Esercizi di Algebra Lineare e Geometria

Esercizi di Algebra Lineare e Geometria

Prof. Ernesto Dedò

Dipartimento di Matematica Politecnico di Milano ernesto.dedo@polimi.it

II edizione,

28 febbraio 2013

Queste dispense sono state composte con L^ATEX.

Sono coperte da licenza Creative Com- mons http://creativecommons.org/

licenses/by-nc/3.0/legalcode in particolare non ne è permesso l’uso commerciale

Indice

Prefazione ix

I. Introduzione 1

1. Introduzione 3

1.1. Esercizi di ripasso . . . 3

1.2. Sistemi . . . 8

1.3. Calcolo combinatorio . . . 11

II. Algebra lineare 13

2.2. Operazioni sulle matrici . . . 15

2.3. Matrici a blocchi ed equivalenza di matrici . . . 19

2.4. Quesiti . . . 21

3. Spazi vettoriali 23 3.1. Sottospazi e basi . . . 23

3.2. Quesiti . . . 32

4. Determinante e rango di una matrice. Matrice inversa 35 4.1. Determinante e rango . . . 35

4.2. Matrice inversa . . . 41

4.3. Quesiti . . . 42

5. Teoria dei sistemi 45 5.1. Quesiti . . . 53

5.1.1. Vero o Falso . . . 53

5.1.2. A risposta multipla . . . 54

ii Indice

6. Applicazioni lineari, prodotti scalari 57

6.1. Applicazioni lineari e matrice rappresentativa . . . 57

6.2. Prodotti scalari . . . 64

6.3. Basi ortonormali . . . 66

6.4. Quesiti . . . 68

6.4.1. Vero o Falso . . . 68

6.4.2. A risposta multipla . . . 69

7. Autovalori ed autovettori 71 7.1. Quesiti . . . 79

7.1.1. Vero o Falso . . . 79

7.1.2. A risposta multipla . . . 81

8. Diagonalizzazione, matrici ortogonali 83 8.1. Quesiti . . . 92

8.1.1. Vero o Falso . . . 92

8.1.2. A risposta multipla . . . 94

9. Teorema di Cayley–Hamilton. Polinomio minimo 95 9.1. Quesiti . . . 98

9.1.1. Vero o Falso . . . 98

9.1.2. A risposta multipla . . . 99

III. Geometria piana 101

10.2. La retta, esercizi introduttivi . . . 104

10.3. Esercizi vari sulla retta . . . 109

11. La circonferenza nel piano 113 12. Le coniche 121 12.1. Quesiti . . . 126

13. Fasci di coniche 129 13.0.1. Quesiti . . . 135

14. Luoghi geometrici 137

15. Proiettività ed involuzioni 145

Indice iii

16. Polarità piana 151

17. Centro 159

17.1. centro . . . 159

17.2. Triangoli autopolari . . . 165

IV. Geometria dello spazio 169

19.2. Esercizi vari . . . 181

19.3. Quesiti . . . 185

19.4. Vero o Falso . . . 185

19.5. A risposta multipla . . . 185

20. Sfera e circonferenza nello spazio 187 20.1. Sfera . . . 187

20.2. Circonferenza nello spazio . . . 190

20.3. Quesiti . . . 193

21. Cilindri, coni e proiezioni 195 21.1. Cilindro e cono . . . 195

21.2. Proiezioni . . . 200

21.3. Quesiti . . . 203

22. Superfici rigate e di rotazione 205 22.1. Quesiti . . . 210

23. Quadriche 213 24. Luoghi nello spazio 219 25. Esercizi di ricapitolazione 223 25.1. Esercizi . . . 223

25.2. Quesiti . . . 228

Elenco delle figure

1.1. Esercizio 1.39 . . . 7

10.1. Esercizio 10.3 . . . 103

11.1. I triangoli simili dell’Esercizio 11.5 . . . 115

11.2. Esercizio 11.9 . . . 116

12.1. . . 121

12.2. . . 122

12.3. . . 123

12.4. . . 124

13.1. . . 132

13.2. . . 133

13.3. . . 134

14.1. . . 137

14.2. . . 138

14.3. . . 139

14.4. . . 140

14.5. . . 141

14.6. . . 143

14.7. . . 144

15.1. . . 148

16.1. . . 153

16.2. . . 155

17.1. . . 160

17.2. . . 162

17.3. . . 166

17.4. . . 167

18.1. . . 171

vi Elenco delle figure

19.1. Distanza di due rette sghembe . . . 183

20.1. Circonferenza nello spazio . . . 191

21.1. Proiezione sul piano xy . . . 197

22.1. . . 209

22.2. . . 210

Elenco delle tabelle

