COMPITI E COMPITINI DELL’ANNO 2018
Le soluzioni degli esercizi sono in fondo al file.
Compito di Geometria e algebra lineare dell’8 gennaio 2018
Istruzioni: I fogli per svolgere gli esercizi vi saranno forniti. Consegnate solo la bella e il foglio con gli esercizi e motivate sempre le vostre risposte. Sar` a valutata anche l’esposizione e non saranno corretti esercizi illeggibili. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrici, cellulari, pena l’annullamento del compito. Avete a disposizione 3 ore di tempo.
Esercizio 1.
a) Si definisca cosa sia una isometria lineare di R 3 rispetto al prodotto scalare standard;
b) Si dimostri che se F ` e una isometria lineare di R 3 rispetto al prodotto scalare standard e λ ` e un autovalore di F allora λ = ±1;
c) Si faccia un esempio di isometria lineare di R 3 rispetto al prodotto scalare standard che non sia diagonalizzabile e che non abbia 1 come autovalore.
Esercizio 2. Sia W il sottospazio di R 3 definito dall’equazione x + 2y + 3z = 0. Sia E = Mat 2×2 (R) e sia S il sottospazio delle matrici simmetriche ovvero delle matrici della forma
a b
b d . Sia F : W −→ S l’applicazione lineare definita da F
x y z
=
x x + 2y
−3z z
per ogni
x y z
∈ W.
Sia inoltre G : R 3 −→ E l’applicazione lineare tale che G
x y z
= F
x y z
per ogni
x y z
∈ W e G
1 0 0
= 1 1 0 1
a) Scegliere una base per W e una per S e scrivere la matrice associata a F rispetto a queste basi;
b) Scrivere la matrice associata a G rispetto alle basi standard di R 3 e di Mat 2×2 (R).
Esercizio 3. Si consideri l’isometria F di R 3 associata alla matrice A = 1
7
−6 3 −2
2 6 3
3 2 −6
a) Determinare di che tipo di isometria si tratta;
b) Per quali b ∈ R 3 l’isometria F b (v) = F (v) + b ` e una rotazione?
c) Scrivere F come composizione di riflessioni;
Esercizio 4. Sia V = R[t] 62 lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 2. Sia g : V × V −→ R il prodotto scalare definito dalla formula
g(p, q) = p(1)q(2) + p(2)q(1) + p 0 (0)q 0 (0).
a) Calcolare la segnatura di g;
b) Esiste una retta W passante per l’origine in V tale che g| W ` e nullo?
c) Esiste un piano W passante per l’origine in V tale che g| W ` e nullo?
1
1. Compito di Geometria e algebra lineare del 29 gennaio 2018
Istruzioni: I fogli per svolgere gli esercizi vi saranno forniti. Consegnate solo la bella e il foglio con gli esercizi e motivate sempre le vostre risposte. Sar` a valutata anche l’esposizione e non saranno corretti esercizi illeggibili. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrici, cellulari, pena l’annullamento del compito. Avete a disposizione 3 ore di tempo.
Esercizio 1.
a) Si dia la definizione di prodotto scalare;
b) Sia g un prodotto scalare su R 3 di segnatura (1, 2, 0). Si dica se esiste un sottospazio di R 3 di dimensione uno sul quale g ` e nullo;
c) Sia g un prodotto scalare su R 3 di segnatura (1, 1, 1). Si dica se esiste un sottospazio di R 3 di dimensione due sul quale g ` e nullo.
Esercizio 2. Sia E = Mat 2×2 (C) e sia
A = a b c d
Definiamo l’applicazione lineare C A : E −→ E mediante la formula C A (X) = AX − XA.
a) Supponiamo che il polinomio caratteristico di A sia t 2 − 1. Calcolare il polinomio carat- teristico di C A e dire se ` e diagonalizzabile.
b) Poniamo a = 1, b = 1, c = −1 e d = −1. Si calcoli il polinomio caratteristico di C A , e se ne determini la forma di Jordan.
Esercizio 3. Siano U e W i piani affini di R 3 definiti rispettivamente dalle equazioni x+3y−z = 0 e x + 3y − z = 1. Sia P U la proiezione ortogonale di R 3 su U .
a) Scrivere la matrice associata all’applicazione lineare P U rispetto alla base standard.
b) Dato v ∈ R 3 determinare il punto di W che ha minima distanza da W . Esercizio 4. Sia g a il prodotto scalare su R 4 tale che
g a
x 1
x 2
x 3 x 4
,
y 1
y 2
y 3 y 4
= x 1 y 1 + 3 x 2 y 2 + a x 3 y 3 + 16
3 x 4 y 4 + a x 1 y 3 + a y 1 x 3 + x 3 y 4 + y 3 x 4 . a) Dire per quali a ∈ R il prodotto scalare g a ` e definito positivo;
b) Si determini un valore di a tale che il prodotto scalare ristretto al sottospazio W definito dalle equazioni x 1 + x 2 + x 3 = 0 e x 4 = 0 sia degenere.
