Calcolo integrale e volumi dei solidi di rotazione Rotazioni attorno all’asse

Calcolo integrale e volumi dei solidi di rotazione

Rotazioni attorno all’asse 𝒙

Consideriamo un intervallo infinitesimo 𝑑𝑥 all’interno di [𝑎; 𝑏] e consideriamo l’elemento di volume 𝑑𝑉 generato dalla rotazione di 𝑓 attorno all’asse 𝑥 in tale intervallo.

Il solido generato è un cilindro infinitesimo avente volume elementare 𝑑𝑉 = 𝜋𝑟²ℎ

dove 𝑟 = |𝑓(𝑥)| e ℎ = 𝑑𝑥. Dunque il volume elementare del solido sarà dato da 𝑑𝑉 = 𝜋𝑓²(𝑥)𝑑𝑥

Integrando su tutto l’intervallo [𝑎; 𝑏] si ha il volume totale del solido generato dalla rotazione di 𝑓 nell’intero intervallo di integrazione.

𝑉 = ∫ 𝑑𝑉^𝑏

𝑎 = 𝜋 ∫ 𝑓^{𝑏 2}(𝑥)

𝑎 𝑑𝑥

Volume della sfera

Si calcoli il volume di una sfera pensandola come solido ottenuto dalla rotazione di un semicerchio di raggio 𝑅 centrato in 𝑂(0; 0). 𝑅 ∶ [⁴₃𝜋𝑅³] Svolgimento:

Consideriamo l’equazione della circonferenza di centro l’origine e raggio 𝑅.

𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓^{𝑅 2}(𝑥)

−𝑅

𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ (𝑅^{𝑅 2}− 𝑥²)

−𝑅

𝑑𝑥 = 2𝜋 ∫ (𝑅^{𝑅 2}− 𝑥²)

0

𝑑𝑥 = 2𝜋 [𝑅²𝑥 −𝑥³ 3]

0 𝑅

= 2𝜋 (𝑅³−𝑅³

3 ) = 4 3𝜋𝑅³

Qualora fossimo interessati al calcolo del volume di un solido ottenuto ruotando attorno all’asse 𝑥 la parte di piano compresa tra il grafico di due funzioni continue 𝑓 e 𝑔, aventi lo stesso segno in un intervallo [𝑎; 𝑏], allora dovremo utilizzare la formula

𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑓^{𝑏 2}(𝑥) − 𝑔²(𝑥)]

𝑎 𝑑𝑥

Esempi

Si calcoli il volume dei solidi di rotazione generati intorno all’asse 𝑥 della regione finita di piano limitata dai grafici delle curve di cui è data l’equazione.

1. 𝑦 = 𝑥², 𝑥 = −1, 𝑥 = 1, 𝑦 = 0 𝑅 ∶ [^2𝜋₅] 2. 𝑦 = _{cos 𝑥}¹ , 𝑥 = 0, 𝑥 =^𝜋₄, 𝑦 = 0 𝑅 ∶ [𝜋]

3. 𝑦 = 2 − 𝑥², 𝑦 = −𝑥 + 2 𝑅 ∶ [⁸

15𝜋]

Rotazioni attorno all’asse 𝒚 per funzioni invertibili

Se 𝑓 ∶ dom(𝑓) → ℝ₀⁺ è una funzione continua ed invertibile¹ nell’intervallo [𝑎; 𝑏], allora il volume del solido ottenuto dalla rotazione attorno all’asse 𝑦 della regione di piano delimitata dal grafico di 𝑓 e dall’asse 𝑦 stessa

nell’intervallo [𝑎; 𝑏] è dato da

𝑉 = 𝜋 ∫^𝑓(𝑏)[𝑓⁻¹(𝑦)]²

𝑓(𝑎)

𝑑𝑦

qualora 𝑓 sia strettamente crescente, mentre se 𝑓 è strettamente decrescente è pari a

𝑉 = 𝜋 ∫^𝑓(𝑎)[𝑓⁻¹(𝑦)]²

𝑓(𝑏)

𝑑𝑦

Esempi

4. Si calcoli il volume del solido ottenuto mediante una rotazione completa attorno all’asse 𝑦 della regione di piano delimitata dalla funzione esponenziale 𝑦 = 𝑒^𝑥 e dall’asse 𝑦 nell’intervallo 0 ≤ 𝑥 ≤ 1. 𝑅 ∶ [𝜋(𝑒 − 2)]

Svolgimento:

Anzitutto invertiamo la funzione esponenziale.

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑒^𝑥 ⟹ 𝑥 = log 𝑦

In secondo luogo, determiniamo gli estremi di integrazione calcolando 𝑓(0) = 𝑒⁰ = 1 e 𝑓(1) = 𝑒¹ = 𝑒.

Infine, calcoliamo il volume del solido 𝑉 = 𝜋 ∫ log^{𝑒 2}𝑦

1

𝑑𝑦 = 𝜋 {[𝑦 log²𝑦]₁^𝑒 − 2 ∫ 𝑦 log 𝑦 𝑦

𝑒

1

𝑑𝑦} = 𝜋𝑒 − 2𝜋 ∫ log 𝑦^𝑒

1

𝑑𝑦

𝑒

Si calcoli il volume dei solidi di rotazione generati intorno all’asse 𝑦 della regione finita di piano limitata dai grafici delle curve di cui è data l’equazione.

