I l
RALLY MATEMATICO TRANSALPINO
un’opportunità per rinnovare la didattica della matematica
Daniela Medici & Maria Gabriella Rinaldi
Bozzolo, 14 dicembre 2016
Il Rally è una Gara Matematica
Negli ultimi anni notevole sviluppo e
diffusione di gare matematiche di diverso tipo:
Individuali A squadre
Obiettivi:
Esplicito: far emergere l’eccellenza e appassionare alla matematica chi ottiene buoni risultati
Implicito: aumentare le iscrizioni alle facoltà scientifiche
Per classi
Obiettivi:
Espliciti: fare matematica attraverso la risoluzione di
problemi, imparare a “parlare di matematica”, a spiegare idee e procedimenti
Impliciti: incidere positivamente sull’immagine della matematica di ogni allievo e sulla didattica della disciplina
Il Rally Matematico Transalpino
È una gara matematica per classi che consiste nella risoluzione di problemi
È rivolta agli alunni delle classi dalla terza, elementare alla seconda superiore
È nato nel 1992 in Svizzera e ben presto si è esteso ad altri Paesi: Italia, Francia, Belgio, Lussemburgo, Quebec, Israele, Argentina, Algeria.
Nel 2001 si è costituita l“Associazione Rally Matematico Transalpino” (ARTM)
www.armtint.org www.dmi.unipr.it/it/rally
22 sezioni di cui 14 in Italia, con circa 4900 classi
Con la sezione di Parma hanno partecipato 670 classi, per più di 14.000 allievi
L’ultima edizione: 24° Rally
Tappe del Rally
La gara prevede:
• allenamento, settembre - gennaio
(L’insegnante ha l’occasione di scegliere problemi inerenti al programma svolto o da svolgere)
• una prima prova, in febbraio ;
• una seconda prova, in marzo ;
• una finale, in maggio (per la sezione di Parma, all’Università)
a cui accedono le classi di una stessa sezione che hanno ottenuto i punteggi più alti nelle due
prove precedenti (mediamente 3 per categoria).
regole
• La durata della prova è di 50 minuti per tutte le categorie, a partire dalla distribuzione degli enunciati.
•la sorveglianza deve essere obbligatoriamente assicurata da una persona "neutrale", diversa dal titolare della classe
•Gli allievi possono utilizzare tutto il materiale che reputano
necessario: forbici, colla, righello, compasso, carta, matite, calcolatrice, etc.
Per sentirsi responsabili
(favorire la DEVOLUZIONE)
Obiettivi espliciti del Rally :
• fare matematica attraverso la risoluzione di problemi
• imparare a “parlare di matematica”, a spiegare idee e procedimenti
• sviluppare le capacità di lavorare in
gruppo sentendosi responsabili
• Problem solving
• Capacità di collaborare
Quali problemi?
problemi non-standard
Originali Inediti
Senza parole-chiave
Con richiesta esplicita di spiegazione
fare matematica attraverso la risoluzione di problemi
Gradualmente, stimolato dalla guida dell’insegnante e dalla discussione con i pari, l’alunno imparerà ad affrontare con fiducia e determinazione situazioni problematiche situazioni problematiche, rappresentandole in diversi modi,
conducendo le esplorazioni opportune,
dedicando il tempo necessario alla precisa individuazione di ciò che è noto e di ciò che si intende trovare,
congetturando soluzioni e risultati, individuando possibili strategie risolutive.
(INDICAZIONI NAZIONALI PER IL CURRICOLO 2012)
Obiettivo “implicito”
• Incidere positivamente sull’immagine della matematica
• Incidere sulla didattica della disciplina
Azione “preventiva”
alla formazione di una
immagine della matematica
falsata
immagine falsata della matematica
matematica non mi piace
matematica
mi piace
Che immagine si ha della Matematica?
(nell’immaginario collettivo)
... è troppo arida, è fredda,
ci sono molte tecniche e formule da imparare
... Ma a cosa serve?
Fai matematica? ... ma allora sei un genio!
Io non ci ho mai capito niente,
... e mio figlio è come me!
Non ho il pallino della matematica
… ma cosa c’è ancora da scoprire in
matematica?
• Le lezioni di matematica sono considerate
difficili, faticose per gli studenti (… basta vedere la pubblicità)
• Se riesci bene latino hai studiato, se riesci bene in matematica sei un genio.