1. Lettere greche . . . xii 2. Simboli usati nell’eserciziario . . . xiii

Prefazione

If you can’t solve a problem, you can always look up the answer. But please, try first to solve it by yourself; then you’ll learn more and you’ll learn faster.¹

Donald E. Knuth² The TEXbook (1983) Questa raccolta di esercizi è soprattutto rivolta agli studenti del corso di Geometria ed algebra lineare. Le notazioni sono quelle presenti nelle dispense del corso.

Di molti esercizi è dato un esempio di risoluzione, a volte in più modi, che è bene confrontare tra loro. Di qualcuno è dato solo un suggerimento per la risoluzione, di quasi tutti il risultato finale.

Gli esercizi contrassegnati con un ^∗ presentano maggiori difficoltà oppure contengono spunti particolari o costituiscono veri e propri complementi, per esempio sono contrassegnati tutti quelli svolti in più di un modo.

In ogni capitolo, dopo i primi esercizi introduttivi, vi sono esercizi di difficoltà paragonabile a quella dei temi d’esame, molti addirittura sono stati proposti come temi d’esame negli anni passati.

In alcuni capitoli sono anche presenti questiti a risposta chiusa.

L’ultimo capitolo contiene una raccolta di esercizi vari, in ordine sparso, tratti spesso da temi d’esame, che dovrebbero servire a misurare la preparazione dell’allievo. Di questi esercizi o quesiti non è data nè la risposta nè una traccia di soluzione, in modo che l’allievo possa allenarsi a verificare i risultati ottenuti.

Consigli per la risoluzione degli esercizi

Come si risolve un esercizio di Matematica? Ecco una domanda che mi è stata rivolta centinaia di volte. Questa domanda ha una sola risposta Non esiste un

2Se non sai risolvere un problema, puoi sempre andare a vedere la risposta. Ma per favore, tenta prima di risolverlo da solo: imparerai di più e più alla svelta.

2Matematico ed informatico americano nato nel 1938, autore, tra l’altro di The TEXbook.

3Da leggere con attenzione e non saltare a pie’ pari

x Prefazione

metodo, una ricetta, una regola generale per risolvere un esercizio di Matematica.

Quasi ogni quesito, esercizio, problema può essere affrontato da vari punti di vista e svolto, di conseguenza, in molti modi, anche significativamente diversi.

Tuttavia qualche consiglio di carattere generale si può sempre dare.

Per imparare a risolvere un esercizio di Matematica, soprattutto un problema di tipo nuovo, mai visto, occorre abituarsi prima ancora di procedere materialmente alla risoluzione a:

1. leggere attentamente l’enunciato dell’esercizio, se necessario anche più volte: molto spesso si possono evitare gravi ma banali errori se si legge e si medita sulla formulazione dell’esercizio;

2. cercare di cogliere a quali argomenti della teoria l’esercizio si riferisce e, per ciascuno di essi, identificare le condizioni necessarie e sufficienti a risolvere l’esercizio;

3. richiamare le nozioni che servono allo svolgimento dell’esercizio da quanto si è imparato, oppure andando sui libri a ripassarle

e dopo, ma solo dopo questo lavoro impostare la risoluzione.

Spesso molti studenti, soprattutto i migliori, si rendono conto che uno stesso esercizio si può risolvere in più modi e chiedono quale si deve usare. Io credo che la cosa migliore sia di usare quello con cui ci si sente più a proprio agio. Per poter fare ciò occorre quindi provare a risolvere gli esercizi in più modi, alcuni dei quali saranno più lunghi, altri più rapidi, altri più eleganti (non sempre gli ultimi due coincidono).

