CAPITOLO 4

CAPITOLO 4

TRAVI A CONCI PRECOMPRESSE CON CAVI NON ADERENTI

4.1 INTRODUZIONE

Nel Capitolo 1 sono stati evidenziati i vantaggi della precompressione esterna soprattutto se applicata ad impalcati da ponte realizzati a conci prefabbricati; sono state, inoltre, illustrate, le possibili tecniche di messa in opera di ponti precompressi con cavi esterni sia nel caso di ponti gettati in opera sia nel caso di ponti a conci. In questo capitolo si affronterà lo studio della risposta di travi a conci precompresse con cavi non aderenti.

Questo tipo di strutture sono costituite da un’insieme di conci prefabbricati assemblati in opera. Le zone di contatto tra due conci vengono chiamate “giunti” come è schematicamente illustrato in Figura 4.1.

CONCIO GIUNTO

Essendo in generale i conci prefabbricati, diventa molto importante il processo di fabbricazione che deve essere di grande precisione per far collimare i conci nel momento della loro messa in opera. Generalmente, per limitare gli errori di fabbricazione, si esegue il primo concio e questo viene usato come casseforma per gettare il secondo e così via. In questo processo di fabbricazione possono verificarsi fenomeni particolari i cui effetti danno luogo a difetti strutturali che possono essere responsabili di un mal funzionamento della struttura. E’ il caso del “bowing effect” o effetto di

incurvamento [62]. Se si considerano i conci 1 e 2 di Figura 4.2

accade che il calore di idratazione del getto del concio 2, contro il concio 1, determina un aumento della temperatura del concio 1 ed il conseguente gradiente termico fa incurvare il concio 1; il getto del concio 2, non ancora indurito segue la deformazione del concio 1 e fa presa nella configurazione deformata mentre il concio 1 si ritira e riacquista la sua geometria iniziale dopo essersi raffreddato. Il risultato è uno spazio vuoto ∆tra i due conci adiacenti.

Figura 4.2. Il “bowing effect” o effetto di incurvamento.

In generale, per ponti a conci, le sezioni di giunto richiedono particolare attenzione nella fase di progettazione perché a loro è affidata la funzione di tenere assemblati i conci stessi durante la vita della struttura.

Esistono sostanzialmente due tipi di giunti [63]:

1. “wide joints” ovvero 2 conci adiacenti vengono assemblati e resi solidali mediante un getto di calcestruzzo (o malta) eseguito in opera;

2. “match cast joints” ovvero i due conci vengono posti a contatto e resi solidali. Tale solidarizzazione può avvenire in 2 modi:

a. mediante un adesivo di resina epossidica ed in questo caso si parla di “Epoxy joints”: la resina viene applicata sulle facce dei conci prima che essi vengano messi in opera e viene poi fatta indurire raggiungendo la resistenza finale del calcestruzzo. Problemi di messa in opera si possono verificare in inverno con temperature al di sotto dei 4°C perché la resina non riesce ad indurire.

b. mediante l’azione di precompressione (“dry joints o “giunti a secco” perché non c’è armatura passante). In questo caso tra i conci non è previsto alcun getto “legante” ma la funzione di assemblaggio è affidata all’azione di precompressione che mantiene uniti i conci per compressione.

Figura 4.3. Esempi di giunti .

Per i ponti costruiti a conci, di fondamentale importanza sono le “keys” (figura 4.4), una sorta di denti, o tasselli, la cui presenza facilità l’allineamento dei conci durante la loro messa in opera. Le “keys” vengono disposte sia nelle solette (superiori ed inferiori) sia nelle anime del cassone (in questo caso si parla di shear keys) che costituisce la sezione trasversale del concio. In generale le “keys” delle solette sono più grandi come dimensioni e meno numerose rispetto alle “shear keys” (figura 4.4). Queste ultime vengono progettate sia per assorbire le forze di taglio, soprattutto nelle zone degli appoggi, sia per evitare che la rottura avvenga per taglio.

In generale si predispongono “shear keys” in quantità superiore rispetto al necessario perché durante le operazioni di messa in opera dei conci può accadere che se ne rompa qualcuna.

4.2 IL COMPORTAMENTO DELLE STRUTTURE A CONCI.

L’assorbimento delle azioni esterne per questo tipo di strutture è basato sul fatto che le sezioni di giunto devono garantire il trasferimento dei carichi ai conci per riportarli poi alle strutture di fondazione.

Questa tesi concentrerà l’attenzione sullo studio del comportamento di strutture a conci precompresse con cavi non aderenti e “giunti a secco” (“dry joints”).

Tale tipo di strutture, sotto l’azione di carichi verticali, presenta due tipi di comportamento a seconda dell’intensità del carico applicato. In particolare i giunti si mantengono chiusi finché il carico rimane al di sotto del valore che determina la decompressione della sezione di giunto, ovvero finché la tensione al lembo inferiore rimane di compressione, o al limite assume valore nullo: in queste condizioni si può dire che non c’è differenza con le strutture monolitiche. Superato il valore del carico di decompressione incominciano ad aprirsi i giunti più sollecitati, e man mano che il carico cresce aumenta, generalmente, il numero di giunti che si aprono. In corrispondenza del carico ultimo la struttura subisce un rapido incremento di deformazioni e la rottura finale avviene per schiacciamento del calcestruzzo dovuto al raggiungimento della deformazione limite di compressione nella sezione di giunto più sollecitata mentre i conci, a rottura, non mostrano generalmente fessurazioni.

Questo tipo di comportamento risulta completamente diverso da quello delle strutture monolitiche o delle strutture a conci con giunti in resine epossidiche (“epoxy joint”). In questi casi, infatti, non si verificano concentrazioni di deformazioni nelle sezioni di giunto e questo fa sì che la rottura avvenga “più tardi” ovvero per valori di carico più alti.

In questo capitolo si intende sviluppare un modello analitico non lineare di tipo trave in grado di analizzare il comportamento a rottura di strutture a conci precompresse con cavi non aderenti. Ai fini dello sviluppo di un modello trave non lineare il comportamento di questo tipo di strutture presenta le caratteristiche generali finora individuate ed analizzate per le travi a cavi non aderenti, in particolare:

a) aderenza cavo - calcestruzzo localizzata solo nelle zone di ancoraggio dei cavi o in corrispondenza dei deviatori;

b) esistenza di uno spostamento relativo tra il cavo e la sezione di calcestruzzo.

a) La mancanza di aderenza tra cavo e calcestruzzo comporta l’impossibilità di effettuare un calcolo di sezione per determinare l’incremento di deformazione nel cavo: tale incremento, infatti, non è legato alla deformazione della sezione maggiormente sollecitata ma alla deformazione dell’intera struttura.

A questo proposito bisogna ricordare il contributo negli anni ‘80 e ’90 di Virlogeux che in [64] e [65] propone un primo modello analitico per valutare la deformabilità globale di una trave costituita da conci prefabbricati. In particolare Virlogeux assume di poter trascurare la rigidezza di due zone triangolari a ridosso della sezione di giunto (Figura 4.5). Tali zone vengono individuate tramite l’angolo α a cui si assegna generalmente il valore di 45°. Il modello considera altre due sezioni significative (sezione A e sezione B della Figura 4.5a) oltre la sezione di giunto C ed assume che nella zona compresa tra le sezioni A e B gli incrementi di tensione abbiano l’andamento illustrato in Figura 4.5b.

Figura 4.5a. Il modello di Virlogeux presentato in [65].

Figura 4.5b. L’andamento delle tensioni nella zona compresa fra le sezioni A e B del modello di Virlogeux [65].

La zona triangolare ha l’altezza pari ad che viene valutata direttamente dalla deformazioni della sezione C attraverso la relazione (4.1a)

h c c u v h δω δ − = ' _(4.1a)

dove

è la distanza dal baricentro della sezione, è la deformazione di estensione e è la curvatura della sezione C, mentre la base misura 2 dove .

' v δuc a l c δω α htg la=

Con queste premesse Virlogeux calcola la deformazione del cavo nella sezione di giunto in funzione delle deformazioni delle tre sezioni considerate nel seguente modo:

)] ( [ )] ( [ 2 1 )] ( [ 2 1 0 ' 0 0 u e l e u e u _{p c c c} a B B B p A A A p − + ⋅ + − + ⋅ + − − + ⋅ = ∆ε ε δ δω ε δ δω δ ε δ δω

(4.1b)

dove è un fattore correttivo che tiene conto del fatto che il giunto si èaperto

(

è

, infatti, l’apertura del giunto all’altezza del cavo).

a

l / '

δ _δ'

Nell’ambito della modellazione numerica Bussi e Morano, in [2] e [66], riportano i risultati della simulazione di una delle travi testate da Bernard Fourè nel 1991, nell’ambito di una sperimentazione effettuata nei laboratori del C.E.B.T.P. su 11 tipi di travi di cui 5 a conci prefabbricati e 6 monolitiche i cui risultati sono presentati in [67].

