EASY MATHS 1. Docenti: A.Cavallo, D.Guerra, L.Immediata, S.Molinaro, N.Tipaldi Liceo Scientico "Leonardo Da Vinci" Vallo della Lucania

Coordinatore: Prof. B. Messano Già Professore di Analisi Matematica

presso il Dipartimento di Matematica e Applicazioni "R.Caccioppoli"

Università degli Studi di Napoli "Federico II"

Docenti: A.Cavallo, D.Guerra, L.Immediata, S.Molinaro, N.Tipaldi

Liceo Scientico "Leonardo Da Vinci"

Vallo della Lucania

22 dicembre 2020

Indice

1 Teoria degli insiemi 4

1.1 Insiemi . . . 4

1.1.1 Che cos'è un insieme . . . 4

1.1.2 Elementi di un insieme . . . 4

1.2 Rappresentazione di un insieme . . . 5

1.2.1 La rappresentazione per elencazione . . . 5

1.2.2 La rappresentazione per caratteristica . . . 5

1.2.3 La rappresentazione graca . . . 5

1.3 Sottoinsiemi . . . 5

1.4 Proprietà denite in un insieme . . . 6

1.5 Operazioni con gli insiemi . . . 9

1.5.1 L'unione di due insiemi . . . 9

1.5.2 L'intersezione di due insiemi . . . 9

1.5.3 La dierenza tra due insiemi . . . 10

1.6 Insieme delle parti e partizione di un insieme . . . 10

1.6.1 L'insieme delle parti . . . 10

1.6.2 La partizione di un insieme . . . 10

1.7 Il prodotto cartesiano . . . 11

1.8 Relazione binaria in un insieme . . . 11

1.9 Cenni al concetto di funzione . . . 12

1.10 Funzioni composte . . . 14

2 I numeri reali 15 2.1 La denizione assiomatica dei numeri reali . . . 15

2.2 I numeri razionali e i numeri decimali . . . 26

2.2.1 Le frazioni generatrici . . . 28

2.3 Intervalli di R. Insiemi separati, insiemi contigui . . . 31

2.4 Rappresentazione geometrica di R . . . 33

2.5 Insiemi niti e insiemi inniti. . . 34

2.6 Potenza n-esima . . . 35

2.7 Valore assoluto di un numero reale . . . 36 1

3 Il calcolo letterale 38

3.1 Monomi . . . 38

3.1.1 Che cosa sono i monomi . . . 38

3.1.2 Operazioni con i Monomi . . . 39

3.1.3 M.C.D. e m.c.m. tra monomi . . . 39

3.2 Polinomi . . . 40

3.2.1 Prodotti Notevoli . . . 41

3.2.2 Funzioni Polinomiali . . . 41

3.2.3 Divisione tra un polinomio e un monomio . . . 41

3.2.4 Divisione euclidea tra due polinomi . . . 42

3.2.5 Algoritmo per la determinazione del quoziente e del resto 43 3.2.6 Teorema del Resto . . . 44

3.2.7 Teorema di Runi . . . 44

3.2.8 Regola di Runi . . . 44

3.3 Scomposizione in Fattori Primi . . . 46

3.3.1 Raccoglimento a fattore comune . . . 46

3.3.2 Dierenza di due quadrati . . . 47

3.3.3 Quadrato di binomio . . . 47

3.3.4 Quadrato di trinomio . . . 48

3.3.5 Cubo di binomio . . . 48

3.3.6 Dierenza e somma di due cubi . . . 49

3.3.7 Scomposizione di un trinomio di secondo grado parti- colare . . . 49

3.3.8 Frazioni Algebriche . . . 49

4 Equazioni di I grado 50 4.1 Equazioni . . . 50

4.2 I principi di equivalenza . . . 51

4.3 Equazioni di I grado . . . 52

4.3.1 Equazioni di I grado intere . . . 53

4.3.2 Equazioni di I grado fratte . . . 56

4.3.3 Equazioni di I grado letterali . . . 57

4.3.4 Sull'importanza delle condizioni di esistenza . . . 58

5 Geometria analitica nel piano: la retta 60 5.1 Rappresentazione geometrica di R² . . . 60

5.2 La retta . . . 61

6 Disequazioni 66 6.1 Disequazioni . . . 66

6.2 Principi di equivalenza . . . 67

6.3 Disequazioni di I grado . . . 69

6.3.1 Disequazioni di I grado intere . . . 71

6.4 Studio del segno di un prodotto . . . 74

6.4.1 Disequazioni di I grado fratte . . . 76

6.4.2 Disequazioni di I grado letterali . . . 78

6.5 Sistemi di disequazioni . . . 80

6.6 Equazioni con valore assoluto . . . 83

6.7 Disequazioni con valore assoluto . . . 85

Capitolo 1

Teoria degli insiemi

1.1 Insiemi

1.1.1 Che cos'è un insieme

Denizione 1.1.1 (Georg Cantor, 1845-1918) Un insieme è un aggregato caotico di oggetti determinati e distinti.

Dire che un insieme è un aggregato caotico di oggetti signica che non è importante l'ordine con il quale tali oggetti compaiono in esso. Inoltre, aer- mare che gli oggetti che fanno parte dell'insieme sono determinati e distinti signica, rispettivamente, che deve essere possibile stabilire se essi apparten- gono o meno all'insieme e che non si ripetono.Gli insiemi si denotano con le lettere maiuscole.

1.1.2 Elementi di un insieme

Gli oggetti che costituiscono un insieme vengono chiamati elementi dell'insie- me e si denotano con lettere minuscole. Nella vita quotidiana, questi possono essere qualsiasi cosa; nello studio della matematica, invece, essi vanno rigo- rosamente deniti.

Per indicare che un elemento a appartiene all'insieme X, si utilizza la seguente notazione:

a ∈ X (1.1)

La (1.1) si legge "a appartiene all'insieme X". Viceversa, se un elemento b non appartiene all'insieme X, si scrive b /∈ X .

Nella teoria degli insiemi, si usano anche i simboli ∃ e ∀ che sono detti, rispettivamente, quanticatore esistenziale e quanticatore universale.

4

1.2 Rappresentazione di un insieme

Un insieme puó essere rappresentato in diversi modi:

• rappresentazione per elencazione;

• rappresentazione per caratteristica;

• rappresentazione graca.

1.2.1 La rappresentazione per elencazione

La rappresentazione per elencazione consiste nel rappresentare l'insieme at- traverso l'elenco degli elementi che lo costituiscono. Solitamente, questa rap- presentazione è utilizzata quando l'insieme è costituito da un numero nito di elementi.

1.2.2 La rappresentazione per caratteristica

La rappresentazione per caratteristica consiste nello scrivere per esteso la caratteristica comune a tutti gli elementi dell'insieme che, per l'appunto, ne conferma l'appartenenza allo stesso. Generalmente, questa rappresentazione è preferita quando l'insieme è costituito da un numero innito di elementi.

1.2.3 La rappresentazione graca

La rappresentazione graca di un insieme, detta diagramma di Eulero-Venn, consiste nel rappresentare l'insieme mediante una linea chiusa all'interno della quale si inseriscono gli elementi che appartengono all'insieme.

1.3 Sottoinsiemi

Siano A e B due insiemi, diremo che A è incluso in B quando ogni elemento di A appartiene a B, in tal caso diremo che A è un sottoinsieme di B e scriveremo:

A ⊆ B. (1.2)

Diremo che A è un sottoinsieme proprio di B se A ⊆ B ed esiste almeno un elemento di B che non sta in A, in tal caso scriveremo:

A ⊂ B, (1.3)

cioè:

∃b ∈ B : b /∈ A. (1.4)

1.4 Proprietà denite in un insieme.

Denizione 1.4.1 Sia S un insieme. Una proprietà α si dice denita nel- l'insieme S se qualunque sia l'elemento x ∈ S è vericata una sola delle seguenti condizioni:

a) x gode della proprietà α (i.e. α è vera per x), b) x non gode della proprietà α (i.e. α è falsa per x).

Consideriamo gli insiemi S = {1, 2, 3, 4, 5} e T = {automobili} e le proprietà:

α : x è pari ,

β : x è un numero maggiore di 8, γ : x è verde.

Ovviamente, le proprietà α e β sono denite in S e non sono denite in T; invece, la proprietà γ è denita in T e non è denita in S.

