Capitolo 8 CASO DI STUDIO: PALAZZO BOSCARINO ANALISI STATICA NON LINEARE

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CASO DI STUDIO: “PALAZZO BOSCARINO”

ANALISI STATICA NON LINEARE

8.1. Premessa

L’NTC08 prende in considerazione i seguenti quattro diversi metodi di analisi da effettuare sugli edifici:

1. Analisi statica lineare;

2. Analisi dinamica modale;

3. Analisi statica non-lineare;

4. Analisi dinamica non-lineare.

La scelta tra un metodo e l’altro dipende dalle caratteristiche (regolari- tà, periodi propri caratteristici) e dall’importanza della struttura che si sta studiando.

L’analisi dinamica non lineare al passo è indubbiamente lo stru- mento più completo ed efficace. La risposta della struttura viene de- terminata mediante integrazione al passo delle equazioni del moto di un sistema a molti gradi di libertà (MDOF) non lineare. La loro applicazione non è molto diffusa per l’elevata richiesta di analisi l’onerosa interpretazione dei dati.

Un’alternativa affidabile, prevista dalla normativa, è rappresentata dalla analisi statica non lineare. Essa pur conservando la notevole sem- plicità d’uso e di interpretazione dei risultati tipica delle analisi stati- che lineari, consente stime più realistiche ed affidabili della risposta

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strutturale anche in campo non lineare. La loro applicazione nella verifica strutturale è sempre più frequente.

8.2. Analisi statica non lineare (curva pushover)

Per analizzare la risposta sismica di una struttura reale, è necessario, innanzitutto, costruire un modello matematico in grado di cogliere ade- guatamente le caratteristiche geometriche e meccaniche della struttura in esame, includendo gli effetti delle non linearità del materiale.

Per ottenere una previsione accurata e realistica della risposta sismica di una struttura è necessario disporre di strumenti di analisi che permettano di coglierne il comportamento non lineare e la sua evoluzio- ne nel tempo.

Questo tipo di analisi è essenzialmente basato su due passi fonda- mentali:

1. la determinazione di un legame forza-spostamento (curva di capacità o curva di pushover), rappresentativo del reale comportamento monotono della struttura, per la cui defini- zione si richiede un’analisi di spinta o di pushover;

2. la valutazione dello spostamento massimo o punto di funzio- namento (performance point) raggiunto dalla struttura a fronte di un evento sismico definito tramite uno spettro di risposta elastico in accelerazione.

L’analisi di pushover è una procedura statica non lineare impiegata per determinare il comportamento di una struttura a fronte di una deter- minata azione (forza o spostamento) applicata. Essa consiste nello

“spingere” la struttura fino a che questa collassi o un parametro di controllo di deformazione non raggiunga un valore limite prefissato; la

“spinta” si ottiene applicando in modo incrementale monotono un profilo di forze o di spostamenti prestabilito. I carichi gravitazionali applica- ti alla struttura sono quelli considerati in combinazione sismica e quindi affetti dai vari coefficienti ψ2,i mentre per i carichi “di spinta”, per la

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(SDOF) equivalente alla struttura di partenza.

I metodi statici non lineari permettono di individuare lo spostamento massimo di tale sistema SDOF equivalente e quindi la risposta della struttura (punto prestazionale) soggetta ad un evento sismico descritto dal relativo spettro di risposta in accelerazione. In particolare, durante l’analisi, i carichi orizzontali vengono tutti scalati mantenendo invariati i rapporti relativi fra gli stessi ai vari piani, in modo tale da far crescere monotonamente lo spostamento orizzontale di un punto di controllo che la norma identifica univocamente, come quello coincidente con il centro di massa dell’ultimo livello della costruzione, ad esclusione di eventuali torrini.

Lo schema di come si attua una analisi incrementale statica non lineare è schematizzato dalle seguenti immagini:

1) La struttura viene sollecitata applicando un profilo di forze o- rizzontali con distribuzione triangolare crescente verso l’alto, in corrispondenza di ciascun piano;

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2) Le forze che si fanno crescere monotonamente finché viene raggiunto il momento di prima plasticizzazione in una o più sezioni;

3) Si formano delle cerniere plastiche in corrispondenza delle suddette sezioni e quindi cambia lo schema strutturale, in cui le forze conti- nuano ad essere au- mentate;

4) La plasticizzazione continua sino a quando lo schema non diventa labile e si perviene ad un meccanismo di collasso della struttura.