• Per contro, se non riesci bene …
Paura della matematica
Matematica e affettività
Le valutazioni negative vengono percepite come valutazioni sulle proprie capacità più che sulle proprie prestazioni e hanno quindi come effetto la rinuncia a priori ad utilizzare le risorse possedute, perché il soggetto si
convince di non avere risorse sufficienti.
Atteggiamento di fatalismo, che si esprime nella rinuncia a “provare”…
(Rosetta Zan, seminario nazionale 2002)
“La Matematica non si
insegna, essa si apprende e si apprende nell’ attività ”
George Papy
Piacere nell’agire …
Piacere di essere causa o Piacere di causalità:
poter gestire avvenimenti dà soddisfazione.
Esige però che l’effetto prodotto sia atteso:
effetti troppo imprevisti o incontrollabili generano frustrazioni, sentimenti di
incompetenza, impotenza, mancanza di fiducia
in se stessi, perdita di senso.
Si apprende agendo
• Grado minimo di attività: ascoltare, osservare: è una fase importante, ma
“ l’assenza di stimoli è un ostacolo all’ulteriore
sviluppo dell’apparato psichico” S.Freud
• Grado intermedio di attività: prendere l’iniziativa di “fare qualcosa”, eseguire o imitare una certa azione
• Grado superiore di attività: intervenire per produrre cambiamenti, smontare e disfare, sia fisicamente che mentalmente, agire sulla situazione per modificarla.
Correlati ai livelli di apprendimento: apprendere che, apprendere a, apprendere
Apprendere Apprendere
Può avvenire a tre livelli:
Può avvenire a tre livelli:
Apprendere che informazione notizia
Apprendere a apprendistato saper fare
Apprendere teoria comprendere
Le motivazioni all’apprendere
Estrinseche Intrinseche
Speranza della ricompensa Curiosità
Timore del castigo Interesse per la materia Imitazione del maestro Gioia di creare qualcosa
Farsi una posizione Piacere ludico
… …
Curiosità in Matematica
La novità è l’interruttore adatto ad “accendere”
tale motivazione intrinseca Stimolare la curiosità
Scegliere il giusto grado di novità
Se gli argomenti vengono visti come troppo rigidi, perfetti, lontani dalla realtà dell’allievo,
saranno appresi, ma non compresi e quindi
non assimilati
Insegnamento tradizionale:
il trasmissivismo M.Henry
INSEGNANTE: SORGENTE
trasmissione
testa decodifica testa
ALLIEVO: RECETTORE
Un altro modello didattico:
il behaviourismo
Stato di conoscenza iniziale
Stato di conoscenza finale allievo
insegnante
Tappe intermedie
Come rinnovare la didattica della matematica?
Occorre porre l’allievo in una situazione che motivi il concetto matematico che si vuole far apprendere e che, attraverso l’interesse, lo induca a farsi carico
autonomamente del proprio apprendimento.
L’allievo dovrebbe diventare protagonista nella
costruzione del proprio sapere.
Una didattica innovativa:
il modello socio-costruttivista
M.Henry
Nuovo equilibrio
Equilibrio precedente
Incontro con una nuova situazione Incontro con una nuova situazione
Fase di disequilibrio Fase di disequilibrio
i due aspetti dei concetti matematici:
• concetto – strumento
• concetto – oggetto
Spesso in classe si sovverte la sequenza storica, secondo la quale invece i concetti si sono
sviluppati
Una didattica innovativa:
il modello socio-costruttivista
• Il sapere viene costruito dall’allievo, a partire da ciò che sa già (diagnostica)
• Se le conoscenze che già possiede non sono sufficienti o sono inadeguate, si crea disequilibrio
• Lo studente deve essere motivato a risolvere problemi che lo inducano a far emergere eventuali concezioni scorrette senza sentirsi penalizzato
• Una volta riconosciuta la necessità di una nuova conoscenza, inizia una fase di esplorazione, produzione di ipotesi,
verifiche, in cui l’attività dell’allievo è paragonabile a quella del ricercatore (Brousseau)
• Sono fondamentali le interazioni sociali
il ruolo dell’errore
• indurre in tentazione…
• far emergere errori e dubbi
• gestire l’errore
• rilanciare
• favorire il superamento autonomo
Approccio trasmissivo
Approccio
behaviourista
Approccio socio- costruttivista
Attività
principale degli allievi
Ascoltare, essere attenti
Risolvere un successione di attività scelte e
opportunamente graduate dall’insegnante
Risolvere una situazione problema.