Osserviamo che la proprietà α, denita nell'insieme S, individua il sot- toinsieme A di S costituito da tutti gli elementi x di S che sono numeri pari, cioè:

A = {x ∈ S : α} = {x ∈ S : xè pari} = {2, 4}.

Inoltre, notiamo che la proprietà β, pur essendo denita in S, non è soddisfatta da alcun elemento di S.

Se si vuole che ogni proprietà denita in S individui un sottoinsieme di S, allora è necessario introdurre un insieme che sia privo di elementi, tale insieme lo diremo insieme vuoto e lo denoteremo con il simbolo ∅.

Dunque:

B = {x ∈ S : β} = {x ∈ S : x > 8} = ∅.

NOTA - Qualunque sia l'insieme S, per convenzione, si assume che l'insieme vuoto sia contenuto in S, i.e. ∅ ⊆ S.

Denizione 1.4.2 Siano α e β due proprietà denite in S, diremo che la proprietà α implica la proprietà β, in S, e scriveremo:

α=⇒ β,^S

quando, qualunque sia x ∈ S, se x soddisfa α allora x soddisfa β.

Osserviamo che, se α=⇒ β^S allora:

A = {x ∈ S : α} ⊆ B = {x ∈ S : β};

infatti, se x ∈ A allora x soddisfa α quindi, per le ipotesi fatte, x soddisfa β, dunque x ∈ B. E' altrettanto banale vedere che, se A ⊆ B allora α =⇒ β^S .

Quindi, possiamo concludere dicendo che:

A = {x ∈ S : α} ⊆ B = {x ∈ S : β}

se e solo se α=⇒ β
.^S Denizione 1.4.3 Siano α e β due proprietà denite in S, diremo che la proprietà α è equivalente alla proprietà β, in S, e scriveremo:

α⇐⇒ β,^S se α=⇒ β^S e β =⇒ α^S .

Ovviamente:

α⇐⇒ β^S se e solo se A = {x ∈ S : α} = {x ∈ S : β} = B.

Ovvio signicato hanno le scritture:

α

S

6⇒ β, α

S

6⇔ β.

Esempio 1. - Consideriamo gli insiemi S = {1, 2, 3, 4, 5}, T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

e le seguenti proprietà denite sia in S che in T : α : x è dispari e minore di 6,

β : x è dispari.

Osserviamo che

A = {x ∈ S : α} = {1, 3, 5}, B = {x ∈ S : β} = {1, 3, 5}, allora A = B e quindi α ⇔ β in S.

Consideriamo ora:

A⁰ = {x ∈ T : α} = {1, 3, 5}, B⁰ = {x ∈ T : β} = {1, 3, 5, 7};

essendo A⁰ ⊂ B⁰ si ha che:

α =⇒ β^T e β 6⇒ α.^T

Esempio 2. - Consideriamo gli insiemi S = {6, 7, 12, 13, 18}, T = {3, 6, 7, 12}

e le seguenti proprietà denite sia in S che in T : α : x è divisibile per 6,

β : x è divisibile per 3.

Osserviamo che

A_S = {x ∈ S : α} = {6, 12, 18}, B_S = {x ∈ S : β} = {6, 12, 18},

allora:

α⇐⇒ β,^S Consideriamo ora:

A_T = {x ∈ T : α} = {6, 12}, B_T = {x ∈ T : β} = {3, 6, 12};

essendo AT ⊂ B_T si ha che:

α =⇒ β^T e β 6⇒ α.^T Dunque:

Due proprietà equivalenti in un insieme non è detto che lo siano in ogni insieme.

1.5 Operazioni con gli insiemi

Siano X ed Y due sottoinsiemi non vuoti di un insieme S.

1.5.1 L'unione di due insiemi

Si consideri l'insieme costituito dagli elementi comuni e non comuni, presi una sola volta, che appartengono ai due insiemi:

X ∪ Y = {x ∈ S : x ∈ X oppure x ∈ Y } (1.5) La (1.5) costituisce l'insieme unione di X ed Y e si legge: X unito Y.Possono vericarsi tre casi:

• X ed Y non hanno elementi in comune;

• X ed Y hanno alcuni elementi in comune;

• X ed Y sono l'uno un sottoinsieme dell'altro ad esempio X ⊆Y; in questo caso, risulta:

X ∪ Y = Y (1.6)

1.5.2 L'intersezione di due insiemi

Si consideri l'insieme costituito dagli elementi x che sono comuni ai due insiemi:

X ∩ Y = {x ∈ S : x ∈ X e x ∈ Y } (1.7) La (1.7) costituisce l'insieme intersezione di X ed Y e si legge: X intersecato Y. Possono vericarsi tre casi:

• X ed Y non hanno alcun elemento in comune; in tal caso, gli insiemi si dicono disgiunti e la loro intersezione è l'insieme vuoto.

X ∩ Y = ∅ (1.8)

• X ed Y hanno alcuni elementi in comune;

• X ed Y sono l'uno un sottoinsieme dell'altro ad esempio X ⊆Y; in questo caso, risulta:

X ∩ Y = X (1.9)

1.5.3 La dierenza tra due insiemi

Si consideri l'insieme costituito dagli elementi che appartengono ad Y ma non appartengono ad X:

Y − X = {y ∈ Y : y /∈ X} (1.10)

La (1.10) costituisce la dierenza tra Y ed X e l'insieme risultante è detto complemento di X rispetto ad Y.

1.6 Insieme delle parti e partizione di un insie- me

1.6.1 L'insieme delle parti

Dato un insieme X, si denisce insieme delle parti di X, e si indica con il simbolo P(X), l'insieme costituito da tutti i possibili sottoinsiemi di X. Gli elementi di tale insieme, pertanto, sono a loro volta insiemi: se ne deduce che P(X) è un insieme di insiemi. Inoltre, se X è un insieme costituito da n elementi, è possibile dimostrare che il suo insieme delle parti conterrà esattamente 2ⁿ elementi.

1.6.2 La partizione di un insieme

Sia dato un insieme X. L'insieme H costituito da due o più sottoinsiemi di X forma una partizione di X se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

• nessuno degli elementi di H è vuoto;

• l'intersezione di due qualsiasi elementi di H è vuota;

• l'unione di tutti gli elementi di H è uguale all'insieme X.

Formalmente, l'insieme H = {X1. . . , Xn} costituito dai sottoinsiemi di X è una partizione dell'insieme X se:

∀i ∈ {1, 2, . . . , n} : X_i 6= ∅, X_i∩ X_j = ∅ ∀i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, i 6= j,

X₁∪ X₂∪ · · · ∪ X_n=

n

[

i=1

X_i = X.

1.7 Il prodotto cartesiano

Denizione 1.7.1 Siano dati due insiemi X ed Y non vuoti e siano x ∈ X un elemento di X, y ∈ Y un elemento di Y. Si denisce coppia ordinata di prima coordinata x e seconda coordinata y il simbolo:

(x, y) (1.11)

Due coppie ordinate (a, b) e (a⁰, b⁰)sono uguali se:

a = a⁰, b = b⁰.

Con questa nuova nozione, è possibile introdurre la denizione di prodotto cartesiano tra due insiemi.

Denizione 1.7.2 Dati due insiemi X ed Y non vuoti, si denisce prodotto cartesiano di X per Y e si denota col simbolo

X × Y (1.12)

l'insieme costituito da tutte le coppie ordinate aventi come prima coordinata un elemento di X e come seconda coordinata un elemento di Y. In simboli:

X × Y = {(x, y) : x ∈ X e y ∈ Y } (1.13)

1.8 Relazione binaria in un insieme

Si consideri il prodotto cartesiano di un insieme per se stesso X × X. Ogni qualvolta si ssa un sottoinsieme R del prodotto cartesiano X × X, si dice che in X è assegnata una relazione binaria; tale relazione, con un abuso di notazione, si indica ancora con il simbolo R. Quando due punti x e y di X sono tali che (x, y) ∈ R si dice che x e y vericano la relazione R e per denotare ciò si scrive xRy. Una relazione binaria R in X puó godere delle seguenti proprietà:

• R è riessiva ⇐⇒ ((x, x) ∈ R, ∀x ∈ X)

vale a dire: ciascun elemento di X puó essere messo in relazione con se stesso.

• R è simmetrica ⇐⇒ ((x, y) ∈ R =⇒ (y, x) ∈ R)

vale a dire che se x è in relazione con y, allora anche y è in relazione con x.

• R è antisimmetrica ⇐⇒ ((x, y) ∈ R =⇒ (y, x) /∈ R)

questa proprietà è, chiaramente, l'esatto contrario della precedente.