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Figura 68 – Esempio di curva pushover

8.3. Stima della domanda di spostamento

Il terremoto determina nella struttura deformazioni che sono congruenti con gli spostamenti dei suoi nodi. I metodi di analisi non lineare consentono la stima diretta degli spostamenti orizzontali, a partire dal moto sismico atteso.

La domanda causata da un terremoto su una particolare struttura, si può esprimere in termini di spostamento subito dalla struttura stessa.

Dunque, si definisce domanda di spostamento, la risposta reale massima della struttura in termini di spostamenti.

Il calcolo della richiesta di spostamento, viene eseguito mediante l’utilizzo degli spettri elastici (di intensità corrispondente allo stato limite in esame) e considerando un sistema “ridotto” ad un grado di

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libertà, “equivalente” al sistema reale. Seguendo la procedura descritta al punto C7.3.4.1 dell’NTC 2008.

La curva di capacità del sistema ridotto viene ottenuta scalando la curva di pushover del punto di controllo, applicando un coefficiente di partecipazione Γ, definito come segue:

1 2 1 N

i i

i N

i i

i

m m

φ φ

=

⋅ Γ =

⋅

∑

Dove :

mi : massa associata all' a quota sismica i-esima;

φⁱ : i-esima componente del modo fondamentale di vibrazione della struttura nella direzione dell’azione sismica, normalizzato al valore unitario della componente relativa al punto di controllo.

Al sistema ridotto viene associata una massa equivalente (m*), definita come segue:

* 1 N

i i

i

m m φ

=

∑

⋅

La curva del sistema ridotto viene semplificata secondo una bilatera equivalente caratterizzata da:

k^* : rigidezza elastica;

F^*y : limite elastico;

d^*y, d^*u : spostamento al limite elastico e ultimo.

La rigidezza della bilatera equivalente viene fissata pari alla rigidezza secante alla curva del sistema ridotto in corrispondenza di un livello di forza pari al 60% del massimo (F^*bu). Il limite di snervamento viene quindi determinato imponendo l’equivalenza energetica tra i due siste- mi, e cioè, facendo in modo che le aree tra la bilatera e la curva al di sotto e al di sopra della bilatera sono uguali tra di loro come illustrato in figura.

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Figura 69 – Determinazione del sistema bilineare equivalente

Il periodo del sistema ridotto risulta :

*

2 m*

T = π k

Per strutture flessibili con T^* ≥ TC (con TC ordinata dello spettro elastico in corrispondenza del quale sia ha il passaggio da accelerazione costante a velocità costante) lo spostamento massimo del sistema bilineare (d*max) può essere assunto pari al massimo spostamento di un sistema elastico equivalente (d^*e,max). Tale parametro può essere desunto dallo spettro di progetto in termini di spostamento SDe:

* * *

max _e,max _De( ) d =d =S T

Per strutture rigide (T* < TC) lo spostamento massimo del sistema non lineare viene amplificato rispetto a quello del sistema elastico equivalente utilizzando l’espressione :

( )

* ,max

* * *

max d^e * 1 1 T^C* _e,max

d q d

q T

 

=  + − ≥

 

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Dove:

* *

*

( )

e y

S T m

q F

= ⋅

Lo spostamento del punto di controllo della struttura reale si risulta:

*

max max

d = Γ⋅d

Per effettuare una verifica di sicurezza occorre confrontare la capacità della struttura, rappresentata dalla curva di capacità ottenuta dall’analisi non lineare, con le caratteristiche dell’azione sismica considerata.

8.4. Metodologia di analisi di “Palazzo Boscarino” mediante analisi statica non lineare

La modellazione di Palazzo Boscarino è stata eseguita utilizzando il software strutturale 3DMacro della Grupposismica srl, in particolare è stato sviluppato un modello tridimensionale agli elementi finiti non- lineari dell’edificio.

Di seguito si riportano le caratteristiche principali del modello nu- merico della struttura in oggetto.

