2. STATO DELL’ARTE

2. STATO DELL’ARTE

2.1 Introduzione

Il comportamento di una bolla che interagisce con la superficie libera del fluido in cui è immersa è stato argomento di ricerca per molti autori.

Recentemente Sato et al. [8] hanno studiato sperimentalmente l’interazione di una bolla di gas (azoto) con la superficie libera di acqua purificata analizzando il processo del rimbalzo e di coalescenza. Nei loro studi hanno verificato sperimentalmente la validità del modello reologico massa-molla proposto da Legendre [9] e successivamente proposto un approccio energetico basato sul principio di conservazione dell’energia per l’analisi quantitativa dell’urto.

Altri autori hanno affrontato lo studio della coalescenza di una bolla con la superficie libera del liquido secondo altri punti di vista: Kirkpatrick [2] ha esaminato l’influenza della velocità di avvicinamento della bolla alla superficie, mostrando che la coalescenza è favorita nel caso di piccole velocità; Chesters [4] e Marrucci [1] hanno invece posto l’attenzione sulla sottile lamina di film liquido che si ha tra due bolle in avvicinamento e costruito modelli matematici per descrivere il processo di assottigliamento del film di fino alla rottura. E’ stata così identificata una soglia tra rimbalzo e coalescenza per We>>0.1. Al crescere del numero di Weber si forma una configurazione caratteristica, detta “dimple” che ostacola il drenaggio del liquido dal film tra parte superiore della bolla e superficie libera, favorendo così il rimbalzo come riportato da Sanada et al. [7]. Tuttavia, gli stessi autori hanno evidenziato il ruolo fondamentale in questo processo della viscosità del liquido mettendo così in guardia dall’uso acritico della relazione basata sul numero di We. Il meccanismo di interazione bolla di gas-superficie libera di liquido è stato anche studiato in presenza di impurezze del liquido e in presenza di tensioattivi [5], mentre Tsuchiya e Fukuta [6] hanno messo il luce il modo in cui le oscillazioni della bolla durante la risalita influenzano il fenomeno. In particolare è stato osservato che il processo di risalita di una bolla avviene secondo percorsi a zig-zag finchè il rapporto tra lunghezza b e altezza h della bolla risulta minore di 1,5; viceversa per b/h>1,5 il moto di risalita segue traettorie a spirale. Gli autori hanno osservato che il tempo di coalescenza diminuisce nel moto a zig-zag, rispetto al percorso a spirale, a causa della comparsa della componente orizzontale della velocità della bolla, che, al momento dell’impatto, rende il film liquido meno stabile e quindi più pronto a rompersi. Dopo la rottura del film, il liquido circostante riempie violentemente la cavità espellendo il gas dalla stessa e il liquido si solleva al centro formando un getto perpendicolare alla superficie, noto in letteratura come getto di Rayleigh, dal quale si possono originare una o più goccioline secondarie [3]. La dimensione del getto formato dipende dalle proprietà del liquido, e dalla velocità e dimensione della bolla impattante, che a sua volta sono influenzate dal sottoraffreddamento del liquido, dalla temperatura della parete e dalla distanza percorsa dalla bolla prima dell’impatto. Sebbene il fenomeno di atomizzazione secondaria sia stato sia stato ben evidenziato e descritto nelle referenze citate, mancano studi quantitativi e sistematici su di esso.

2.2 Modellazione del contatto tra bolla e superficie libera del liquido

I parametri fondamentali per lo studio del fenomeno di interazione tra bolla e superficie sono:

• il tempo di contatto tC definito come l’intervallo di tempo in cui la superficie

superiore della bolla si mantiene in contatto con la superficie libera del liquido; • il tempo di coalescenza tCOA definito come l’intervallo di tempo tra l’istante in

coalesce. (Alcuni autori chiamano tale intervallo temporale anche tempo di vita della bolla indicato come tlife).

La velocità di risalita della bolla influenza notevolmente il processo di interazione tra bolla e superficie: Kirkpatrick [2] ha mostrato che al diminuire della velocità, risulta minore il tempo di coalescenza. Una volta raggiunta la superficie, durante il contatto, la bolla deforma la superficie pur senza romperla: quando la velocità della bolla si annulla si avrà la massima deformazione superficiale. La bolla, dopo il rimbalzo, si allontana dalla superficie con rapide oscillazioni di forma che vanno a complicare lo studio dei fenomeno per i successivi rimbalzi, come evidenziato da Tsuchiya e Fukuta [6]. In generale, anche per velocità di avvicinamento più elevate, una bolla prima di coalescere rimbalza molte volte: Sato et al. [8] hanno verificato sperimentalmente che in acqua purificata possono avvenire da uno a quattro rimbalzi. E’ stato messo in evidenza che il tempo di contatto tC cresce all’aumentare sia del numero dei rimbalzi (n) che

all’aumentare del raggio equivalente della bolla (req).