• R è transitiva ⇐⇒ ((x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R =⇒ (x, z) ∈ R) ossia, se x è in relazione con y e y è in relazione con z, allora x è in relazione con z.

Esempio. - Siano X = {1, 2} e X × X = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)}.

Considerato il sottoinsieme:

R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}

di X × X.

• R non è riessiva perché l'elemento (2, 2) /∈ R;

• R è banalmente simmetrica;

• R non è antisimmetrica, perché è simmetrica;

• R non è transitiva perché (2, 1) ∈ R,(1, 2) ∈ R ma (2, 2) /∈ R.

Denizione 1.8.1 Una relazione binaria R in X è detta relazione d'ordi- ne in X se è antisimmetrica e transitiva. In tal caso, si diche che l'insieme X è ordinato e, per indicare che un elemento x è in relazione con un elemento y, oltre alla notazione utilizzata no ad ora xRy si utilizza il simbolo x<y.

Denizione 1.8.2 Una relazione binaria R in X è detta relazione di equi- valenza in X se è riessiva, simmetrica e transitiva. Il simbolo utilizzato in questo caso per indicare tale relazione, oltre a quello usuale, è x ∼ y.

1.9 Cenni al concetto di funzione

Denizione 1.9.1 Siano X ed Y due insiemi non vuoti. Una funzione de- nita in X a valori in Y è una legge che ad ogni elemento x ∈ X associa uno ed un solo elemento y ∈ Y. In simboli, tale legge si denota nel modo seguente:

f : X → Y (1.14)

L'elemento y ∈ Y che la funzione f fa corrispondere ad x si chiama immagine di x tramite f e si denota con il simbolo f(x). Anchè f sia una funzione, è

cruciale che ogni elemento di x abbia una ed una sola immagine in Y; dunque, f è una funzione da X in Y se e solo se:

∀x ∈ X ∃! y ∈ Y : f (x) = y (1.15) Il simbolo ∃! signica: esiste ed è unico.

L'insieme X, in cui la f è denita, si chiama dominio della funzione f, men- tre l'insieme di tutti gli elementi di Y che sono immagini di un almeno un elemento x ∈ X prende il nome di codominio e si indica con f(X). Quindi:

f (X) = {y ∈ Y /∃x ∈ X : f (x) = y} = {f (x) ∈ Y : x ∈ X} (1.16) Esempi

1. Siano X = {iscritti Liceo Scientico} e Y = {1, 2, ..., 99, 100}; la legge che ad ogni x ∈ X associa l'età di x è una funzione da X in Y .

2. Siano X = {esseri umani} e Y = {donne}; la legge che ad ogni x ∈ X associa la mamma di x è una funzione da X in Y .

3. Siano X = {mamme} e Y = {gli}; la legge che ad ogni x ∈ X associa il glio di x non è una funzione da X in Y .

4. Siano X = {1, 2, 3, 4, 5} e Y = {1, 2, ..., 19, 20}; la legge che ad ogni x ∈ X associa 3x è una funzione da X in Y .

5. Siano X = {1, 2, 3, 4, 5} e Y = {1, 2, ..., 19, 20}; la legge che ad ogni x ∈ X associa 3 è una funzione da X in Y .

D'ora in poi, salvo avviso contrario, con f denoteremo una funzione da X in Y.

Denizione 1.9.2 Diremo che la funzione f è suriettiva se f(X)=Y, ciò vuol dire che ogni elemento dell'insieme Y è il corrispondente di almeno un elemento dell'insieme X. In simboli:

∀y ∈ Y ∃ x ∈ X : f (x) = y (1.17) Denizione 1.9.3 Diremo che la funzione f è iniettiva se ad elementi di- stinti x1,x2 di X corrispondono immagini diverse nel codominio:

x₁, x₂ ∈ X e x₁ 6= x₂ ⇒ f (x₁) 6= f (x₂) (1.18)

Una funzione suriettiva e iniettiva, è detta biettiva, invertibile, 1-1. In tal caso, si ha che f è biettiva se e solo se:

∀y ∈ Y ∃!x ∈ X : f (x) = y (1.19) Se f : X → Y è invertibile allora resta individuata una funzione da Y in X che ad ogni y ∈ Y associa quell'unico x ∈ X tale che f(x) = y; tale funzione si denota con il simbolo f⁻¹, quindi:

f⁻¹ : Y −→ X.

Se f : X → Y è invertibile allora la funzione f⁻¹ si chiama funzione inversa di f. Ovviamente anche f⁻¹ è biettiva e risulta:

f⁻¹(f (x)) = x, ∀x ∈ X e f(f⁻¹(y)) = y, ∀y ∈ Y.

Esempio. - Considerato l'insieme N dei numeri naturali, i.e. N = {1, 2, 3, . . . }, la funzione:

f : n ∈N −→ n + 5 ∈ {6, 7, . . . } è una funzione invertibile e la sua inversa è:

f⁻¹ : m ∈ {6, 7, . . . } −→ m − 5 ∈N.

1.10 Funzioni composte.

Siano X, Y e W tre insiemi non vuoti. Considerate le funzioni:

f : X −→ Y, g : Y −→ W, diremo funzione composta da f e g la funzione:

g ◦ f : x ∈ X −→ g(f (x)) ∈ W.

Esempio. - Se f : n ∈ N −→ 3n ∈ N e g : m ∈ N −→ 5m + 2 ∈ N, allora:

g ◦ f : n ∈N −→ g(f(n)) = 5(3n) + 2 = 15n + 2 ∈ N.

Se f è una funzione invertibile da X in Y , allora si possono considerare le funzioni:

i_X = f⁻¹◦ f : x ∈ X −→ x ∈ X, i_Y = f ◦ f⁻¹ : y ∈ Y −→ y ∈ Y, la prima si chiama funzione identica in X e la seconda funzione identica in Y.

Capitolo 2

I numeri reali

2.1 La denizione assiomatica dei numeri reali.

In questo capitolo richiamiamo le principali proprietà dell'insieme R dei numeri reali.

C'è un primo gruppo di proprietà legate alle operazioni di addizione (somma) e di moltiplicazione (prodotto) denite in R.

Gruppo 1. - In R sono denite le seguenti due operazioni:

+ : (a, b) ∈R × R −→ a + b ∈ R addizione, (2.1)

· : (a, b) ∈R × R −→ a · b ∈ R moltiplicazione. (2.2) Esempio. - data la coppia (2, 3) ∈ R × R, l'operazione di addizione associa ad essa l'elemento 2 + 3 = 5 ∈ R, l'operazione di moltiplicazione associa ad essa l'elemento 2 · 3 = 6 ∈ R.

Le due operazioni soddisfano le condizioni seguenti:

1.1 - Le operazioni + e · sono commutative, i.e.:

a + b = b + a, a · b = b · a, ∀a, b ∈ R.

Esempi.

3 + 5 = 5 + 3;

8 = 8.

2 · 7 = 7 · 2;

14 = 14.

15

1.2 - Le operazioni + e · sono associative, i.e.:

(a + b) + c = a + (b + c), (a · b) · c = a · (b · c), ∀a, b, c ∈R.

Esempi.

(3 + 4) + 2 = 3 + (4 + 2);

7 + 2 = 3 + 6;

9 = 9.

(2 · 2) · 3 = 2 · (2 · 3);

4 · 3 = 2 · 6;

12 = 12.

1.3 - La moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione, i.e.:

a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a, b, c ∈R.

Esempio.

2 · (3 + 4) = 2 · 3 + 2 · 4;

2 · 7 = 6 + 8;

14 = 14.

Inne, sono soddisfatte le seguenti condizioni:

1.4 - In R c'è un elemento lo zero, 0, elemento neutro per la somma, che soddisfa la seguente proprietà:

a + 0 = a, ∀a ∈R.

Esempio.

2 + 0 = 2;

1.5 - In R c'è un elemento l'unità, 1, elemento neutro per il prodotto, che soddisfa la seguente proprietà:

a · 1 = a, ∀a ∈R.

Esempio.

2 · 1 = 2;

1.6 - ∀x ∈ R ∃ ! x⁰ ∈R : x + x⁰ = 0,

x⁰ prende il nome di opposto di x e si denota con −x.

Esempio.

2 + (−2) = 0 1.7 - ∀x ∈ R − {0} ∃ ! x⁰⁰ ∈R − {0} : x · x⁰⁰ = 1,

x⁰⁰ prende il nome di inverso di x e si denota con x⁻¹. Esempio.