Appropriarsi del problema e validare la propria produzione
Ruolo principale dell’insegnante
Comunicare o mostrare il sapere
Aiutare l’allievo a risolvere i compiti proposti
appianando le difficoltà.
Istituzionalizzare le conoscenze
Scegliere buone situazioni.
Assicurare la consegna del problema alla classe. Animare la fase di
confronto dei risultati.
Istituzionalizzare le nuove conoscenze.
Ruolo
dell’errore
Gli errori sono manchevolezze.
Devono essere evitati soprattutto per
guadagnare tempo
Gli errori sono
manchevolezze. Devono essere evitati soprattutto perché lasciano tracce indelebili
Il riconoscimento e il superamento di alcuni errori è essenziale per
l’apprendimento. Gli errori non vanno evitati, ma a volte provocati e messi in luce per favorirne il
superamento
Il sapere Il sapere viene trasmesso dall’insegnante
Il sapere viene
“scoperto” dall’allievo
Il sapere viene costruito dall’allievo
Chi controlla
l’apprendimento
L’insegnante L’insegnante L’allievo
Schematizzazione di una situazione didattica Schematizzazione di una situazione didattica : :
il triangolo didattico il triangolo didattico
Scopo dell’insegnante è di rafforzare la relazione Scopo dell’insegnante è di rafforzare la relazione
allievo
allievo--sapere sapere
II A A
S S
A
contratto didattico
è l’insieme dei comportamenti del professore attesi dall’alunno e
l’insieme dei comportamenti dell’alunno attesi dal professore nei confronti del sapere.
Fanno parte del contratto didattico anche le regole non dette, ma che si deducono da ciò che fai
(anzi la comunicazione dei non detti forse è quella che passa di più):
ogni domanda che ti faccio ha una risposta esatta
ogni problema che ti propongo ha una sola soluzione esatta
…
Gli allievi ripercorrono i passi dell’insegnante senza ragionare veramente. Invece l’apprendimento comporta una
continua rottura del contratto didattico.
Dal punto di vista didattico quindi è meglio che il contratto didattico sia
flessibile.
Una didattica innovativa:
il modello socio-costruttivista
Compiti specifici dell’insegnante:
Mettere in scena buone situazioni problematiche per rendere possibile la
devoluzione
cioè
“l’atto attraverso il quale l’insegnante fa accettare all’allievo la responsabilità di una situazione d’apprendimento e accetta lui stesso le conseguenze di questo transfer”
(Brousseau 1986)
essere disposti a tacere, non mortificare il loro spirito di ricerca fornendo la soluzione prima che ci arrivino vicino da soli,
eventualmente lasciare che commettano ed esprimano errori, e si
convincano, magari ragionando e argomentando tra compagni, che la
strada intrapresa non è produttiva.
Una didattica innovativa:
il modello socio-costruttivista
Compiti specifici dell’insegnante:
istituzionalizzazione
delle nuove conoscenze
cioé
definire, enunciare in modo organico le proprietà emerse, organizzare le conoscenze in una teoria
Aiutarli a cercare autonomamente risposte, non dare
risposte prima che si pongano da soli le domande.
Analisi a priori
Il Rally correda ogni problema di una breve analisi a priori, a disposizione degli insegnanti subito dopo la prova, che comprende:
• (ambito concettuale) compito matematico le
conoscenze in gioco relativamente alla possibilità di azione degli allievi al loro livello scolare
• analisi del compito le possibili strategie risolutive degli allievi
• griglia di valutazione, relativamente ai risultati e ai
ragionamenti esplicitati (punteggi da 0 a 4)
Banca di problemi (work in progress)
www.projet-ermitage.org/ARMT/
Per ora 366 schede di problemi
(con analisi, risultati, sviluppi didattici, …) www.dmi.unipr.it
Rally matematico transalpino
Edizioni precedenti
Qualche proposta concreta
• Introdurre, consolidare e controllare
l’apprendimento dei concetti a partire da buoni problemi, interessanti e coinvolgenti
• Proporre buoni problemi che mettano in gioco argomenti non trattati nell’immediato
• Meno quantità e più qualità:
meno problemi e più discussione
• Abituare gli allievi ad argomentare, anche per
iscritto, a difendere le proprie posizioni con i
compagni e ad ascoltare le idee degli altri
alcuni esempi di problemi
E’ PRIMAVERA ! 22.II.04 (Cat. 3, 4, 5)
Anna ha comprato 40 bulbi di tulipano da piantare nei vasi del suo balcone: due vasi grandi e tre piccoli.
