Lezioni del corso di
Elementi di Meccanica Strutturale
Università del Salento
Corso di Laurea in Ingegneria Industriale
prof. ing. Riccardo Nobile
Lezione 12 – Il problema di de Saint-Venant
Il problema elastico Formulazione generale
R. Nobile – Elementi di Meccanica Strutturale Il problema di de Saint-Venant
Uni ver sità del Salento
Il problema del campo elastico si ottiene combinando tre equazioni:
Equazione di congruenza:
Equazione costitutiva:
Equazione di equilibrio:
Condizioni al contorno di vincolo (condizioni di Dirichelet):
Condizioni al contorno di carico (condizioni di Neumann):
𝐸 = 1
2 𝐷𝑢 + 𝐷𝑢𝑇 𝑆 = 𝐶 𝐸
𝑑𝑖𝑣𝑆 + 𝑏 = 0
𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 ∀𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆𝑣
𝑆𝑛 = 𝑞 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∀𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆
D
b S
lS
vIl problema elastico Formulazione generale
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La formulazione del problema elastico comporta la risoluzione di un sistema di equazioni differenziali estremamente complesso.
La soluzione analitica è possibile in pochissimi casi.
Uno di questi casi, che è alla base della meccanica strutturale, è il problema di de Saint-Venant.
La soluzione di tale problema potrà essere utilizzata per studiare lo stato di sollecitazione degli elementi modimensionali tipo trave
Il problema di de Saint-Venant Ipotesi
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Il problema di de Saint-Venant si basa sulla formulazione di alcune ipotesi che riguardano la geometria, il comportamento del materiale e i carichi applicati
Un solido avente tali caratteristiche viene chiamato solido di Saint-Venant Geometria
- solido allungato (l >> diamA)
- sezione trasversale costante (A = cost.)
- linea d’asse
baricentrica e rettilinea
Il problema di de Saint-Venant Ipotesi
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Il problema di de Saint-Venant si basa sulla formulazione di alcune ipotesi che riguardano la geometria, il comportamento del materiale e i carichi applicati
Materiale
- materiale omogeneo isotropo
- comportamento lineare elastico
Il problema di de Saint-Venant Ipotesi
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Il problema di de Saint-Venant si basa sulla formulazione di alcune ipotesi che riguardano la geometria, il comportamento del materiale e i carichi applicati
Carichi
- superficie laterale scarica
- forze di volume nulle
- carichi applicati esclusivamente alle basi
Il problema di de Saint-Venant Tesi
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La distribuzione delle tensioni all’interno del solido di Saint-Venant dipende esclusivamente dalla risultante R e dal momento risultante M dei carichi applicati sulle basi
Lo stato tensionale all’interno del corpo prevede che alcune componenti siano nulle:
𝑆 =
𝜎𝑥𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦𝑦 𝜏𝑧𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧𝑧 =
𝜎𝑥𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑥𝑦 0 0 𝜏𝑥𝑧 0 0 𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝑧𝑧 = 𝜏𝑦𝑧 = 0
𝐸 = 1
𝐸 𝜎𝑥𝑥 − 𝜈(𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧) 1
2𝐺𝜏𝑦𝑥 1
2𝐺 𝜏𝑧𝑥 1
2𝐺𝜏𝑥𝑦 1
𝐸 𝜎𝑦𝑦 − 𝜈(𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑧𝑧) 1 2𝐺𝜏𝑧𝑦 1
2𝐺𝜏𝑥𝑧 1
2𝐺𝜏𝑦𝑧 1
𝐸 𝜎𝑧𝑧 − 𝜈(𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦)
𝐸 = 𝜎𝑥𝑥
𝐸
𝜏𝑦𝑥 2𝐺
𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑥𝑦 2𝐺
2𝐺 −𝜈𝜎𝑥𝑥
𝐸 0
𝜏𝑥𝑧
0 −𝜈𝜎𝑥𝑥
Il problema di de Saint-Venant Tesi
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Lo stato di deformazione corrispondente sarà definito dal tensore di deformazione E
Il problema di de Saint-Venant Osservazioni
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Lo stato tensionale del solido di Saint-Venant è indipendente dalla distribuzione di carichi effettivamente applicata alla basi, ma dipende esclusivamente dalla risultante R e dal momento risultante M.
L’equilibrio del solido è assicurato se è verificato l’equilibrio alla traslazione e alla rotazione:
Ricorrendo al principio di sovrapposizione degli effetti, si può studiare lo stato di sollecitazione del solido di Saint-Venant considerando una sollecitazione fondamentale per volta.