Siccome in Matematica è fin troppo facile sbagliare e l’errore è sempre in ag- guato, è importantissimo abituarsi fin dal principio a verificare i risultati ottenuti: è sempre necessaria (ed in molti casi sufficiente) una verifica “a buon senso” della ragionevolezza dei risultati ottenuti: per esempio se si chiede “. . . l’equazione dell’ellisse che. . . ” e si ottiene l’equazione di una parabola, significa, ovviamente, che c’è qualcosa di sbagliato⁴. In tal caso si può verificare passaggio per passag- gio tutta la risoluzione dell’esercizio alla ricerca dell’errore, ma spesso è più utile rifare l’esercizio in un modo diverso perché, verificando passaggio per passaggio, è facile rifare lo stesso errore nello stesso punto. Altre volte si possono usare i risultati ottenuti per un controllo, ad esempio se si deve risolvere un sistema arrivati alla soluzione si può controllare sostituendo i valori trovati nel sistema dato⁵.

4L’esempio scelto è volutamente provocatorio, ma non è assurdo: capita spesso di trovare errori analoghi nella correzione dei temi di esami, errori che con un minimo di attenzione si possono evitare.

5ATTENZIONE è ovviamente inutile sostituire in un sistema ottenuto con alcuni passaggi da quello dato.

xi

In ogni caso la cosa più importante è quella di abituarsi sempre a fare una, almeno sommaria, verifica.

Sarò grato a chi mi segnalerà eventuali errori od omissioni.

La tabella 1 a pagina xii fornisce un elenco di tutte le lettere greche, maiuscole e minuscole, con il loro nome in italiano; mentre la tabella 2 a pagina xiii elenca i simboli maggiormente usati nel testo

xii Prefazione

Tabella 1.: Lettere greche Lettere greche minuscole maiuscole nome

α A alfa

β B beta

γ Γ gamma

δ ∆ delta

eo ε E epsilon

ζ Z zeta

η H eta

θo ϑ Θ theta

ι I iota

κ K kappa

λ Λ lambda

µ M mi

ν N ni

ξ Ξ csi

o O omicron

π Π pi

ρo $ R ro

σo ς Σ sigma

τ T tau

υ Υ ipsilon

φo ϕ Φ fi

χ X chi

ψ Ψ psi

ω Ω omega

xiii

Tabella 2.: Simboli usati nell’eserciziario N insieme dei numeri naturali Z insieme dei numeri interi Q insieme dei numeri razionali R insieme dei numeri reali C insieme dei numeri complessi

∀ _{per ogni}

∃ esiste

∃! esiste un unico

∈ appartiene ad un insieme

∪ unione di insiemi

∩ intersezione di insiemi

∑ somma

∏ prodotto

⊥ perpendicolare

h·,·i prodotto scalare

∞ infinito

℘ insieme delle parti

< minore

> maggiore

≤ minore o uguale

≥ maggiore o uguale

⊂ sottoinsieme proprio

⊆ sottoinsieme

⊕ somma diretta di insiemi

Ø insieme vuoto

< ~v1, . . . ,~vn > spazio vettoriale generato dai vettori~v1, . . . ,~vn

Pn(x) Insieme dei polinomi di grado n nella variabile x Mn Insieme delle matrici quadrate di ordine n

Mm,n Insieme delle matrici di tipo m×n

Parte I.

Introduzione

1. Introduzione

1.1. Esercizi di ripasso

Questi esercizi introduttivi costituiscono un utile ripasso di argomenti fondamentali appartenenti al programma della Scuola Superiore: alcuni sono praticamente imme- diati, altri necessitano di qualche riflessione, comunque vanno svolti tutti con molta cura, soprattutto nell’intento di utilizzarli come un “test” della propria preparazione.

Volutamente non sono nè in ordine di difficoltà nè in ordine di argomento.