2 · 1 2



= 1.

Gruppo 2. - L'insieme R è totalmente ordinato, i.e., esiste in R una relazione d'ordine < tale che, qualunque siano i punti x, y ∈ R, con x 6= y, risulta:

x < y oppure y < x.

Nota. Ricordiamo che la relazione d'ordine < in R è caratterizzata dalle seguenti condizioni:

x < y =⇒ y 6< x, ∀x, y ∈R, proprietà antisimmetrica, x < y e y < z =⇒ x < z, ∀x, y, z ∈R, proprietà transitiva.

La relazione d'ordine totale < e le operazioni di somma e di prodotto sono legate dalle seguenti due proprietà:

2.1 - Qualunque siano x, y, z ∈ R, risulta:

x < y =⇒ x + z < y + z.

Esempio.

2 < 3 =⇒ 2 + 4 < 3 + 4 =⇒ 6 < 7 2.2 - Qualunque siano x, y ∈ R e z > 0, risulta:

x < y =⇒ x · z < y · z.

Esempio.

2 < 3 =⇒ 2 · 4 < 3 · 4 =⇒ 8 < 12 Si noti che se z ≤ 0 si ha che:

2 < 3 =⇒ 2 · (−3) 6< 3 · (−3) 2 < 3 =⇒ 2 · 0 6< 3 · 0

Notazione - In seguito, si userà la scrittura x ≤ y per denotare che x < y oppure x = y.

Prima di parlare di un'altra proprietà molto importante di R, abbiamo bisogno di alcune denizioni.

Denizione 2.1.1 Sia X un sottoinsieme non vuoto di R.

Un elemento m⁰ di X si dice minimo di X se risulta:

m⁰ ≤ x, ∀x ∈ X;

per denotare che m⁰ è il minimo di X si scrive m⁰ = min X.

Denizione 2.1.2 Un elemento m⁰⁰ di X si dice massimo di X se risulta:

x ≤ m⁰⁰, ∀x ∈ X;

per denotare che m⁰⁰ è il massimo di X si scrive m⁰⁰= max X.

Denizione 2.1.3 Un elemento a di R si dice minorante di X se risulta:

a ≤ x, ∀x ∈ X;

se esiste un minorante di X allora X si dice limitato inferiormente.

Denizione 2.1.4 Un elemento b di R si dice maggiorante di X se risulta:

x ≤ b, ∀x ∈ X;

se esiste un maggiorante di X allora X si dice limitato superiormente.

Denizione 2.1.5 L'insieme X si dice limitato quando è limitato sia infe- riormente che superiormente.

Proprietà di completezza di R .

L'insieme R gode della seguente proprietà detta di completezza:

i) Qualunque sia il sottoinsieme non vuoto X di R, limitato inferiormente, esiste il massimo e⁰ dell'insieme:

H = {a ∈R : a minorante di X};

il numero reale e⁰ si chiama estremo inferiore di X e si denota con il simbolo inf X (i.e. e⁰ = max H = inf X).

La condizione i) è equivalente alla seguente:

ii) Qualunque sia il sottoinsieme non vuoto X di R, limitato superiormen- te, esiste il minimo e⁰⁰ dell'insieme:

K = {b ∈R : b maggiorante di X};

il numero reale e⁰⁰ si chiama estremo superiore di X e si denota con il simbolo sup X (i.e. e⁰⁰= min K = sup X).

Di facile verica sono le proposizioni seguenti:

Proposizione 2.1.6 Sia X un sottoinsieme non vuoto di R limitato infe- riormente. Il numero reale e⁰ è l'estremo inferiore di X se e solo se soddisfa le seguenti condizioni:

α) e⁰ ≤ x ∀x ∈ X,

β) ∀ε > 0 ∃ x⁰ε∈ X : x⁰_ε < e⁰+ ε.

Proposizione 2.1.7 Sia X un sottoinsieme non vuoto di R limitato su- periormente. Il numero reale e⁰⁰ è l'estremo superiore di X se e solo se soddisfatta le seguenti condizioni:

γ) x ≤ e⁰⁰, ∀x ∈ X,

δ) ∀ε > 0 ∃ x⁰⁰ε ∈ X : e⁰⁰− ε < x⁰⁰_ε.

Proposizione 2.1.8 Valgono le seguenti condizioni:

e) Se esiste il min X allora inf X = min X.

f ) Se esiste il max X allora sup X = max X.

Tra i sottoinsiemi di R, più comunemente usati, c'è l'insieme N dei numeri naturali che è costituito dall'unità di R e dal successivo di ogni suo elemento, quindi:

N = {1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, ...};

se si usa la rappresentazione decimale, allora:

N = {1, 2, 3, ...}.

Poi, c'è l'insieme Z degli interi relativi:

Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Inoltre, c'è l'insieme Q dei numeri razionali:

Q = {m

n ∈R : m ∈ Z e n ∈ N}.

Inne, c'è l'insieme dei numeri irrazionali, R−Q, che è costituito da tutti i numeri reali che non appartengono a Q; quindi, a tale insieme appartengono i numeri reali che non possono esprimersi come rapporto tra un intero relativo e un numero naturale. Ad R − Q appartengono, ad esempio, π e√

2. Vale la seguente:

Proposizione 2.1.9 (Densità di Q in R)

Qualunque siano x, y ∈ R, con x < y, esiste q ∈ Q tale che:

x < q < y.

Prima di passare ad alcuni esempi, osserviamo che in R si possono deni- re altre due operazioni che si ricavano direttamente dall'addizione e dalla moltiplicazione:

: (a, b) ∈R × R −→ a − b = a + (−b) ∈ R sottrazione, : (a, b) ∈R × (R − {0}) −→ a

b = a · (b⁻¹) ∈R divisione.

Esercizio 1. Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni.

366

42, ⁹⁰⁰₄₉₅, ¹⁵⁰₁₈₀

Svolgimento: Ridurre ai minimi termini una frazione signica trasformarla in una frazione equivalente, dividendo numeratore e denominatore per tutti i loro divisori comuni. Formalmente, per ridurre ai minimi termini una fra- zione ccorre scomporre in fattori primi il numeratore e il denominatore e poi semplicare i divisori comuni.

366

42 = 2 × 3 × 61

2 × 3 × 7 =
2 ×3 × 61
2 ×

3 × 7 = 61

7 ; 900

495 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5

2 × 5 × 7 × 7 = 2 × 2 × 3 × 3 ×
5 × 5

2 ×5 × 7 × 7
= 2 × 3 × 3 × 5 7 × 7 = 90

49; 150

180 = 2 × 3 × 5 × 5

2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2 × 3 × 5 × 5

2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2 ×
3 ×
5 × 5

2 × 2 ×

3 × 3 ×5
= 5

2 × 3 = 5 6.

Esercizio 2. La frazione ¹⁷⁻²₅₋₂ ridotta ai minimi termini è ¹⁷₅. Questa aermazione è vera?

Svolgimento: No. la frazione ¹⁷⁻²₅₋₂ è equivalente a ¹⁵₃ che ridotta ai minimi termini (vedi Esercizio 1) è 5.

Esercizio 3. Quale fra le seguenti disuguaglianze è corretta?¹

1. ₁₀³ < ³₅ < ₂₀³ 2. ₁₀⁴ < ³₅ < ¹¹₂₀ 3. ₁₀⁵ < ³₅ < ¹³₂₀ 4. ₁₀⁷ < ³₅ < ¹³₂₀

Svolgimento: Un possibile modo di confrontare due o più frazioni è quello di ridurle allo stesso denominatore. Dunque, il primo passo da fare è trasfor- mare le frazioni da confrontare in modo che abbiano lo stesso denominatore, che ovviamente corrisponde al loro minimo comune multiplo, ossia il più pic- colo tra i multipli comuni. I denominatori dell'esercizio sono i numeri 5, 10, 20; il loro minimo comune multiplo è 20. Consideriamo la 1. ; volendo ridurre tutte le frazioni allo stesso denominatore, si ha:

3 10 ·2

2 < 3 5 · 4

4 < 3 20 cioè:

6 20 < 12

20 < 3 20 che non è corretta.

Passiamo alla 2.:

4 10 ·2

2 < 3 5 · 4

4 < 11 20 Cioè:

8 20 < 12

20 < 11 20

1Invalsi 2011

che non è corretta.

