Matematica Discreta I
Lezione del giorno 3 ottobre 2007 Elementi di Logica Elementare Proposizioni e predicati.
Si definisce proposizione logica una qualunque frase di senso compiuto che sia vera o falsa.
Esempio:
P = “il numero 7 è >5”
é una proposizione vera (P è il nome della proposizione, fra virgolette vi è il testo della proposizione”).
Q = “Palermo è una città della Lombardia”
é una proposizione falsa.
R = “Buongiorno !”
non è una proposizione.
Si definisce predicato logico una qualunque frase di senso compiuto che contiene delle variabili (spesso indicate con lettere come x,y,z….) e che diventa una proposizione (vera o falsa) quando si fanno assumere valori concreti alle variabili.
Esempio:
P(x,y) = “la somma dei numeri interi x,y è >40” è un predicato nelle 2 variabili x,y (P è il nome del predicato, seguito dall’elenco, facoltativo, delle variabili; fra virgolette vi è il testo del predicato).
Se facciamo per esempio assumere alle variabili rispettivamente i valori x=19, y=28, otteniamo la proposizione vera
P(9,8) = “la somma dei numeri interi 19,28 è >40”
mentre se facciamo per esempio assumere alle variabili rispettivamente i valori x=4, y=5, otteniamo la proposizione falsa
P(4,5) = “la somma dei numeri interi 4,5 è >40”
Talvolta si restringono i valori possibili delle variabili in un predicato, indicando il “campo di variabilità”.
Esempio:
Scrivendo
P(x) = “x<20” (x=numero intero positivo)
si intende che gli unici valori possibili per la variabile x sono appunto gli interi positivi.
Operazioni logiche.
Introdurremo delle operazioni logiche fra i predicati: sono operazioni che, dati alcuni predicati (operandi), operano su di essi per ottenere un nuovo predicato (risultato) i cui valori di verità dipendono da quelli dei predicati operandi.
1) Congiunzione logica
Dati due predicati P, Q, si chiama congiunzione logica di P, Q il predicato che:
- ha come nome PQ (si legge P and Q)
- ha come testo i testi di P e Q separati dalla congiunzione “e” (quindi ha come variabili le variabili di P e quelle di Q)
- è vero solo per i valori delle variabili che rendono veri sia P che Q, ed è falso per tutti gli altri valori delle variabili (quindi è falso per i valori delle variabili che rendono falso uno dei 2 predicati P, Q o entrambi)
Esempio:
Dati i 2 predicati
P(x) = “x è un numero intero >10”
Q(y) = “y è un numero razionale compreso fra 1 e 2”
la loro congiunzione logica è il predicato
[PQ](x,y)=”x è un numero intero >10 e y è un numero razionale compreso fra 1 e 2”.
Tale nuovo predicato è vero solo per i valori di x che rendono vero P e i valori di y che rendono vero Q.
Per esempio
[PQ](14,3/2)=”14 è un numero intero >10 e 3/2 è un numero razionale compreso fra 1 e 2” è una proposizione vera in quanto
P(14)= “14 è un numero intero >10”
Q(3/2) = “3/2 è un numero razionale compreso fra 1 e 2”
sono entrambe proposizioni vere.
Invece
[PQ](9,3/2)=”9 è un numero intero >10 e 3/2 è un numero razionale compreso fra 1 e 2” è una proposizione falsa in quanto
P(9)= “9 è un numero intero >10”
é una proposizione falsa, pur essendo
Q(3/2) = “3/2 è un numero razionale compreso fra 1 e 2”
una proposizione vera.
Analogamente [PQ](12,5/2) [PQ](8,7/2)
sono proposizioni false, la prima perché Q(5/2) è falsa (pur essendo P(12) vera), e la seconda perché entrambe P(8), Q(7/2) sono false.
