Esame intermedio sica corso ITS

Esame intermedio sica corso ITS

Gennaio 2016

Domande teoriche

1. Spiegare sfasamento della corrente rispetto alla f.e.m. in un circuito RLC usando metodo graco di rappresentazione vettoriale dei numeri

complessi (punteggio 5)

2. Usando due rappresentazioni dei numeri complessi z = x + i y

z =|z| e^iφ

trovare la relazione tra (x, y) e (|z|, φ).(punteggio 5)

3. Spiegare la dierenza di azione della forza di Lorentz su un elettrone e un protone che si muovono in moto circolare in senso anti-orario ed il campo magnetico è ortogonale al piano di rotazione. Da questo ragionamento si potrebbe trovare il raggio dell'orbita di una particella nel campo magnetico? (punteggio 5) (Indicazioni: Pensare perché un pianeta rimane nella sua orbita.)

Esercizi

1. Si ha una circuito con un condensatore di capacità C = 480µ F , collegato ad una resistenza R = 10⁶Ωe alimentato da un generatore di f.e.m.

E = 8 V cos (t/τ) . Si trovino

• il tempo caratteristico τ del circuito, la frequenza angolare ω e la frequenza ν

• soluzioni generali Q(t) e I(t) in regime transitorio con la condizione iniziale Q(0) = 0

• soluzioni generali Q(t) e I(t) nel limite ω → 0 (regime DC)

Indicazioni: Scrivere l'equazione del circuito in termini di Q, risolvere la omogenea e aggiungere la soluzione particolare QP = Re ˜Q e^{iω t}. Imporre le condizioni iniziali per trovare la costante d'integrazione della soluzione omogenea.(punteggio 20)

2. Nel circuito, con un condensatore C = 2 µ F ed un induttanza L = 1 H in parallelo, la frequenza è ν = 50 Hz e Eef f = 200 V. Si calcolino valori delle correnti nei rami del circuito.(punteggio 20)

Figure 1: Circuito LC in regime AC

3. L'antenna di un automobile è inclinata di α = 60⁰rispetto alla direzione di movimento (piano orizzontale). Essa taglia le linee del campo

magnetico terrestre di valore B = 0, 2 G e attraversa ortogonalmente l'area descritta dall'antenna in un tempo ∆t. Si trovi la corrente indotta nell'antenna se questa ha una resistenza R = 5 Ω e la sua lunghezza è l = 1 m. La velocità dell'automobile è v = 60 km/h.(punteggio 15) 4. Un protone di massa mp= 1, 67× 10⁻²⁷kge carica qp= 1, 6× 10⁻¹⁹C,

inizialmente fermo, viene accelerato tra due piastre parallele tra le quali c'è il potenziale elettrico V = 5 × 10³V. Successivamente il protone entra in un campo magnetico B = 1, 2 T perpendicolare ala sua velocità.

Calcolare

• la velocità quando entra nel campo magnetico

• il raggio della traiettoria nel campo magnetico e la frequenza di rotazione

(punteggio 15)

5. Tra due lunghi li paralleli A e B, percorsi dalla corrente IA= 2 Ae IB= 5 Ae distanti d = 10 cm, è posto un terzo lo C attraversato dalla corrente (parallela alla corrente IA) IC= 4 Ae distante x = 4 cm dal lo A. Calcolare la forza, per unità di lunghezza F/l, che agisce sul lo C.

Considerare seguenti casi:

• le correnti nei li A e B sono nella stessa direzione

• le correnti nei li A e B sono nella direzione opposta

• dove bisogna posizionare il lo C per avere la forza zero su di esso?

(punteggio 15)

Soluzioni parte teorica

1. Vedere la discussione nella introduzione matematica delle lezioni sul sito.

Si ha

E = E0e^{iω t} I = E0

|Ztot|e^{i(ω t−φ)}

|Z| =

√

R²+ (1/ω C− ω L)² tan φ = ω L− 1/ω C

R V_R≡ ZRI = Z_RE0

|Ztot|e^{i(ω t−φ)} VL≡ ZLI = |ZL| E0

|Ztot| e^{i(ω t−φ+π/2)} VC≡ ZCI = |ZC| E0

|Ztot| e^{i(ω t−φ−π/2)}

Si vede che sia la corrente I, sia i potenziali VL e VC sono sfasati rispetto alla f.e.m., ma con le fasi diverse. Potenziale VR è in fase con la corrente.