Nel 1991 Cadeddu, Gamberoni e Mancini in [68] illustrano il modello numerico effettuato per simulare una trave a conci modellata come un’insieme di elementi “beam” ai quali è connesso il cavo tramite una serie di bielle di elevata rigidezza assiale in modo da mantenere inalterata la distanza relativa tra gli elementi trave ed il cavo.

Infine quest’anno in [49] gli autori presentano i risultati di una ricerca condotta da R.J.G. MacGregor testando un modello in scala ¼ di una trave continua su tre campate costituita da conci prefabbricati precompressi con cavi non aderenti. MacGregor sviluppò la seguente formulazione per la valutazione a rottura della tensione nei cavi non aderenti che fu adottata nelle AASHTO del 1998 e del 1999

        − + = e y ps pe ps l c d f f 6200

(4.2)

dove       + = 2 / 1 N L

l_e con pari al numero cerniere plastiche necessarie affinché si formi un meccanismo di rottura e lunghezza dei cavi tra due ancoraggi o tra deviatori.

N L

b) La mancanza di aderenza comporta, inoltre, un diverso abbassamento tra cavo e calcestruzzo che dà luogo, generalmente, ad effetti del secondo ordine le cui problematiche vengono analizzate da Harajli et al. in [69].

A livello analitico si rimuove l’ipotesi di piccoli spostamenti, e quindi si ammette che la configurazione deformata non coincida più con la configurazione indeformata, pertanto lo spostamento e la posizione di un generico punto è rappresentato da equazioni differenziali del secondo ordine in funzione della curvatura che viene determinata mediante tecniche consolidate di analisi sezionale ([70] e [71]).

Oggi il numero di ponti a conci costruiti è notevolmente aumentato e si è di conseguenza creata la necessità di approfondire le conoscenze sul comportamento e sulla risposta di questo tipo di strutture. Recentemente gli studi si sono accentrati sul comportamento a taglio delle travi a conci precompresse con cavi non aderenti. In particolare si approfondiscono gli aspetti legati alla capacità ultima a taglio e all’interazione tra taglio e momento. A tal proposito nel 2004 Recupero in [72] propone un modello analitico per studiare tale tipo di interazione basandosi sui precedenti studi di Fanti e Mancini in [73] nel 1994, Fanti et al. in [74] nel 1995, Mancini e Recupero in [75] nel 2000, Recupero ed al. in [76] nel 2003. L’interazione taglio – momento viene analizzata tramite i domini di resistenza che dipendono da fattori come l’inclinazione dei cavi e la quantità di armatura a taglio, elementi che sono in grado di influenzare la capacità ultima a taglio di travi a conci precompresse con cavi non aderenti [72].

A causa di tutte le differenti problematiche coinvolte non esistono ancora, ad oggi, modelli analitici consolidati in grado di descrivere il comportamento a rottura di strutture a conci precompresse con cavi non aderenti. Le prove sperimentali hanno chiarito gli aspetti più importanti e bisogna, ora, “tradurre” queste conoscenze in modelli analitici capaci di descrivere correttamente la risposta di questo tipo di strutture.

In questo capitolo si intende sviluppare un modello analitico non lineare per travi a conci prefabbricati precompresse con cavi non aderenti e giunti a secco (“dry joint”) ovvero senza armatura aderente passante nei giunti. In questo caso, in base ai risultati disponibili in letteratura finora menzionati, si possono fare le seguenti ulteriori considerazioni per l’analisi del comportamento a rottura, in particolare:

• si suppone che la trasmissione delle azioni da un concio all’altro avvenga solo attraverso la zona compressa;

• la fessurazione è sostituita quasi totalmente dall’apertura dei giunti: i conci non si fessurano fino a rottura;

• le deformazioni si concentrano nelle zone compresse delle sezioni di giunto;

• la rottura si verifica per schiacciamento del calcestruzzo compresso delle sezioni di giunto maggiormente sollecitate e quindi con le maggiori altezze di aperture.

Il punto di partenza è il modello illustrato nei capitoli precedenti per le travi che viene rivisitato e particolarizzato secondo il comportamento della nuova struttura in cui si suppone di trascurare la deformabilità a taglio (come viene fatto in [77]]) e gli effetti del secondo ordine.

La struttura scelta per testare il modello analitico è la trave simulata da Morano in [66] di cui l’autore riporta, oltre ai risultati numerici ottenuti, i risultati sperimentali di Fourè.

Il percorso seguito è stato il seguente: si è dapprima simulata la trave di Morano con il programma agli elementi finiti Atena e si è eseguito un primo confronto tra il modello numerico di Atena ed i risultati sperimentali e numerici riportati in [66]. Avendo constatato l’attendibilità del modello simulato in Atena si è svolta un’analisi mirata a comprendere la distribuzione delle deformazioni lungo il concio per arrivare a dare una formulazione analitica della curvatura media di concio. Il modello analitico viene successivamente confrontato con il modello numerico di Atena al variare del rapporto H /Lc dove H è l’altezza del concio e la sua lunghezza.

c

L

4.3 IL MODELLO NUMERICO DI ATENA

La trave modellata con il programma agli elementi finiti Atena è la trave simulata da Morano [66] e testata da Fourè come è stato premesso nel precedente paragrafo.

Si tratta di una trave su due appoggi (Figura 4.6) di luce 6 m., costituita da 9 conci prefabbricati assemblati a secco con precompressione esterna e sezione a cassone. La trave è soggetta a due forze concentrate applicate ad una distanza di 1.5 m. dagli appoggi; i cavi sono esterni e vengono deviati in corrispondenza dei punti di applicazione delle forze.

G8 G7 G6 G5 G4 G3 G2 G1 150 300 150 12 40 40 75 60 100

F

F

75 600

Figura 4.6. Schema della trave simulata da Morano [66].

I materiali usati sono

:

CALCESTRUZZO

- resistenza a compressione: f_c=369Kg/cm2

2 =

- resistenza a trazione per flessione: f_ct 38.7Kg/cm - modulo elastico tangente all’origine:E_i =369000Kg/cm2

ACCIAIO

- sezione totale dei cavi: _{A 11.16cm}2

ps=

- tensione con deformazione residua di 0.1% f_p0.1 =17800Kg/cm2

2 / 19650Kg cm f = - tensione di rottura _pt 2 / 2008000Kg cm E = - modulo elastico _ps - allungamento a rottura ε_pr >4.7% - tiro iniziale P=164.8t

La modellazione eseguita con Atena è di tipo bidimensionale con elementi che giacciono sul piano medio verticale della trave. Le mesh utilizzate dividono sia verticalmente che orizzontalmente i conci in più elementi piani bidimensionali quadrilateri. L’interazione fra i conci in corrispondenza delle sezioni di giunto è stata modellata con elementi “interface”. Tali elementi sono definiti da una coppia di linee con due nodi terminali,ciascuno con due gradi di libertà. Tali linee nel caso di giunti chiusi hanno la stessa posizione e garantiscono la completa interazione tra i due conci mentre nel caso di giunti aperti sono distanti e impediscono qualunque tipo di interazione.

Curva carico - spostamento in mezzeria

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 0 1 2 3 4 5 6 7 v (cm) F( K g) F F

Figura 4.7. L’elemento “interface” utilizzato da Atena [3].

L’analisi numerica è stata condotta applicando il carico per incrementi successivi di piccola entità in modo da cogliere tutte le fasi del processo.

4.3.1 IL COMPORTAMENTO GLOBALE

Il comportamento globale della struttura può essere analizzato attraverso la curva carico – spostamento in mezzeria. La Figura 4.8 mostra la curva ottenuta con il modello numerico di Atena per la trave di figura 4.6.

Come si può vedere dalla figura 4.8 il primo tratto mostra un andamento lineare tra gli spostamenti ed il carico applicato. Nel tratto successivo si perde tale linearità e si osserva come gli spostamenti crescono più velocemente di quanto non si incrementi il carico.

Figura 4.9. Modello numerico in Atena: visualizzazione delle deformazioni lungo la trave e delle tensioni nelle sezioni di giunto (andamenti in bordeaux) nella configurazione deformata per la fase di decompressione dei giunti centrali.

La figura 4.9 mostra l’andamento delle deformazioni lungo la trave e le tensioni nelle sezioni di giunto per il modello simulato in Atena nella fase di decompressione dei giunti centrali. Come si può notare le sezioni sono tutte compresse e, nelle zone inferiori dei conci centrali, compare una piccolissima trazione che risulta trascurabile. L’andamento delle tensioni nei giunti centrali, infatti, presenta una distribuzione pressoché triangolare con tensione nulla al lembo inferiore. I giunti più esterni, invece, non sono ancora decompressi e le sezioni presentano distribuzione delle tensioni trapezoidale.