2. Compito di Geometria e algebra lineare del 14 febbraio 2018
Istruzioni: I fogli per svolgere gli esercizi vi saranno forniti. Consegnate bella, brutta e foglio degli esercizi. Distinguete in modo chiaro tra bella e brutta. Motivate sempre le vostre risposte.
Sar` a valutata anche l’esposizione e non saranno corretti esercizi illeggibili. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrici, cellulari, pena l’annullamento del compito. Avete a disposizione 3 ore di tempo.
Esercizio 1.
a) Si definisca cosa ` e il nucleo di una applicazione lineare;
b) Si dimostri che se il nucleo di una applicazione lineare ` e zero allora l’applicazione ` e iniettiva;
c) Siano T : R 3 −→ R 4 e S : R 4 −→ R 3 due applicazioni lineari e si supponga che T ` e iniettiva e che S ◦ T = 0. ` E possibile che la dimensione dell’immagine di S sia 2? [Se ` e possibile fare un esempio, altrimenti dimostrare che non ` e possibile.]
2
Esercizio 2. Sia A la seguente matrice 2 × 2 A = 8 −9
6 −7
. Determinare A 101 .
Esercizio 3. Sia r la retta passante per l’origine e per (1, 1, 0) e s la retta definita dalle equazioni ( y + z = 1
x + 2y + 2z = 1 a) Scrivere una isometria che porta r in s;
b) Scrivere una isometria che porta r in s che non abbia punti fissi e una che che abbia almeno un punto fisso [una delle due pu` o essere quella trovata al punto precedente].
c) Esiste una riflessione che porta r in s?
Esercizio 4. Per a ∈ R sia g a il prodotto scalare su R 3 definito da g
x y z
,
x 0 y 0 z 0
= x x 0 + (a − 1)y y 0 + a z z 0 + (a − 1)(x z 0 + x 0 z) a) Esiste una base di formata da vettori isotropi per a = 0?
b) Esiste una base formata da vettori isotropi per a = 1?
c) Esiste una isometria lineare rispetto a g 2 che porta e 1 in e 3 ?
AAA Compitino di algebra lineare del 26 febbraio 2018: prima parte Istruzioni: Avete 35 minuti di tempo a disposizione. Come prima cosa scrivete nome, cognome e matricola nello spazio qui sotto. Scrivete solo i risultati senza nessuna spiegazione negli appositi spazi. Effettuate i calcoli necessari sui fogli che vi saranno consegnati a parte. Dovete consegnare solo questo foglio. Prima di consegnare il foglio trascrivetevi su un foglietto i risultati e le lettere ABB. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrice, cellulari, pena l’annullamento del compito. Per essere ammessi alla seconda parte del compito ` e necessario aver risposto correttamente a tutte e 5 le domande.
Nome e cognome e matricola:
Domanda 1. Sia P il punto di coordinate (1, 1, 2), Q il punto di coordinate (−1, 2, 1) e O l’origine. Sia α l’angolo P OQ. Calcolare cos α.
Risposta: cos α=
Domanda 2. Sia A la seguente matrice A =
1 1 0 0 1 1 3 0 2
Calcolare det(A).
Risposta: det(A) =
3
Domanda 3. Sia z = 2 + 3i e w = 1 + i. Calcolare la parte reale di z/w.
Risposta: Re(z/w) =
Domanda 4. Sia W il sottospazio vettoriale di R 3 generato dai vettori u =
1
−2 1
e v =
2
−1
−4
. Descrivere W mediante una equazione lineare ax + by + cz = 0.
Risposta:
Domanda 5. Sia F : R 8 −→ R 5 una applicazione lineare suriettiva, W ⊂ R 8 un sottospazio di dimensione 6 e U = W ∩ N (F ). Sapendo che N (F ) + W = R 8 calcolare dim U . [con N (F ) indico il nucleo di F ]
Risposta: dim U =
Compitino di algebra lineare del 26 febbraio 2018: seconda parte
Istruzioni: I fogli per svolgere gli esercizi vi saranno forniti. Mettete il vostro nome su tutti i fogli. Consegnate sia la bella che la brutta che il foglio con gli esercizi e motivate sempre le vostre risposte. Se un foglio che consegnate non volete che sia corretto scriveteci “brutta” in cima. Sar` a valutata anche l’esposizione e non saranno corretti esercizi illeggibili. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrici, cellulari, pena l’annullamento del compito.
Esercizio 1.
a) Dare la definizione di vettori linearmente indipendenti.
b) Fare un esempio di tre vettori u, v, w in R 3 tali che presi a coppie siano linearmente indipendenti (ovvero che u, v siano linearmente indipendenti. u, w siano linearmente in- dipendenti, e che v, w siano linearmente indipendenti) ma che u, v, w siano linearmente dipendenti
c) Siano u, v, w elementi di uno spazio vettoriale. Supponiamo che u e v siano linearmente indipendenti. Dimostrare che se u, v, w sono linearmente dipendenti allora w ∈ hu, vi.
Esercizio 2. Sia U il sottospazio vettoriale di R 4 generato dai vettori
1 2 3 4
e
4 3 2 1
.