𝑅 0 + 𝑅(𝑙) = 0
𝑀 0 + 𝑀 𝑙 + 𝑙𝑖 × 𝑅(𝑙) = 0
𝑅 𝑙 = −𝑅 0
𝑀 𝑙 = −𝑀 0 − 𝑙𝑖 × 𝑅(𝑙)
Il problema di de Saint-Venant Sollecitazioni fondamentali
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Sforzo normale N
Flessione semplice (Momento flettente) Mfy
Flessione semplice (Momento flettente) Mfz
Il problema di de Saint-Venant Sollecitazioni fondamentali
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Momento torcente Mt Flessione composta (Taglio) Ty
Flessione composta (Taglio) Tz
Il problema di de Saint-Venant Sforzo normale N
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Lo stato di sforzo normale N si realizza quando la risultante R ha un’unica componente non nulla diretta secondo l’asse della trave
Il problema di de Saint-Venant Sforzo normale N
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Lo stato di sforzo normale N è caratterizzato da un’unica tensione diversa da zero e costante in tutti i punti del solido:
𝜎𝑥𝑥 = 𝑁
𝐴 𝑆 =
𝑁
𝐴 0 0 0 0 0 0 0 0
[𝐸] = 𝑁
𝐸𝐴 0 0
0 −𝜈 𝑁
𝐸𝐴 0
0 0 −𝜈 𝑁
𝐸𝐴
Il problema di de Saint-Venant Sforzo normale N
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Lo stato di sforzo normale N è caratterizzato da un’unica tensione diversa da zero e costante in tutti i punti del solido :
𝜎𝑥𝑥 = 𝑁 𝐴
𝜎 = 𝑁
𝐴0 0 0 0 0
𝜀 =
𝑁 𝐸𝐴
−𝜈 𝑁 𝐸𝐴
−𝜈 𝑁 𝐸𝐴 0 0 0
Il problema di de Saint-Venant Sforzo normale N
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Lo stato di sforzo normale N determina una variazione di volume specifica del corpo data da:
∆𝑉
𝑉 = 𝑡𝑟 𝐸 = 𝑁
𝐸𝐴 − 𝜈 𝑁
𝐸𝐴 − 𝜈 𝑁
𝐸𝐴 = 1 − 2𝜈 𝑁 𝐸𝐴
Nel caso limite ν = 0.5 (gomma vulcanizzata o campo plastico) il corpo si deforma senza variare il suo volume
Lo stato di sforzo normale N determina un allungamento globale dato da:
∆𝑙 = 𝜀𝑥𝑥𝑑𝑥
𝑙 0
= 𝑁
𝐸𝐴 𝑑𝑥
𝑙 0
= 𝑁𝑙 𝐸𝐴
Il problema di de Saint-Venant Flessione semplice M
fye M
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Si fa l’ipotesi che gli assi Y e Z siano stati scelti in maniera tale da coincidere con gli assi principali d’inerzia della sezione. In tale caso la flessione si dirà retta.
Se invece gli assi principali di inerzia differiscono da Y e Z si parlerà di flessione deviata
Il problema di de Saint-Venant Flessione retta M
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Consideriamo il caso della flessione retta Mfz.
Il caso della flessione retta Mfy sarà del tutto identico.
In caso di contemporanea presenza di entrambi i momenti flettenti potrà essere applicato il principio di sovrapposizione degli effetti.
Il problema di de Saint-Venant Flessione retta M
fz18
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Lo stato di sforzo corrispondente alla flessione Mfz è caratterizzato da un’unica tensione diversa da zero e variabile linearmente in y:
𝜎𝑥𝑥 = 𝑐𝑦
Per determinare la costante c, basta imporre che il momento risultante delle tensioni coincida proprio con Mfz:
𝑀𝑓𝑧 = 𝜎𝑥𝑥𝑦𝑑𝐴
𝑦𝑚𝑎𝑥 𝑦𝑚𝑖𝑛
= 𝑐𝑦2𝑑𝐴
𝑦𝑚𝑎𝑥 𝑦𝑚𝑖𝑛
= 𝑐 𝑦2𝑑𝐴
𝑦𝑚𝑎𝑥 𝑦𝑚𝑖𝑛
= 𝑐𝐽𝑧
𝑐 = 𝑀𝑓𝑧 𝐽
Il problema di de Saint-Venant Flessione retta M
fzR. Nobile – Elementi di Meccanica Strutturale Il problema di de Saint-Venant
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Lo stato di sforzo corrispondente alla flessione Mfz è descritto dalla formula di Navier:
𝜎𝑥𝑥 = 𝑀𝑓𝑧 𝐽𝑧 𝑦
z y
A
dA
G
y
zona tesa
zona compressa +
- n
s f
Il problema di de Saint-Venant Flessione retta M
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Per effetto della sollecitazione di flessione, la sezione risulta essere in parte tesa, in parte compressa. E’ possibile individuare dei punti della sezione a tensione nulla, che si dispongono secondo un asse detto asse neutro (n), che coincide con l’asse baricentrico.