Tale comportamento cambia quando il carico risulta maggiore del carico di decompressione. I giunti centrali incominciano ad aprirsi ed in tali sezioni si manifestano deformazioni di compressione più rilevanti. La zona di contatto dei giunti più sollecitati (giunti centrali in questo caso) si riduce sensibilmente al crescere del carico e la struttura diventa molto deformabile anche se i giunti più esterni non si decomprimono mai, neanche nella fase di rottura, e rimangono chiusi come riscontrato dall’autore stesso.

L’altezza di apertura dei giunti centrali aumenta rapidamente fino ad un certo valore del carico e si mantiene successivamente costante arrivando ad interessare la soletta superiore del cassone. L’analisi delle deformazioni lungo il concio mostra che a rottura i conci non sono fessurati: le deformazioni di trazione lungo i conci sono modeste e al di sotto del limite di fessurazione.

Figura 4.10. L’apertura dei giunti a rottura con l’andamento delle deformazioni lungo la trave per la trave simulata in Atena.

4.3.2 I CONFRONTI

Il confronto tra il modello numerico simulato in Atena ed i risultati presentati in [66] viene effettuato sia analizzando il comportamento globale, confrontando le curve carico – spostamento in mezzeria, sia valutando lo stato tensionale e deformativo del cavo a rottura.

60000

Curva carico - spostamento in mezzeria

0 10000 20000 30000 40000 50000 0 1 2 3 4 5 6 7 v (cm) F( K g) Atena art.sperim art.numer. F F

Figura 4.11. Confronto tra la curva carico - spostamento in mezzeria di Atena ed i risultati illustrati in [66].

La Figura 4.11 mostra gli andamenti ottenuti dal modello numerico di Morano, dai test sperimentali di Fourè riportati in [66] e dal modello numerico di Atena. Come si può notare il modello di Atena descrive bene la risposta della struttura simulata essendo la curva carico – spostamento in mezzeria in buon accordo con i risultati presentati in [66].

La tabella 4.1 illustra, infine, i confronti effettuati nella fase di rottura tra i due modelli numerici ed i risultati delle prove sperimentali. Bisogna segnalare che l’articolo non indica in corrispondenza di quale valore della deformazione di compressione del calcestruzzo è avvenuta la rottura.

Emerge, comunque, il buon accordo dei risultati non solo in termini di comportamento globale della struttura ma anche per le grandezze del cavo; per quel che riguarda le aperture dei giunti i numeri riportati nella Tabella 4.1, relativamente ai valori ottenuti dall’autore in [66], sono letti da un grafico per cui deve considerarsi l’approssimazione legata all’errore di lettura.

Alla luce dei confronti effettuati la modellazione con Atena può essere ritenuta corretta e pertanto i risultati ottenuti, in termini di risposta strutturale, possono essere ritenuti affidabili.

Tabella 4.1 Confronto tra i risultati di [66] ed i risultati ottenuti con Atena. ARTICOLO [66] ATENA GRANDEZZA RISULTATO SPERIMENTALE RISULTATO NUMERICO RISULTATO NUMERICO Carico ultimo (t) 55.2 56.2 56.9 Spost. Ultimo (cm) 5.73 5.88 6.14 Tiro iniziale (t) 164.8 164.8 164.8 Tiro finale (t) 203.6 201.3 200.1

Deform. a rottura nel cavo 0.0102 0.0099 0.01

Apertura giunto G1 (mm) --- chiuso chiuso

Apertura giunto G2 (mm) --- Circa 1 1.05

Apertura giunto G3 (mm) --- Circa 2.8 4.02

Apertura giunto G4 (mm) --- Circa 8.6 7.23

Apertura giunto G5 (mm) --- Circa 8.6 7.5

Apertura giunto G6 (mm) --- Circa 2.8 4.5

Apertura giunto G7 (mm) --- Circa 1 0.5

Apertura giunto G8 (mm) --- chiuso Chiuso

4.4 L’INDAGINE NUMERICA

In seguito a quanto finora premesso, si è approfondito lo studio della risposta strutturale del modello simulato in Atena conducendo un’indagine numerica mirata ad analizzare l’andamento delle deformazioni lungo il concio e sulla sezione trasversale del concio stesso al variare della sua lunghezza . L’indagine è stata svolta con l’obiettivo di arrivare ad una opportuna espressione analitica della curvatura media di concio da introdurre nella formulazione del modello trave non lineare. Per non avere ulteriori effetti legati alla lunghezza del concio si è scelto di considerare come campo di variabilità del rapporto l’intervallo [0.5,1] se

c L c L c L H/ Hè

l’altezza del concio.

Sono stati considerati i tre schemi riportati in Figura 4.12 :

1. SCHEMA 1: la trave è suddivisa in 6 conci di lunghezza 112.5 cm H/Lc =0.53; 2. SCHEMA 2: la trave è suddivisa in 8 conci di lunghezza 84 cm. H/Lc =0.71, 3. SCHEMA 3: la trave è suddivisa in 10 conci di lunghezza 67.5 cm. H/Lc =0.88 Le travi rappresentate sono identiche e differiscono solo per la lunghezza dei conci.

84,38

SCHEMA 3: 10 CONCI

SCHEMA 2: 8 CONCI

SCHEMA 1: 6 CONCI

112,5 600

F

F

100 60 112,5 40 40 12 150 300 150 G1 G2 G3 G4 G5 G9 67,5 600

F

F

100 60 67,5 40 40 12 150 300 150 G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G7 G6 G5 G4 G3 G2 G1 150 300 150 12 40 40 84,38 60 100

F

F

600

Figura 4.12. I tre schemi analizzati in Atena per lo studio delle curvature medie.

La Figura 4.13 illustra l’andamento delle deformazioni sia lungo il concio a ridosso del giunto centrale sia sulla sezione stessa di giunto, al variare della lunghezza del concio stesso.

Si osserva come il diagramma delle deformazioni si concentra nella parte alta della sezione dove prevalgono le deformazioni di compressione del calcestruzzo e presenta una “gobba” nella zona centrale dove si riscontrano modeste tensioni normali di trazione che rimangono comunque al di sotto del limite di fessurazione. Sembra che tale gobba sia più pronunciata per le sezioni a ridosso delle sezioni di giunto (sezioni estreme nella Figura 4.13) e risulti meno evidente per le sezioni più interne al concio.

Gli andamenti delle deformazioni illustrati in Figura 4.13 mostrano, inoltre, come l’andamento delle deformazioni appaia ben lontano da quello di tipo “trave”. In particolare la Figura 4.13 evidenzia la mancanza di planeità della sezione legata all’andamento non lineare delle deformazioni e un diverso comportamento del calcestruzzo a trazione e compressione.

X=405 cm X=388.13 cm X=371.25 cm X=354.38 cm X=337.5 cm 10 CONCI X=427.5 cm X=405 cm X=382.5 cm X=360 cm X=337.5 cm X=450 cm X=337.5 cm X=354.5 cm X=371.5 cm X=388 cm X=405.5 cm 8 CONCI

Figura 4.13. Andamento delle deformazioni lungo il concio al variare della sua lunghezza.

Figura 4.14a. Andamento delle deformazioni lungo i conci restituiti dal programma di Atena al variare della lunghezza del concio.

Figura 4.14b. Andamento delle deformazioni lungo il concio al variare della sua lunghezza.

Le Figure 4.14a e 4.14b illustrano l’andamento delle deformazioni lungo la trave e le tensioni nelle sezioni di giunto (andamenti in bordeaux) per i tre schemi considerati di Figura 4.12. Si nota che nei conci centrali delle travi, ovvero nei conci maggiormente sollecitati, le deformazioni di compressione si mantengono costanti lungo il concio stesso e tendono a concentrarsi nelle sezioni di giunto (soprattutto nella fase di rottura): l’indagine numerica ha evidenziato (Figure 4.14b e 4.15) che le deformazioni di compressione del calcestruzzo presentano valori maggiori in corrispondenza delle sezioni di giunto mentre lungo il concio, rimangono sostanzialmente costanti e di entità minore.

Figura 4.15. Andamento delle deformazioni di compressione del calcestruzzo (ordinata) lungo un concio (ascissa) per i tre schemi valutati.

andamento delle deformazioni nel concio

-3,000E-03 -2,500E-03 -2,000E-03 -1,500E-03 -1,000E-03 -5,000E-04 0,000E+00 0 20 40 60 80 100 120 X ec,g 10 conci 8 conci 6 conci

La Figura 4.15 mostra, inoltre, che tale concentrazione di deformazioni di compressione nelle sezioni di giunto è più accentuata nel caso di conci più corti mentre per conci più lunghi tende disperdersi e la deformazione del giunto adiacente a quello centrale mantiene sostanzialmente i valori delle sezioni centrali del concio.