La 3. diventa:

10 20 < 12

20 < 13 20 che è corretta.

La 4. diventa:

14 20 < 12

20 < 13 20 che non è corretta.

Esercizio 4. Scrivere in ordine crescente le seguenti frazioni.

−¹₂, ¹¹₆ , −₁₀⁹, ⁶₅, −⁴₃

Svolgimento: Per scrivere le frazioni proposte in ordine crescente, occorre innanzitutto trasformare le frazioni in frazioni equivalenti seguendo il metodo illustrato nell'Esercizio 3. Il minimo comune multiplo dei denominatori è pari a 30. Le frazioni proposte allora diventano:

a = −1

2 = −15 30; b = 11

6 = 55 30; c = − 9

10 = −27 30;

d = 6

5 = 36 30; e = −4

3 = −40 30.

Confrontando i numeratori delle frazioni ottenute, l'ordine richiesto dalla traccia è dato da

e < c < a < d < b Vale a dire

−4

3 < − 9

10 < −15 30 < 6

5 < 55 30.

Esercizio 5. Calcolare il valore delle seguenti espressioni.

• 4 − [2 + (1 + ²₃) − (5 + ¹₅)] + [7 − (6 + ₁₅¹ ) −²₅];

• {[(¹₆ − ²₃) · (1 +¹₂) − (⁴₃ − ¹₆) · (¹₇ − 1)] · ²₃} − (₁₂¹ +¹₃);

• (−2 + ¹₄) : (¹₅ + 1);

Svolgimento: Quando si svolgono espressioni numeriche, come quelle propo- ste nell'esercizio, la prima regola da seguire è di svolgere prima le operazioni nelle parentesi tonde, poi quelle nelle quadre e inne quelle nelle grae. Al- l'interno della stessa parentesi, poi, le operazioni a cui va data precedenza sono moltiplicazioni e divisioni.

Prima espressione:

4 − [2 + (1 + 2

3) − (5 + 1

5)] + [7 − (6 + 1 15) −2

5] = 4 − [2 +3 + 2

3 − 25 + 1

5 ] + [7 − 90 + 1 15 − 2

5] = 4 − [2 + 1

3− 26

5 ] + [7 − 91 15− 2

5] = 4 − 30 + 5 − 78

15 +105 − 91 − 6

15 =

4 + 43 15 + 8

15 = 60 + 43 + 8

15 = 111

15. Seconda espressione:

{[(1 6− 2

3) · (1 +1 2) − (4

3 − 1 6) · (1

7− 1)] · 2

3} − ( 1 12 +1

3) = {[(− 3

62
) · (3
2) − (7

6
) · (−6
7
)] ·2

3} − 1 12 +1

3 = {[−3

4 + 1] · 2 3} − 1

12 +1 3 = { 1

42
· 2
3} − 1

12 +1 3 = 1

6 − 1 12 +1

3 = 5 12.

Terza espressione:

(−2 + 1 4) : (1

5 + 1) =

−8 + 1

4 : 1 + 5

5 =

−7 4 : 6

5 =

−7 4 ·5

6 = −35 24. Esercizio 6. Semplicare le seguenti frazioni.

2 5 6 25

, ³9 20

, ¹²₈

Svolgimento: La traccia ci propone delle divisioni tra due frazioni, scritte con la linea di frazione. La risoluzione è pertanto analoga a quella vista nell'Esercizio 6, terza espressione.

2 5 6 25

= 2

5 · 25 6 = 5

3; 3

9 20

= 3 · 20 9 = 20

3 ;

1 2

8 = 1

2 · 1 8 = 1

16.

Esercizio 7. Calcolare il valore delle seguenti espressioni, assegnando alle lettere i valori indicati a anco.

• (x + y)²− (x²+ y²) x = ¹₂, y = −¹₃;

• _x2¹+x + _x+1¹ x = −¹₄;

• _y−2¹ + y + 2 y = ²₃.

Svolgimento: Sostituiamo, al posto delle lettere, i valori indicati dalla trac- cia e calcoliamo poi le espressioni numeriche, analogamente a quanto fatto

nell'Esercizio 6.

Prima espressione:

(x + y)²− (x²+ y²) = (1 2− 1

3)²− (1 4 +1

9) = (1

6)²− 13 36 =

= 1 36− 13

36 = −12 36 = −1

3 Seconda espressione:

1

x²+ x + 1

x + 1 = 1

1

16− ¹₄ + 1

−¹₄ + 1 =

= 1

1−4 16

+ 1

−1+4 4

=

= −16 3 +4

3 = −12 3 = −4 Terza espressione:

1

y − 2+ y + 2 = 1

2

3 − 2 +2

3 + 2 =

= 1

2−6 3

+2

3 + 2 =

= −3 4 +2

3 + 2 = −9 + 8 + 24

12 = 23

12

Esercizio 8. Un numero decimale è composto da 5 cifre e gode delle seguenti proprietà:

• la cifra dei centesimi è 2;

• la cifra delle decine è uguale alla cifra dei centesimi aumentata di 7;

• la cifra delle unità è il doppio della cifra dei decimi;

• la cifra dei decimi è uguale alla cifra delle decine diminuita di 6;

• la cifra delle centinaia è uguale alla cifra delle unità.

Qual è il numero?²

• 292,32;

2Invalsi 2004

• 292,12;

• 484,82;

• 696,32.

Svolgimento: Per risolvere questo esercizio, chiamiamo x la cifra dei decimi, in modo che la cifra delle unità e quella delle centinaia saranno pari a 2x. Le altre cifre, invece, sono esplicitamente date dalla traccia. Una rappresenta- zione schematica del numero è data in Figura 2.1.

Inoltre, dal momento che la traccia aerma che la cifra dei decimi è uguale

Centinaia Decine Unità Decimi Centesimi

2x 9 2x x 2

Figura 2.1: Rappresentazione schematica del numero richiesto dalla traccia dell'Esercizio 8

a quella delle decine diminuita di 6, si ha x=9-6=3. Pertanto, il numero richiesto è 696,32.

2.2 I numeri razionali e i numeri decimali

Ogni numero intero può scriversi come una frazione. Ad esempio, il numero 4 è equivalente alla frazione ¹²₃, così come il numero -2 è equivalente alla frazione −¹⁰₅.

Le frazioni che hanno al denominatore il numero 10 (o una sua potenza, con indice diverso da zero) sono chiamate frazioni decimali e ad esse corrispon- dono i numeri decimali niti, vale a dire un numero decimale che possiede

un numero nito di cifre decimali. Consideriamo il seguente esempio:

3459

100 = 3000 + 400 + 50 + 9

100 = 3000

100 + 400 100 + 50

100 + 9 100 =

= 30 + 4 + 5 10+ 9

100 = 3 · 10¹ + 4 · 10⁰ + 5 · 10⁻¹+ 9 · 10⁻²

Dunque, la frazione di partenza può considerarsi come la somma di 3 · 10¹+ 4 · 10⁰+ 5 · 10⁻¹+ 9 · 10⁻², pertanto può essere indicata con la scrittura 34,59.

Il concetto può essere esteso a tutte le frazioni che sono equivalenti ad una frazione decimale: si tratta di quelle frazioni il cui denominatore, ridotto ai minimi termini, contiene come fattori primi soltanto il 2 e il 5. Questo signi-

ca che ad ogni numero razionale rappresentabile con una frazione decimale viene fatto corrispondere un numero decimale nito. Per individuare il nu- mero decimale corrispondente ad una frazione data, si esegue la divisione tra numeratore e denominatore no a quando si ottiene resto zero. A esempio:

3

4 = 3 : 4 = 0, 75.

Invece, quando la frazione data non è equivalente ad una frazione decimale (il che equivale a dire che il suo denominatore scritto in fattori primi contiene anche fattori diversi dal 2 e dal 5), essa corrisponde ad un numero decimale periodico, vale a dire un numero le cui cifre decimali sono innite e che, da un certo punto in poi, si ripetono a gruppi sempre uguali. In particolare, il gruppo di cifre che si ripete si chiama periodo; tutte le cifre che invece sono comprese tra la virgola ed il periodo costituiscono l'antiperiodo. Anche in questo caso, per individuare il numero decimale periodico corrispondente ad una data frazione occorre eettuare la divisione tra il numeratore ed il denominatore e prestare attenzione alle cifre che si ripetono.