Inizia col mettere lo stesso numero di bulbi nei cinque vasi e poi, in ciascuno di quelli grandi, ne mette 10 in più.
Quanti bulbi di tulipano Anna ha piantato in ciascun vaso?
Spiegate la vostra risposta.
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale:
- Decomporre 40 in somma di cinque termini, di cui due termini uguali tra loro e altri tre che valgono ciascuno 10 in più dei primi due: 40 = 5 … + 20
Analisi del compito:
-
Procedere per tentativi non organizzati, che permettano di arrivare alla soluzione
.Oppure:
-
Capire che i vasi grandi contengono lo stesso numero di bulbi e che anche i vasi piccoli contengono uno stesso numero di bulbi diverso dal precedente - Capire che nei vasi grandi ci saranno almeno 11 bulbi, poiché ci sono 10
bulbi in più di quelli contenuti nei vasi piccoli
- Organizzare una ricerca sistematica. Iniziare a mettere nei vasi grandi 11
bulbi, nei due grandi ci sono quindi 22 bulbi. Togliere dal totale 40 i 22 bulbi,
poiché il risultato 18 si può dividere per 3, concludere che si possono mettere
6 bulbi in ogni vaso piccolo. La soluzione non è però valida, perché tra 6 e 11
non c’è la differenza di 10.
- Provare allora con 12 poi con 13, ma accorgersi che nei due casi il numero dei bulbi che restano non è divisibile per 3.
- Provare con 14 e trovare che i bulbi che restano sono 12, che è divisibile per 3, quindi in ogni vaso piccolo si possono mettere 4 bulbi. La soluzione è valida perché la differenza tra le quantità di bulbi contenute nei due tipi di vaso è 10.
- Continuare nella ricerca per essere sicuri che non ci siano altre soluzioni, oppure fermarsi qui osservando esplicitamente che aumentando il numero di bulbi, la differenza sarà sempre maggiore di 10.
Oppure:
comprendere che togliendo 10 bulbi da ciascuno dei vasi grandi,
restano 40 – 20 = 20 bulbi da dividere in 5 vasi. Dedurne che ci
sono 4 bulbi in ogni vaso piccolo e 14 in ogni vaso grande.
Attribuzione dei punteggi:
4 Risposta corretta (14 bulbi nei vasi grandi e 4 bulbi nei vasi piccoli) con procedura esplicitata o con i dettagli dei tentativi che dimostrano che si è organizzata una ricerca sistematica che assicuri l’unicità della soluzione
3 Risposta corretta, ma con procedura poco chiara o insufficientemente esplicitata o sola verifica
2 Procedura corretta, ma un errore di calcolo o risposta corretta senza alcuna spiegazione
1 Inizio corretto di ricerca
0 Incomprensione del problema
22.II.04
Points
attribués 0 1 2 3 4 Nb.
classes moy Cat 3 127
(31%)
32 (8%)
69 (17%)
81 (20%)
101
(25%) 410 1.99
Cat 4 86 (16%)
31 (6%)
73 (14%)
127 (24%)
215
(40%) 532 2.67
Cat 5 72 (13%)
19
(3%) 50 (9%) 169 (30%)
249
(45%) 559 2.9
Total 285 (19%)
82 (5%)
192 (13%)
377 (25%)
565
(38%) 1501 2.57
Cat. 4
Cat. 5
Cat. 5
Cat. 4
Procedure, ostacoli ed errori rilevati
Evoluzione significativa delle procedure di risoluzione dalla categoria 3 alla categoria 5.
- Nel caso degli allievi più giovani si vedono dei disegni e delle addizioni del tipo 4 + 4 + 4 + 14 + 14 che sono delle verifiche, probabilmente dopo tentativi successivi.
- Nel caso degli allievi più grandi, la frequenza delle sottrazioni di 20 seguite da una divisione per 5 aumenta sensibilmente.
Dalla Banca di Problemi:
Indicazioni didattiche
Problema tipico (e piuttosto frequente per il RMT) di scomposizione di un numero (40) in somma di termini (5) da determinare, conoscendo una relazione tra loro (+10).
I giovani allievi, che non hanno ancora nozioni di algebra, possono procedere per tentativi successivi. E’ allora interessante dibattere sull’organizzazione di questi tentativi al fine di limitarli.
Se gli allievi procedono con un ragionamento deduttivo che considera
già la relazione fra i diversi termini (+10) si avvicinano al modello
algebrico in quanto fanno intervenire un numero momentaneamente
indeterminato.
