Rappresentazione delle CONICHE

(1)

Rappresentazione delle CONICHE e QUADRICHE Università degli studi di Cagliari

CORSO ANALISI II A.A. 2007/2008

(2)

Si definiscono coniche le curve piane risultato dell’intersezione di un piano con un cono

Rappresentazione delle CONICHE

Generalità

Se β > α ellisse Se β = 90° circonferenza

(3)

Se β < α Iperbole Se β = α Parabola

Rappresentazione delle CONICHE

Generalità

(4)

Coniche Degeneri

Piani passanti per il vertice

Rappresentazione delle CONICHE

Generalità

(5)

Le coniche sono curve del piano aventi equazione del tipo f(x,y) = 0, dove f(x,y) è un polinomio a coefficienti reali di secondo grado nelle variabili x e y

L’equazione generale della conica è:

ax

²

+ bxy + cy

²

+ dx + ey + f =0

dove a, b, c, d, e, f, sono numeri reali e almeno uno tra a, b, c, è diverso da zero

• se b

²

- 4ac < 0 ELLISSE

• se b

²

- 4ac = 0 PARABOLA

• se b

²

- 4ac > 0 IPERBOLE

Rappresentazione delle CONICHE

Generalità

(6)

L’equazione generale: y = ax

²

+ bx + c

• ASSE

• VERTICE

• FUOCO

• DIRETTRICE

Rappresentazione delle CONICHE

Parabola

a x b

− 2

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − − Δ a a

b

; 4 2

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − − Δ a a

b

4 ; 1 2

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − − + Δ a a

b

4 ; 1

2

(7)

Esempi: y = 4x

²

+ 3x + 2 y = 4x

²

+ 2

Rappresentazione delle CONICHE

Parabola

(8)

Equazione generale: x

²

+ y

²

+ ax + by + c = 0

• CENTRO

• RAGGIO

Forma canonica: (x - x

₀

)

²

+ (y - y

₀

)

²

= R

²

Rappresentazione delle CONICHE

Circonferenza

c b

a b c

r a 4

2 1 2

2

2 2

− +

=

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

= ; 2

) 2

;

(

₀ ₀

a b

y x

Equazione parametrica:

• x = R cost

• y = R sent

(9)

Rappresentazione delle CONICHE

Circonferenza

Esempi: x

²

+ y

²

-25 = 0 6x

²

+ 6y

²

- 36x - 36y – 72 =0

(10)

Rappresentazione delle CONICHE

Ellisse

Forma canonica ^:

₂

1

2 2

2

+ =

b y a

x

Equazione ELLISSE con centro diverso dall’origine degli assi:

Equazione parametrica:

• x = a cost

• y = b sent

) 1 (

) (

2 2 0 2

2

0

− =

− +

b y y a

x

(11)

Rappresentazione delle CONICHE

Ellisse

Esempi: 1

9 25

2

+ y =

x

(12)

Rappresentazione delle CONICHE

Ellisse

Esempi: 2x

²

+ y

²

- 4x + 6 y=0

Centro (1,-3) Semiassi

2 = 11

a b = 11

(13)

Rappresentazione delle CONICHE

Iperbole

L’equazione generale:

₂

1 asintoti:

2 2

2

− =

b y a

x

Equazione IPERBOLE con centro non nell’origine degli assi:

asintoti

) 1 (

) (

2 2 0 2

2

0

− − =

−

b y y a

x x

a x y = ± b

)

(

₀

0

x x

a y b

y − = ± −

(14)

Rappresentazione delle CONICHE

Iperbole

Esempio: a=5 e b=4

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8

−b b

f x( ) g x( ) p x( ) q x( )

−a a

x

2 2

1 x y

a − b =

(15)

Rappresentazione delle CONICHE

Iperbole

Esempio: 3 x

²

− y

²

− 6 x + 4 y − 7 = 0

(16)

Rappresentazione delle CONICHE

Iperbole

IPERBOLE EQUILATERA

a = b

₂

1

2 2

2

− =

a y a

x

asintoti

Esempio:

x y = ±

2 2

2

y a

x − =

2

4

2

− y =

x

(17)

Rappresentazione delle CONICHE

Iperbole

IPERBOLE EQUILATERA con asintoti paralleli agli assi coordinati

k

xy =

(18)

Rappresentazione delle Quadriche

Generalità

Una quadrica èuna superficie di equazione cartesiana

dove f(x,y,z) è un polinomio di 2° grado nelle variabili x,y,z.