4.5 IL MODELLO ANALITICO PER LE TRAVI A CONCI

Si è cercato di tradurre in formulazioni analitiche le informazioni dedotte dallo studio del modello numerico bidimensionale.

Il modello analitico sviluppato nei capitoli precedenti per le travi monolitiche individuava nell’armatura aderente un “collegamento” tra la sezione fessurata (1) e la sezione non fessurata (0). Poiché per la sezione (0) non era valida l’ipotesi di deformazioni piane, la presenza dell’armatura permetteva di definire la curvatura nella sezione (0) nel seguente modo:

s s c d 0 0 0 ε ε ρ = +

(4.3) dove

- ε_c0 è la deformazione di compressione nel calcestruzzo della sezione (0); 0

ε

- _s è la deformazione di trazione nell’armatura aderente nella sezione (0);

d

- _s è la distanza dell’armatura dal lembo compresso.

Noti i valori della curvatura della sezione non fessurata (0) e della sezione fessurata (1) si valutava la curvatura media attraverso la (2.81) o la (2.82) a seconda dello stato tensionale dell’armatura aderente.

Nel caso di travi a conci con giunti a secco, ovvero senza armatura aderente passante tra i giunti ed in assenza di attrito, le definizioni di curvatura media (2.81) e (2.82) non possono essere adottate a causa dell’assenza di armatura e del diverso comportamento strutturale.

(0 ) L c (0 ) l1 /2 (g ) (g ) l1 /2

Figura 4.16. Il concio con indicazione delle sezioni di giunto (g) ed intermendia (0).

E’ necessario, pertanto, dare un’altra definizione della curvatura media di concio. Il punto di partenza per valutare tale curvatura ρ_m è la relazione

c c g m L l L x xl₁+ ₀ ( − ₁) = ρ ρ ρ (4.4) dove

- ρ_g è la curvatura nella sezione di giunto (g); - ρ₀ è la curvatura di una sezione interna (0);

- è l’estensione della zona in cui la deformazione di compressione può ancora considerarsi pari a quella della sezione di giunto (Figura 4.16);

1

l

- L_c è la lunghezza del concio.

Con la (4.4) si sta sostanzialmente assumendo che la curvatura di giunto ρ_g si mantiene costante per un tratto lungo

,

essendo il concio delimitato da due sezioni di giunto (si veda Figura 4.17), mentre la curvatura

1

l

0

ρ si mantiene costante nella rimanente parte di concio

(

Lc−l1

)

. Sviluppando i passaggi si ottiene ) 1 ( 1 0 1 c c g m L l x L xl − + = ρ ρ ρ

(4.5)

E’ necessario valutare l’ordine di grandezza di e del rapporto l₁ ρ₀/ρ_g. Lo studio e le analisi effettuate hanno indotto ad adottare i seguenti valori

2 1 H l ≈

e

3 1 0 _≈ g ρ ρ

(4.6)

Sostituendo le (4.6) nella (4.5) ed effettuando gli opportuni passaggi si arriva alla seguente relazione ) 1 ( 3 _c g m L H + = ρ ρ (4.7)

La (4.7) lega la curvatura media di concio ρ_m alla curvatura della sezione di concio ρ_g ed al rapporto

.

La Figura 4.17 mostra l’andamento della (4.7): in ascissa è riportata la curvatura di sezione fessurata

c

L H/

g

ρ mentre in ordinata il rapporto

.

Gli andamenti mostrano variazioni di

c

L H/

m

ρ sia per effetto di ρ_g sia per effetto di

.

In particolare si osserva che si ottengono incrementi maggiori di

c

L H/

m

ρ agendo su ρ_g: a parità diρ_g

, infatti,

e facendo variare nell’intervallo considerato

,

l’incremento massimo di

c

L

H/ ρ_m si attesta intorno al 30%;

viceversa mantenendo costante H/L_c e facendo

variare

ρ_g

,

ρ_m può raddoppiarsi, triplicarsi o quadruplicarsi.

rv Cu

Determinata la formulazione da adottare per la curvatura media, si può procedere illustrando, con riferimento alla Figura 4.18, la metodologia proposta per valutare analiticamente la risposta di una trave a conci prefabbricati precompressa con cavi non aderenti. Nella metodologia proposta si è accettato di assumere le seguenti semplificazioni:

• le curvature delle sezioni di giunto vengono valutate come curvature di sezioni fessurate: g ρ g c g c g x_, , ε ρ =

(4.8)

• il concio viene idealmente suddiviso in due zone: una di lunghezza costituita da sezioni con curvatura

e

l’altra, di lunghezza

(

1

l

g

ρ L_c−l₁

),

in cui le sezioni hanno curvatura ρ₀

;

• le curvature medie di concio ρ_m,i e gli incrementi medi di deformazione della fibra di

calcestruzzo ∆εm,i in corrispondenza del cavo sono funzioni lineari a tratti dell’ascissa z

lungo l’asse della trave;

• non ci sono deviatori ed il cavo è libero di muoversi senza incontrare alcuna resistenza dovuta all’attrito.

La metodologia sviluppata è di tipo iterativo. Si suppone che nel giunto centrale si sia raggiunta la rottura e pertanto la deformazione di compressione del calcestruzzo assume il valore limite.

ADERENTI CAVI NON

c Dati:

Equilibrio a traslazione e rotazione per ogni

Calcolo di g,i di x Determinazione c,gi c,i m,i m,i Calcolo di m,i c,m Calcolo di nuovo valore per

sezione di giunto =>_< test di controllo: c,m (z)zdz Calcolo di v = z

se i due valori sono uguali Costruzione delle i j z m,i m,i(z) ps ps ps .

Con riferimento alla Figura 4.18, si assegna il carico tramite la deformazione di compressione

c

ε del giunto centrale. Bisogna sottolineare che nel caso di strutture a conci le posizioni delle sezioni di giunto sono note, pertanto è noto il momento che sollecita la sezione. Per ogni giunto si applicano le equazioni di equilibrio a traslazione e rotazione dalle quali si ottengono la posizione dell’asse neutro e la deformazione di compressione del calcestruzzo nella sezione di giunto.

Il sistema di equazioni assume la seguente forma: • Equilibrio a traslazione ps ps A c x yb ydy A f c σ =

∫

( , ) ( ) (4.9)

• Equilibrio a rotazione intorno al baricentro G dell’intera sezione reagente M ydy y b y x f c A c =

∫

( , ) ( ) (4.10)

Per l’i-esimo giunto si può, quindi, calcolare la curvatura di sezione secondo la (4.8) e la curvatura media dell’i-esimo concio

i g, ρ i m, ρ seconda la (4.7).

Note le curvature si determina la deformazione media dell’i-esimo concio alla fibra di calcestruzzo in corrispondenza del cavo ε_m,i

) ( _, , ,i mi ps cgi m =ρ d −x ε (4.11)

L’incremento di deformazione medio per l’i-esimo concio ∆ε_m,i è dato da

i m in c i m, ε ε , ε = + ∆ (4.12)

dove in è la deformazione iniziale della fibra di calcestruzzo in corrispondenza del cavo.

c ε

Supponendo che gli incrementi di deformazione medi abbiano andamenti lineari lungo i conci si costruiscono le funzioni lineare a tratti ∆εm,i(z) e integrando lungo l’asse della trave si ottiene

l’incremento di deformazione medio dell’intera trave ∆ε_c,m all’altezza della fibra di calcestruzzo in corrispondenza del cavo

∑ ∫

+∆ = ∆ z dz L i i z z i m m c ( ) 2 1 , , ε ε (4.13)

Il valore ottenuto dalla (4.13) viene confrontato con il valore di tentativo ∆ε_ps assegnato inizialmente: se i due valori risultano differenti si ripete la procedura assegnando a ∆εps un

nuovo valore di tentativo; se, viceversa, i due valori sono coincidenti, si costruiscono le funzioni lineari a tratti ρm,i(z) e integrando lungo l’asse della trave si ottiene lo spostamento nella

sezione di mezzeria secondo la (4.14)

∑ ∫

= z zdz v j i z z i m,( ) ρ (4.14)

Una volta trovato il valore di ∆εps è noto il carico ultimo, il momento ultimo, la tensione nel

cavo a rottura, lo stato deformativo di ogni sezione di giunto ed inoltre si possono calcolare le aperture dei giunti δi attraverso la (4.15)

c gi c i m i=ρ ,(H−x, )L δ (4.15)

La metodologia illustrata è valida, ovviamente, anche nel caso in cui siano presenti i deviatori ed il cavo sia libero di scorrere liberamente senza resistenza dovute all’attrito.

Nel caso in cui, viceversa, si intenda considerare la presenza dell’attrito ai deviatori (si assume, in questo caso, che il cavo sia completamente bloccato in corrispondenza dei deviatori) accade che l’incremento di deformazione del cavo ∆ε_ps non è più costante su tutto il cavo ma solo sul tratto compreso tra due deviatori.