Esempio

35

6 = 35 : 6 = 5, 8333333 · · · = 5, 8¯3

Come risulta dall'esempio, il periodo si contrassegna con una barra. Il nu- mero decimale periodico che così si ottiene è semplice se le cifre si ripetono subito dopo la virgola, misto se il periodo è invece preceduto dall'antiperiodo.

Ora, qualunque siano m ∈ Z e n ∈ N, facciamo vedere che dividendo m per n si ottiene un numero decimale periodico. Tanto per ssare le idee, supponiamo che 0 < m < n ed eettuiamo la divisione tra m ed n; indicati con (qi, ri), i = 1, · · · , k, rispettivamente i quozienti e i resti, siccome ri <

n, ∀i ∈ {1, · · · , k}, al più dopo n passi il resto deve coincidere con uno dei

resti trovati in precedenza, ciò comporta che anche i quozienti da un certo punto in poi si devono ripetere.

Si può dimostrare che, col procedimento sopra indicato, i numeri decima- li periodici che si ottengono non hanno mai come periodo la cifra 9; quindi, possiamo concludere che non tutti i numeri decimali periodici sono i corri- spondenti di un numero razionale.

Ritorneremo su questa questione alla ne del paragrafo seguente.

2.2.1 Le frazioni generatrici

Esiste una regola che permette di scrivere un numero decimale come una frazione. Per i numeri decimali niti, essa è immediata: il numeratore è il numero senza la virgola, il denominatore è una potenza di 10 che ha come esponente il numero delle cifre dopo la virgola.

Esempio

1, 25 = 125

10² = 125 100 = 5

4

Passiamo ora ad un numero decimale periodico. Consideriamo, ad esempio, il numero 1,2353535. . . , con le cifre 35 che si ripetono innite volte.

• si dice periodo il gruppo di cifre che si ripete (nell'esempio, il periodo è 35). Il periodo si indica con una barra orizzontale posta al di sopra delle cifre che lo costituiscono;

• si dice antiperiodo il gruppo di cifre che sta tra la virgola e il periodo (nell'esempio, l'antiperiodo è 2);

• se l'antiperiodo non c'è, si parla di numero periodico semplice (ad esempio, 1,3535. . . );

• se invece l'antiperiodo è presente, si parla di numero perio- dico misto (ad esempio 1,2353535. . . ).

La regola dice che, per costruire la frazione generatrice di un numero decimale periodico, si scrive:

• al numeratore, il numero dato senza la virgola e senza il segno di periodo, meno tutto ciò che sta prima del periodo;

• al denominatore, tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell'antiperiodo.

Esempio

1, 2353535 · · · = 1, 235 = 1235 − 12

990 = 1223 990

Esercizio 9. Trasformare i seguenti numeri decimali in frazioni.

4,321; 0,025; 0,216; 0,216. Svolgimento: Seguiamo la regola sopra denita.

4, 321 = 4321 − 43

990 = 4278 990 0, 025 = 25

1000 0, 216 = 216

999 0, 21¯6 = 216 − 21

900 = 195 900

Esercizio 10. Un bicchiere contiene ¹₄ di litro di acqua. Se si vuole riempire la bottiglia da 1,5 litri, quanti bicchieri di acqua bisogna versare nella bottiglia? ³

Svolgimento: La traccia richiede di trovare il numero n che, moltiplicato per

1

4 L, ci restituisca 1,5 L che, scritto in frazione, è equivalente a ¹⁵₁₀. Dunque, la richiesta si traduce matematicamente in questo modo:

n · 1

4L = 15

10L ⇒ n = 15

10· 4 = 6

Esercizio 11. Una mamma deve somministrare al glio convalescente 150 mg di vitamina C ogni giorno. Avendo a disposizione compresse da 0,6 g, quante compresse al giorno deve dare al glio?⁴

• un quarto di compressa;

• una compressa;

• due compresse e mezzo;

3Invalsi 2015

4Invalsi 2008

Svolgimento: Questo esercizio è analogo all'Esercizio 10. In particolare, la richiesta dell'esercizio si traduce in :

n · 0, 6g = 0, 15g Ossia, scritta con le frazioni:

n · 6

10g = 15

100g ⇒ n = 15 100 · 10

6 = 1 4

Concludiamo questo paragrafo mostrando come un numero decimale di periodo 9 si può identicare con un opportuno numero decimale di periodo 0.

A tale scopo, consideriamo il numero decimale 1, 329 e il seguente ottenuto da esso sostituendo il periodo 9 con il periodo 0 e aumentando di un'unità l'ultima cifra che precede il periodo, 1, 33; ora, scrivendo le frazioni generatrici dei due numeri decimali:

1329 − 132

900 = 1197

900 = 1, 33, 1330 − 133

900 = 1197

900 = 1, 33, otteniamo lo stesso numero razionale.

Alla luce dell'esempio considerato è naturale identicare ogni numero deci- male di periodo 9 con quello che da esso si ottiene sostituendo il periodo 9 con il periodo 0 e aumentando di un'unità l'ultima cifra che precede il periodo.

Quindi, d'ora in poi, quando incontreremo un numero del tipo 0, 419, invece di scrivere:

419 − 41

900 = 378

900 = 0, 42, scriveremo direttamente 0, 42.

Esercizio 12. Calcolare il valore della seguente espressione, dopo aver tra- sformato i numeri decimali in frazioni.

3, 5 − 1 2 · 1, 9.

Svolgimento: Seguiamo la regola sopra denita.

3, 5 − 1

2· 1, 9 = 35 10− 1

2· 18 9 =

= 35

10 − 1 = 25 10

2.3 Intervalli di R. Insiemi separati, insiemi contigui.

Siano a, b ∈ R, con a ≤ b.

L'insieme:

{x ∈R : a ≤ x ≤ b} (risp. {x ∈ R : a < x < b}),

si dice intervallo chiuso di estremi a e b (risp. intervallo aperto di estremi a e b) e si denota con [a, b] (risp. ]a, b[).

L'insieme:

{x ∈R : a ≤ x < b} (risp. {x ∈ R : a < x ≤ b}),

si dice intervallo superiormente semiaperto di estremi a e b (risp. intervallo inferiormente semiaperto di estremi a e b) e si denota con [a, b[ (risp. ]a, b]).

Si noti che, se a = b, [a, b] = {a} e ]a, b[= [a, b[=]a, b] = ∅.

Se a < b i numeri reali c = ^a+b₂ e δ = ^b−a₂ si dicono, risp., punto medio e semiampiezza di ognuno dei suddetti intervalli; in particolare, risulta:

[a, b] = [c − δ, c + δ].

Si chiama insieme ampliato dei numeri reali e si denota con il simbolo R,^∧ l'insieme R con l'aggiunta dei simboli −∞ e +∞, cioè:

R = R ∪ {−∞} ∪ {+∞};∧

qualunque sia x ∈ R, per convenzione:

−∞ < x < +∞.

Se a ∈ R, si introducono le notazioni seguenti:

] − ∞, a] = {x ∈R : x ≤ a}, ] − ∞, a[= {x ∈R : x < a},

[a, +∞[= {x ∈R : x ≥ a}, ]a, +∞[= {x ∈R : x > a},

] − ∞, +∞[=R, [−∞, +∞] =

R.∧

Per denotare che X non è limitato inferiormente (risp. superiormente) si scrive:

inf X = −∞ (risp. sup X = +∞).

Esempi.

1) X = [2, 3[, inf X = min X = 2, sup X = 3.

2) X = [−1, 2[∪{3}, inf X = min X = −1, sup X = max X = 3.

3) X = {¹_n : n ∈N}, inf X = 0, sup X = max X = 1.

4) X = {1 −_n¹ : n ∈N}, inf X = min X = 0, sup X = 1.

5) X = {¹_n− 1 : n ∈N}, inf X = −1, sup X = max X = 0.

Denizione 2.3.1 Siano X e Y due sottoinsiemi non vuoti di R. X e Y si dicono separati se:

x ≤ y, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y. (2.3)

Si noti che la (2.3) è equivalente alla condizione:

sup X ≤ inf Y. (2.4)

Denizione 2.3.2 Siano X e Y due sottoinsiemi non vuoti di R. X e Y si dicono contigui se:

supX = inf Y, (2.5)

il numero reale (2.5) si dice elemento di separazione di X e Y . E' facile dimostrare la seguente:

Proposizione 2.3.3 Siano X e Y due sottoinsiemi non vuoti di R. Le condizioni seguenti sono equivalenti:

i) X e Y sono contigui

ii) X e Y sono separati ed inoltre soddisfano la condizione seguente:

∀ε > 0 ∃ x_ε ∈ X ∃y_ε∈ Y : y_ε− x_ε< ε.