Sia V il sottospazio vettoriale di R 4 delle soluzioni del sistema
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 2 + 4 x 3 − x 4 = 0
3 x 1 + 5 x 2 + 11 x 3 + x 4 = 0 a) Calcolare la dimensione di U e V .
4
b) Calcolare la dimensione di U + V e U ∩ V .
Esercizio 3. Sia V = R[t] 62 lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 2. Sia W = {f ∈ V : f (1) = 0} e sia D : W −→ V l’applicazione lineare definita da D(f ) = f 0 . Per a ∈ R sia F a : V −→ V l’applicazione linerare tale che
F a (f ) = D(f ) per ogni f ∈ W e F a (1) = a(t − 1).
a) Scegliere una base per W e scrivere la matrice associata a D rispetto a questa base in partenza e alla base standard in arrivo;
b) Per quali valori di a l’applicazione F a ` e diagonalizzabile?
Esercizio 4. Sia A la seguente matrice 7 × 7
A =
1 −1 1 −1 1 −1 1
3 −1 −1 −1 −1 −1 3
1 −1 1 −1 1 −1 1
3 −1 −1 −1 −1 −1 3
1 −1 1 −1 1 −1 1
3 −1 −1 −1 −1 −1 3
1 −1 1 −1 1 −1 1
a) Calcolare rango, determinante e traccia di A;
b) Trovare un vettore non nullo v ∈ R 7 tale che A · v = v;
c) Determinare il polinomio caratteristico di A e dire se A ` e diagonalizzabile.
Compito di Geometria e algebra lineare del 4 giugno 2018
Istruzioni: I fogli per svolgere gli esercizi vi saranno forniti. Consegnate solo la bella e il foglio con gli esercizi e motivate sempre le vostre risposte. Sar` a valutata anche l’esposizione e non saranno corretti esercizi illeggibili. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrici, cellulari, pena l’annullamento del compito. Avete a disposizione 3 ore di tempo.
Esercizio 1. Svolgi i punti seguenti:
(1) Siano U, W ⊂ V due sottospazi di uno spazio vettoriale. Definisci il sottospazio U + W . (2) Sia V = R 5 .
(a) Esistono U, W ⊂ V con dim U = dim W = 3 e dim U ∩ W = 1?
(b) Esistono U, W ⊂ V con dim U = dim W = 3 e dim U ∩ W = 0?
In caso affermativo fornisci un esempio, in caso negativo dimostra che non esistono.
Esercizio 2. Considera la matrice
A =
1 −1 1 2 −2 2 3 −3 3 4 −4 4
.
Sia B una qualsiasi matrice reale quadrata 3 × 3.
(1) Dimostra che se AB = 0 allora 0 ` e necessariamente un autovalore per B.
(2) Construisci una matrice B quadrata 3 × 3 che soddisfi entrambe queste propriet` a:
• AB = 0,
• B 2 = 0 ma B 6= 0.
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Esercizio 3. Considera i due piani in R 3 seguenti:
π 1 = {x + y = 1}
π 2 =
t + 2u − 1 t + 2u + 2
2u + 4
t, u ∈ R
. (1) Scrivi π 2 in forma cartesiana.
(2) Costruisci un’isometria f (x) = Ax + b tale che:
• f (π 1 ) = π 2 e f (π 2 ) = π 1 ;
• f non abbia punti fissi;
• det A = 1
(3) Costruisci un’isometria g(x) = Ax + b tale che:
• g(π 1 ) = π 2 e g(π 2 ) = π 1 ;
• g non abbia punti fissi;
• det A = −1
Esercizio 4. Considera il prodotto scalare g su R 4 dato da g(x, y) = txSy dove S ` e la matrice
S =
0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
(1) Determina la segnatura di S.
(2) Esiste un sottospazio W ⊂ R 4 di dimensione due su cui la restrizione g| W sia definita positiva? In caso affermativo trova una base per W .
(3) Esiste un sottospazio W ⊂ R 4 di dimensione tre su cui la restrizione g| W sia nulla (cio` e tale che g(v, w) = 0 ∀v, w ∈ W )? In caso affermativo trova una base per W .
Compito di Geometria e algebra lineare del 25 giugno 2018
Istruzioni: I fogli per svolgere gli esercizi vi saranno forniti. Consegnate solo la bella e il foglio con gli esercizi e motivate sempre le vostre risposte. Sar` a valutata anche l’esposizione e non saranno corretti esercizi illeggibili. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrici, cellulari, pena l’annullamento del compito. Avete a disposizione 3 ore di tempo.
Esercizio 1. Sia f : V → V un endomorfismo di uno spazio vettoriale V . (1) Definisci il nucleo di f e mostra che ` e un sottospazio vettoriale di V .
(2) Se f ` e diagonalizzabile, ` e vero che f 2 = f ◦ f ` e diagonalizzabile? Motiva la risposta.
Esercizio 2. Considera la matrice
A =
7 1 −8 −1
0 3 0 0
4 2 −5 −1
0 −4 0 −1
.