Con riferimento alla Figura 4.19 il calcestruzzo si mantiene aderente al cavo solo nei punti 1, 2, 3, 4 e risulta ∆ε_ps1≠∆ε_ps2 ≠∆ε_ps3 che sono le nuove incognite.

4 3 2 1 p3 p2 p1

Figura 4.19. La trave a conci prefabbricati con deviatori.

La metodologia in questo caso è sostanzialmente quella illustrata con delle piccole variazioni. Si assegna non più l’incremento totale di deformazione del cavo ∆ε_ps ma, ad esempio, l’incremento di deformazione del cavo nel tratto compreso tra 2 e 3 ∆ε_ps2

.

Si applicano le equazioni di equilibrio a traslazione e rotazione alle sezioni di giunto che restituiscono i valori delle deformazioni di compressione e dell’asse neutro nelle medesime sezioni; analogamente si procede per le sezioni dei deviatori in cui, grazie all’aderenza tra cavo e calcestruzzo si riescono a determinare ∆ε_ps1 e ∆ε_ps3

.

Il test di controllo, in questo caso, viene fatto sulla congruenza degli spostamenti ed assume la seguente forma:

dz L l_i L _c i ps

∫

∑

∆ = ∆ 0 , 1 _ε ε (4.16)

dove

sono le lunghezze dei tratti di cavo compresi tra due deviatori o tra un deviatore e la testata di ancoraggio. Dalla (4.16) si ricava il valore

i l

2

ps

ε

∆ che viene confrontato con il valore iniziale assegnato.

4.6 LE APPLICAZIONI DEL MODELLO TRAVE NON LINEARE.

Le applicazioni del modello analitico sviluppato per le travi a conci prefabbricati, precompresse con cavi non aderenti e giunti a “secco”, sono state eseguite con lo scopo sia di testare il modello stesso sia di studiare gli effetti della variazione della lunghezza dei conci sulla risposta di questo tipo di strutture.

Per effettuare questo studio il modello analitico, descritto nel paragrafo precedente, è stato applicato ai tre casi considerati per l’indagine numerica eseguita con Atena (Figura 4.12). E’ stato, quindi, possibile confrontare i risultati ottenuti dal modello analitico con i risultati ottenuti dalle simulazioni numeriche eseguite con Atena.

10 conci

Curva carico - spostamento in mezzeria

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 v (cm) F( K g ) atena analitico G9 F F G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 8 conci

Curva carico - spostamento in mezzeria

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 v (cm) F( K g) atena analitico G7 G6 G5 G4 G3 G2 G1 F F 6 conci

Curva carico - spostamento in mezz eria

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 -0,5 0,5 1,5 2,5 v (cm) 3,5 4,5 5,5 6,5 F(K g ) atena analitico F F G1 G2 G3 G4 G5

Figura 4.20. Le curve carico – spostamento ottenute con le simulazioni in Atena e con il modello trave non lineare per le travi a 10, 8 e 6 conci.

E’ stato dapprima analizzato il comportamento globale dei 3 schemi di figura 4.13 confrontando le curva carico – spostamento in mezzeria ottenute tramite Atena ed il modello trave non lineare: i risultati del confronto sono illustrati in figura 4.20.

Come si può notare le curve mostrano il buon accordo tra il modello numerico ed il modello trave non lineare proposto: in particolare nel caso dello schema a 10 conci sembra che il modello analitico segua perfettamente il processo di carico descrivendo esattamente sia il tratto iniziale lineare sia l’evoluzione del processo di carico fino alla fase di rottura.

Successivamente, per valutare la bontà della formulazione ipotizzata per la curvatura media di concio (equazione 4.7), sono stati costruiti con il modello analitico gli andamenti delle aperture di giunto per il processo di carico assegnato e sono stati confrontati con quelli ottenuti dal modello numerico di Atena. Le figure 4.21, 4.22 e 4.23 illustrano tali andamenti per i 3 schemi di figura 4.13. Come si può notare il modello analitico segue perfettamente fino a rottura l’apertura dei giunti centrali di ciascun schema, cogliendo sia il carico ultimo che l’apertura a rottura del giunto, mentre sembra che la curvatura ipotizzata tramite la (4.7) renda i giunti esterni (ovvero quelli meno sollecitati) più deformabili rispetto al modello numerico di Atena. Infine è stata analizzata la fase di rottura effettuando un confronto tra il modello analitico ed il modello numerico i cui risultati sono riportati in tabella 4.2. Il confronto è stato effettuato scegliendo per i tre schemi di figura 4. 13 il carico che producesse la stessa deformazione di compressione nel giunto centrale (G5 per lo schema 3 a 10 conci, G4 per lo schema 2 a 8 conci, G3 per lo schema 1 a 6 conci).

Dalla Tabella 4.2 emerge il buon accordo tra i due modelli (analitico e numerico) sia in termini di comportamento globale della struttura (carico ultimo, spostamento massimo nella sezione di mezzeria), sia in termini locali (tiro e deformazione del cavo a rottura, apertura dei giunti). In particolare si nota che, a rottura, per entrambi i modelli, la lunghezza dei conci non influisce in maniera significativa sul carico ultimo, sulla tensione e sulla deformazione dei cavi; gli spostamenti e le aperture dei giunti risentono maggiormente della lunghezza del concio. In particolare si nota che aumentando la lunghezza dei conci, a parità di altezza e di luce complessiva della trave, aumenta l’apertura dei giunti: in altre parole più il concio è lungo, meno risulta deformabile e maggiormente si aprono i giunti.

c

L

Questo comportamento trova una giustificazione analitica se si considerano le equazioni (4.7) e (4.15) insieme. La (4.7) dimostra che aumentando la lunghezza dei conci la curvatura media

mtende a diminuire; nella (4.15), pertanto, si ha, da una parte, l’aumento di e, dall’altra, il

decremento di : si tratta, quindi, di capire quale dei due fattori prevale sull’altro.

c

L

ρ L_c

ρ

m

Sostituendo la (4.7) e la (4.8) nella (4.15) si ottiene

c g c c g c g c i H x L L H x (1 )( ) 3 1 , , , _{+ −} = ε δ

(4.16)

Sviluppando il minimo comune multiplo per il termine (1+H/L_c)e semplificando L_c si ottiene ) )( ( 3 1 , , , g c c g c g c i L H H x x + − = ε δ

(4.17)

La (4.17) dimostra che il vero fattore predominante è la lunghezza del concio . Questo implica che più i conci sono lunghi meno risultano deformabili e più l’assorbimento della trazione si concentra nelle sezioni di giunto e si esplica in una maggiore apertura del giunto stesso.

c

10 conci 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 d (mm) F( K g ) atena giungto 5 analitico giunto 5 G9 F F G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 10 conci 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 d (mm) F( K g ) atena giunto 4 analitico giunto 4 G9 F F G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8

Figura 4.21. Curve carico – apertura dei conci per i giunti 3, 4, 5 per lo schema a 10 conci. 10 conci 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 d (mm) F( K g ) atena giunto 3 analitico giunto 3 G9 F F G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8

G3 8 conci 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 d (mm) F( K g) atena giunto 4 analitico giunto 4 G7 G6 G5 G4 G2 G1 F F G3 8 conci 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 d (mm) F( K g) atena giunto 3 analitico giunto 3 G7 G6 G5 G4 G2 G1 F F 8 conci 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 -0,08 0,02 0,12 0,22 0,32 0,42 d (mm) F( K g) atena giunto 2 analitico giunto 2 G7 G6 G5 G4 G3 G2 G1 F F

6 conci 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 -0,5 1,5 3,5 _{d (cm)}5,5 7,5 9,5 F( K g ) atena giunto 3 analitico giunto 3 F F G1 G2 G3 G4 G5 6 conci 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 -0,5 0,5 1,5 2,5 _{d (cm)}3,5 4,5 5,5 6,5 F( K g ) atena giunto 2 analitico giunto 2 F F G1 G2 G3 G4 G5

Tabella 4.2. Confronto tra modello trave non lineare e numerico con Atena. 10 CONCI SCHEMA 3 8 CONCI SCHEMA 2 6 CONCI SCHEMA 1 ATENA MOD. ANAL. ATENA MOD. ANAL. ATENA MOD. ANAL. Lunghezza concio (m) 67.5 84.37 112.5 0.89 0.71 0.53 Deform di compr. del calcestruzzo 0.002268 0.002255 0.002255 Carico ultimo (t) 56.55 58.17 56.25 58.03 56.01 58.06 Spost. ultimo (cm) 6.2 5.73 5.72 4.58 5.73 4.59 Tiro a rottura 199.43 199.9 199.2 199.38 199.2 199.5 Deform. a rottura nel cavo 0.01031 0.01117 0.01005 0.01022 0.01003 0.010482 Apertura giunto centrale 6.67 6.42 7.02 7.23 9.79 8.63

