Corso di Laurea in Economia | 31 Gennaio 2020
Algebra Lineare Gianluca Ferrari Analisi Matematica I
Simulazione d’esame di Matematica Generale – Unità I
Problema 1
a. Si considerino le matrici
𝐴𝑘 = (
1 −1 𝑘 𝑘 − 2
1 −1 2 0
1 2 − 𝑘 0 0
) , 𝐵𝑘= ( 0 0 𝑘 − 2
) , 𝑋 = (
𝑥 𝑦 𝑧 𝑡
) , 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ .
Si discuta, al variare di 𝑘 ∈ ℝ la compatibilità del sistema 𝐴𝑘𝑋 = 𝐵𝑘, precisando il numero
di soluzioni qualora il sistema sia compatibile. (5 punti)
b. Si consideri ora la matrice 4 × 4 definita da
𝑀 = (
1 0 0 0
0 1 4 3
0 0 2 0
0 1 4 3
) .
Dopo averne calcolato il determinate, tramite lo sviluppo di Laplace, si dica se tale matrice è invertibile. Qualora sia possibile, se ne calcoli la matrice inversa. (2 punti) c. Si consideri, infine, la matrice
𝑁𝑘 = (
2 2 𝑘
1 2 0
0 0 3𝑘
) , 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ .
Si determini il valore del parametro 𝑘 per il quale la matrice 𝑁𝑘 ha determinante pari a 1. Per tale valore di 𝑘, si calcoli la matrice inversa di 𝑁𝑘. (3 punti) Problema 2
Si consideri la funzione reale di una variabile
𝑓(𝑥) = 1 − 𝑒𝑥 ln 𝑥2 . Dopo averne calcolato il dominio:
a. si studi la presenza di eventuali simmetrie nel grafico della funzione; (1 punto)
b. si studi il segno della funzione; (2 punti)
c. si determini la presenza di eventuali asintoti orizzontali, verticali oppure obliqui; (2 punti) d. si calcoli la derivata prima e se ne determini il dominio; (2 punti) e. si determinino gli intervalli di monotonia e si calcolino i punti di massimo e di minimo;
(4 punti) f. facoltativamente, si tracci un grafico qualitativo di 𝑓, tralasciando lo studio della derivata
seconda;
g. si determini l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa
𝑥0 = 1. (2 punti)
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Algebra Lineare Gianluca Ferrari Analisi Matematica I
È possibile scrivere il polinomio di Maclaurin al secondo ordine per la funzione in questione? Si
motivi la risposta e, in ogni caso, si calcoli tale polinomio di approssimazione per la funzione 𝑔 ∶ ℝ → ℝ definita da
𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥2 .
(2 punti) Esercizio 1
Si calcolino i seguenti limiti utilizzando, ove possibile, il metodo del confronto asintotico.
1. lim
𝑥→+∞(√𝑥2+ 1 − √𝑥2 + 𝑥) 2. lim
𝑥→0
𝑥 ln(1 + 2𝑥) (𝑒4𝑥− 1)2 3. lim
𝑥→+∞(1 −2 𝑥)
2𝑥−1
4. lim
𝑥→+∞
𝑒−𝑥+ log 𝑥 + 𝑥2 2𝑥2+ 1
(2 punti) Esercizio 2
Dopo averne calcolato il dominio, si trovino gli asintoti della funzione 𝑓(𝑥) = √𝑥2+ 3𝑥 − 4 − 2𝑥 .
(3 punti) Esercizio 3
Si studi la convessità della funzione
𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥
√2 + 𝑥2 .
(3 punti) Esercizio 4
Si determino i valori dei parametri reali 𝑎 e 𝑏 tali che la funzione 𝑓(𝑥) = {𝑎𝑒𝑥−1 𝑠𝑒 𝑥 > 1
𝑏𝑥2+ 𝑥3 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
sia continua e derivabile per ogni 𝑥 ∈ ℝ. (2 punti)