2.4 Rappresentazione geometrica di R.

Consideriamo una retta r e ssiamo su essa un punto O. Partendo da O, la retta r può essere percorsa in due versi tra loro opposti, ssiamo uno di tali versi e chiamiamolo verso positivo. In questo modo r è stata orientata e prende il nome di asse o retta orientata, tale asse lo denotiamo con il simbolo

−

→r.

Chiameremo semiasse positivo, e lo denoteremo con −→

r⁺, la parte di −→r costituita da tutti i punti che seguono O nel verso positivo (pressato); in modo analogo si denisce il semiasse negativo −→

r⁻.

Ora, scegliamo come unità di misura un segmento u di estremi A e B.

Considerati gli elementi 0 e 1 di Z, associamo a 0 il punto O e ad 1 il punto P1 di −→

r⁺ tale che |OP1| = |AB|. Poi, considerato l'elemento -1 di Z, associamo a -1 il punto P⁻¹ di−→

r⁻ tale che |OP⁻¹| = |AB|. In modo ovvio, si può associare ad ogni intero relativo un punto di −→r.

Passiamo ai numeri razionali; ad esempio, vediamo al numero ⁴₅ qua- le punto di −→r dobbiamo associare; consideriamo i punti Q1, Q₂, Q₃, Q₄ del segmento OP1 tali che Q1 precede Q2, Q2 precede Q3, Q3 precede Q4 ed inoltre:

|OQ₁| = |Q₁Q₂| = |Q₂Q₃| = |Q₃Q₄| = |Q₄P₁|,

al numero ⁴₅ associamo il punto Q4. In modo ovvio si procede quando il nu- meratore della frazione è maggiore del denominatore; infatti, se consideriamo il numero ¹⁹₅, basta osservare che ¹⁹₅ = 3 +⁴₅.

Riguardo ai numeri irrazionali consideriamo, ad esempio, il numero π = 3, 1415...; tale numero si approssima per difetto con 3, 14 = 3 + ₁₀₀¹⁴ e per eccesso con 3, 15 = 3 + ₁₀₀¹⁵ e, sapendo quali sono i punti corrispondenti, sull'asse −→r, dei numeri razionali 3, 14 e 3, 15 ci si fa un'idea di dove può essere posizionato il punto di −→r corrispondente al numero π.

Procedendo in questo modo, si intuisce come ad ogni numero reale x si può far corrispondere uno ed un sol punto Px di −→r, il punto Px si dice immagine di x su −→r .

Viceversa, considerato un punto P di −→r e denotata con | OP | la misura, rispetto ad u, del segmento di estremi O e P , a P si può associare il numero reale:

x_P =







| OP | se P ∈−→

r⁺

O se P = O

− | OP | se P ∈−→ r⁻ .

In questo modo è stata stabilita una corrispondenza biettiva tra gli elementi di R e i punti di −→r.

Quando sull'asse −→r si ssa un punto O e un'unità di misura (nel nostro caso il segmento u di estremi A e B) e si stabilisce la suddetta corrispondenza biettiva, si dice che l'insieme dei numeri reali R viene rappresentato geome- tricamente con l'insieme dei punti di −→r. Il numero reale xP corrispondente al punto P di −→r si dice ascissa di P , e conseguentemente si dice che sulla retta r è stato introdotto un sistema di ascisse. In seguito questo sistema di ascisse lo chiameremo sistema di riferimento cartesiano su r e lo denoteremo con il simbolo O−→r oppure con Or.

2.5 Insiemi niti e insiemi inniti.

Denizione 2.5.1 Siano X e Y due insiemi non vuoti. X e Y si dicono equipotenti se esiste una funzione biettiva da X in Y .

Denizione 2.5.2 Un insieme X si dice nito se esiste un n ∈ N tale che X è equipotente all'insieme {1, ..., n}. Il numero n si dice cardinalità di X.

In seguito, per denotare che X è equipotente a {1, ..., n} scriveremo |X| = n, ciò signica che X ha n elementi.

Un insieme Y che non sia nito si dice innito.

Denizione 2.5.3 Un insieme Y si dice numerabile se è equipotente ad N.

In questo caso si scrive | Y |=| N |.

E' interessante osservare che, se si denota con P (risp. D) l'insieme dei numeri pari (risp. dispari) si ha che | P |=| N | (risp. | D |=| N |). Infatti, la funzione f : n ∈ N → 2n ∈ P (risp. f : n ∈ N → 2n − 1 ∈ D) è una funzione biettiva da N in P (risp. da N in D). Conseguentemente, a dierenza di quanto accade per gli insiemi niti, due insiemi inniti possono essere equipotenti anche se uno dei due è un sottoinsieme proprio dell'altro.

Si può dimostrare che

Proposizione 2.5.4 Se X e Y sono due sottoinsiemi di R, entrambi nume- rabili, allora X ∪ Y è numerabile.

Proposizione 2.5.5 Le condizioni seguenti sono vere:

1) | Q |=| N |, cioè Q è numerabile.

2) | R |>| N |, quindi R − Q non è numerabile.

3) Un qualunque intervallo non degenere di R non è numerabile.

2.6 Potenza n-esima

Denizione 2.6.1 Siano n ∈ N e x ∈ R. Si chiama potenza di base x ed esponente n, e si denota con xⁿ, il prodotto di n fattori tutti uguali a x.

Se x ∈ R − {0} si pone x⁰ = 1.

Denizione 2.6.2 Siano n ∈ N e x ∈ R − {0}. Si chiama potenza di base x ed esponente −n, e si denota con x⁻ⁿ, il numero reale _x¹ⁿ.

Esempi.

1) Riscrivere l'espressione (xy³)²(5x³y²)⁴.

Soluzione. (xy³)²(5x³y²)⁴ = x²y⁶5⁴x¹²y⁸ = 625 x¹⁴y¹⁴.

2) A quanto è uguale la quinta parte di 10⁶? Soluzione. ¹₅ 10⁶ = ¹₅ 2⁶ 5⁶ = ²⁶₅⁵⁶ = 2⁶ 5⁵.

Esercizio 13. Calcolare le seguenti potenze.

(−³₅)⁻²; (⁴₇)²; (¹₃)³; 3⁻³; 1⁻⁷; (−1)⁷. Svolgimento:



−3 5

−2

=



−5 3

2

= 25 9 ;

 4 7

2

= 16 49;

 1 3

3

= 1 27; 3⁻³ = 1

3

3

= 1 27; 1⁻⁷ = 1⁷ = 1;

(−1)⁷ = −1.

Esercizio 14. Calcolare il valore delle seguenti espressioni, applicando le proprietà delle potenze.

• 3²· 3⁻⁵· 3⁴· 3⁻¹;

• 5⁻² : 5⁷· 5¹⁰;

• h

25³

75² − 2 −⁵₃
2

− ⁷₉i +

h

−⁸₃
−2

· ₂₇⁴
−3i−1

· −³₂
10

.

Svolgimento: Procediamo applicando le proprietà delle potenze.

Prima espressione:

3²· 3⁻⁵· 3⁴· 3⁻¹ = 3^2−5+4−1 = 3⁰ = 1;

Seconda espressione:

5⁻² : 5⁷· 5¹⁰= 5^−2−7+10= 5¹ = 5;

Terza espresssione:

"

25³ 75² − 2



−5 3

2

− 7 9

# +

"



−8 3

−2

· 4 27

−3#−1

·



−3 2

10

=

=

"

(5²)³

(5²· 3)− 2 · 5² 3² − 7

3²

# +

"



−3 2³

2

· 3³ 2²

3#⁻¹

·3¹⁰ 2¹⁰ =

=

 5⁶

5²· 3− 2 · 5² 3² − 7

3²

 + 3²

2⁶ ·3⁹ 2⁶

⁻¹

·3¹⁰ 2¹⁰ =

= 3 · 5⁴− 2 · 5²− 7 3² + 2¹²

3¹¹ ·3¹⁰ 2¹⁰ =

= 3 · 5⁴ − 2 · 5²− 7

3² +2²

3 = 3 · 5⁴− 2 · 5²− 7 + 3 · 2² 3²

2.7 Valore assoluto di un numero reale.

Se x è un numero reale, per valore assoluto di x si intende il numero stesso se x ≥ 0 e l'opposto di x se x < 0; quindi, denotato il valore assoluto di x con il simbolo | x |, si ha che:

| x |=

 x se x ≥ 0

−x se x < 0. (2.6)

Esempi.