Apertura G1 (mm) Chiuso Chiuso Chiuso Chiuso Chiuso Chiuso

Apertura G2 (mm) Chiuso Chiuso 0.2 0.33 6.0 6.55

Apertura G3 (mm) 3.15 4.41 7.02 6.11 9.79 8.63

Apertura G4 (mm) 5.62 5.73 7.1 7.23 5.89 6.55

Apertura G5 (mm) 6.67 6.42 7.02 6.11 Chiuso Chiuso

Apertura G6 (mm) 5.62 5.73 0.2 0.33 --- ---

Apertura G7 (mm) 3.15 4.41 Chiuso Chiuso --- ---

Apertura G8 (mm) Chiuso Chiuso --- --- --- ---

Apertura G9 (mm) Chiuso Chiuso --- --- --- ---

c

L H /

In conclusione si può riassumere che l’equazione (4.7) rappresenta una buona formulazione per la valutazione della curvatura media di concio per una struttura a conci precompressa con cavi non aderenti. Il modello analitico sviluppato, basato sulla (4.7), permette di seguire la risposta di tale struttura sottoposta ad un generico processo di carico riuscendo a valutare gli spostamenti, le aperture dei giunti, la tensione e la deformazione del cavo; inoltre il modello analitico sviluppato permette di avere un’immediata e corretta valutazione della risposta a rottura di strutture a conci precompresse con cavi non aderenti e giunti a secco.

CONCLUSIONI

A conclusione di questa tesi di dottorato si intende evidenziare quanto segue:

1. E’ stato sviluppato il modello semplificato illustrato nel Capitolo 2 che valuta mediante una formulazione adimensionale il momento ultimo di una trave precompressa con cavi non aderenti per diversi tipi di tracciato dei cavi e per diversi tipi di carico. Il modello semplificato si è rivelato uno strumento semplice ed utile per una preliminare ma immediata valutazione della capacità ultima di una trave precompressa con cavi non aderenti.

2. Sulla base del modello semplificato è stata condotta un’analisi parametrica dalla quale sono stati evidenziati i principali parametri in grado di influenzare la capacità ultima di una trave precompressa con cavi non aderenti. E’ emerso, in particolare, che a parità di altri parametri (quali la geometria della trave ed i materiali) la quantità di cavi ed il tiro sono i due parametri su cui si può operare per ottenere incrementi significativi di capacità ultima. Il confronto a rottura tra cavi aderenti e cavi non aderenti, effettuato applicando il modello semplificato e definendo il rapporto η tra i due momenti adimensionali (si veda la (2.63)), ha evidenziato che esiste la possibilità di avere l’equivalenza, in termini di momento ultimo (η=1) tra precompressione a cavi aderenti e cavi non aderenti: in particolare si è notato che per tpe <0.28 un aumento di ρps determina una diminuzione di η perché aumenta di

più rispetto a . Il confronto a rottura ha inoltre portato a concludere che nell’ambito dei valori adottati per la progettazione di ponti stradali e ferroviari ( b u m unb u m 006 . 0 004 . 0 ÷ = ps

ρ ,ρs =0.005÷0.006,tpe=0.1÷0.25) il rapporto η varia tra 0.75 ed 1:

l’adozione di cavi non aderenti comporta, pertanto, una riduzione di momento ultimo compresa tra 0 e il 25% circa.

3. E’stato sviluppato, inoltre, il modello trave non lineare per travi precompresse con cavi non aderenti. Si tratta di un modello più complesso perché tiene in conto della non linearità dei materiali. I confronti eseguiti:

• hanno confermato i risultati ottenuti con il modello semplificato validando quest’ultimo modello;

• hanno dimostrato come il modello trave non lineare è in grado di seguire un generico processo di carico fino alla rottura della trave sia nel caso di cavi aderenti sia nel caso di cavi non aderenti (confronti con il modello numerico simulato con il programma Atena);

4. E’ stato sviluppato un modello trave non lineare per travi a conci prefabbricati precompresse con cavi non aderenti. E’ stata svolta un’analisi per dare una corretta formulazione alla curvatura media di concio, indispensabile nel modello trave non lineare per la valutazione delle aperture dei giunti e degli abbassamenti della trave nella sezione di mezzeria. Le applicazioni del modello alla fase di rottura ed al generico livello di carico hanno dimostrato che:

• Il modello descrive correttamente la risposta a rottura di strutture a conci precompresse con cavi non aderenti sia in termini di comportamento globale (carico ultimo, abbassamento nella sezione di mezzeria) sia in termini di tensione nel cavo ed aperture dei giunti;

• Il modello segue correttamente un generico processo di carico valutando in maniera opportuna la deformabilità di strutture a conci precompresse con cavi non aderenti;

• L’analisi svolta per valutare l’influenza della lunghezza del concio ha evidenziato che la formulazione adottata per valutare la curvatura media di concio (basata sull’ipotesi di considerare significative solo due sezioni, una di giunto, assimilabile ad una sezione fessurata ed una interna non fessurata), è valida per . In questo intervallo si osserva, in particolare, che non influisce sul carico ultimo e sulla tensione del cavo a rottura; risulta, invece, un parametro significativo ai fini della valutazione degli spostamenti e delle aperture dei giunti. Si è osservato, in particolare, che più i conci sono lunghi, meno risultano deformabili e maggiormente si aprono i giunti. c L 5 . 0 <H/Lc <1 c L

Per valori di il comportamento della struttura cambia, i conci si fessurano e le ipotesi considerate non sono, pertanto, più valide.

1 /Lc >

APPENDICE

In questa Appendice si completa l’analisi parametrica per i cavi aderenti sintetizzata nel Capitolo 2 aggiungendo alcune informazioni che sono state omesse in quel contesto per motivi di brevità.

CASO CAVI ADERENTI

E’ stata eseguita la stessa analisi illustrata nel Capitolo 2 per i cavi non aderenti.

In figura A1 sono riportati gli andamenti del momento ultimo adimensionale in funzione di

(

ascissa) per assegnati valori di

b u

m

pe

t ρ_ps

.

Agli altri 3 parametri sono stati assegnati i valori medi dei campi di variabilità precedentemente definiti ovvero

s

ρ c_ps c_s

0.0075 0.2 0.105

Anche nel caso dei cavi aderenti gli andamenti individuano 3 zone come si può vedere dai grafici di figura A1:

i. zona in cui b

presenta

un andamento lineare crescente con t

;

u

m _pe

ii. zona in cui mubsi mantiene costante con tpe;

iii. zona in cui m_ub presenta un andamento lineare decrescente con t_pe.

L’estensione delle 3 zone cambia al variareρ_ps: l’aumento di quest’ultimo parametro sembra determinare una riduzione della zona ad mub costante.

ANDAMENTO DI AL VARIARE DI CON b u m pe t ρ_ps=0.003

ANDAMENTO DI AL VARIARE DI CON b u m pe t ρ_ps=0.005 ANDAMENTO DI AL VARIARE DI CON b u m pe t ρ_ps=0.007 ANDAMENTO DI AL VARIARE DI CON b u m pe t ρ_ps=0.01

Anche per i cavi aderenti questo comportamento trova una spiegazione negli andamenti delle tensioni adimensionali del cavo a rottura t e dell’armatura come mostrano i grafici di figura A2: aumentando

ps ts

ps

ρ , il cavo tende a snervarsi dopo, ovvero per limiti di snervamento maggiori (si ricorda infatti che il limite di snervamento adimensionale t è direttamente proporzionale a

ite ps lim ps

ρ ), mentre per l’armatura si riduce la zona iniziale in cui è snervata. Sovrapponendo quindi questi due andamenti secondo la (2.26), si ottiene la zona a m costante (che è anche la zona a massimo). Tale zona tende a ridursi se

b u b

u

m ρ_ps aumenta: l’andamento di

tende sempre di più ad un andamento lineare: crescente, per bassi valori di t , decrescente per alti valori di t .

b u m _pe pe ANDAMENTO DI AL VARIARE DI CON ps t pe t 03 0 . 0 = ps ρ ANDAMENTO DI AL VARIARE DI CON s t pe t 003 . 0 = ps ρ

ANDAMENTO DI AL VARIARE DI CON ps t pe t 05 0 . 0 = ps ρ ANDAMENTO DI AL VARIARE DI CON s t pe t 005 . 0 = ps ρ ANDAMENTO DI AL VARIARE DI CON ps t pe t 07 0 . 0 = ps ρ

ANDAMENTO DI AL VARIARE DI CON s t pe t 007 . 0 = ps ρ ANDAMENTO DI AL VARIARE DI CON ps t pe t 01 . 0 = ps ρ ANDAMENTO DI AL VARIARE DI CON s t pe t 01 . 0 = ps ρ

abella A1. Influenza diρ_s e t_pe su m_ub per t_pe <0.2. T s ρ b u m 02 . 0 per tpe=0.1

