Matematica Discreta I Lezione del giorno 19 ottobre 2007 Funzione identica

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Matematica Discreta I

Lezione del giorno 19 ottobre 2007 Funzione identica

Dato un insieme A, si definisce la funzione identica di A: essa è la funzione che ha dominio e codominio coincidenti entrambi con A, ed associa ogni elemento di A con sé stesso.

Tale funzione si indica con il simbolo:

iA: A  A

ed è quindi definita ponendo iA(x)=x per ogni xA.

Composizione di funzioni

Siano A,B,C, 3 insiemi e siano f: A  B, g: B  C delle funzioni (notare che il codominio di f coincide con il dominio di g). Se prendiamo un elemento generico xA, la f associa a tale elemento x un unico elemento y=f(x)B; a sua volta la g associa a tale elemento y un unico elemento z=g(y)C.

In tal modo, associando ad xA l’elemento zC si ottiene una nuova funzione con dominio A e codominio C, detta composizione di f e g (o funzione composta di f e g), e indicata con il simbolo gf: A  C.

In pratica l’azione di gf è ottenuta facendo agire prima f e poi g: (gf)(x)=z=g(y)=g(f(x)), quindi, in totale, (gf)(x)=g(f(x)) (notare che la funzione f, che agisce per prima, è scritta per seconda nel simbolo gf).

Esempi:

1) Siano A={1,2,3,4}, B={a,b,c}, C={5,6,8} e siano f: A  B, g: B  C le funzioni descritte graficamente da:

f g

Allora la composizione gf: A  C è descritta graficamente da:

gf 1

2 3 4

a b c

5 6 8

1 2 3 4

5 6 8

(2)

2) Se A è l’insieme dei numeri interi positivi, B l’insieme dei numeri razionali positivi, C l’insieme dei numeri reali positivi, date le 2 funzioni f: A  B, g: B  C definite da f(x)=(2x+1)/3, g(x)=

1

x² , la composizione gf: A  C è definita da:

(gf)(x)=g(f(x))=g((2x+1)/3)= ((2x1)/3)²1

Teorema. La composizione di 2 funzioni iniettive è una funzione iniettiva. La composizione di 2 funzioni surgettive è una funzione surgettiva. La composizione di 2 funzioni biunivoche è una funzione biunivoca.

Dimostrazione:

Siano f: A  B, g: B  C due funzioni.

Supponiamo dapprima che f, g siano iniettive e dimostriamo che gf è iniettiva: se a,bA, ab, si ha f(a)f(b) (per l’iniettività di f), e allora g(f(a))g(f(b)) ((per l’iniettività di g) dunque si conclude che (gf)(a) (gf)(b), ossia gf è iniettiva.

Supponiamo ora che f, g siano surgettive e dimostriamo che gf è surgettiva: dato cC, cerchiamo una elemento aA tale che (gf)(a)=c; ma, per la surgettività di g, esiste bB tale che g(b)=c;

inoltre, per la surgettività di f, esiste aA tale che f(a)=b, da cui in totale (gf)(a)=c.

La terza affermazione segue ovviamente dalle prime due.

Calcoliamo la composizione di funzioni in alcuni casi particolari.

Siano A,B insiemi, sia f: A  B una funzione e consideriamo la funzione identica di B:

iB : B  B

Possiamo allora considerare la composizione iBf : A  B.

Per ogni elemento xA si ha (iBf)(x)= iB(f(x))=f(x), e si conclude che le funzioni iBf ed f sono uguali: iBf = f

Analogamente siano A,B insiemi, sia f: A  B una funzione e consideriamo la funzione identica di A:

iA : A  A

Possiamo allora considerare la composizione fiA : A  B.

Per ogni elemento xA si ha (fiA)(x)= f(iA(x))=f(x), e si conclude che le funzioni fiA ed f sono uguali: fiA = f

Se A,B sono insiemi e se f: A  B una funzione biunivoca, possiamo considerare la funzione inversa f^-1: B  A, e le due composizioni:

f^-1f : A  A ff^-1 : B  B

Per ogni elemento xA si ha (f^-1f)(x)= f^-1(f(x))=x, e si conclude che la funzione f^-1f coincide con la funzione identica di A:

f^-1f = iA

Con ragionamento analogo di ha che la funzione ff^-1 coincide con la funzione identica di B:

ff^-1 = iB .