La schematizzazione dell’impatto secondo il modello massa-molla (fig. 2.1) proposta da Legendre [9] focalizza l’attenzione solo sul primo rimbalzo, viste le oggettive difficoltà di analisi dei rimbalzi successivi.

Fig. 2.1 – Modello massa-molla Dall’equazione del moto del sistema si ha:

0 * 2

η

₂ +K

η

= dt d m (2.1) Essendo η la deformazione della bolla, m* la massa coinvolta nel moto, K(σ) la rigidezza, funzione della tensione superficiale del liquido.

Da qui si ricava il tempo di contatto che corrisponde a metà periodo dell’oscillatore e risulta pertanto pari a:

K m t_C =

π

*

(2.2) Tuttavia questo modo di procedere richiede la conoscenza di K e m* grandezze di difficile valutazione. Così Sato et al. [8] hanno suggerito di studiare il fenomeno, pur mantendo la stessa modellazione, per via energetica.

Nell’ipotesi che tutta l’energia cinetica della bolla venga convertita in energia di deformazione superficiale durante il contatto, si può agevolmente ricavare il tempo di contatto tC, applicando il principio di conservazione di energia.

Si ha: 2 2 2 1 * 2 1 MAX c K v m = η (2.3) Combinando la precedente con la (2.2) si ricava che

C MAX C v t =

π

η

. (2.4)

Ora il tempo di contatto è legato alle deformazione massima della bolla

η

MAX e alla velocità di impatto vC grandezze di più semplice derivazione.

In particolare la deformazione massima della bolla

η

MAX è facilmente calcolabile analizzando le immagini del contatto bolla-superficie ottenute mediante telecamera ad alta velocità; oppure stimando l’altezza della deformazione superficiale del liquido nell’ipotesi che la bolla non si deformi. Tale ipotesi solitamente è soddisfatta.

Confrontando i risultati ottenuti dal modello teorico proposto con i dati sperimentali si nota che i valori nei due casi convergono. Pertanto gli autori hanno potuto confermare la validità dell’approccio usato, nonostante restino ancora in sospeso alcune questioni. Ad esempio: come stimare la massa coinvolta nel moto? Quale valore attribuire alla rigidezza del sistema? E ancora, è verificata l’ipotesi di assenza di dissipazione che permette di esprimere il bilancio di energia (Eq. (2.3))?

Infatti, a causa della difficoltà di calcolo della rigidezza K nell’ equazione (2.3), gli autori suggeriscono di considerare al secondo membro la massima energia di deformazione superficiale introducendo così nell’equazione una nuova grandezza, la tensione superficiale σ. Pertanto la nuova forma dell’equazione di conservazione dell’energia diventa: A v m_{* c}2 =σΔ 2 1 (2.5) dove 3 * 3 4 * r_EQ m = πρ

rappresenta il contributo della massa aggiunta e ρ si può * esprimere come ρ*=Cmρliquido_{in cui è il coefficiente di massa aggiunta secondo la} definizione introdotta da Fujasova et al. [10].

m C

Confrontando l’energia cinetica prima del contatto con la massima energia di deformazione superficiale si ha che, in media, il 91% dell’energia cinetica è convertita in energia superficiale. Gli autori avanzano quindi l’ipotesi che il restante 9% di energia persa sia dovuta alla deformazione della bolla ipotizzata inizialmente sferica, oppure della separazione dello strato limite durante il rimbalzo. Ad avvallare tale possibilità concorrono anche le prove del rimbalzo della bolla su superficie rigida di Tsao et al [11], i quali hanno ricavato che il 95% di energia viene convertita in energia di deformazione superficiale durante l’urto. E’ interessante notare l’analogia di fondo dei due casi: cioè la maggior parte di energia cinetica viene convertita in energia di deformazione superficiale.

Volendo schematizzare in modo più accurato l’urto della bolla con la superficie libera del liquido si potrebbe anche tener conto dell’energia persa durante il contatto effettuandone una stima.