( , , ) 0 f x y z =

2 2 2

0 ax + by + cz + dxy + eyz + fzx + gx + hy + + = iz m

L’equazione nella forma generale si può scrivere:

(19)

Rappresentazione delle Quadriche

Data una quadrica in forma generale, si può dimostrare che esiste un nuovo riferimento O’XYZ (rototraslato rispetto a Oxyz) nel quale l’equazione della quadricaassume una delle due forme canoniche:

2 2 2

1) X α + β Y + γ Z = δ

2 2

2) α X + β Y = 2 δ Z

Generalità

(20)

Rappresentazione delle Quadriche

Se la quadrica si dice non degenere e Dalla 1) si ottengono:

2 2 2

1) X α + β Y + γ Z = δ

2 2

2) α X + β Y = 2 δ Z

2 2 2

X Y Z

1.1) 1

a + b + c = ^ELLISSOIDE

2 2 2

X Y Z

1.2) 1

a + b − c =

2 2 2

X Y Z

1.3) 1

a − b − c =

IPERBOLOIDE A UNA FALDA

IPERBOLOIDE A DUE FALDE

α β γ δ , , , ≠ 0

Generalità

(21)

Rappresentazione delle Quadriche

Generalità

Se la quadrica si dice non degenere e Dalla 2) si ottengono:

2 2 2

1) X α + β Y + γ Z = δ

2 2

2) α X + β Y = 2 δ Z

α β γ δ , , , ≠ 0

2 2

X Y

2.1) 2Z

a + b = PARABOLOIDE ELLITTICO

2 2

X Y

2.2) 2Z

a − b = PARABOLOIDE IPERBOLICO

o a sella

(22)

Rappresentazione delle Quadriche

Ellissoide

Se intersechiamo l'ellissoide con il piano z = h otteniamo

Si tratta di una ellisse (a punti reali)

se , ossia

In modo analogo si ragiona per piani del tipo x = h ; y = h

Superficie data dall'equazione ridotta:

I numeri a, b, c si chiamano semiassi dell'ellissoide

2

1

2 2

2

+ + =

c z b

y a

x

2 2 2

2 2

2

1 c h b

y a

x + = −

1 /

²

2

c <

h

−c < h < +c

(23)

Rappresentazione delle Quadriche

Ellissoide

Ellissoide di Rotazione

Se due dei semiassi sono uguali, l’ellissoide è una superficie di rotazione attorno a uno degli assi. Ad esempio se a = b l'equazione diventa: ₂

1

2 2

2

+ + =

c z a

y x

z

x

y

(24)

Rappresentazione delle Quadriche

Sfera

Se a = b = c = r si ottiene l’equazione di una sfera:

z

x

y

2 2

2

y z r

x + + =

(25)

Rappresentazione delle Quadriche

Paraboloide Ellittico

Superficie data dall'equazione ridotta:

₂

2 2

2

b y a

z = x +

L’intersezione del paraboloide con i piani x = h sono parabole con asse parallelo all’asse z,analogamente con i piani y = h.

L’intersezione del paraboloide con i piani z = h sono ellissi.

Se a = b si ottiene un paraboloide di rotazione di equazione:

Paraboloide rotondo

2 2 2

a

y

z = x +

(26)

Rappresentazione delle Quadriche

Paraboloide rotondo

Se a = b si ottiene un paraboloide di rotazione di equazione:

L’intersezione del paraboloide con i piani x = h sono parabole con asse parallelo all’asse z,analogamente con i piani y = h.

L’intersezione del paraboloide con i piani z = h sono cerchi.

2 2 2

a

y

z = x +

(27)

Rappresentazione delle Quadriche

Paraboloide Rotondo

Parabolidi del tipo: z = α ( x

²

+ y

²

)

α= 2

α= 1

α= 1/2

α= 1/10

(28)

Rappresentazione delle Quadriche

Parabolide Iperbolico (Paraboloide a sella)

Superficie data dall'equazione ridotta:

₂

2 2

2

b y a

z = − x +

Le intersezioni con i piani x = h, y = h sono parabole con asse parallelo

all’asse z le prime con concavità rivolta verso l’alto le seconde con concavità rivolta verso il basso

Le intersezioni con i piani z = h sono iperboli

h > 0 asse traverso // x

H < 0 asse traverso // y

(29)

Rappresentazione delle Quadriche

Cono

Cono Ellittico

Superficie data dall'equazione ridotta:

Le intersezioni con i piani z = h sono degli ellissi.

2

0

2 2

2

+ − =

c z b

y a

x

Se a = b

Cono Rotondo

:

Le intersezioni con i piani z = h sono delle circonferenze

2 2

2

y r

x + =

2 1

2 2

1 2

b y a

z = ± x +

(30)

Rappresentazione delle Quadriche

Iperboloide a una falda

Superficie data dall'equazione ridotta:

2

1

2 2

2

+ − =

c z b

y a

x

Le intersezioni con i piani z = h sono degli ellissi.

Le intersezioni con i piani x = h, y = h sono delle iperboli, queste sono equilatere se:

• b = c per i piani x = h

• a = c per i piani y = h

a = b Iperboloide di rotazione a una falda Le intersezioni con i piani z = h sono

circonferenze

2 2

2

y r

x + =

(31)

Rappresentazione delle Quadriche

Iperboloide a due falde

Superficie data dall'equazione ridotta:

₂

1

2 2

2

+ − =

− c

z b

y a

x

Leintersezioni con i piani z = h, x = h sono iperboli.

Le intersezioni con i piani y = h, ellissi:

a = b

Iperboloide di rotazione

Le intersezioni con i piani y = h sono circonferenze

(32)

Rappresentazione delle Quadriche

Iperboloide a due falde

Superficie data dall'equazione ridotta:

2

1

2 2

2

− + =

− c

z b

y a

x

Leintersezioni con i piani x = h, y = h sono iperboli.

Le intersezioni con i piani z = h, ellissi, i quali esistono solo per h²/c²> 1