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Figura 70 – Modello 3DMacro – Vista assonometrica del modello geometrico

8.4.1. Impalcati

Gli impalcati vengono considerati infinitamente rigidi nel proprio piano e inefficaci dal punto di vista flessionale;

8.4.2. Interazione sovrastruttura- terreno

Viene trascurata l’interazione tra la sovrastruttura e il terreno. I pilastri di base verranno pertanto incastrati alla base con vincolo perfetto.

8.4.3. Elementi asta

Gli elementi asta (travi e pilastri) vengono modellati mediante un ap- proccio per cerniere plastiche. Il danneggiamento plastico viene concen-

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trato in apposite sezioni nelle quali si “attivano” delle sconnessioni rispetto alla rotazione (cerniere con legame costitutivo non-lineare). Le sezioni in cui vengono previste le cerniere plastiche, definite a priori, vengono dette “sezioni critiche”. In particolare, nel modello in esame, sono state inserite cerniere plastiche in corrispondenza dei nodi e nella mezzeria delle travi.

Un sistema siffatto può essere visto come l’assemblaggio di elementi e- lastici connessi tra loro da cerniere con comportamento non-lineare.

elemento elastico cerniera elastica

Figura 71 – Modellazione a plasticità concentrata

4.4.4. Fasi di applicazione delle azioni orizzontali

L' applicazione delle azioni orizzontali prevede due fasi distinte: una prima, a controllo di forze, nella quale il vettore di carico viene applica- to proporzionalmente ed in modo incrementale fino ad una condizione di singolarità della matrice di rigidezza, dovuta all’incapacità della struttura di sostenere ulteriori incrementi di carico. Una successiva fase in cui alla struttura vengono imposti degli incrementi di spostamento in corrispondenza di particolari nodi della struttura (punti di controllo), a seguito dei quali viene valutata la resistenza residua all’aumentare del livello di deformazione.

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Figura 72 – Distribuzione di forze orizzontali

La fase a controllo di spostamento viene avviata quando la struttu- ra non è più in grado di resistere ad ulteriori incrementi di carico, ciò comporta che la matrice di rigidezza del sistema non risulta più inver- tibile. In questa condizione ad ulteriori incrementi di spostamento nella struttura non corrispondono incrementi di resistenza, al contrario la struttura è caratterizzata da un progressivo decadimento di resistenza associato al susseguirsi di rotture e/o degradi di elementi strutturali che hanno raggiunto le loro riserve di duttilità o i limiti di resistenza.

fase a controllo di spostamenti fase a controllo di

forze

u F

Figura 73 – Fasi di carico dell’analisi pushover

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La scelta dei punti di controllo viene effettuata in modo tale che siano rappresentativi della struttura. Ad esempio, per gli edifici in cui sono riconoscibili livelli di piano, i punti di controllo coincidono con i baricen- tri degli impalcati. La distribuzione di spostamenti imposti viene de- terminata dal programma in modo da amplificare la deformata regi- strata nell’ultimo passo della fase a controllo di forza, proporzionalmente all’incremento di spostamenti relativo all’ultimo passo dell’analisi a controllo di forze.

Uno dei punti a spostamento imposto viene considerato come punto

“target” e il suo spostamento verrà monitorato durante l’analisi in modo da determinare l’interruzione dell’analisi al raggiungimento di uno spostamento limite imposto.

Il software esegue le seguenti analisi:

• Vert: analisi statica per i carichi gravitazionali.

• Pushover ±X (±Y) Massa: analisi pushover per una distribuzione di forze orizzontali proporzionali alla massa di ciascun piano dell’edificio, nel verso delle X (Y) positive (negative).

• Pushover ±X (±Y) Triangolare: indica un’analisi pushover per una distribuzione di forze orizzontali proporzionali all’altezza secondo una distribuzione di carico a forma triangolare, nel verso delle X (Y) positive (negative).

Le NTC08 al punto C7.2.6 impongono di considerare la possibilità che il centro di massa si sposti in qualsiasi direzione di una quantità, deno- minata eccentricità accidentale, pari a 0,05 volte la dimensione dell’edificio misurata perpendicolarmente alla direzione dell’azione sismica:

“Per tenere conto della variabilità spaziale del moto sismico, nonché di eventuali incertezze nella localizzazione delle masse, al centro di massa deve essere attribuita una eccentricità accidentale rispetto alla sua posizione quale deriva dal calcolo. Per i soli edifici ed in assenza di più accurate determinazioni l’eccentricità accidentale in ogni direzione non può essere considerata inferiore a 0,05 volte la dimensione dell’edificio misurata perpendicolarmente alla direzione di applicazione