1.1 Enunciare un teorema vero il cui inverso sia falso.

1.2 Si considerino nel piano 8 rette delle quali 4 parallele tra loro; quanti sono, al massimo, i loro punti di intersezione?

1.3 Dire quali delle seguenti terne di numeri possono rappresentare le lunghez- ze dei lati di un triangolo non degenere:

a 3; 4; 5 b 2; 8; 8 c 1; 5; 7 d 2; 10; 12 e 3; 10; 15

1.4 Perché la retta r sia perpendicolare al piano α, a quante rette di α occorre e basta che sia perpendicolare? Tali rette possono essere in posizione generica o devono sottostare a qualche vincolo?

1.5 Per quanti valori del parametro a le equazioni

x³+ax+2=0 e x³+x+2a =0 hanno almeno una radice in comune?

1.6 Enunciare un teorema falso il cui inverso sia vero.

1.7 Un quadrato di lato 20cm ha un vertice nel centro di un altro quadrato di lato 10cm; calcolare l’area della regione comune.

1.8 Enunciare un inverso del Teorema di Pitagora.

1.9 Quale delle seguenti proposizioni è la negazione della proposizione ”Ogni numero è pari”:

a Tutti i numeri sono dispari b esiste un numero dispari c esiste un numero multiplo di 3

4 Introduzione

1.10 Si considerino nello spazio un piano α ed un punto P tale che P 6∈ _{α. Per} ciascuno dei seguenti quesiti scegliere una tra le risposte: nessuno, uno ed uno solo, infiniti.

i) Quante sono le rette passanti per P e parallele ad α?

ii) Quante sono le rette passanti per P e perpendicolari ad α?

iii) Quanti sono i piani passanti per P e paralleli ad α?

iv) Quanti sono i piani passanti per P e perpendicolari ad α?

1.11 Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono false e, per ciascuna, dire quale delle rimanenti ne costituisce la negazione:

a Ogni quadrato è un parallelogrammo b Ogni parallelogrammo è un quadrato c Esiste un quadrato che è un parallelogrammo d Esiste un parallelogrammo che è un quadrato e Nessun quadrato è un parallelogrammo f Nessun parallelogrammo è un quadrato g Esiste un parallelogrammo che non è un quadrato h Esiste un quadrato che non è un parallelogrammo

1.12 L’espressione 2^−x

2+2^x2 +2^−3x

è equivalente a:

a 2^−x+2^−x3+2^3x2 b 2^−x+1+2^−x+x2+2^−4x c 2^1x +2^x+2⁻³ d 4^−x+4^−x3+ 4^3x2

1.13 Se a e b sono numeri reali positivi tali che a^b =b^a e b=9a, il valore di a è:

a 9 b ¹₉ c √⁹

9 d √³

9 e √⁴ 3

1.14 Siano a e b due numeri interi positivi tali che il loro prodotto sia multiplo di 10. Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera?

a a e b sono entrambi multipli di 10 b a è multiplo di 10 oppure b è multiplo di 10 c a è un numero pari oppure b è un numero pari d a è pari e b è multiplo di 5 e a e b sono entrambi pari

.

1.15 Sia ABC un triangolo rettangolo di ipotenusa AC; siano C1e C2i semicerchi aventi per diametri i cateti e sia C₃quello avente per diametro AC. Quale delle seguenti affermazioni è sempre vera?

a L’area di C₃è minore della somma delle aree di C₁e C₂ b L’area di C₃è uguale alla somma delle aree di C₁e C₂ c L’area di C₃è maggiore della somma delle aree di C₁e C₂

1.16 Sia x un numero reale; indichiamo con bxc il più grande intero relativo minore o uguale a x. Quale delle seguenti affermazioni è vera qualunque siano i numeri reali x e y?

a bxc = −bxc b bx²c = bxc² c b2xc =2· bxc d bx+1c = bxc +1 e se x<y; allorabxc < byc