5. 𝑦 = 𝑥², 𝑥 = 0, 𝑦 = 4 𝑅 ∶ [8𝜋]

6. 𝑦 = 𝑥²− 1, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 𝑅 ∶ [^𝜋₂] 7. 𝑦 = 𝑒^𝑥, 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑦 = 0 𝑅 ∶ [2𝜋]

Metodo dei gusci cilindrici

𝑑𝑉 = 2𝜋𝑥|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥

Supponiamo 𝑓(𝑥) > 0

𝑑𝑉 = 2𝜋𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 da cui

𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑥𝑓(𝑥)^𝑏

𝑎

𝑑𝑥 con 0 < 𝑎 < 𝑏.

Esempi

8. 𝑦 = 𝑥², 𝑥 = 0, 𝑦 = 4 𝑅 ∶ [8𝜋]

9. 𝑦 = 𝑒^𝑥, 𝑥 = 0, 𝑦 = 1 𝑅 ∶ [2𝜋]

Svolgimento:

Volume del toro

Si calcoli il volume del toro generato dalla rotazione attorno all’asse 𝑦 del cerchio avente centro in 𝐶(5; 3) e raggio 𝑟 = 2. 𝑅 ∶ [𝑉 = 2𝜋²𝑅𝑟² = 40𝜋²] Consideriamo la circonferenza di equazione

(𝑥 − 5)²+ (𝑦 − 3)² = 4 ⟹ 𝑥 = 5 ± √4 − (𝑦 − 3)² Facciamola ruotare attorno all’asse 𝑦.

𝑉 = 𝜋 ∫ (5 + √4 − (𝑦 − 3)^{5 2})²𝑑𝑦

1 − 𝜋 ∫ (5 − √4 − (𝑦 − 3)^{5 2})²𝑑𝑦

1

= 𝜋 ∫ (25 + 4 − (𝑦 − 3)^{5 2}+ 10√4 − (𝑦 − 3)²− 25 − 4 + (𝑦 − 3)²

1

+ 10√4 − (𝑦 − 3)²) 𝑑𝑦 = 20𝜋 ∫ √4 − (𝑦 − 3)^{5 2}

1 𝑑𝑦

𝑦 − 3 = 2 sen 𝑡 ⟹ 𝑑𝑦 = 2 cos 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 = arcsen (𝑦 − 3

2 ) 𝑉 = 20𝜋 ∫ √4 − 4 sen²𝑡 ⋅ 2 cos 𝑡

𝜋2

−𝜋2

𝑑𝑡 = 80𝜋 ∫ cos²𝑡

𝜋2

−𝜋2

𝑑𝑡

= 80𝜋 [𝑡 2+1

2sen 𝑡 cos 𝑡]

−𝜋2 𝜋2

= 80𝜋²

2 = 40𝜋² Proviamo a rifare l’esercizio con il metodo dei gusci cilindrici.

Esprimiamo l’equazione della circonferenza

(𝑥 − 5)²+ (𝑦 − 3)² = 4 in funzione di 𝑥.

𝑦 = 3 ± √4 − (𝑥 − 5)² Il volume del toro sarà dato da

𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑥 (3 + √4 − (𝑥 − 5)^{7 2})

3

𝑑𝑥 − 2𝜋 ∫ 𝑥 (3 − √4 − (𝑥 − 5)^{7 2})

3

𝑑𝑥

= 2𝜋 ∫ 2𝑥√4 − (𝑥 − 5)^{7 2}

3 𝑑𝑥 = 4𝜋 ∫ 𝑥√4 − (𝑥 − 5)^{7 2}

3 𝑑𝑥

𝑥 − 5 = 2 sen 𝑡 ⟹ 𝑑𝑥 = 2 cos 𝑡 𝑡 = arcsen (𝑥 − 5

2 ) 𝑉 = 4𝜋 ∫ (5 + 2 sen 𝑡)√4 − 4 sen²𝑡 ⋅ 2 cos 𝑡

𝜋2

−𝜋2

𝑑𝑡 = 16𝜋 ∫ (5 + 2 sen 𝑡) cos²𝑡

𝜋2

−𝜋2

𝑑𝑡

= 16𝜋 {∫ 5 cos²𝑡

𝜋2

−𝜋2

𝑑𝑡 + 2 ∫ sen 𝑡 cos²𝑡

𝜋2

−𝜋2

𝑑𝑡}

= 16𝜋 {5 [𝑡 2+1

2sen 𝑡 cos 𝑡]

−𝜋2 𝜋2

+ 2 [−cos³𝑡 3 ]

−𝜋2 𝜋2

} = 16𝜋 {5

2𝜋} = 40𝜋²

Osservazione:

Si noti che il volume del toro è dato da

𝑉 = 2𝜋²𝑅𝑟²

dove 𝑟 è il raggio del cerchio, mentre 𝑅 è la distanza dall’asse di rotazione.

Nell’esercizio in questione si ha 𝑟 = 2 e 𝑅 = 5, da cui il risultato

2 2 2

Bibliografia

- Bergamini M., Barozzi G., Trifone A., Matematica.blu 2.0 – Seconda edizione, Vol. 5, Bologna, Zanichelli, 2016

- Giusti E., Esercizi e complementi di analisi matematica, vol. 2, Torino, Bollati Boringhieri editore, 1992

- Sasso L., La matematica a colori – Edizione Blu PLUS, vol. 5, Novara, Petrini, 2016