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2. pushover -X Massa;

3. pushover +Y Massa;

4. pushover -Y Massa;

5. pushover +X Triangolare;

6. pushover -X Triangolare;

7. pushover +Y Triangolare;

8. pushover -Y Triangolare;

9. pushover +X Massa +e;

10. pushover -X Massa +e;

11. pushover +Y Massa +e;

12. pushover -Y Massa +e;

13. pushover +X Triangolare +e;

14. pushover -X Triangolare +e;

15. pushover +Y Triangolare +e;

16. pushover -Y Triangolare +e;

17. pushover +X Massa –e;

18. pushover -X Massa –e;

19. pushover +Y Massa –e;

20. pushover -Y Massa –e;

21. pushover +X Triangolare –e;

22. pushover -X Triangolare –e;

23. pushover +Y Triangolare –e;

24. pushover -Y Triangolare –e.

Per ognuna di queste analisi non lineari vengono visualizzate le curve di capacità espresse in termini di coefficiente alla base Cb (rap-

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porto tra il taglio alla base Vb della struttura e il peso sismico W) in funzione degli spostamenti dei punti di controllo nella direzione dell’analisi.

Facendo riferimento alla curva di capacità del punto di controllo corrisponente al baricentro del piano di copertura della struttura sono evidenziati anche i singoli passi con i quali è stato incrementato il carico sulla struttura. In corrispondenza di ognuno di essi è possibile legge- re la PGA di capacità, ovvero l’accelerazione raggiunta dalla struttura.

Figura 74 – Curva di capacità con passi di carico

Attraverso tali curve di capacità viene effettuata la stima di vulne- rabilità sismica in termini di spostamento, eseguita secondo le prescri- zioni contenute al punto C7.3.4.1 delle linee guida delle NTC 2008.

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Limite di Danno e dello Stato Limite di Collasso.

Per ogni analisi pushover si è ottenuto un indice di vulnerabilità (V%):

100 1

%= − ×

Domanda Capacità

PGA V PGA

dove:

- PGA_Capacità è l’accelerazione raggiunta dalla struttura durante l’ultimo passo di carico;

- PGA_Domanda è l’accelerazione di riferimento per il sito di costruzione, dipendente dallo stato limite.

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Si riportano di seguito le curve di capacità ottenute per ogni analisi pushover e il valore dellePGA_Capacità lette all’ultimo passo di carico.

Pushover + X Massa Pushover - X Massa (PGASLC=0,0681, PGASLD=0,0517) (PGASLC=0,0633, PGASLD=0,0520)

Pushover + X Triangolare Pushover - X Triangolare (PGASLC=0,0658, PGASLD=0,0536) (PGASLC=0,0633, PGASLD=0,0500)

Pushover + X Massa +e Pushover - X Massa +e (PGASLC=0,0620, PGASLD=0,0452) (PGASLC=0,0811, PGASLD=0,0652)

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Pushover + X Massa -e Pushover - X Massa -e (PGASLC=0,0752, PGASLD=0,0566) (PGASLC=0,0539, PGASLD=0,0567)

Pushover + X Triangolare -e Pushover - X Triangolare -e (PGASLC=0,0738, PGASLD=0,0573) (PGASLC=0,0540, PGASLD=0,0407)

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Pushover + Y Massa Pushover - Y Massa (PGASLC=0,123, PGASLD=0,0723) (PGASLC=0,0131, PGASLD=0,0511)

Pushover + Y Triangolare Pushover - Y Triangolare (PGASLC=0,0134, PGASLD=0,0632) (PGASLC=0,0913, PGASLD=0,0522)

Pushover + Y Massa +e Pushover - Y Massa +e (PGASLC=0,122, PGASLD=0,0723) (PGASLC=0,132, PGASLD=0,0511

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Pushover + Y Massa -e Pushover - Y Massa -e (PGASLC=0,123, PGASLD=0,0722) (PGASLC=0,131, PGASLD=0,0511)

Pushover + Y Triangolare -e Pushover - Y Triangolare -e (PGASLC=0,131, PGASLD=0,0630) (PGASLC=0,0911, PGASLD=0,0521)