1.1 Esercizi di ripasso 5

1.17 Si considerino i numeri interi multipli di 6.

a quelli compresi tra 1 e 100 sono meno di quelli compresi tra 12001 e 12100 b quelli compresi tra 1 e 100 sono tanti quanti quelli compresi tra 12001 e 12100 c quelli compresi tra 1 e 100 sono più di quelli compresi tra 12001 e 12100 d quelli compresi tra 1 e 100 sono la metà di quelli compresi tra 12001 e 12100 e quelli compresi tra 1 e 100 sono il doppio di quelli compresi tra 12001 e 12100

1.18 Siano m, n e p tre numeri interi positivi; se m>n > p si può dedurre che:

a m−p ≥ 2 b p−m > 2 c m > 1 e n> 1 e p > 1 d m−n > n−p e m+p>4

1.19 Siano x ed y due numeri reali; se x>y si può dedurre che:

a 2x>y b x>2y c x+y>0 d y−x<0 e x>y+1

1.20 Quante terne ordinate di numeri reali non nulli hanno la proprietà che ciascuno di essi è il prodotto degli altri due?

a 1 b 2 c 3 d 4 e 5

1.21 Siano S la somma dei numeri interi da 1 a 100 eΣ la somma degli interi pari da 2 a 200. Allora:

a S>_Σ b Σ=2¹⁰⁰S c S=_2Σ d Σ=2S e S=_Σ 1.22 Affinché un poligono di n lati sia regolare. . .

a è necessario che sia circoscrivibile ad una circonferenza b è sufficiente che sia circoscrivibile ad una circonferenza c è necessario e sufficiente che sia circoscrivibile ad una circonferenza d non è nè necessario nè sufficiente che sia circoscrivibile ad una circonferenza

1.23 Un trapezio ABCD circoscritto ad una circonferenza di raggio 5cm ha l’area di 150cm². Allora la somma dei lati obliqui AD e BC è:

a 30cm solo se il trapezio è rettangolo b sempre 30cm c 30cm solo se il trapezio è isoscele d è sempre diversa da 30cm

1.24 Si considerino le seguenti affermazioni riguardanti due numeri reali a e b α) Se ab =0 allora a=0 e b =0

β) Se ab =0 allora o a=0 oppure b=0 γ) Se ab =1 allora o a=1 oppure b=1

δ) Se ab =1 allora a=1 e b =1 Dire quali sono vere:

a Solo la β b sia la α che la β c solo la γ d sia la γ che la δ e sia la α che la δ

1.25 Un esagono regolare ha lo stesso perimetro di un triangolo equilatero; qual è il rapporto tra l’area dell’esagono e quella del triangolo?

a 1 b ⁴₃ c ³₂ d √

3 e 2

6 Introduzione

1.26 Siano a, b e c tre numeri interi con massimo comun divisore uguale a 1.

Allora:

a due di essi sono primi fra loro b il prodotto dei tre numeri è il loro minimo comune multiplo c fra i tre numeri non ce ne sono due pari d almeno uno dei tre numeri è multiplo di 3 e nessuna delle precedenti risposte è vera

1.27 P è un punto interno al triangolo acutangolo ABC tale che i tre triangoli APB, APC e BPC hanno la stessa area. Questo accade sicuramente se P coincide con:

a il baricentro b l’ortocentro c l’incentro d il circocentro e nessuna delle precedenti risposte è vera

1.28 Siano m ed n due numeri interi positivi qualsiasi, e p e q così definiti:

p= MCD(m, n)_{e q}= MCD(_{2m, 4n}); quale delle seguenti affermazioni è vera?

a È sempre p= _q b È sempre q=_2p c È sempre q=_4p d se m è dispari e allora è q=_2p

1.29 Risolvere l’equazione x

√x =√ x^x. 1.30 Determinare k in modo che l’equazione

3kx²+ (2k+9)x+k−1=0

ammetta come soluzioni due numeri che siano la tangente e la cotangente di uno stesso angolo.

1.31 Costruire una circonferenza passante per due punti A e B e tangente ad una retta non passante per alcun punto interno al segmento AB.

1.32 Risolvere l’equazione x^x = √ x
x+2

.