E’ possibile individuare inoltre l’asse di flessione (f), cioè l’asse secondo cui la linea d’asse si inflette, osservando in ogni caso che (n) ┴ (f).
z y
A
dA
G
y
zona tesa
zona compressa +
- n
s f
Il problema di de Saint-Venant Flessione retta M
fzR. Nobile – Elementi di Meccanica Strutturale Il problema di de Saint-Venant
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Nel piano di flessione, che contiene sia la configurazione deformata che indeformata, la linea d’asse assume una curvatura costante ρ, che viene assunta come parametro caratteristico della deformazione. Nel caso di flessione retta, l’asse di sollecitazione (s), ovvero la direzione secondo cui agisce il momento flettente, coincide con l’asse di flessione (f).
z y
A
dA
G
y
zona tesa
zona compressa +
- n
s f
x y
?
v
R
Il problema di de Saint-Venant Flessione M
fye M
fz22
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Uni ver sità del Salento
𝜎𝑥𝑥 = 𝑀𝑓𝑦
𝐽 𝑧 + 𝑀𝑓𝑧 𝐽 𝑦
Flessione semplice (Momento flettente) Mfy Flessione semplice (Momento flettente) Mfz
Nel caso della flessione deviata, l’asse di sollecitazione (s), ovvero la direzione secondo cui agisce il momento flettente, non coincide con l’asse di flessione (f). In altre parole l’asse neutro non è ortogonale al momento flettente che produce le sollecitazioni.
Si può comunque ricondurre il problema al caso della flessione retta scomponendo il momento flettente secondo le due direzioni degli assi principali di inerzia
Il problema di de Saint-Venant Flessione composta T
ye T
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Quando le forze risultanti applicate alle basi si riducono a due forze di taglio, esse devono essere sempre accompagnate da una flessione per assicurare l’equilibrio.
La trattazione rigorosa è estremamente complessa e si ricorre ad una teoria approssimata dovuta a Jourawski
Il problema di de Saint-Venant Flessione composta T
yR. Nobile – Elementi di Meccanica Strutturale Il problema di de Saint-Venant
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Consideriamo il caso del taglio Ty. Il caso del taglio Tz sarà del tutto identico.
La teoria approssimata di Jourawski richiede che l’asse y sia non solo un asse principale d’inerzia ma anche di simmetria per la sezione resistente.
Per l’equilibrio si ha:
𝑀𝑓𝑧(0) = 𝑇𝑦𝑙
Il problema di de Saint-Venant Flessione composta T
yR. Nobile – Elementi di Meccanica Strutturale Il problema di de Saint-Venant
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Nella generica sezione, posta a distanza x dall’origine, agiranno le seguenti caratteristiche di sollecitazione:
𝑇 = 𝑇𝑦
𝑀 = −𝑇𝑦(𝑙 − 𝑥)
Il problema di de Saint-Venant Flessione composta T
yR. Nobile – Elementi di Meccanica Strutturale Il problema di de Saint-Venant
Uni ver sità del Salento
Consideriamo una porzione infinitesima di trave di lunghezza dx e sezioniamola con un piano normale all’asse y.
𝐴𝑡 = 𝑏𝑟𝑑𝑥
z y
G
y
br
Ar 𝐴𝑟
Il problema di de Saint-Venant Flessione composta T
y27
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Individuiamo i carichi agenti sulla porzione di trave:
𝑅(𝑥 + 𝑑𝑥) 𝑅(𝑥)
𝐹𝑡(𝑥)
𝑅 𝑥 + 𝑑𝑥 − 𝑅 𝑥 − 𝐹𝑡 𝑥 = 0
𝑅 𝑥 + 𝑑𝑥 = 𝜎𝑥𝑥 + 𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧
𝐴𝑟
𝑅 𝑥 = 𝜎𝑥𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝐴𝑟
𝐹𝑡 𝑥 = 𝜏𝑦𝑥𝑑𝑥𝑑𝑧
𝐴𝑡
𝜎𝑥𝑥 + 𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝜎𝑥𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜏𝑦𝑥𝑑𝑥𝑑𝑧
Il problema di de Saint-Venant Flessione composta T
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La relazione di equilibrio diventa quindi:
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜏𝑦𝑥𝑑𝑥𝑑𝑧
𝐴𝑡 𝐴𝑟
Tenendo conto della formula di Navier e dell’espressione del momento flettente si ha:
𝜎𝑥𝑥 = 𝑀 𝐽𝑧 𝑦
𝑀 = −𝑇𝑦(𝑙 − 𝑥)
𝜎𝑥𝑥 = −𝑇𝑦
𝐽𝑧 (𝑙 − 𝑥)𝑦 𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥 = 𝑇𝑦 𝐽𝑧 𝑦
Il problema di de Saint-Venant Flessione composta T
yR. Nobile – Elementi di Meccanica Strutturale Il problema di de Saint-Venant
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La relazione di equilibrio diventa quindi:
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜏𝑦𝑥𝑑𝑥𝑑𝑧
𝐴𝑡 𝐴𝑟
L’integrale a primo membro non è altro che il momento statico della sezione Ar, mentre il secondo membro può essere calcolato introducendo il valore medio della tensione τyx sull’area di taglio At:
𝜏𝑦𝑥𝑑𝑥𝑑𝑧
𝐴𝑡
= 𝜏 𝑦𝑥𝑏𝑟𝑑𝑥
𝑆𝑟 = 𝑦𝑑𝐴
𝑇𝑦
𝐽𝑧 𝑑𝑥 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜏𝑦𝑥𝑑𝑥𝑑𝑧
𝐴𝑡 𝐴𝑟
𝑇𝑦
𝐽𝑧 𝑆𝑟𝑑𝑥 = 𝜏 𝑦𝑥𝑏𝑟𝑑𝑥 𝜏 𝑦𝑥 = 𝑇𝑦 𝐽𝑧
𝑆𝑟 𝑏𝑟
Il problema di de Saint-Venant Flessione composta T
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Si ottiene quindi la formula di Jourawski:
𝜏 𝑦𝑥 = 𝑇𝑦 𝐽𝑧
𝑆𝑟 𝑏𝑟
z y
G
y
br
Ar
Il problema di de Saint-Venant Flessione composta T
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Data la simmetria della sezione e poiché la tensione tangenziale complessiva sui punti del perimetro della sezione deve essere tangente al perimetro stesso, si deduce che oltre alla tensione τxy deve essere presente una tensione tangenziale τxz
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
z y
G
a
𝜏𝑥𝑧 𝑏𝑟
2 = −𝜏𝑥𝑦𝑡𝑔𝛼
𝜏𝑥𝑧 −𝑏𝑟
2 = 𝜏𝑥𝑦𝑡𝑔𝛼
Il problema di de Saint-Venant Flessione composta T
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Utilizzando l’equazione indefinita di equilibrio si può dimostrare che l’andamento della tensione tangenziale τxz deve essere lineare:
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥 + 𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦 + 𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧 + 𝑏𝑥 = 0
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥 = 𝑇𝑦
𝐽𝑧 𝑦 = 𝑓1(𝑦)
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦 = 𝑇𝑦 𝐽𝑧
𝜕𝑆𝑟/𝑏𝑟
𝜕𝑦 = 𝑓2(𝑦) 𝑏𝑥 = 0
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧 = − 𝑓1 𝑦 + 𝑓2 𝑦 = 𝑘(𝑦)
𝜏𝑧𝑥 = 𝑘 𝑦 𝑧
Il problema di de Saint-Venant Flessione composta T
yR. Nobile – Elementi di Meccanica Strutturale Il problema di de Saint-Venant
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Per determinare l’espressione della tensione tangenziale τxz si può imporre la condizione al contorno sul perimetro della sezione:
𝜏𝑧𝑥 = −𝜏𝑥𝑦𝑡𝑔𝛼 𝑏𝑟/2 𝑧 𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
z y
G
a 𝜏𝑧𝑥 = 𝑘 𝑦 𝑧 𝑘(𝑦) = −𝜏𝑥𝑦𝑡𝑔𝛼 𝑏𝑟/2
Il problema di de Saint-Venant Flessione composta T
yR. Nobile – Elementi di Meccanica Strutturale Il problema di de Saint-Venant
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Si può dimostrare che è possibile stimare approssimativamente la tensione tangenziale τxz continuando ad applicare la formula di Jourawski scegliendo una corda parallela all’asse z
z y
G
Ar
br 𝜏 𝑧𝑥 ≅ 𝑇𝑦
𝐽𝑧 𝑆𝑟 𝑏𝑟
Il problema di de Saint-Venant Flessione composta T
ye T
zR. Nobile – Elementi di Meccanica Strutturale Il problema di de Saint-Venant
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Nel caso in cui agiscano entrambi i tagli Ty e Tz, si potranno valutare entrambe le sollecitazioni tangenziali corrispondenti utilizzando la formula di Jourawaski in entrambi i casi. Si richiede però che la sezione sia doppiamente simmetrica.
𝜏 𝑦𝑥 = 𝑇𝑦 𝐽𝑧
𝑆𝑟
𝑏𝑟 𝜏 𝑧𝑥 = 𝑇𝑧
𝐽 𝑆𝑟 𝑏
