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6.1) Mostra che uno spazio topologico X ` e T

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Academic year: 2021

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Universit` a degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Matematica.

Geometria 3 a.a. 2011-12 Sesto incontro

6.1) Mostra che uno spazio topologico X ` e T

1

se e solo se, per ogni x ∈ X, l’intersezione degli intorni di x ` e {x}.

6.2) Mostra che se X ` e uno spazio topologico T

1

e finito, allora X ` e discreto.

6.3) Considera R con la topologia T

s

degli intervalli aperti illimitati a sinistra (avente per base le semirette aperte decrescenti).

a) Mostra che tale spazio non ` e T

2

n` e T

1

, ma ` e T

0

.

b) Mostra che un sottoinsieme S ` e compatto se e solo se ha un massimo.

6.4) Sia X uno spazio topologico T

1

. Siano S ⊂ X un sottoinsieme di X e x un punto di accumulazione per S.

i) Mostra che, per ogni intorno U di x, l’insieme U ∩ S ` e infinito.

ii) Mostra che il derivato D(S) di S ` e chiuso.

6.5) Mostra che ogni sottospazio di uno spazio topologico T

3

` e anch’esso T

3

.

6.6) Mostra che in ogni spazio compatto di Hausdorff, dati un compatto K ed un punto x

0

esterno

a K, esistono aperti disgiunti U e V con U ⊃ K e V 3 x

0

. Concludi che ogni spazio compatto

di Hausdorff ` e T

3

.

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