1.33 Costruire un triangolo ABC conoscendo il lato AB e le due altezze h_BHe hCK.

1.34 Le lunghezze delle diagonali d₁e d₂e di un lato a di un parallelogrammo ABCD sono espressi rispettivamente dalle formule: d1 =4uv, d2=2(u²− v²)ed a =u²+v². Dimostrare che ABCD è un rombo.

1.35 Dimostrare che ogni numero naturale dispari è la somma di due naturali consecutivi.

1.36 Dimostrare che se si aumenta di 1 il prodotto di quattro numeri naturali consecutivi si ottiene un quadrato.

1.1 Esercizi di ripasso 7

1.37 Se in un triangolo denotiamo i lati con a, b e c e gli angoli ad essi relativa- mente opposti con α, β, γ, verificare che vale l’identità:

a(sin β−sin γ) +b(sin γ−sin α) +c(sin α−sin β) = 0

1.38 Se aggiungiamo 1 al numeratore ed al denominatore di una frazione positi- va minore di 1 otteniamo

a Una frazione equivalente alla precedente b Una frazione minore della precedente c Una frazione maggiore della precedente d Non si può dire in generale

Figura 1.1.: Esercizio 1.39

1.39 Dato il quadrato Q≡ ABCD si consideri il quadrato che ha come lato una diagonale di Q (v. figura 1.1). Qual è il rapporto delle aree?

1.40 Esistono due triangoli non congruenti aventi due lati ed un angolo rispetti- vamente congruenti? Se no dimostrarlo, se si esibire un esempio.

1.41 Se h e k sono due numeri interi positivi legati dalla relazione 3k=_{2h, allora} possiamo affermare che:

a La loro somma è un multiplo di 5 b La loro somma è un numero dispari c Il loro prodotto è pari e non è mai multiplo di 4 d Uno dei due è dispari e Nessuno dei precedenti asserti è necessariamente verificato

1.42 Mostrare che l’equazione

√5

x+√

x=√³ x non ammette soluzioni positive.

8 Introduzione

1.43 Se x e y sono due numeri reali che assumono tutti i valori nell’intervallo (−2, 3) escluso lo zero, dire quali sono i valori massimi e minimi che possono assumere le espressioni x+y, x−_{y, x}·_y, ^x

y.

1.44 Senza usare strumenti di calcolo automatico, confrontare i numeri √³

√ 81 e 27.

1.45 Discutere e risolvere l’equazione x

1−a² − ^x

a−1+ ^x

a+1 =1.

1.46 Sapendo che è log₁₀7=0.845 . . . determinare il numero delle cifre di 7¹⁰⁰ 1.47 Quanti sono gli assi di simmetria di un triangolo equilatero?

1.2. Sistemi

In questo paragrafo vengono proposti alcuni sistemi da risolvere con metodi elementari, cioè quelli imparati nelle Scuole Superiori. È importante provare a risolverli con metodi diversi e verificare sempre i risultati trovati.

1.48

( x =7 3x+5y=1

(x+y=5 x−y=9

[ x=7, y= −4; x=7, y= −2]

1.49 (

x+y =0 x−y =4

( x−y=1 x+2y=3

[ x=2, y= −2; x= ⁵ 3, y= ²

3]

1.50 (

4y−x =y−4x x+y−1=1−x−y

[ non ha soluzioni]

1.2 Sistemi 9

1.51 





x+y(x+1) = (x−1)(y−1) 3x+2y = ¹

3

[



−² 3,7

6

 ]

1.52 



 x+y

11 +^y+₁ 6 =2

x

2 = ^2y−1 3

[[6, 5]]

1.53 





1 2x+²

3y−4=4x−³ 2y+1

(x−1)²+ (y+1)² = (x+1)²+ (y−1)²

[



−¹⁵ 4 ;−¹⁵

4

 ]

Risolvere i seguenti sistemi letterali, verificare le soluzioni ed eventualmen- te discuterle¹:

1.54 (

x+y= a x−y=b

(ax+by= ac x=by

[ a+b 2 ;a−b

2



;

 ac

a+1; ac b(a+1)



con b6=0 e a6= −1. . . ]

1.55 (

ax+by=ab bx+ay =ab

( ax−by=b²−2a² ax+2by= a²−2b²

[

 ab a+b; ab

a+b



con a6= ±b. . . ;



−a;a²−b² b



con a6=0 e b6=0. . . ]

1.56 



 nx

m²−n²+ ^py

n²−m² = ¹ m+n nx+py =m+n

1Discutere un sistema lineare dipendente da uno o più parametri significa trovare per quali valori del o dei parametri il sistema ammette soluzioni e per ciascuno di essi quante ne ammette.

