CdL in Informatica GEOMETRIA ed ALGEBRA
prof. Fabio GAVARINI a.a. 2018–2019
Esame scritto del 21 Giugno 2019 — Sessione Estiva, I appello
N.B.: compilare il compito in modo sintetico ma esauriente, spiegando chiaramente quanto si fa, e scrivendo in corsivo con grafia leggibile.
· · · ∗ · · · ·
[1] — Si considerino le due matrici
A :=
1 −2
2 0
3 1
∈ Mat3×2( Q)
, B :=
(−1 3 −2
0 −4 1
)
∈ Mat2×3( Q)
e siano LA : Q2 −→ Q3 e LB :Q3 −→ Q2 le due funzioni lineari ad esse associate nel modo canonico.
(a) Calcolare dim(
Im(LA◦ LB)) .
(b) Determinare se la matrice A B (prodotto righe per colonne) sia invertibile; in caso positivo se ne calcoli esplicitamente la matrice inversa, in caso negativo se ne calcoli esplicitamente il nucleo.
(c) Determinare se la matrice B A (prodotto righe per colonne) sia invertibile; in caso positivo se ne calcoli esplicitamente la matrice inversa, in caso negativo se ne calcoli esplicitamente il nucleo.
[2] — Nello spazio vettoriale V :=C3 si considerino i tre vettori u(t) :=(
−1 , t + 4 , t − 6)
, v(t) := (
2 ,−2 t − 4 , 6)
, w(t) :=(
3− t , t2− 8 , 15 − 6 t) dipendenti dal parametro t∈ C , sia Vt′ := Span(
u(t), v(t), w(t))
— per ogni t∈ C — il sottospazio di V generato dai tre vettori u(t) , v(t) e w(t) , e sia ft : V −→ V l’unica funzione lineare da V a V tale che
ft(1 , 0 , 0) := u(t) , ft(0 , 1 , 0) := v(t) , ft(0 , 0 , 1) := w(t)
(a) Per ogni t∈ C , calcolare la dimensione del sottospazio Vt′ . (b) Per ogni t∈ C , determinare una base del sottospazio Vt′ .
(c) Determinare per quali valori di t∈ C la funzione ft sia invertibile.
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[3] — Nello spazio affine A4R di dimensione 4 su R , si consideri il sottospazio affine S con equazioni cartesiane
S :
x3 + 2 x4 = 3
2 x1 + 4 x2 − 2 x3 = 4 2 x1 + 4 x2 − x3 + 2 x4 = 7
(a) Determinare la dimensione del sottospazio S . (b) Determinare equazioni parametriche per S .
(c) Determinare equazioni parametriche per l’unico sottospazio affine S′ di A4R che sia parallelo a S , abbia la stessa dimensione e passi per il punto P0′ := ( 3 ,−1 , 2 , 1 ) .
[4] — Sia data la matrice
A :=
1 0 −5 0
0 3 0 2
−5 0 1 0
0 0 0 −1
∈ Mat4×4( K)
dove K `e un campo.
(a) Calcolare lo spettro di A quando K := Q . (b) Calcolare lo spettro di A quando K := Z5.
(c) Per K := Q , determinare se la matrice A sia diagonalizzabile; in caso negativo si spieghi il perch´e, in caso positivo si calcoli esplicitamente una base di autovettori.
(d) Per K := Z5, determinare se la matrice A sia diagonalizzabile; in caso negativo si spieghi il perch´e, in caso positivo si calcoli esplicitamente una base di autovettori.
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