L’interesse è allora quello di far esplicitare questi termini. Per esempio considerare “tre numeri piccoli e due che valgono 10 di più equivale a 5 numeri piccoli e due volte 10, o 20 … ” cosa che permette di far intervenire il complemento di 20 rispetto a 40, poi una divisione per 4 per arrivare a trovare che i tre numeri piccoli valgono 4 e i grandi 14.
L’interesse didattico del problema risiede nel confrontare le due
procedure, i loro vantaggi e i loro inconvenienti. Si può approfittare
dell’occasione per confrontare le diverse scritture, esclusivamente
additive o con moltiplicazioni, per far osservare le proprietà
(associatività, commutatività, distributività – evidentemente senza
utilizzare tali termini).
Convinzioni degli alunni Convinzioni degli alunni
L’analisi a posteriori di problemi non-standard, come quelli del
RMT spesso mette in luce norme implicite del contratto didattico
Incidere positivamente sull’immagine della matematica
TRIANGOLI SÌ, MA QUANTI? (Cat. 6, 7, 8) 21°, I , 11
Ecco un pentagono regolare con tutte le diagonali:
Alice dice: In questo pentagono vedo 10 triangoli.
Bianca le risponde: Io, ne vedo molti di più!
Quanti triangoli si possono vedere in tutto in questa figura?
Spiegate come avete trovato la vostra risposta.
Un
elaborato della
categoria 8
La spiegazione (!)
Attribuzione dei punteggi
4 Risposta corretta (35) con spiegazioni chiare e complete (testo, liste o disegno)
3 Risposta corretta (35) con spiegazioni incomplete
oppure risposta 34 o 36 con una sola dimenticanza o un solo doppione, con spiegazioni
2 Risposta corretta (35) senza alcuna spiegazione
oppure risposta (30 o 25) con dimenticanza di uno solo dei 5 tipi di triangoli con spiegazione
oppure risposta non corretta a causa di 2 o 3 dimenticanze/doppioni con spiegazione
1 Risposta (15, 20 o 25) con dimenticanza di due tipi di triangoli
oppure risposta non corretta a causa di 4 o 5 dimenticanze/doppioni
0 Meno di 15 triangoli differenti individuati
11. Triangoli. sì, ma quanti? / 11. Des triangles, oui, mais combien?
points Occ 0 Occ 1 Occ 2 Occ 3 Occ 4 Total m
Cat. 6 181 355 248 47 31 862 1,3
Cat. 7 125 336 206 77 57 801 1,5
Cat. 8 66 156 213 78 71 584 1,9
tot 372 847 667 202 159
2247 1,5
en %
Cat. 6 21% 41% 29% 5% 4%
Cat. 7 16% 42% 26% 10% 7%
Cat. 8 11% 27% 36% 13% 12%
tot 17% 38% 30% 9% 7%
Al di là della gara i problemi del Rally possono essere utilizzati nella «normale»
attività didattica per Introdurre
Consolidare Verificare
e anche far emergere ostacoli
Incidere sulla didattica della disciplina
11. IL PLASTICO (Cat. 5, 6, 7, 8) , 19° II
Nella classe di Fabio, gli alunni hanno costruito il plastico di un piccolo centro urbano. Le casette sono state realizzate con cubi di legno tutti uguali, che sono stati incollati su una base divisa in riquadri. Per ottenere casette a più piani sono stati incollati uno sull’altro più cubi.
Il plastico si trova ora sulla cattedra.
La fig. A mostra il disegno del plastico visto dall’alto. La fig. B, invece, mostra il disegno del plastico così come lo vede Fabio che è seduto nel suo banco.
Quale lato del plastico ha di fronte a sé Fabio?
Indicate il numero massimo di cubi che possono essere stati utilizzati per costruire le casette del plastico.
Date le vostre risposte e spiegate il ragionamento che avete fatto.
Fig. A: il plastico visto dall’alto Fig. B: il plastico visto da Fabio
LATO 3
LATO 4
LATO 1
LATO 2
Analisi del compito
- Per capire quale lato del plastico ha di fronte a sé Fabio, occorre fare riferimento alla Fig. A e pensare di osservare il plastico mettendosi ogni volta di fronte a ciascuno dei suoi lati; occorre poi confrontare ciò che si immagina di poter vedere con ciò che è disegnato in Fig. B. L’operazione è più semplice se si ruota il foglio in modo da guardare il plastico di Fig. A avendo di fronte ogni volta uno dei lati.