10 Introduzione

[ m n;n

p

 ]

Risolvere i seguenti sistemi di più di due equazioni in più di due incognite

1.57 





x+y =8 y+z =₂₈ z+x =14







3x−5y =1 4x+_3z =₂ 3y−_2z =7

[[−3, 11, 17];[2, 1,−2]]

1.58 





x−1=3z 1−z =y 2(₁−_4x) −_3z =_9y+₃







x+y+z =14 x+z =6y 3x−_4y−_4z =₀

[[−2, 2,−1] [8, 2, 4]]

1.59

* Determinare i valori di a in modo che risultino impossibili i sistemi ( x+y=1

2x+ay =3

(3ax−y =3 x+2y =6

[a=2; a= −¹₆]

1.60 Consideriamo gli stessi sistemi dell’esercizio precedente; determinare se esistono valori del parametro a per cui essi ammettono infinite soluzioni.

[ No, No]

1.61 Trovare due soluzioni distinte di ciascuno dei seguenti sistemi (che hanno ciascuno infinite soluzioni)

( x+y+z=1 x+2y+3z=4





 1

2x−y−2z = ² 3 x+¹

2y−¹ 3z =1

[Ad esempio{x = −1, y= 1, z= 1};{x = −2, y =3, z= 0}e{x = 0, y=

4

3, z= −1};{x = ₁₅¹⁶, y= −₁₅², z=0}. . . ]

1.62 La seguente uguaglianza di rapporti dà luogo ad un certo numero di equazioni indipendenti, quante? quali?

3x−y

3 = ^z+2y

4 = ³

x−z.

1.3 Calcolo combinatorio 11

1.63 Indicare quale o quali dei seguenti sistemi può ammettere soluzione nel campo dei numeri reali. (Si richiede di escludere quelli impossibili senza risolvere i sistemi)

a

( x+y =1

x²+y² = −2 b

( x+y=2 3x−y=2 c

(2x+2y =5

x+y=3 d

(x+y =1

x+y =2 e

(x+y=5 x−y=5

1.3. Calcolo combinatorio

Alcuni semplici esercizi di calcolo combinatorio per risolvere i quali basta poco più della definizione delle nozioni viste

1.64 Scrivere tutte le possibili permutazioni dei seguenti insiemi:

A= {1}; B= {5, 6}; C = {a, b, c} 1.65 Calcolare

i) 5!+6!

ii) 52!

50!

[ i) 5!=2·3·4·5=120; 6!=5!·6=120·6=720 quindi 5!+6!=840 ii)52!

50! = ⁵²·51·50!

50! =52·51=2652 ]

1.66 Trovare il numero delle disposizioni di 10 elementi a 4 a 4.

1.67 Trovare il numero delle disposizioni di n+4 elementi presi a n−2 alla volta.

[ Essendo D_nk=n(n−1) · · · (n−k+1)si ha:

(n+4)(n+3) · · · [n+4− (n−2) +1] = (n−4)(n−3) · · ·8·7 ]

1.68 Risolvere l’equazione D_n,5 =30Dn−2,4

12 Introduzione

[ Ricordando l’espressione di Dnksi ha:

n(n−1)(n−2)(n−3)(n−4) =

=30(n−2)(n−3)(n−4)(n−5)

ed osservando che dev’essere n ≥ 6 si ha, dividendo ambo i membri per (n−2)(n−3)(n−4) _{che è: n}(n−1) = ₃₀(n−5)da cui le due soluzioni n₁=6 e n2=25 ]