(1) La matrice A ` e diagonalizzabile?
(2) Calcola il polinomio minimo di A.
(3) Costruisci un’altra matrice B che non sia simile ad A, che non sia diagonalizzabile, ma che abbia lo stesso polinomio caratteristico di A.
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Esercizio 3. Considera il prodotto scalare g su R 4 dato da g(x, y) = txSy dove S ` e la matrice
S =
1 2 1 2
2 12 6 4
1 6 3 2
2 4 2 4
.
(1) Determina il radicale di g e calcolane la dimensione.
(2) Dato W = Span(e 1 , e 2 ), mostra che R 4 = W ⊕ W ⊥ . (3) Calcola la segnatura di g| W .
(4) Calcola la segnatura di g.
Esercizio 4. Considera in R 3 il piano
π = {z = 1}
e la retta
r =
2 + t
t
−1
t ∈ R
. (1) Determina la distanza fra π e r.
(2) Determina equazioni cartesiane per il piano π 0 contenente r e perpendicolare a π.
(3) Scrivi una isometria f (x) = Ax + b che sposti il piano π in π 0 .
Compito di Geometria e algebra lineare del 16 luglio 2018
Istruzioni: I fogli per svolgere gli esercizi vi saranno forniti. Consegnate solo la bella e il foglio con gli esercizi e motivate sempre le vostre risposte. Sar` a valutata anche l’esposizione e non saranno corretti esercizi illeggibili. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrici, cellulari, pena l’annullamento del compito. Avete a disposizione 3 ore di tempo.
Esercizio 1. Considera R 3 dotato dell’usuale prodotto scalare euclideo. Dimostra che una isometria vettoriale di R 3 avente determinante 1 ` e necessariamente una rotazione intorno ad un asse.
Esercizio 2. Determina una matrice A di taglia 3 × 3 tale che l’endomorfismo L A : R 3 → R 3 , L A (x) = Ax soddisfi le propriet` a seguenti:
• ImL A ∩ ker L A = Span(e 1 − e 2 ),
• A non ` e nilpotente.
Esercizio 3. Considera su R 3 il prodotto scalare g λ (x, y) = txA λ y dove A λ ` e la matrice A λ =
λ 2 0 0 0 1 0 0 0 1
dipendente da un parametro λ ∈ R. Considera l’endomorfismo L B
λ,a: R 3 → R 3 , L B
λ,a(x) = B λ,a x, dove B λ,a ` e una matrice che dipende da due parametri a, λ ∈ R nel modo seguente:
B λ,a =
a 1 1
λ 2 2 λ + 1 λ 2 λ + 1 1
.
(1) Dimostra che se λ 6= 0 allora L B
λ,a` e autoaggiunto rispetto a g λ per ogni a.
(2) Dimostra che se λ 6= 0 allora L B
λ,a` e diagonalizzabile per ogni a.
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Esercizio 4. Sia V lo spazio vettoriale formato dai polinomi a coefficienti reali di grado 6 3.
Considera il prodotto scalare
g(p, q) = p(1)q(−1) + p(−1)q(1).
(1) Determina una base del radicale di g.
(2) Determina la segnatura di g.
(3) Costruisci una base ortogonale che contenga il vettore x 2 + 1.
Compito di Geometria e algebra lineare del 10 settembre 2018
Istruzioni: I fogli per svolgere gli esercizi vi saranno forniti. Mettete il vostro nome su tutti i fogli. Consegnate sia la bella che la brutta che il foglio con gli esercizi e motivate sempre le vostre risposte. Se un foglio che consegnate non volete che sia corretto scriveteci “brutta”
in cima. Sar` a valutata anche l’esposizione e non saranno corretti esercizi illeggibili. Non si possono usare libri, appunti, calcolatrici, cellulari, pena l’annullamento del compito. Avete 3 ore di tempo a disposizione.
Esercizio 1.
a) Siano U, V, W tre sottospazi di uno spazio vettoriale E. Cosa vuol dire che U, V, W sono in somma diretta?
b) In generale ` e vero che se U, V, W sono sottospazi di uno spazio vettoriale E allora (U + V ) ∩ W = U ∩ W + V ∩ W ? Motivare la risposta.
Esercizio 2. Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 4. Sia F : V −→ V l’applicazione lineare definita da
F (p(t)) = p 00 (t 2 − 1)
dove p 00 indica la derivata seconda. [p 00 (t 2 − 1) non indica la moltiplicazione tra p 00 e (t 2 − 1) ma il polinomio p 00 valutato in t 2 − 1)].
a) Si determini la forma di Jordan di F .
b) Si determini un sottospazio W di V di dimensione 3 tale che F (W ) ⊂ W e F | W : W −→ W si diagonalizzi.
