Esercizi sull’integrazione immediata

Esercizi sul teorema fondamentale del calcolo

1. Sia:

f(x) = Z ³x

1

1

1 + t + t²dt.

Si calcolino f⁰(x) e f⁰⁰(x).

2. Sia:

f(x) = Z x

0

t²− 4 1 + cos²tdt.

Si trovino e si classifichino i massimi ed i minimi relativi di f.

3. Sia:

f(x) = Z ²

x²

√t+ 1dt.

Si calcoli f⁰(x).

Esercizi sull’integrazione immediata

1. Calcolare:

Z ⁴

−3

||x| − 4| dx.

2. Sapendo che:

Z ³

0

f(x)dx = 12, Z ⁶

0

f(x)dx = 42,

si calcoli:

Z ⁶

3 (f (x) − 3) dx.

1

3. Risolvere e discutere l’equazione:

Z ¹

0

t^xdt = 5.

4. Provare che:

Z ⁰

−1

4x²− 8x + 1

(x − 1)² dx= 5 2. 5. Provare che:

Z ^π₄

0

sin³(2x) cos⁴(2x)dx = 1 35.

Esercizi sull’integrazione per parti

1. Provare che:

Z ^π₂

0

sin³xcos³xdx= 1 12 2. Provare che:

Z ¹

0

lnx+ 1

x+ 2dx= ln16 27 3. Provare che:

Z ^π

2

0

e^−xsin 2xdx = 2

5 1 + e^−π/2
.

Esercizi sul cambio di variabile

1. Provare che:

Z ¹

0

x³

√1 + x²dx= 2 −√ 2 3 . 2

2. Provare che:

Z ¹

0

x√

1 + 5x²dx= 2√ 6 5 − 1

15. 3. Provare che:

Z ¹

0

x²√

2 + x³dx= 2

√3 − 4√ 2 9 . 4. Provare che:

Z ²

1

√ 1

x(1 +√

x)²dx= 3 − 2√ 2.

5. Provare che:

Z ¹

0

x³√

4 + x²dx.

6. Provare che:

Z ³

1

√ x

1 + 3x²dx.

7. Provare che:

Z ⁹

1

√ 3x

10 − xdx.

8. Provare che:

Z ¹

0

x²√

1 + x³dx.

9. Provare che:

Z ⁴

0

x√

x²+ 9dx.

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