Incremento % per per

tpe=0.2 Incremento % per 0.006 0.087 0.087 0.007 0.093 6.9 0.093 6.9 0.008 0.1 7.53 0.1 7.53 0.002 0.009 0.106 6 0.106 6 0.006 0.145 0.145 0.007 0.151 4.14 0.151 4.14 0.008 0.156 3.31 0.156 3.31 0.005 0.009 0.162 3.85 0.162 3.85 0.006 0.176 0.176 0.007 0.179 1.7 0.179 1.7 0.008 0.182 1.68 0.182 1.68 0.007 0.009 0.185 1.65 0.185 1.65 0.006 0.187 0.187 0.007 0.189 1.07 0.189 1.07 0.008 0.192 1.59 0.192 1.59 0.009 0.009 0.195 1.56 0.195 1.56 = pe t b u m 04 . 0 = pe t ps ρ

Nel Capitolo 2 si è visto che è il parametro che più incide maggiormente su . Inoltre analizzando il comportamento di m per t , si osserva che se si incrementa solo il tiro (ovvero si agisce sul parametro t ), e si mantengono costanti

ps ρ b u m b u pe 2 . 0 > pe ps ρ e , il momento ultimo adimensionale subisce un decremento che risulta maggiore per alti valori di come mostra la Tabella A2.

s

ρ

b u

m t_pe

Tabella A2. Influenza diρ_ps e t_pe su mb_u per t_pe >0.2. s ρ t_pe b u m Incremento % 0.3 0.087 0.4 0.086 -1.15 0.002 0.5 0.071 -17.44 0.3 0.145 0.4 0.142 -2.07 0.005 0.5 0.129 -9.15 0.3 0.179 0.4 0.175 -2.23 0.007 0.5 0.164 -6.29 0.3 0.21 0.4 0.205 -2.38 0.006 0.009 0.5 0.196 -4.39 pe t b u m Incremento % 0.3 0.093 0.4 0.091 -2.15 0.006 0.5 0.074 -18.68 0.3 0.151 0.4 0.146 -3.31 0.007 0.5 0.132 -9.59 0.3 0.184 0.4 0.179 -2.72 0.008 0.5 0.167 -6.7 0.3 0.214 0.4 0.208 -2.8 0.007 0.009 0.5 0.198 -4.81 ps ρ ρ_s ρ_ps

0.3 0.1 0.4 0.095 -5 0.006 0.5 0.077 -18.95 0.3 0.156 0.4 0.15 -3.85 0.007 0.5 0.135 -10 0.3 0.189 0.4 0.182 -3.7 0.008 0.5 0.169 -7.14 0.3 0.219 0.4 0.211 -3.65 0.008 0.009 0.5 0.2 -5.21 0.3 0.106 0.4 0.099 -6.6 0.006 0.5 0.08 -19.19 0.3 0.162 0.4 0.153 -5.56 0.007 0.5 0.137 -10.46 0.3 0.195 0.4 0.186 -4.62 0.008 0.5 0.172 -7.53 0.3 0.224 0.4 0.214 -4.46 0.009 0.009 0.5 0.202 -5.61

La variazione di comporta, sostanzialmente, modesti incrementi percentuali di , dell’ordine di qualche punto percentuale, come evidenzia la Tabella A3.

s

ρ b

u

m

Tabelle A3. Influenza diρ_s e t_pe su m_ub per t_pe >0.2.

ps ρ mub b u m t_pe=0.3 b u m b u m 4 . 0 = pe b u m _b u m 0.5 per tpe=0.3 Incremento % di per per tpe=0.4 Incremento % di per t per tpe=0.5 Incremento % di per 0.006 0.087 0.086 0.071 0.007 0.093 6.9 0.091 5.8 0.074 4.23 0.008 0.1 7.5 0.095 4.4 0.077 4.05 0. 002 0.009 0.106 6 0.099 4.2 0.08 3.9 0.006 0.145 0.142 0.129 0.007 0.151 4.1 0.146 2.8 0.132 2.33 0.008 0.156 3.3 0.15 2.7 0.135 2.27 0. 005 0.009 0.162 3.8 0.153 2 0.137 1.48 0.006 0.179 0.175 0.164 0.007 0.184 2.8 0.179 2.29 0.167 1.83 0.008 0.189 2.7 0.182 1.68 0.169 1.2 0. 007 0.009 0.195 3.17 0.186 2.2 0.172 1.78 0.006 0.21 0.205 0.196 0.007 0.214 1.9 0.208 1.46 0.198 1.02 0.008 0.219 2.3 0.211 1.44 0.2 1.01 0. 009 0.009 0.224 2.28 0.214 1.42 0.202 1 s ρ ₌ pe t

Per quanto riguarda , nel caso dei cavi aderenti, è stato evidenziato nel Capitolo 2 come anche il parametro t risulti sensibile a variazioni di

ps

t

ps ρps e la Tabella A6 conferma che si

Si osserva, inoltre, che a parità diρps, la tensione risente dell’armatura solo per bassi valori

di ( ) e per valori di

ps

t

pe

t t_pe<0.09 ρ_ps >0.005 come si evince dalle Tabelle A4 e A5. Dalle tabelle risulta inoltre che l’aumento di ρs determina una diminuzione di dell’ordine di qualche

punto percentuale (Tabella A4), mentre l’aumento di t (Tabella A5) determina incrementi di più consistenti per valori di .

ps

t

pe ps

t t_pe<0.06

Tabella A4 . Influenza diρ_s e t_pe su t_ps per t_pe <0.09.

ps ρ tps 03 . 0 = pe t ps t 06 . 0 per tpe=0.03

Incremento % per per tpe=0.06

Incremento % per per tpe=0.08 Incremento % per 0.006 0.06 0.06 0.06 0.007 0.06 0 0.06 0 0.06 0 0.008 0.06 0 0.06 0 0.06 0 0.002 0.009 0.06 0 0.06 0 0.06 0 0.006 0.129 0.15 0.15 0.007 0.123 -4.65 0.146 -2.67 0.15 0 0.008 0.118 -4 0.142 -2.74 0.15 0 0.005 0.009 0.114 -3.39 0.138 -2.82 0.15 0 0.006 0.156 0.177 0.191 0.007 0.15 -3.85 0.171 -3.39 0.186 -2.62 0.008 0.144 -4 0.16 -2.92 0.181 -2.69 0.007 0.009 0.139 -3.47 0.161 -3.01 0.176 -2.7 0.006 0.179 0.199 0.212 0.007 0.172 -3.91 0.192 -3.52 0.206 -2.83 0.008 0.166 -3.49 0.187 -2.6 0.201 -2.43 0.009 0.009 0.16 -3.61 0.182 -2.67 0.196 -2.5 = pe t ps t 08 . 0 s ρ ₌ pe t

Tabella A5. Influenza di ρ_s e t_pe su t_ps per t_pe <0.09.

ps ρ ρ_s tpe tps Incremento % 0.03 0.06 0.06 0.06 0 0.006 0.08 0.06 0 0.03 0.06 0.06 0.06 0 0.007 0.08 0.06 0 0.03 0.06 0.06 0.06 0 0.008 0.08 0.06 0 0.03 0.06 0.002 0.009 0.06 0.06 0 0 s ρ tpe tps Incremento % 0.03 0.129 0.06 0.15 16.28 0.006 0.08 0.15 0 0.03 0.123 0.06 0.146 18.7 0.007 0.08 0.15 2.74 0.03 0.118 0.06 0.142 20.34 0.008 0.08 0.15 5.63 0.03 0.114 0.005 0.009 0.06 0.138 21.05 8.7 ps ρ

ps ρ ρ_s t_pe t_ps Incremento % 0.03 0.156 0.06 0.177 13.46 0.006 0.08 0.191 7.91 0.03 0.15 0.06 0.171 14 0.007 0.08 0.186 8.77 0.03 0.144 0.06 0.166 15.28 0.008 0.08 0.181 9.04 0.03 0.139 0.007 0.009 0.06 0.161 15.83 9.32 s ρ t_pe t_ps Incremento % 0.03 0.179 0.06 0.199 11.17 0.006 0.08 0.212 6.53 0.03 0.172 0.06 0.192 11.63 0.007 0.08 0.206 7.29 0.03 0.166 0.06 0.187 12.65 0.008 0.08 0.201 7.49 0.03 0.16 0.009 0.009 0.06 0.182 13.75 7.69 ps ρ