Esercizio 3. Sia θ l’angolo compreso tra π/2 e π radianti il cui coseno ` e uguale a −5/7. Sia r la retta passante per i punti P = (0, 3, 1) e Q = (1, 1, 2). Sia f (x) = Ax + b una rotazione di R 3 di angolo θ attorno alla retta r.
a) Si descriva chiaramente che procedimento si intende utilizzare per calcolare A e b senza effettuare i conti. ` E importante che la spiegazione sia chiara. (2 punti)
b) Si determinino A e b. ` E importante che il risultato sia di A che di b sia corretto. (6 punti, la determinazione della sola matrice A vale 1 punto, e della sola b zero)
Esercizio 4. Sia E = Mat 2×2 (R) lo spazio vettoriale delle matrici 2 × 2 a coefficienti reali e sia U il sottospazio di E delle matrici della forma
a b
−b a
con a, b ∈ R. Sia
S = c d d e
una matrice simmetrica e sia g S il prodotto scalare su E definito da g S (X, Y ) = T r(X t S Y ).
a) Si determini la segnatura di g S se c = d = e = 1;
b) Si scelga S in modo che g S abbia segnatura (2, 2, 0) e U sia un sottospazio isotropo (ovvero g S ristretto a U × U ` e zero).
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c) Sia W = {(c, d, e) ∈ R 3 : g S ristretto a U sia zero}. Si dimostri che W ` e un sottospazio vettoriale e se ne calcoli la dimensione.
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Soluzioni del compito dell’8 gennaio 2018
Esercizio 1. a) Sia g(·, ·) un prodotto scalare dello spazio vettoriale V . Una isometria lineare rispetto a g ` e una applicazione lineare F : V −→ V tale che
g(F (u), F (v)) = g(u, v) per ogni u, v ∈ V .
b) Sia F una isometria lineare di R 3 rispetto al prodotto scalare standard. Sia F (v) = λ v con λ ∈ R, v ∈ R 3 e v 6= 0. Allora
kvk 2 = kF (v)k 2 = kλ vk 2 = λ 2 kvk 2 . Poich´ e kvk 6= 0 ricaviamo λ 2 = 1 ovvero λ = ±1.
c) una antirotazione di un angolo diverso da 0 e π rispetto ad un asse passante per l’origine ha questa propriet` a. Per esempio l’antirotazione associata alla matrice
−1 0 0
0 0 −1
0 1 0
.
Esercizio 2. I vettori
v 1 =
−2 1 0
v 2 =
−3 0 1
sono una base di W e le matrici
E 11 ; E = 0 1 1 0
; E 22 sono una base di S e la matrice associata a F rispetto a queste basi ` e
[F ] v E
1,v
211
,E,E
22=
−2 −3 0 −3
0 1
.
Scriviamo prima la matrice associata a G rispetto alla base v 1 , v 2 , e 1 per R 3 e alla base standard per Mat 2×2 (R). Abbiamo
[G] v E
1,v
2,e
111
,E
12,E
21,E
22=
−1 −3 1 0 −3 1 0 −3 0
0 1 1
.
Quindi
[G] e E
1,e
2,e
311
,E
12,E
21,E
22= [G] v E
1,v
2,e
111
,E
12,E
21,E
22· [] e v
1,e
2,e
31
,v
2,e
1. Calcoliamo la matrice di cambiamento di base
[] e v
11,e ,v
22,e ,e
31= [] v e
11,e ,v
22,e ,e
31−1
=
−2 −3 1
1 0 0
0 1 0
−1
=
0 1 0 0 0 1 1 2 3
. Quindi
[G] e E
1,e
2,e
311
,E
12,E
21,E
22=
−2 −3 1 0 −3 1 0 −3 0
0 1 1
·
0 1 0 0 0 1 1 2 3
=
1 0 0
1 2 0
0 0 −3
1 2 4
.
10
Esercizio 3. a) Per capire di che tipo di isometria lineare si tratta calcoliamo l’insieme dei punti fissati fa F ovvero risolviamo il sistema A · x = x. Otteniamo il sistema B · x = 0 associato alla matrice
B = A − I = 1 7
−13 3 −2
2 −1 3
3 2 −13
Se sommo alla prima riga 5 volte la seconda riga ottengo l’opposto della prima riga, quindi la terza equazione si ottiene dalle prime due. Quindi il sistema ` e equivalente al sistema
( −13x 1 + 3x 2 − 2x 3 = 0 2x 1 − x 2 + 3x 3 = 0 .
Ricavo x 2 dalla seconda equazione e sostituisco nella prima equazione trovando x 1 = x 3 e x 2 = 5x 3 . In particolare l’insieme dei punti fissi ` e la retta r generata da (1, 5, 1). Quindi l’isometria ` e una rotazione di asse r. NOTA BENE: il sistema lineare si puo‘ risolvere in moltissimi modi diversi e vanno tutti bene. Quello che non va bene e‘ scrivere la soluzione senza giustificazioni.
b) Essendo che la parte lineare di F b ` e una rotazione, F b ` e una rotazione se e solo se ha almeno un punto fisso ovvero se e solo se l’equazione F b (v) = v ha soluzione. Equivalentemente se ha soluzione l’equazione
(−F )(v) = b
che ` e come dire che b ∈ Im(−F ). Essendo F una rotazione diversa dall’identit` a l’immagine di −F ` e il piano ortogonale all’asse di rotazione r. Quindi F b ha un punto fisso se e solo se b appartiene al piano ortogonale a r passante per l’origine ovvero, visto che (1, 5, 1) genera r, al piano di equazione x 1 + 5 x 2 + x 3 = 0.
c) La rotazione F sar` a la composizione di due riflessioni che contengono la retta r la prima di queste due riflessioni si pu` o scegliere a piacere. Sia π il piano x 1 − x 3 = 0. Se u ` e il vettore (1, 0, −1), la riflessione R rispetto al piano π si pu` o escrivere mediante l’equazione
R(v) = v − 2 u · v kuk 2 u.