Figura 75 – Curve pushover

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Il valore di PGA_Domanda varia in base allo stato limite ed è ricavabile dallo spettro di progetto fornito dallo stesso software:

Figura 76 – Spettro di progetto e Stati limite

Dai dati di output si ricava:

135 , 0 ) (SLD = PGA_Domanda

291 , 0 ) (SLC = PGA_Domanda

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e = 0 -X Triang 0,0633 0,05 0,782 0,630 +Y Massa 0,123 0,0723 0,577 0,464 -Y Massa 0,131 0,0511 0,550 0,621 +Y Triang 0,134 0,0632 0,540 0,532 -Y Triang 0,0913 0,0522 0,686 0,613

e > 0

+X Massa 0,062 0,0452 0,787 0,665 -X Massa 0,0811 0,0652 0,721 0,517 +X Triang 0,0636 0,0421 0,781 0,688 -X Triang 0,0774 0,0628 0,734 0,535 +Y Massa 0,122 0,0723 0,581 0,464 -Y Massa 0,132 0,0511 0,546 0,621 +Y Triang 0,131 0,0632 0,550 0,532 -Y Triang 0,091 0,0521 0,687 0,614

e < 0

+X Massa 0,0752 0,0566 0,742 0,581 -X Massa 0,0539 0,0567 0,815 0,580 +X Triang 0,0738 0,0573 0,746 0,576 -X Triang 0,054 0,0407 0,814 0,699 +Y Massa 0,123 0,0722 0,577 0,465 -Y Massa 0,131 0,0511 0,550 0,621 +Y Triang 0,131 0,063 0,550 0,533 -Y Triang 0,0911 0,0523 0,687 0,613

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8.6. Verifiche dei meccanismi fragili: rotture a taglio

Gli elementi strutturali delle costruzioni esistenti in cemento armato, soggette ad azione sismica, sviluppano meccanismi resistenti che pos- sono definirsi di tipo“duttile” o “fragile”, a seconda della modalità con cui raggiungono la crisi.

La Circolare 2/2/2009 fornisce la seguente classificazione degli elementi duttili e fragili:

- “duttili”: travi, pilastri e pareti inflesse con e senza sforzo norma- le;

- “fragili”: meccanismi di taglio in travi, pilastri, pareti e nodi;

Come risulta dalla precedente classificazione, gli elementi “duttili” sono quelli che mostrano un comportamento prevalentemente flessionale, definito da una elevata capacità deformativa in campo plastico e da una crisi raggiunta per attingimento di una deformazione limite.

Gli elementi “fragili” sono quelli che mostrano un comportamento prevalentemente tagliante, definito da una scarsa capacità deformativa e da una crisi raggiunta per attingimento di una resistenza limite.

I meccanismi di rottura fragile devono essere verificati nei confronti degli stati limite ultimi mediante verifiche di resistenza. Tali verifiche consistono nel confrontare la sollecitazione agente (Rs) con il valore di calcolo della resistenza (Ru). La verifica è soddisfatta se :

Ru ≥ Rs

Come indicato nella Circolare del 2009, la resistenza limite da considerare è in genere quella a taglio e si valuta, prendendo in conto co- munque un contributo del conglomerato cementizio al massimo pari a quello relativo agli elementi senza armature trasversali resistenti a taglio.

Le resistenze dei materiali sono quelle medie derivanti dalle prove eseguite in situ, ridotte secondo il fattore di confidenza (FC), funzione del Livello di Conoscenza raggiunto, e secondo il coefficiente di sicurezza parziale specifico del materiale (γ).

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Figura 77 – Deformazioni taglianti

Le deformazioni di taglio sono state spesso trascurate nella progettazione e nella ricerca delle strutture in c.a. per la notevole variabilità di parametri che influenzano il comportamento a taglio di elementi in c.a. e la conseguente variabilità di risultati che si ottengono da prove sperimentali.

Nel corso dell’ultimo ventennio, molti modelli di resistenza a taglio sono stati proposti e utilizzati per la progettazione e valutazione di co- lonne di cemento armato sottoposte ad azioni sismiche.

Secondo la vigente normativa italiana, la resistenza a taglio di strutture esistenti è calcolata allo stesso modo delle strutture di nuova progettazione. Con riferimento agli elementi dotati di armature trasversali resistenti al taglio, viene assunto come modello di resistenza a taglio, il traliccio di Morsch-Ritter.

