1 . Determinare tutte le soluzioni in C dell’equazione

Tutte le risposte devono essere motivate

1 . Determinare tutte le soluzioni in C dell’equazione

−i Im¯ z − 1 = i|z| ² − i Re(i¯ z)
2

− |z − i| ²

1’ . Determinare tutte le soluzioni in C dell’equazione

|z| arg(1 + |z| − e ^|z| ) = ¯ zπ, dove arg(·) ∈ [0, 2π).

2 . Studiare la funzione

f (x) = x − p x ² − 1.

In particolare, determinare dominio naturale, eventuali simmetrie, intersezione con gli assi, segno, asintoti, punti di massimo e di minimo locali e assoluti, concavit` a, flessi e tracciare un grafico qualitativo.

2’ . Studiare la funzione

f (x) = (sin x + cos x) cos x

nell’intervallo [− ^π ₂ , ^π ₂ ] In particolare, determinare: dominio naturale, eventuali simmetrie, inter- sezione con gli assi, segno, asintoti, punti di massimo e di minimo locali e assoluti, concavit` a, flessi, e tracciarne un grafico qualitativo.

3 . Classificare i punti di non derivabilit` a della funzione f (x) = p

(x ² − 5x + 6) ² + |x − 1|e ^x

3’ . Dimostrare che ∀y > 2, l’equazione

e ^x + arctg (3x + 1) = y ammette un’unica soluzione x > 0.

4 . Individuare l’infinito d’ordine maggiore, per x → +∞, tra

f (x) = (log x) ^x

e g(x) = x ^{log x} .