Ed ` e quindi uguale a R(x, y, z) = (z, y, x). Si noti infine che la composizione S = RF ` e una isometria di determinante −1 che lascia la retta r fissa e quindi ` e sicuramente una riflessione.
Infine osservando che R 2 = ricaviamo
F = RS.
Esercizio 4. a) Calcoliamo la matrice associata a g rispetto alla base standard. Le entrate della matrice sono i prodotti g(t i , t j ) per i, j = 0, 1, 2, otteniamo quindi
[g] 1,t,t
2=
2 3 5 3 5 6 5 6 8
.
Se calcoliamo i determinanti delle sottomatrici matrici 1 × 1, 2 × 2 in alto a sinistra e di tutta la matrice otteniamo
2, 1, −9.
Quindi la segnatura ` e (2, 1, 0).
b) In una qualche base f 1 , f 2 , f 3 il prodotto scalare si scriver` a nella forma [g] f
1,f
2,f
3=
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
In particolare la retta generata da f 1 − f 3 ` e isotropa. Se vogliamo essere pi` u espliciti (l’esercizio non lo chiedeva) per esempio la retta generata dal polinomio t 2 − 1 ` e isotropa.
c) Non esiste un piano isotropo. Infatti supponiamo sia W un piano allora W ⊥ ha dimensione 1 e quindi non pu` o essere che g(u, v) = 0 per ogni u, v ∈ W .
11
Soluzioni del compito di geometria del 29 gennaio 2018
Esercizio 1. a) Sia V un R-spazio vettoriale. Un prodotto scalare su V `e una mappa g : V × V −→ R che gode delle seguenti propriet`a:
• g(u, v) = g(v, u) per ogni u, v ∈ V ;
• g(u + v, w) = g(u, w) + g(v, w) per ogni u, v, w ∈ V ;
• g(λ u, v) = λ g(u, v) per ogni λ ∈ R e per ogni u, v ∈ V .
b) Si esiste. Infatti esiste una base ortogonale u 1 , u 2 , u 3 tale che g(u 1 , u 1 ) = 1 e g(u 2 , u 2 ) = g(u 3 , u 3 ) = −1. Allora g ristretta alla retta generata da v = u 1 + u 2 ` e nulla.
c) Si esiste. Infatti esiste una base ortogonale u 1 , u 2 , u 3 tale che g(u 1 , u 1 ) = 1 e g(u 2 , u 2 ) = −1 e g(u 3 , u 3 ) = 0. Allora g ristretta al piano generato da v = u 1 + u 2 e da u 3 ` e nulla.
Esercizio 2. a) Se A ` e diagonale, ovvero se b = c = 0 otteniamo che
[C A ] E E
11,E
12,E
21,E
2211
,E
12,E
21,E
22=
0 0 0 0
0 a − d 0 0
0 0 d − a 0
0 0 0 0
e quindi ` e diagonalizzabile. Se A ` e diagonalizzabile allora esiste G invertibile e D diagonale tale che A = G · D · G −1 . Osserviamo che
C A (X) = GDG −1 X − XGDG −1 = G · (DG −1 XG − G −1 XGD) · G −1
Consideriamo quindi la trasformazione T G (X) = GXG −1 e osserviamo che T G −1 (X) = G −1 XG.
Dalla formula precedente ricaviamo
C A = T G ◦ C D ◦ T G −1
In particolare C A e C D sono simili e essendo C D diagonalizzabile lo ` e anche C A .
In particolare se il polinomio caratteristico di A ` e uguale a t 2 − 1 allora A ` e diagonalizzabile con autovalori 1, −1 quindi C A ` e diagonalizzabile con autovalori 2, −2 con molteplicit` a 1 e 0 con molteplicit` a 2. [Si poteva anche in modi diversi da questo calcolando che il polinomio caratteristico ` e t 2 (t 2 − 1).]
b) Se scriviamo la matrice associata a C A rispetto alla base standard di E otteniamo:
[C A ] E E
11,E
12,E
21,E
2211
,E
12,E
21,E
22=
0 1 1 0
−1 2 0 1
−1 0 −2 1
0 −1 −1 0
.
Il rango di questa matrice ` e due e il polinomio caratteristico ` e t 4 , quindi l’unico autovalore ` e zero e la forma di Jordan avr` a due blocchi: di dimensione 1 e 3 o di dimensione 2 e 2. Per discrimanare il caso nel quale ci troviamo calcoliamo il rango di C A 2 che nel primo caso sarebbe 1 e nel secondo 0.