- Dedurre che Fabio non può aver di fronte il LATO 1 del plastico, perché altrimenti in Fig. B le case affiancate dovrebbero essere a destra e non a sinistra; non può avere di fronte il LATO 4, né il LATO 2, perché altrimenti vedrebbe una casa anche nello spazio vuoto di Fig. B. Rendersi conto che solo dal LATO 3 Fabio può vedere il plastico così come appare nel disegno di Fig. B.
- Per ricavare il numero massimo di cubi utilizzabili nella costruzione delle casette, si deve partire dalla Fig. B. Considerare che, in essa, cominciando dalla sinistra di chi guarda, si vedono due cubi, quindi 2 è il massimo numero di cubi per ogni casetta che si trova nella corrispondente fila del plastico di Fig. A (le casette sono 4, perché tutte e 4 le caselle a destra in Fig. A sono occupate).
Spostandosi verso destra in Fig. B, si vedono 3 cubi, quindi 3 è il massimo numero di cubi per ogni casetta che si trova nella corrispondente fila del plastico (le casette sono 2, perché 2 caselle sono occupate in Fig. A).
Infine si vedono ancora 2 cubi, e quindi 2 è il massimo numero di cubi per ogni casetta che si trova nella corrispondente fila del plastico (le casette sono 3, perché 3 sono le caselle occupate a sinistra in Fig. A).
- Dedurre che il numero massimo di cubi è quindi (2 x 4) + (3 x 2) + (2 x 3) = 20.
Attribuzione dei punteggi
4 Risposte corrette (LATO 3; numero massimo di cubi: 20) con spiegazione chiara del ragionamento
3 Risposte corrette con spiegazione poco chiara
oppure indicazione corretta solo del numero massimo di cubi con spiegazione del procedimento
2 Risposte corrette senza spiegazione
1 Solo la determinazione corretta del punto di vista (LATO 3) 0 Incomprensione del problema
punti 4 3 2 1 0
cat 5 14 14 5 5 30 cat 6 13 13 13 15 43 cat 7 28 12 13 13 20
problema 10 4 3 2 1 0
cat 5 20,59% 20,59% 7,35% 7,35% 44,12%
cat 6 13,40% 13,40% 13,40% 15,46% 44,33%
cat 7 32,56% 13,95% 15,12% 15,12% 23,26%
68 97 86
media
1,6 1,9 2,7
SEMPRE IL DOPPIO … (21°, II, 3)(Cat. 3, 4, 5) Tom ha 3 barattoli: uno piccolo, uno medio e uno grande.
Vuole utilizzarli tutti per riporre le sue 100 biglie e vuole rispettare queste regole:
il barattolo medio deve contenere il doppio delle biglie del barattolo piccolo,
il barattolo grande deve contenere il doppio delle biglie del barattolo medio.
Tom potrà sistemare tutte la sue biglie nei tre barattoli rispettando le regole?
Se non è possibile, qual è il numero massimo di biglie che potrà mettere nei barattoli sempre rispettando le regole?
Spiegate le vostre risposte.
Ambito concettuale
• Aritmetica: operazioni con numeri naturali; doppio, ripartizione proporzionale
Analisi del compito
• Comprendere la situazione, in particolare le relazioni che devono esistere fra i numeri delle biglie contenute nei barattoli.
• Procedere per tentativi e aggiustamenti rispettando i vincoli (ad esempio provare con 10 biglie nel barattolo piccolo, 20 in quello medio e 40 nel grande: si sistemano 70 biglie, troppo poche; provare quindi, per esempio, con 15 e trovare che si sistemano così 105 biglie, troppe. Fare altri tentativi e trovare che con 14 biglie nel barattolo piccolo si sistemano 98 biglie in tutto, che è il massimo possibile)
Oppure: considerare che un barattolo medio equivale a due barattoli piccoli e un barattolo grande a 4 piccoli.
• Dedurre che l’insieme dei barattoli equivale a 7 barattoli piccoli.
• Chiedersi se 100 biglie possano essere ripartite equamente in 7 raggruppamenti, considerando i multipli di 7 o effettuando la divisione di 100 per 7.
• Constatare che il più grande multiplo di 7, inferiore a 100, è 98 (14 × 7) o che la divisione di 100 per 7 dà 14 come quoziente e 2 come resto.
• Concludere che non è possibile sistemare le 100 biglie nei tre barattoli e che il massimo numero di biglie che può essere sistemato è 98.