2.3 Analisi del comportamento di una singola bolla in avvicinamento alla

superficie libera del liquido

Nello studio del comportamento di una bolla che interagisce con la superficie libera di un liquido, oltre a considerare il tempo di contatto tC per la modellazione dell’urto, è

Tale parametro risulta fondamentale per lo studio sulla coalescenza delle bolle: in figura 2.2 viene mostrato il moto di una bolla vicino alla superficie libera di liquido a bassa viscosità. Dopo che la bolla ha raggiunto la superficie in molti casi rimbalza prima di coalescere.

Fig. 2.2 - Moto di una bolla in prossimità della superficie libera in un liquido a bassa viscosità (We=1.7, ν=1.16mm2/s, ∆t=2ms). (da Sanada et al. [7])

Nel caso di liquido a bassa viscosità cinematica υ (compresa tra 1.2 e 2.5cSt) è stato chiarito da Sanada et al. [7] che il parametro più importante che determina il tempo di coalescenza tCOA della bolla con la superficie risulta il numero di Weber.

E’ bene ricordare che il numero di Weber esprime il rapporto tra le forze di inerzia e le forze di tensione superficiale, cioè: , in cui si è indicato con v la velocità di risalita della bolla [m/s], r il raggio della bolla [m], ρ la densità del fluido [kg/m3] e σ la tensione superficiale del fluido [N/m]. Kirkpatrick et al. [2] hanno mostrato che minore è la velocità di avvicinamento, maggiore risulta la possibilità per la bolla di coalescere, risulta quindi evidente che il tempo di coalescenza t

σ

ρ

_v2_r/ We=

COA varia

proporzionalmente con il numero di Weber, come appare evidente in figura 2.3.

Si nota inoltre che il tempo di coalescenza delle bolle aumenta all’aumentare del numero dei rimbalzi n e che varia anche a parità del numero di rimbalzi, in dipendenza di We. Con K1 eK2 vengono indicati due fluidi usati nelle prove, le cui proprietà fisiche sono riportate in tabella:

K1 K2 K5 K20 υ [cSt] 1.16 2.49 5.91 22.7 σ [N/m] 16.9 18.3 19.7 20.8

ρ [kg/m3] 824 882 922 955

Fig. 2.3 - Tempo di coalescenza in funzione di We (da Sanada et al. [7]).

Rimane ancora da osservare che nel fluido più viscoso (K2) la bolla effettua meno rimbalzi prima di coalescere e pertanto ha un tempo di coalescenza inferiore rispetto al fluido meno viscoso. Infatti, se We è alto, il tempo per una bolla di ritornare alla

superficie libera dopo il rimbalzo aumenta perché cresce la velocità di rimbalzo come appare in figura 2.4

Fig. 2.4 – Moto di una bolla in prossimità del bordo di uscita (da Sanada et al. [7]). Chesters [4] ha predetto una formula di rimbalzo mostrando che il limite di rimbalzi e coalescenza si ha per We=O(0.1) senza, tuttavia, considerare gli effetti della viscosità. Considerando anche questo parametro cade la validità del precedente valore di frontiera. Infatti ora non si osserva un chiaro rimbalzo della bolla sulla superficie del liquido, ma questa, dopo aver raggiunto l’interfaccia del liquido, spinge la superficie verso l’alto mantendo tale configurazione per un momento. Successivamente la bolla coalesce con la superficie libera (vedi figura 2.5).

Fig. 2.5 - Moto di una bolla in prossimità della superficie libera in un liquido a alta viscosità (We=1.1, ν=5.916mm2/s, ∆t=2ms). (da Sanada et al. [7])

Di conseguenza nei liquidi ad alta viscosità cinematica aumenta il tempo di coalescenza. Questo appare ancora più evidente osservando la figura 2.6 in cui vengono presi in esame fluidi ad alta viscosità.

Si nota poi che al tendere a zero di We la forbice relativa al tempo di coalescenza tra alta e bassa viscosità tende a ridursi.

Gli autori, tenendo conto della forte influenza della viscosità sulla coalescenza anche a parità di We, hanno così avanzato l’ipotesi che la coalescenza sia indotta dalle perturbazioni dell’atmosfera in prossimità della superficie libera o, in altre parole, a causa dell’instabilità del sottile film di liquido.

