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(b) Determinare se la matrice A B (prodotto righe per colonne) sia invertibile

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Academic year: 2021

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(1)

CdL in Informatica GEOMETRIA ed ALGEBRA

prof. Fabio GAVARINI a.a. 2018–2019

Esame scritto del 21 Giugno 2019 — Sessione Estiva, I appello

N.B.: compilare il compito in modo sintetico ma esauriente, spiegando chiaramente quanto si fa, e scrivendo in corsivo con grafia leggibile.

· · · ∗ · · · ·

[1] — Si considerino le due matrici

A :=

1 −2

2 0

3 1

 ∈ Mat3×2( Q)

, B :=

(−1 3 −2

0 −4 1

)

∈ Mat2×3( Q)

e siano LA : Q2 −→ Q3 e LB :Q3 −→ Q2 le due funzioni lineari ad esse associate nel modo canonico.

(a) Calcolare dim(

Im(LA◦ LB)) .

(b) Determinare se la matrice A B (prodotto righe per colonne) sia invertibile; in caso positivo se ne calcoli esplicitamente la matrice inversa, in caso negativo se ne calcoli esplicitamente il nucleo.

(c) Determinare se la matrice B A (prodotto righe per colonne) sia invertibile; in caso positivo se ne calcoli esplicitamente la matrice inversa, in caso negativo se ne calcoli esplicitamente il nucleo.

[2] — Nello spazio vettoriale V :=C3 si considerino i tre vettori u(t) :=(

−1 , t + 4 , t − 6)

, v(t) := (

2 ,−2 t − 4 , 6)

, w(t) :=(

3− t , t2− 8 , 15 − 6 t) dipendenti dal parametro t∈ C , sia Vt := Span(

u(t), v(t), w(t))

— per ogni t∈ C — il sottospazio di V generato dai tre vettori u(t) , v(t) e w(t) , e sia ft : V −→ V l’unica funzione lineare da V a V tale che

ft(1 , 0 , 0) := u(t) , ft(0 , 1 , 0) := v(t) , ft(0 , 0 , 1) := w(t)

(a) Per ogni t∈ C , calcolare la dimensione del sottospazio Vt . (b) Per ogni t∈ C , determinare una base del sottospazio Vt .

(c) Determinare per quali valori di t∈ C la funzione ft sia invertibile.

1

(2)

[3] — Nello spazio affine A4R di dimensione 4 su R , si consideri il sottospazio affine S con equazioni cartesiane

S :





x3 + 2 x4 = 3

2 x1 + 4 x2 − 2 x3 = 4 2 x1 + 4 x2 − x3 + 2 x4 = 7

(a) Determinare la dimensione del sottospazio S . (b) Determinare equazioni parametriche per S .

(c) Determinare equazioni parametriche per l’unico sottospazio affine S di A4R che sia parallelo a S , abbia la stessa dimensione e passi per il punto P0 := ( 3 ,−1 , 2 , 1 ) .

[4] — Sia data la matrice

A :=



1 0 −5 0

0 3 0 2

−5 0 1 0

0 0 0 −1



 ∈ Mat4×4( K)

dove K `e un campo.

(a) Calcolare lo spettro di A quando K := Q . (b) Calcolare lo spettro di A quando K := Z5.

(c) Per K := Q , determinare se la matrice A sia diagonalizzabile; in caso negativo si spieghi il perch´e, in caso positivo si calcoli esplicitamente una base di autovettori.

(d) Per K := Z5, determinare se la matrice A sia diagonalizzabile; in caso negativo si spieghi il perch´e, in caso positivo si calcoli esplicitamente una base di autovettori.

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