Esercitazione Guidata
Probabilit`a 2
Esercizio 1.Sia XY una variabile aleatoria distribuita secondo la densit`a seguente
f(X,Y )(x, y) = kxy (x, y) ∈ T 0 altrimenti con T = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}.
1. Determinare il valore del parametro reale k.
2. Determinare le densit`a marginale di X e Y : sono indipendenti?
3. Data T = XY, calcolare, se esiste, E[T ].
4. Calcolare E[X|Y = 1/2], E[X|Y = y], E[X|Y ].
5. Calcolare E[Y E[1/X|Y ]].
Esercizio 2. Sia XY un vettore gaussiano multivariato con vettore delle medie −11 e matrice delle covarianze
C = 4 0 0 2
.
1. Scrivere la funzione di densit`a.
2. Calcolare la matrice delle varianze di ZU.
3. Determinare legge congiunta di Z = 3X − 2Y e U = X + Y .
4. Il vettore tridimensionale
2X 3X − 2Y
Y − X
`e un vettore gaussiano?
Esercizio 3. Siano X ∼ U (0, 1) e Y ∼ E (1) due variabili aleatorie indipendenti.
1. Calcolare la densit`a di X + Y .
2. Determinare la densit´a di (Z, T ) = (XY, Y );
3. Calcolare la P{Z > 1/2}.
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