2.3.1 Rimbalzo della bolla con la superficie libera

Il meccanismo di rimbalzo di una bolla con la superficie libera viene descritto da Sanada et al. [7] analizzando i risultati ottenuti in via numerica, mostrati in figura 2.7.

Fig. 2. 7 – Campo di pressione e velocità nel caso di fluido a bassa viscosità Sanada et al [7].

La pressione all’interno della bolla poco dopo il suo distacco dall’ugello (t=0.015s, caso a in figura 7) è più alta rispetto a quella del liquido circostante: imponendo la condizione di equilibrio a metà bolla (vedi figura 2.8 in basso) si ottiene:

Fig. 2.8 – Forze agenti su una parte di bolla

σ

π

π

R R p 2 ₌2 Δ , ovvero, out in R p p =2

σ

+ (2.6)

La bolla che si avvicina alla superficie del liquido obbliga il liquido interposto tra la bolla e superficie libera ad inarcare quest’ultima (caso b in figura 2.7). Nel frattempo agisce, sulla stessa porzione di liquido, una forza diretta verso il basso. Questa è la risultante dei contributi della tensione superficiale e della gravità. Tale forza viene trasmessa dal liquido alla bolla che così decelera e si appiattisce nella sua parte superiore. Contemporaneamente agisce sulla bolla stessa anche una forza diretta verso

l’alto dovuta al liquido sottostante che risale in seguito alla forza di inerzia. Ne consegue un appiattimento della bolla anche nella sua parte inferiore.

Durante la fase di decelerazione, la pressione tra la bolla e superficie libera, aumenta sebbene non così tanto da raggiungere i valori elevati della pressione all'interno della bolla.

A questo punto si induce nel liquido sottostante alla bolla un gradiente di pressione avverso in direzione verticale (caso c in figura 2.7) costringendo la superficie della bolla a muoversi verso il basso. Mentre si separa dalla superficie libera, a causa della tensione superficiale, la bolla ritorna ad assumere una geometria sferica. E’ questa la dinamica del rimbalzo della bolla secondo gli autori.

Si deve precisare che i risultati presentati sopra non coincidono con il modello precedentemente proposto da Duineveld [12] e Tsao et al. [11]che propongono la tesi secondo cui il contributo maggiore della causa del rimbalzo della bolla sia dovuto più all’alta pressione che si viene a generare tra superficie del liquido e bolla che al gradiente avverso di pressione che si crea al di sotto di essa.

2.3.2 Influenza delle forze di inerzia, della viscosità cinematica e della tensione superficiale sul rimbalzo di una bolla.

E’ stato chiarito che la bolla rimbalza più facilmente se aumenta il numero di We: infatti, a parità delle forze di tensione in gioco, aumentano le forze di inerzia e di conseguenza il tempo di coalescenza.

Secondo quanto riportato da Sanada et al. [7] la configurazione del film liquido tra superficie libera e bolla durante il contatto cambia al variare delle forze di inerzia. In particolare se We è basso, il film liquido va lentamente assottigliandosi nella parte superiore mentre diventa più spesso in direzione laterale, come si può vedere a sinistra in fig. 2.9; viceversa, se We è alto, si ha uno spessore maggiore nella parte superiore piuttosto che a lato (a destra in figura 2.9). Questa tipica configurazione prende il nome di dimple.

Fig. 2.9 – Variazione della geometria del contatto al crescere del numero di We: a destra si nota la tipica configurazione a “dimple”, Sanada et al. [7] .

Gli autori, assumendo che la configurazione a dimple impedisca al liquido intrappolato nell’intercapedine bolla-superficie libera di uscire da tale zona, hanno avanzato l’ipotesi che la pressione in quel punto assuma un valore costante.

Pertanto la causa del rimbalzo della bolla non è imputabile al valore elevato di pressione in tale zona come precedentemente supposto a da Tsao [11] e Dunilevel [12], bensì al valore del gradiente di pressione avverso che si viene a formare nella parte sottostante la bolla

In figura 2.10 si mostra un confronto tra la distribuzione di pressione nel caso in cui si abbia configurazione a dimple e nel caso opposto.

Si nota che nel caso di piccoli valori del numero di We e nella configurazione senza dimple (in figura 10 a sinistra) la pressione diminuisce dall’alto lungo i fianchi della bolla: quindi quando la pressione nel film liquido rimane costante, si impedisce la formazione del gradiente di pressione avverso nel liquido sottostante la bolla

101.30 MPa 101.37 MPa

Fig. 2.10 – Distribuzione della pressione senza dimple (We=0.98) a sinistra, e con dimple (We=1.85) a destra, Sanada et al. [7] .