[C A 2 ] E E
11,E
12,E
21,E
2211
,E
12,E
21,E
22=
−2 2 −2 2
−2 2 −2 2
2 −2 2 −2
2 −2 2 −2
dal quale deduciamo che il rango di C A 2 ` e uno. Quindi la forma di Jordan sar` a del tipo
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
12
Esercizio 3. a) a) Sia u il vettore (1, 3, −1). Allora P U (v) = v − hu, vi
kuk 2 u.
Quindi la matrice associata a P U rispetto alla base standard ` e A = 1
11
10 −3 1
−3 2 3
1 3 10
b) Sia r la retta per v ortogonale a W e sia v 0 l’intersezione di questa retta con W , ovvero la proiezione ortogonale di v su W . Allora
Sia v 0 ` e il punto di W pi` u vicino a v. Infatti se u ` e un altro punto di W allora per il teorema di Pitagora
kv − uk = pkv − v 0 k 2 + kv 0 − uk 2 > kv − v 0 k e l’uguaglianza vale solo per u = v 0 .
Quindi se u 0 ` e un qualsiasi punto di W , per esempio u 0 = (1, 0, 0) allora v 0 −u 0 ` e la proiezione ortogonale di v − u 0 su W − u 0 = U . Quindi v 0 − u 0 = P U (v − u 0 ) ovvero
v 0 = P U (v − u 0 ) + u 0 = A · x − 1 y z + 1 0 0 .
Esercizio 4. a) La matrice associata a g a rispetto alla base standard ` e la matrice
1 0 a 0
0 3 0 0
a 0 a 1
0 0 1 16/3
e i determinanti delle sottomatrici quadrate, 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3 e di tutta la matrice sono uguali a
1, 3, 3(a − a 2 ), −16(a 2 − a + 3/16).
Il prodotto scalare ` e definito positivo se tutti questi determinanti sono positivi, ovvero se 1/4 <
a < 3/4.
b) Una base del sottospazio in questione ` e data dai vettori u = (1, −1, 0) e (0, −1, 1) e la matrice associata alla restrizione di g a a W rispetto a questa base ` e la matrice
4 3 + a 3 + a 3 + a
che per a = 1 o a = −3 ` e degenere.
Soluzioni del compito del 14 febbraio 2018
Esercizio 1. a) Sia F : V −→ W una applicazione lineare, allora N (F ) = {v ∈ V : F (v) = 0}.
b) Siano u, v ∈ V tali che F (u) = F (v) allora per linearit` a F (u − v) = 0 e poich´ e per ipotesi N (F ) = 0 di deve avere u − v = 0 ovvero u = v.
c) Se T ` e iniettiva allora dim Im(T ) = 3. Da ST = 0 ricaviamo che N (S) ⊃ Im(T ). Quindi dim N (S) > 3. Quindi per il teorema della dimensione dim ImS = 4 − dim N (S) 6 1. Quindi non ` e possibile che la dimensione dell’immagine di S sia 2.
Esercizio 2. a) La matrice A ha polinomio caratteristico t 2 − t − 2 = (t − 2)(t + 1). u = (1, 1)
`
e un autovettore di autovalore −1 e v = (3, 2) ` e un autovettore di autovalore 2. Quindi B = [L A ] u,v u,v = −1 0
0 2
C = [] u,v e
1,e
2= 1 3 1 2
C −1 = [] e u,v
1,e
2= −2 3 1 −1
e A = CBC −1 da cui
A 101 = C · B 101 · C −1 = 1 3 1 2
(−1) 101 0 0 2 101
−2 3 1 −1
= 2 + 3 · 2 101 −3 − 3 · 2 101 2 + 2 102 −3 − 2 102
.
13
Esercizio 3. a) Osserviamo che le equazioni che definiscono la retta s sono equivalenti a x = −1 e y + z = 1. Sia s 0 la retta passante per l’origine parallela a s. Quindi s 0 ` e la retta definita dalle equazioni x = y + z = 0. Quindi se u 1 = (1, 1, 0), v 0 = (−1, 1, 0) e v 1 = (0, 1, −1) allora
s = Rv 1 + v 0 e s 0 = Rv 1 e r = Ru 1
Consideriamo una trasformazione ortogonale che porta u 1 in v 1 . Per esempio le trasformazioni ortogonali associate alle matrici
A =
0 0 1
0 1 0
−1 0 0
B =
0 0 −1
0 1 0
−1 0 0
La prima ha determinante 1 ed ` e quindi una rotazione e la seconda ha determinante −1 e fissa almeno una retta e quindi ` e una riflessione. Quindi se w ∈ s (per esempio w = v 0 ) allora tutte le trasformazioni della forma
f (v) = A · v + w o f (v) = B · v + w portano r in s.
b) Consideriamo una trasformazione della forma f (v) = A · v + w con w ∈ s allora f ha un punto fisso se e solo se l’equazione
(A − I) · v = w
ha soluzione. Se v = (x, y, z) e w = v 0 + t v 1 otteniamo il sistema
−x + z = −1 0 = 1 + t
−x − z = −t
quindi per t = −1 ha un punto fisso e per t 6= −1 non ha punti fissi.
c) Una tale riflessione non esiste. Infatti sia π un piano e R la riflessione associata e suppo- niamo che R(r) = s. Allora se fosse π ∩ r 6= ∅ allora r ∩ π sarebbe contenuto in s e quindi r e s si intersecherebbero. Ma r e s non si intersecano. Se invece r ∩ π = ∅ allora r e π sono paralleli e quindi R(r) ` e parallelo ad r. Ma r ed s non sono paralleli e quindi una tale trasformazione non esiste.