Tabella A6. Influenza di ρ_ps e t_pe su tps per tpe<0.09. s ρ ρ_ps t_pe tps Incremento % 0.03 0.06 0.06 0.06 0 0.002 0.08 0.06 0 0.03 0.129 0.06 0.15 16.28 0.005 0.08 0.15 0 0.03 0.156 0.06 0.177 13.46 0.007 0.08 0.191 7.91 0.03 0.179 0.006 0.009 0.06 0.19 11.17 6.53 ρ t_pe tps Incremento % 0.03 0.06 0.06 0.06 0 0.002 0.08 0.06 0 0.03 0.123 0.06 0.146 18.7 0.005 0.08 0.15 2.74 0.03 0.15 0.06 0.171 14 0.007 0.08 0.186 8.77 0.03 0.172 0.007 0.009 0.06 0.192 11.63 7.29 s ρ _ps

s ρ ρ_ps t_pe tps Incremento % 0.03 0.06 0.06 0.06 0 0.002 0.08 0.06 0 0.03 0.118 0.06 0.142 20.34 0.005 0.08 0.15 5.63 0.03 0.144 0.06 0.166 15.28 0.007 0.08 0.181 9.04 0.03 0.166 0.008 0.009 0.06 0.187 12.65 7.49 ρ t_pe tps Incremento % 0.03 0.06 0.06 0.06 0 0.002 0.08 0.06 0 0.03 0.114 0.06 0.138 21.05 0.005 0.08 0.15 8.7 0.03 0.139 0.06 0.161 15.83 0.007 0.08 0.176 9.32 0.03 0.16 0.009 0.009 0.06 0.182 13.75 7.69 s ρ _ps

Con riferimento alla Tabella A7, per valori di t_pe<0.09 e ρ_ps>0.002 il tiro produce incrementi che variano dal 6.5% al 21% con valori più alti in corrispondenza di basse quantità di cavi.

Tabella A7. Influenza di ρ_s e t_pe su tps per tpe<0.09. ps ρ ρ_s t_pe t_ps Incremento % 0.03 0.06 0.06 0.06 0 0.006 0.08 0.06 0 0.03 0.06 0.06 0.06 0 0.007 0.08 0.06 0 0.03 0.06 0.06 0.06 0 0.008 0.08 0.06 0 0.03 0.06 0.002 0.009 0.06 0.06 0 0 s ρ t_pe t_ps Incremento % 0.03 0.129 0.06 0.15 16.28 0.006 0.08 0.15 0 0.03 0.123 0.06 0.146 18.7 0.007 0.08 0.15 2.74 0.03 0.118 0.06 0.142 20.34 0.008 0.08 0.15 5.63 0.03 0.114 0.005 0.009 0.06 0.138 21.05 8.7 ps ρ

ps ρ ρ_s t_pe t_ps Incremento % 0.03 0.156 0.06 0.177 13.46 0.006 0.08 0.191 7.91 0.03 0.15 0.06 0.171 14 0.007 0.08 0.186 8.77 0.03 0.144 0.06 0.166 15.28 0.008 0.08 0.181 9.04 0.03 0.139 0.007 0.009 0.06 0.161 15.83 9.32 s ρ t_pe t_ps Incremento % 0.03 0.179 0.06 0.199 11.17 0.006 0.08 0.212 6.53 0.03 0.172 0.06 0.192 11.63 0.007 0.08 0.206 7.29 0.03 0.166 0.06 0.187 12.65 0.008 0.08 0.201 7.49 0.03 0.16 0.009 0.009 0.06 0.182 13.75 7.69 ps ρ

Per valori di variazioni di armatura non risultano più incidenti sulla tensione adimensionale a rottura del cavo, come si può verificare dalla Tabella A8 confermando quanto sostenuto finora. 09 . 0 > pe t

Tabella A8. Influenza di ρ_s e t_pe su t_ps per t_pe>0.09.

ps ρ ρ_s tps 1 . 0 = pe t ps t 3 . 0 per tpe=0.1

Incremento % per per tpe=0.3

Incremento % per per tpe=0.5 Incremento % per 0.006 0.06 0.06 0.06 0.007 0.06 0 0.06 0 0.06 0 0.008 0.06 0 0.06 0 0.06 0 0.002 0.009 0.06 0 0.06 0 0.06 0 0.006 0.15 0.15 0.15 0.007 0.15 0 0.15 0 0.15 0 0.008 0.15 0 0.15 0 0.15 0 0.005 0.009 0.15 0 0.15 0 0.15 0 0.006 0.205 0.21 0.21 0.007 0.2 -2.4 0.21 0 0.21 0 0.008 0.196 -2 0.21 0 0.21 0 0.007 0.009 0.191 -2.5 0.21 0 0.21 0 0.006 0.225 0.27 0.27 0.007 0.22 -2.2 0.27 0 0.27 0 0.008 0.215 -2.3 0.27 0 0.27 0 0.009 0.009 0.21 -2.3 0.27 0 0.27 0 = pe t ps t 5 . 0 = pe t

La Tabella A9 mostra che per 0.09<t_pe<0.3 il tiro produce incrementi di tensione ultima dei cavi che oscillano dal 2% al 21% mentre per , variazioni di tiro non producono alcun effetto o variazione su . 3 . 0 > pe t ps t

Tabella A9. Influenza di ρ_s e t_pe su t_ps per t_pe>0.09.

ps ρ ρ_s t_pe t_ps Incremento % 0.1 0.06 0.3 0.06 0 0.006 0.5 0.06 0 0.1 0.06 0.3 0.06 0 0.007 0.5 0.06 0 0.1 0.06 0.3 0.06 0 0.008 0.5 0.06 0 0.1 0.06 0.002 0.009 0.3 0.06 0 0 s ρ t_pe t_ps Incremento % 0.1 0.15 0.3 0.15 0 0.006 0.5 0.15 0 0.1 0.15 0.3 0.15 0 0.007 0.5 0.15 0 0.1 0.15 0.3 0.15 0 0.008 0.5 0.15 0 0.1 0.15 0.3 0.15 0 0.005 0.009 0.5 0.15 0 s ρ t_pe t_{ps Incremento %} 0.1 0.205 0.3 0.21 2.44 0.006 0.5 0.21 0 0.1 0.2 0.3 0.21 5 0.007 0.5 0.21 0 0.1 0.196 0.3 0.21 7.14 0.008 0.5 0.21 0 0.1 0.191 0.3 0.21 9.95 0.007 0.009 0.5 0.21 0 s ρ t_pe t_{ps Incremento %} 0.1 0.225 0.3 0.27 20 0.006 0.5 0.27 0 0.1 0.22 0.3 0.27 22.73 0.007 0.5 0.27 0 0.1 0.215 0.3 0.27 25.58 0.008 0.5 0.27 0 0.1 0.21 0.3 0.27 28.57 0.009 0.009 0.5 0.27 0 ps ρ ps ρ ρ_ps

Si conclude l’analisi parametrica per i cavi aderenti valutando l’influenza sul momento adimensionale ultimo e sulla tensione ultima adimensionale dei parametri non considerati finora ma che, comunque, compaiono nella formulazione: la tensione a rottura del calcestruzzo

,

,

.

La Tabella A10 illustra la variazione di

e

t all’aumentare di

.

b u m t_ps ps ' c f c_ps c_s m_ub f_c'

Tabella A10. Influenza di f_c' su m_ub e t_ps. ' c f mb_u Incremento % di mb_u tps Incremento % di tps 300 0.213 0.225 400 0.169 -20.65 0.169 -24.88 500 0.14 -17.2 0.135 -20.11 600 0.119 -15 0.113 -19.46 ps c b u m mub tps tps

Si nota un andamento decrescente del momento ultimo e della tensione ultima adimensionale in corrispondenza di resistenze maggiori del calcestruzzo ( ). Tali decrementi sono compresi tra il 15 ed il 21 % per e tra il 20 ed il 25 % circa per . Sembra, quindi, che una maggiore resistenza del calcestruzzo contribuisca a ridurre tali decrementi sia per sia per .

' c f ps t b u m b u m t_ps

Tabella A11. Influenza di c_ps su m_ube t_ps.

Incremento % di Incremento % di

0.1 0.168 0.15

0.15 0.161 -4.1 0.15 0

0.25 0.146 -9.3 -5.48 0.15 0 0

Tabella A12. Influenza dic_s su m_ube t_ps.

s c b u m _b u ps t ps t Incremento % di m Incremento % di 0.05 0.157 0.15 0.1 0.154 -1.91 0.15 0 0.15 0.151 -1.94 0.15 0 0.2 0.147 -1.64 0.15 0

Le tabelle A11 e A12 mostrano l’influenza dei parametri e su e . Come si può vedere entrambi i parametri determinano un incremento di e risultano ininfluenti ai fini di . Come era prevedibile è in grado di essere più efficace nel determinare una variazione di . Se si considera il campo di variabilità fissato nel capitolo 2 si può vedere che il decremento massimo di , che si ottiene variando c , è di circa il 9%.

ps c b u m s c m_ub t_ps ps t c_ps b u m b u m _ps b

La variazione di c determina decrementi di di qualche punto percentuale. Conferma, quindi, la lieve incidenza riscontrata per l’armatura aderente nell’analisi finora condotta.