esterna comune dei cerchi Γ1 e Γ2. 5. Sia ABCD un quadrilatero convesso e sia P un punto sul segmento AB. Sia ω la circonferenza inscritta in CP D e supponiamo che questa sia tangente alle circonferenze inscritte in AP D e BP C nei punti K ed L. Siano E l’intersezione di AC e BD, F l’intersezione di AK e BL, I il centro di ω.

Mostrare che I, E, F sono allineati.

6. Nel triangolo ABC, siano Ma, Mb, Mc i punti medi dei lati; la circonferenza ω inscritta in ABC tange i lati nei punti A^′, B^′, C^′. Sia r1 la retta simmetrica di BC rispetto ad AI e sia r2 la perpendicolare da A^′ a IMa; chiamiamo Xa l’intersezione di r1 e r2 e definiamo analogamente Xb e Xc.

Dimostrare che Xa, Xb, Xc sono allineati su una retta tangente a ω.

7. Sia Γ una circonferenza che interseca i lati di ABC in A1, A2, B1, B2, C1, C2. Sia A3

l’intersezione delle tangenti a Γ per A1 e A2 e siano definiti similmente B3 e C3. Dimostrare che AA3, BB3, CC3 concorrono.

8. Sia P un punto interno al triangolo ABC tale che le intersezioni AP ∩ BC = A^′ BP ∩ AC = B^′ CP ∩ AB = C^′

siano le proiezioni di un punto Q sui lati. Siano A1, A2 le intersezioni di B^′C^′ con la circonferenza circoscritta ad ABC e similmente definiamo B1, B₂, C₁, C₂.

Allora il centro radicale delle circonferenze per A, A1, A₂, per B, B1, B₂ e per C, C1, C₂ sta sul segmento OP^′, dove P^′ il coniugato isogonale di P .

9. Sia ABC un triangolo, con baricentro G, circocentro O, punto di Lemoine K.

(a) Dimostrare che le riflessioni della retta di Eulero rispetto ai lati concorrono in un punto E.

(b) Dimostrare che G ed E sono inversi rispetto alla circonferenza di diametro OK (circonferenza di Brocard).

(7)

Teoria dei Numeri – Problemi di ammissione

1. Trovare tutte le soluzioni intere positive dell’equazione n= φ(n) + 402, dove φ indica la funzione di Eulero.

2. Siano a ed n due numeri interi maggiori di 1 e tali che n divide (a −1)^k per un qualche k≥ 2.

Dimostrare che n divide

aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²+ . . . + a + 1.

3. Consideriamo la successione definita per ricorrenza da a1 = 1 e a_2k = ak+ 1, a_2k+1= 1

a2k ∀k ≥ 1.

(a) Determinare se ci sono numeri che compaiono pi`u volte nella successione.

(b) Determinare l’immagine della successione.

(8)

Teoria dei Numeri – Sessioni dello stage

4. Sia n un intero positivo, e siano x1, . . . , xn dei numeri interi.

Dimostrare che Y

1≤i<j≤n

xj − xi

j− i

`e un intero.

5. Sia p un numero primo, e siano A(p) = 2^p⁻¹− 1

p , B(p) = 11^p⁻¹− 1

p , C(p) = 7^p⁻¹− 1

p .

(a) Determinare tutti i primi p per cui A(p) `e un quadrato perfetto.

(b) Determinare tutti i primi p per cui B(p) `e un quadrato perfetto.

(c) Determinare tutti i primi p per cui C(p) `e un quadrato perfetto.

6. Determinare tutte le coppie (a, b) di numeri interi tali che a³+ 2a + 1 = 2^b.

7. (a) Sia p un numero primo, e siano a1, a2, . . . , ap numeri interi (non necessariamente distinti).

Dimostrare che esiste un sottoinsieme I ⊆ {1, . . . , p} non vuoto tale che X

i∈I

ai

`e multiplo di p.

(b) Sia p un numero primo, sia k ≥ 1 un intero, e siano a1, a₂, . . . , a_k(p−1)+1dei vettori di Z^kp (non necessariamente distinti).

Dimostrare che esiste un sottoinsieme I ⊆ {1, . . . , k(p − 1) + 1} non vuoto tale

che X

i∈I

ai

`e il vettore nullo.