2. Scrivendo

z = x + i y

z =|z| e^iφ=|z| (cos φ + i sin φ) si hanno le identicazioni

x =|z| cos φ y =|z| sin φ

|z| =√ x²+ y² tan φ = y

x

3. La forza di Lorentz agisce nel verso opposto sugli elettroni rispetto ai protoni per via del segno della carica diverso. Se tutti due girano nel

senso anti-orario l'elettrone viene attratto verso il centro di rotazione ,mentre il protone viene allontanato. Per rimanere in orbita la forza di Lorentz attrattiva deve essere bilanciata dalla forza centrifuga repulsiva così che

F_L= F_cf q v B = m v²

r r = m v

q B Soluzioni parte numerica

1. Scrivendo l'equazione del circuito RC alimentato da un generatore di f.e.m. costante si ha

E0e^{iω t}= R I + Q C sostituendo I = ˙Q

E0e^{iω t}= R ˙Q +Q C L'omogenea che segue è

0 =R ˙Q +Q C d Q

Q =− dt R C Q(t) =A e^−t/τ

τ =R C

La soluzione particolare si ha dalla teoria come

Q_P = Re E0C

1 + iω R C e^{iω t}= Re E0C

√1 + ω²R²C²e^{i(ω t−φ)} tan φ =−ω R C

Q_P = E0C

√1 + ω²R²C² cos (ω t− φ)

La soluzione generale è

Q(t) = A e^−t/τ + E0C

√1 + ω²R²C² cos (ω t− φ)

Q(0) = 0→ A = − E0C

√1 + ω²R²C² cos (φ)

Q(t) = E0C

√1 + ω²R²C² (

cos (ω t− φ) − cos φ e^−t/τ) I(t) = E0C

√1 + ω²R²C²

(−ω sin (ω t − φ) + cos φ τ e^−t/τ

)

La soluzione in regime DC si ottiene nel limite ω → 0, φ = 0 e si ha Q(t) =E0C

(

1− e^−t/τ) I(t) = E0C

τ e^−t/τ =E0

R e^−t/τ Valori numerici sono

τ =R C = 10⁶Ω· 480 × 10⁻⁶F = 480V A

C

V = 8 min ω = 1

τ = 0, 125 min⁻¹= 2, 1× 10⁻³ sec⁻¹ ν = ω

2 π = 3, 3× 10⁻⁴Hz φ =−π/4

Q(t) = 3, 84 mC

√2 (

cos ( t/8 min + π/4)−e^{−t/8 min}

√2 )

2. Si calcola per prima l'impedenza del parallelo

1 ZLC

= 1 ZL

+ 1 ZC

= i ω C + 1 i ω L ZLC= i ω L

1− ω²C L ω = 2πν = 314 rad/sec

e poi si ha la corrente sul condensatore

E = ZCIC

IC = i ω CE = ω C E0e^{i(ω t+π/2)} I_{C,ef f.}= ω CEef f

e sull'induttanza

E = ZLIL

I_L = E

i ω L = E0

ω Le^{i(ω t−π/2)} IL,ef f. =Eef f

ω L e la corrente totale

I = E0

ZLC

= E0

ω L

(1− ω²C L)

e^{i(ω t−π/2)} I_{ef f.}=Eef f.

ω L

(1− ω²C L)

3. Prima si calcola la velocità del protone quando si accelera tra le piastre parallele (un condensatore piano)

• velocità del protone

E_k≡ 1

2m v²= q_p· V v =

√

2 q_pV /m =√

2· 1, 6 × 10⁻¹⁹C· 5 × 10³V /1, 67× 10⁻²⁷kg

=√

1, 6× 10⁻¹⁵J/1, 67× 10⁻²⁷kg =√

0, 958× 10¹²m²/sec²

≈ 0, 98 × 10⁶m/sec≈ 10⁶m/sec

• Raggio della traiettoria

R≡ m v

qPB = 1, 67× 10⁻²⁷kg· 0, 98 × 10⁶m/sec 1, 6× 10⁻¹⁹C· 1, 2 T

= 0, 85× 10⁻² N sec

C N/A m = 0, 85 cm

4. Questo problema corrisponde alla variazione dell'area percorsa dall'antenna nel tempo dt come nelle lezioni solo che l'area di un romboide è A = l1l2sin α ed il usso del campo magnetico è

dΦ = B· dS = B l v sin α dt E = B l v sin α

I =B

Rl v sin α = 5, 7 µ A

5. La forza totale è

(F l

)

tot.↑↑

= 2 k^′IC

(IA

x − IB

d− x )

=−8

3 × 10⁻⁵N/m (F

l )

tot↑↓

= 2 k^′I_C (I_A

x + I_B d− x

)

=32

3 × 10⁻⁵N/m

per avere forza zero

(F l

)

tot.↑↑

= 2 k^′IC

(IA

x − IB

d− x )

= 0

x = IA

I_A+ I_Bd =20 7 cm