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Figura 78 – Traliccio a inclinazione variabile

La norma consente di considerare un modello con traliccio ad inclinazione “θ” variabile del puntone compresso rispetto all’asse della trave.

L’inclinazione variabile del puntone compresso è un meccanismo più aderente alla realtà come hanno dimostrato una serie di prove sperimentali in cui si è riscontrata una inclinazione delle isostatiche di compressione variabile ed inferiori a 45°. Ciò è da attribuire all’insorgenza dei meccanismi resistenti del calcestruzzo (principalmente dall’ingranamento degli inerti e dall’effetto spinotto) che conduce ad una inclinazione del campo di compressione diagonale minore di 45°.

Dagli sviluppi del suddetto modello, di seguito si riportano le resistenze a taglio di un pilastro in c.a. esistente, previste dalle NTC08.

Resistenza a taglio-trazione delle armature trasversali:

) 1

9 ( ,

0 ₂

θ θ γ

ν α

ctg ctg FC

b f d V

c cm c

Rcd ⋅ +

⋅

⋅ ⋅

⋅

=

Resistenza a taglio-compressione del calcestruzzo d’anima:

s ctg A FC

d f

V ^sw

s ym Rsd

θ γ

^⋅

⋅ ⋅

⋅

=0,9 Con:

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-

γ

_c: coefficiente di sicurezza parziale del calcestruzzo pari a 1,50;

- θ: inclinazione delle bielle compresse rispetto all’asse del puntone;

-

ν

: coefficiente che tiene conto della reale distribuzione delle ten- sioni lungo la biella compressa che in realtà è inflessa); la normativa italiana lo pone pari a 0.50;

-

α

_c: coefficiente maggiorativo della resistenza a taglio che tiene conto degli effetti dovuti alla presenza di uno sforzo assiale di compressione.

La resistenza a taglio del pilastro si assume pari a:

{

Rsd Rcd

}

Rd V V

V =min ,

Tale taglio resistente deve essere confrontato con il taglio sollecitante V_Sd. La verifica è soddisfatta se:

Sd

Rd V

V ≥

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8.7. Verifiche a taglio su “Palazzo Boscarino”

Le verifiche a taglio di Palazzo Boscarino sono state effettuate utilizzando il software strutturale 3DMacro.

Le azioni sollecitanti vengono ricavate dalle analisi push-over con riferimento al passo relativo allo Stato Limite di salvaguardia della vi- ta. Le resistenze di calcolo vengono calcolate con riferimento alle caratteristiche medie dei materiali, dedotte dalle indagini in situ, ridotte secondo il fattore di confidenza (FC) e il coefficiente di sicurezza parziale specifico del materiale (γ). Tali resistenze sono calcolate seguendo le in- dicazioni dell’NTC’08, come descritto nel paragrafo precedente.

Il software, in seguito alle analisi eseguite, genera due elenchi: uno riporta “le verifiche non soddisfatte” delle sezioni delle aste in c.a. e l’altro le “verifiche soddisfatte”.

Di seguito si riportano, i dettagli delle verifiche a taglio relativamente alla aste che giungono prima a rottura.

Ogni finestra riporta le seguenti informazioni per ciascuna direzione del sistema di riferimento locale dell’asta:

- la staffatura presente e il numero di bracci in ciascuna direzione;

- il valore di calcolo del taglio sollecitante Vsd;

- il valore di calcolo dei tagli resistenti Vrsd, Vrcd e Vrd;

- il coefficiente di sicurezza raggiunto pari al rapporto (Vrd/Vsd).

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Figura 79 – Analisi +X Massa – Asta 612

Figura 80 – Analisi +X Triangolare – Asta 520

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Figura 81 – Analisi +X Massa +e – Asta 612

Figura 82 – Analisi +X Triangolare +e – Asta 612

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Figura 83 – Analisi +Y Massa – Asta 158

Figura 84 – Analisi +Y Triangolare – Asta 158

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Figura 85 – Analisi +Y Massa +e – Asta 158

Figura 86 – Analisi +Y Triangolare +e – Asta 158

Dai risultati delle analisi svolte si evince che, lungo la direzione X, la struttura giunge a collasso per rottura a taglio delle sezioni prima che insorgano i meccanismi globali.