Finora non è stato presa in considerazione la viscosità del fluido. Abbiamo visto che nel caso in cui We cresce ci aspettiamo che la bolla per un liquido con bassa viscosità cinematica rimbalzi.

Fig. 2.11 – Velocità e distribuzione del campo di pressione per fluido ad alta viscosità (ν=5mm2/s, We=1.98), da Sanada et al. [7].

Tuttavia si osserva sperimentalmente che la bolla può non rimbalzare sulla superficie al crescere della viscosità cinematica pur con bassi valori di We.

Infatti confrontando le prove sperimentali tra liquido ad alta e bassa viscosità (rispettivamente in figg. 2.2 e 2.5) si nota come cambia notevolmente la forma della bolla in prossimità della superficie libera in base alla grandezza del coefficiente di viscosità cinematica. Inoltre, usando l’analisi numerica, è stato previsto, in caso di alta viscosità, che non si ha formazione del dimple anche nel caso in cui si aumenti We come appare in figura 2.11.

Questo fatto ha così suggerito agli autori che l’effetto della viscosità, più che il numero di We, è predominante nella formazione del dimple. Inoltre l’alta viscosità del liquido inibisce la formazione del gradiente avverso di pressione nella direzione di risalita e questo è il motivo principale per cui la bolla non rimbalza.

Gli stessi autori hanno considerato anche l’effetto del numero di We con la tensione superficiale. Utilizzando ancora una volta i risultati dei calcoli numerici si trova che all’aumentare della tensione superficiale è inibito il rimbalzo nonostante aumenti We. Questo è plausibile essendo la tensione superficiale una forza di richiamo, che tende a riportare la bolla nella sua configurazione iniziale, essa è profondamente legata al rimbalzo della bolla.

A questo punto si può concludere che l’analisi del rimbalzo di una bolla su una superficie libera di liquido non può prescindere dal considerare la viscosità del fluido e gli effetti della tensione superficiale. Con l’impiego del solo numero di We non si può prevedere accuratamente il rimbalzo o meno della bolla, anzi il suo uso indiscriminato può portare a commettere gravi errori.

2.3.3 Influenza del diametro della bolla sulla coalescenza

La velocità di avvicinamento di una bolla influenza notevolmente il comportamento della stessa dopo l’impatto. Kirkpatrick et al. [2] hanno osservato che una velocità di risalita molto piccola (40 mm/s) favorisce una rapida coalescenza della bolla con la superficie libera del liquido. Viceversa aumentando la velocità aumenta il tempo di coalescenza, ovvero la bolla può rimbalzare molte volte prima di coalescere, oppure può incontrare in prossimità della superficie altre bolle ferme con le quali coalescere. In generale, la zona di transizione del fenomeno, si verifica per valori di velocità appartenenti all’intervallo compreso tra 10 e 100mm/s. Gli stessi autori hanno investigato anche l’influenza del diametro della bolla. Si deve precisare che gli esperimenti sono stati condotti dagli autori usando come fluido di prova l’acqua; pertanto tutte le considerazioni devono essere riferite al caso di liquidi a bassa viscosità. In particolare è stato osservato che ad un minore diametro della bolla corrisponde un minor tempo di coalescenza. La figura 2.12 riporta l’andamento della rottura del film liquido in funzione del tempo di coalescenza al variare del diametro della bolla. Si osserva che minore è la dimensione della bolla, minore è il suo tempo di coalescenza. A questo punto è doveroso precisare che tale grafico è stato ottenuto variando esclusivamente il diametro della bolla e mantenendo costante il valore della velocità di risalita pari a circa 200mm/s. La linea tratteggiata corrispondente al valore di 2,5 10-6 cm indica lo spessore critico per il quale si verifica la rottura del film liquido.

Tale valore è assunto universalmente da molti autori. Il punto terminale di ogni linea corrisponde al valore di velocità nulla della bolla.

Si osserva così che per bolle di diametro superiore a 1mm si può predirre il rimbalzo, mentre non possiamo aspettarci lo stesso comportamento per diametri inferiori a 0,5mm. I due comportamenti vengono discriminati per valori intorno a 0,75mm.

Fig. 2.12 – Spessore del film liquido in funzione del tempo al variare del diametro della bolla (da Kirkpatrick [2])