Sia a un numero reale positivo.

1) | x |≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a ⇐⇒ x ∈ [−a, a].

2) | x |≥ a ⇐⇒ (x ≤ −a o x ≥ a) ⇐⇒ x ∈] − ∞, −a] ∪ [a, +∞[.

3) | x−1 |< a ⇐⇒ −a < x−1 < a ⇐⇒ 1−a < x < 1+a ⇐⇒ x ∈]1−a, 1+a[.

4) | x−1 |> a ⇐⇒ (x−1 < −a o x−1 > a) ⇐⇒ x ∈]−∞, 1−a[∪]1+a, +∞[.

Vediamo, ora, alcune proprietà del valore assoluto:

a) | x + y |≤| x | + | y |.

b) || x | − | y ||≤| x − y |.

c) | x · y |=| x | · | y |.

Le suddette proprietà sono di facile verica; proviamo, ad esempio, la a).

Sappiamo che:

− | x |≤ x ≤| x | e − | y |≤ y ≤| y |, quindi, sommando membro a membro si ottiene:

−(| x | + | y |) ≤ x + y ≤| x | + | y |, quindi, dall'esempio 1) segue l'asserto.

Capitolo 3

Il calcolo letterale

3.1 Monomi

3.1.1 Che cosa sono i monomi

Per monomio si intende il prodotto di un numero reale per una o più lettere aventi come esponente un numero naturale. Quindi, in un monomio non compaiono operazioni di addizione, sottrazione o divisione. Ad esempio è un monomio:

5a³b⁴

4 (3.1)

invece:

5c²b³

a (3.2)

NON è un monomio, perché al denominatore compare una lettera.

Un monomio si dice in forma normale se è scritto come prodotto di un numero reale, detto coeciente, e una o più lettere che compaiono una sola volta, con i relativi esponenti, e che costituisce la parte letterale. Il grado di un monomio è dato dalla somma dei gradi dei singoli fattori che compongono la parte letterale. Ad esempio, nel monomio:

3

5a²b³ (3.3)

3

5 è il coeciente, mentre a²b³è la parte letterale di grado complessivo 2+3=5, per cui il monomio dato è di grado 5.

Due monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale.

38

3.1.2 Operazioni con i Monomi

Dati due monomi simili, la somma algebrica è un monomio che ha per coef-

ciente la somma algebrica dei coecienti e per parte letterale quella dei monomi stessi.

Esempio:

7ab − 3ab + 2ab = 6ab (3.4)

Il prodotto tra due monomi si ottiene moltiplicando i coecienti e moltipli- cando la parte letterale facendo uso delle proprietà delle potenze.

Esempio:

2ab · 7a²bc = 14a³b²c (3.5) Un discorso analogo vale per il quoziente e per le potenze di monomi.

Esempi:

9a⁵b³ : 3a²b = 3a³b² (3.6) e:

(a³)² = a⁶ (3.7)

3.1.3 M.C.D. e m.c.m. tra monomi

Il massimo comune divisore (M.C.D.) tra la parte letterale di due o più mo- nomi è dato dal prodotto delle lettere comuni ai monomi stessi, prese una sola volta col minimo esponente. Se i coecienti sono tutti interi, si assu- me come coeciente il M.C.D. del valore assoluto dei coecienti, si assume uguale a 1 negli altri casi.

Ad esempio, dati i monomi:

2a³b²c, 6a²bc³ il loro M.C.D. è 6a²bc.

Il minimo comune multiplo (m.c.m.) tra la parte letterale di due o più monomi è il prodotto delle lettere comuni e non comuni ai monomi, prese una sola volta con il loro massimo esponente. Se i coecienti sono tutti interi, si assume come coeciente il m.c.m. del valore assoluto dei coecienti, si assume uguale a 1 negli altri casi.

Ad esempio, dati i monomi:

5a⁵b³c, 6 5abc⁴ il loro m.c.m. è a⁵b³c⁴.

3.2 Polinomi

Per polinomio si intende la somma algebrica di due o più monomi. I monomi che compongono il polinomio si dicono termini del polinomio. Per la de- nizione appena data, anche un monomio è da considerarsi un polinomio. Il polinomio nullo è un polinomio che ha coecienti e termine noto tutti nulli.

Un polinomio si dice ridotto a forma normale se lo sono i termini che lo compongono e non sono presenti termini simili.

I polinomi ridotti in forma normale composti da uno, due, tre e quattro ter- mini si dicono, rispettivamente, monomi, binomi, trinomi e quadrinomi. Si dice grado del polinomio il più grande tra i gradi dei monomi che lo compon- gono.

Il grado rispetto ad una lettera è l'esponente massimo con cui quella lettera compare nel polinomio.

Un polinomio si dice omogeneo se i suoi termini hanno tutti lo stesso grado;

si dice ordinato rispetto ad una lettera se i termini sono disposti in ordine crescente o decresente rispetto agli esponenti di quella lettera; si dice comple- to rispetto ad una data lettera se contiene tutte le potenze di quella lettera, dal grado massimo no al grado zero.

Si dice termine noto il termine formato solo da un numero, ovvero il termine di grado zero.

Somma e prodotto di polinomi.

Somma. Siano f(x) = a0 + a₁x + ... + a_nxⁿ, g(x) = b0 + b₁x + ... + b_mx^m, con n ≥ m, an6= 0, bm 6= 0. La somma di f(x) e g(x) è uguale al polinomio:

p_n(x) = f (x) + g(x) = c₀+ c₁x + ... + c_nxⁿ. Se n = m allora ci = a_i+ b_i, i = 0, 1, ..., n.

Se n > m allora ci = a_i+ b_i, i = 0, 1, ..., m e ci = a_i, i = m + 1, ..., n.

Prodotto. Siano f(x) = a0+ a₁x + ... + a_nxⁿ, g(x) = b0+ b₁x + ... + b_mx^m, con n ≥ m, an6= 0, bm 6= 0. Il prodotto di f(x) e g(x) è uguale al polinomio:

p_n+m(x) = f (x) · g(x) = c₀+ c₁x + ... + c_n+mx^n+m.

Il grado di pn+m(x) è uguale a n + m, il primo cociente è cn+m = a_nb_m e gli altri coecienti sono dati da:

c₀ = a₀b₀,

c_i = a_ib₀+ a_i−1b₁+ ... + a₀b_i, i = 1, ..., m, c_m+i = a_m+ib₀+ a_m+i−1b₁+ ... + a_ib_m, i = 1, ..., n − m,

c_n+j = a_nb_j + a_n−1b_j+1+ ... + a_n−m+jb_m, j = 1, ..., m − 1, c_n+m= a_nb_m.

3.2.1 Prodotti Notevoli

Siano a, b ∈ R. Valgono le seguenti uguaglianze:

(a + b)(a − b) = a²− b²; (3.8)

(a + b)² = a²+ 2ab + b²; (3.9)

(a + b + c)² = a²+ b²+ c²+ 2ab + 2ac + 2bc; (3.10) (a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³. (3.11)

3.2.2 Funzioni Polinomiali

Osserviamo che i polinomi possono essere considerati delle fuzioni; infatti:

P (x) = x²− 3x + 2 (3.12)

è una particolare funzione reale denita in R.

3.2.3 Divisione tra un polinomio e un monomio

Il quoziente tra un polinomio e un monomio si calcola applicando la proprie- tà distributiva della divisione rispetto alla somma; si divide, cioè, ciascun termine del polinomio per il monomio divisore.

Se consideriamo un polinomio della forma A(x) + B(x) , con A(x) e B(x) monomi, e un monomio con funzione di divisore C(x) 6= 0 , il quoziente tra il polinomio e il monomio è dato da:

[A(x) + B(x)] : C(x) = A(x) : C(x) + B(x) : C(x) (3.13) Si ha, quindi, la seguente regola generale:

La divisione tra un polinomio e un monomio non nullo è possibile solo se ogni termine del polinomio è divisibile per il monomio, cioè se il polinomio contiene tutte le lettere che gurano nel monomio, ciascuna con esponente maggiore o uguale a quello con cui compare nel monomio.

Ad esempio, calcoliamo il quoziente tra il polinomio (4a³ + 16a² + 8a) e il monomio 2a :

(4a³+ 16a²+ 8a) : 2a (3.14)