Esercizio 4. La matrice associata a g a rispetto alla base standard ` e
1 0 a − 1
0 a − 1 0
a − 1 0 a
a) per a = 0 otteniamo che i tre determinanti delle sottomatrici 1 × 1 e 2 × 2 in alto a sinistra e di tutta la matrice sono uguali a 1, −1, 1. Quindi la segnatura ` e (1, 2, 0). In una questo caso esiste sempre una base di vettori isotropi, per esempio nel nostro caso e 3 , e 1 + e 2 e 1 + e 3 /2 ` e una base fatta di vettori isotropi.
b) per a = 1 la matrice associata ha gi` a forma diagonale e possiamo subito calcolare la segnatura che risulta uguale a (2, 0, 1). In questo caso c’` e una unica retta di vettori isotropi che nel nostro caso ` e la retta Re 2 . Quindi non esiste una base di vettori isotropi.
c) non esiste infatti conserverebbe il prodotto scalare ma g 2 (e 1 , e 1 ) = 1 mentre g 2 (e 3 , e 3 ) = 2.
Soluzioni del compitino del 26 febbraio 2018, prima parte versione AAA Domanda 1. 1/2.
Domanda 2. 5.
Domanda 3. 5/2.
Domanda 4. 3x + 2y + z = 0.
Domanda 5. dim U = 1.
14
Soluzioni del compitino del 26 febbraio 2018, seconda parte
Esercizio 1. a) n vettori v 1 , . . . , v n si dicono linearmente indipendenti se una loro combinazione lineare nulla ha tutti i coefficienti nulli. Ovvero se a 1 v 1 + · · · + a n v n = 0 implica a 1 = a 2 =
· · · = a n = 0.
b) Prendiamo V = R 2 e u = e 1 , v = e 2 , w = e 1 + e 2 .
c) Poich´ e u, v, w sono linearmente dipendenti esistono dei numeri a, b, c non tutti nulli tali che au + bv + cw = 0. Se fosse c = 0 ricaveremmo au + bv = 0 e poich´ e u e v sono linearmente indipendenti dedurremmo a = b = 0 contro l’ipotesi che a, b, c non sono tutti e tre nulli. Quindi possiamo assumere c 6= 0. Possiamo quindi dividere per c e ricavare
w = − a c u − b
c v.
Quindi w ∈ hu, vi.
Esercizio 2. a) U ` e generato da due vettori linearmente indipendenti quindi ha dimensione 2.
Se riduciamo la terza equazione sparisce perch´ e ` e tre volte la prima pi` u due volte la seconda.
Quindi V ` e definito dalle equazioni:
( x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 2 + 4 x 3 − x 4 = 0
che ` e gi` a a scalini, quindi ha due variabili libere e due variabili dipendenti, in particolare le soluzioni del sistema hanno dimensione 2. Quindi anche V ha dimensione 2.
b) Dalla formula di Grassmann abbiamo che
dim(U + V ) + dim(U ∩ V ) = dim U + dim V = 4
quindi basta calcolare la dimensione della somma o dell’intersezione. In questo caso si poteva equivalentemente calcolare la somma o l’intersezione. Calcoliamo l’intersezione. L’intersezione
`
e fatta dei vettori
x 1 x 2
x 3 x 4
= a
1 2 3 4
+ b
4 3 2 1
Che risolvono il sistema che definisce V . Sostituendo troviao che le equazioni che definiscono V si riducono entrambe a a + b = 0. Quindi l’intersezione ` e fatta dei vettori in cui a = −b ovvero dei vettori della forma
a
1 2 3 4
−
4 3 2 1
= a
−3
−1 1 3
In particolare ha dimensione 1. Quindi dim(U ∩ V ) = 1 e dim(U + V ) = 3.
Esercizio 3. a) f 1 = t − 1 e f 2 = t 2 − 1 ` e una base di W e D(f 1 ) = 1, D(f 2 ) = 2t quindi [D] f 1,t,t
1,f
22=
1 0 0 2 0 0
.
b) Per studiare la diagonalizzabilit` a di F a scriviamo la matrice associata a F a scegliendo una stessa base in partenza e in arrivo. Vista la definizione di F a ci conviene scegliere la base f 1 , f 2 , 1.
Abbiamo F a (f 1 ) = 1, F a (f 2 ) = 2t = 2f 1 + 2 e F a (1) = af 1 . Quindi [F a ] f f
1,f
2,1
1
