Esame nale di sica corso ITS

Esame nale di sica corso ITS

3 Febbraio 2016

1. Usando la rappresentazione del seno e coseno in termini di numeri comp- lessi dimostrare la formula

sin α + sin β = 2 cos

(α− β 2

) sin

(α + β 2

)

Avendo due onde armoniche date dalle formule y1= 0, 002 sin(6· x − 600 · t) y2= 0, 002 sin(5, 8· x − 580 · t)

trovare l'onda risultante y = y1+ y₂ usando la formula di sopra.

2. Si dimostri che le seguenti funzioni y = (x + v t)³

y =2 sin (k x) cos (ω t) soddisfano l'equazione d'onda

∂²y

∂ x²(x, t)− 1 v²

∂²y

∂ t²(x, t) = 0

3. Dalle equazioni di Maxwell si può trovare una relazione tra il campo elet- trico e magnetico come segue

⃗k0× ⃗B =−(n + iξ) c

E⃗

dove n rappresenta l'indice di rifrazione e ξ coeciente di smorzamento e sapendo che ⃗B = ⃗B0e^iφB, ⃗E = ⃗E0e^iφE e ⃗k0× ⃗B0=−^|n+iξ|_c E⃗0 trovare legame tra la fase φE del campo elettrico e la fase φB del campo mag- netico nel mezzo conduttore.(Si intenda la relazione come relazione tra tre numeri complessi z1= z2· z3e si colleghino le fasi)

4. Dimostrare che le soluzioni delle equazioni di Bloch dM_x

dt = ω0My−M_x T2

dM_y

dt =−ω0MxBz−M_y T2

dM_z

dt =−M_z− M0

T1

ω0= gγBz

sono

M_x= M₀e^−t/T2 cos ω₀t My =−M0e^−t/T2 sin ω0t M_z= M₀

(

1− e^−t/T1)

usando la sostituzione z = Mx + i My = z0e^{iα t} nelle prime due e la condizione iniziale My(t = 0) = 0, Mx(t = 0) = Mz(t = 0) = M0.

5. Risolvere il circuito RC composto da un condensatore di capacità C = 470µ F, collegato in serie con R = 10⁶Ω e alimentato da una batteria di E = 8 V , tenendo conto della resistenza interna RV = 5× 10⁵Ω del voltmetro collegato in parallelo con il condensatore.

Soluzioni

1. Usando numeri complessi in forma di Eulero si scrive

e^iα+ e^iβ = ei[(α+β)/2+(α−β)/2]+ e^{i[(α+β)/2−(α−β)/2]}

= 2 cos (α− β

2 )

e^i(α+β)/2

sin α + sin β = Im(

e^iα+ e^iβ)

= 2 cos

(α− β 2

) sin

(α + β 2

)

Applicando la formula trovata si ha (α− β

2 )

=∆ k x− ∆ω t

2 = 1

2[6 x− 600 t − 5, 8 x + 580 t] = 0, 1 x − 10 t (α + β

2 )

=(k₁+ k₂) x− (ω1+ ω₂) t

2 = 1

2[6 x− 600 t + 5, 8 x − 580 t] = 5, 9 x − 590 t

2. Facendo le derivate parziali y^′, y^′′rispetto al x e ˙y, ¨y rispetto a t si ha y^′ = 3 (x + v t)²

y^′′ = 6 (x + v t)

˙

y = 3 v (x + v t)²

¨

y = 6 v² (x + v t)

0 = 6 (x + v t)− 6 (x + v t) nel caso della seconda funzione si ottiene

y^′= 2 k cos (k x) cos (ω t) y^′′ = −2 k²sin (k x) cos (ω t)

˙

y =−2 ω sin (k x) sin (ω t)

¨

y =−2 ω²sin (k x) cos (ω t) 0 =

(

k²−ω² v²

)

sin (k x) cos (ω t)

quale si annulla grazie alla relazione di dispersione k²= ^ω_v2². 3.

⃗k₀× ⃗B =|⃗k0× ⃗B| e^iφB (n + iξ)

c =|(n + iξ) c | e^iα E =⃗ | ⃗E|e^iα

|⃗k0× ⃗B| e^iφB =|(n + iξ)

c || ⃗E| e^iαe^iφE e^iφB = e^i(α+φE)

φ_B= α + φ_E= φ_E+ arctan ξ n tan α = ξ

n 4. Le equazioni vengono scritte come segue

0 = ˙z + (

iω0+ 1 T₂

) z M0

T1

= ˙Mz+ 1 T1

Mz

la seconda equazione si risolve prima come omogenea e poi con la soluzione

particolare

0 = ˙Mz+ 1 T1

Mz

M_z=A e^−t/T1 Mz.P =M0

M_z(t) =M₀ (

1− e^−t/T1) la prima invece da

0 = ˙z + (

iω0+ 1 T2

) z z =z0e^{−(iω0+1/T2) t} M_x=M₀e^−t/T2 cos ω₀t My=− M0e^−t/T2 sin ω0t

5. Scrivendo l'equazione del circuito RC alimentato da un generatore di f.e.m.

costante si ha

E =R I +Q C RV IV =Q

C → IV = Q RVC I =IV + IC= Q

RV C + ˙Q E =R ˙Q +Q

C (

1 + R RV

)

risolvendo l'omogenea si ha

0 =R ˙Q +Q τ d Q

Q =−dt τ Q(t) =A e^−t/τ

τ =R_VR C R + RV

La soluzione particolare è

QP = E τ R

bisogna determinare la costante di integrazione A. Nell'istante iniziale t = 0abbiamo Q0= 0e la completa è le soluzioni sono

Q(t) =E τ R

(

1− e^−t/τ) IC(t) =E

Re^−t/τ I_V(t) = E

R + R_V (

1− e^−t/τ) I(t) = E

R + RV

( 1 + R

RV

e^−t/τ )