1.69 Calcolare C15,13 e C6,4+_C5,0 [ 105; 16]

1.70 Risolvere il sistema

(C_x,y =C_x,y+2

C_x,2 =66

[ Risolviamo la seconda equazione: si ha ^x(x−1)₂ =66 da cui le due soluzioni x1 = −11 e x2 = 12. La prima, essendo x > 2 è da scartare, sostituendo la seconda nella prima equazione si ha C_12,y = C_12,y+2 ma dalle propriete.i coefficienti binomiali sappiamo anche che Cm,n = Cm,m−n qundi C12,y = C12,12−yda cui 12−y=y+2 e quindi y=5. ]

1.71 Risolvere le seguenti equazioni:

Dn−2,3 =4Dn−3,2 20Dn−2,3= D_n,5 D_n,4 =15Dn−2,3 [6; 5; 10; 6]

1.72 Verificare le seguenti uguaglianze:

i) C_n,6 = ^Dn,n−6

Pn−6 C15,6=C15,9 C10,5+C10,6 =C11,6

1.73 Il numero delle combinazioni di n elementi a 3 a 3 è un quinto del numero delle combinazioni di n+2 elementi a 4 a 4. Trovare n.

[n=14 oppure n=3]

1.74 Qual è il massimo numero n di elementi di un insiemeI tale che il numero delle permutazioni diI sia inferiore a 100? e a 200?

1.75 Risolvere i seguenti sistemi di equazioni:

a)

(C_n,m =C_n,m+2

C_n,2 =153 b)

( C_m,n=C_m,n+₁

D_m,2=20 .

[a) m=8, n=18 b) m=5 n=2]

Parte II.

Algebra lineare

2. Matrici

2.1. Definizione di matrice

2.1 Data la matrice A=









1 3 2 2 3 1 3 1 2 2 1 3









, determinare gli elementi a₃₁, a₁₃

[a₃₁=3, a₁₃=2]

2.2 Scrivere la trasposta di ciascuna delle seguenti matrici:

A=





−1 0 3



; B=3 0 −4 ; C =^{1 2 3} 3 2 1



;

D =







 1 2 3 4 5 6 0 0









; E =





1 0 1 0 1 2 2 3 1



; F =





1 2 3

2 5 7

3 7 2005



.

2.3 Calcolare la traccia delle matrici

1 3

0 −₁







1 0 1

0 −_{1 3}

3 2 1









a b c b a c c a b





[0, 1, 2a+b]

2.4 Quante sono le matrici del terzo ordine che posso formare usando solo i tre elementi a, b, e c?

2.2. Operazioni sulle matrici

2.5 Se A e B sono, rispettivamente, le matrici sottoelencate, calcolare, quando è posssibile, la matrice C = A+B

16 Matrici

i) A =^{1 2} 3 4



B=

−2 1

3 5



[

−1 3 6 9

 ]

ii) A =^{1 2 3} 3 4 5



B=^{3 2 0} 0 1 3



[4 4 3 3 5 8

 ]

iii) A =^{1 2} 3 4



B=^{3 2 0} 0 1 3



[Non sono dello stesso tipo]

2.6 Se A e B sono, rispettivamente, le matrici sottoelencate, calcolare, quando è posssibile, la matrice C =A·B

i) A =^{1 2} 3 4



B=

−2 1

3 5



[4 11 6 23

 ]

ii) A =^{1 2 3} 3 4 5



B=^{3 2 0} 0 1 3



[A non è conformabile con B]

iii) A =^{1 2} 3 4



B=^{3 2 0} 0 1 3



[3 4 6 9 10 12

 ]

2.7 Sia A una matrice quadrata di ordine n; verificare che risulta A² = −A se e solo se è(I+A)² = A.

2.8 Siano A una matrice quadrata di ordine m emisimmetrica e P una matrice di tipo(m, n). Verificare che la matrice B =P_TAP è emisimmetrica.

2.9 Date le matrici A =1 3 2 e B =



 0 1

−3



, determinare AB e BA.

[

−3 ;





0 0 0

1 3 2

−3 −9 −6



]

.

2.10 Si considerino le matrici A =^{h h}−1 k k−1



e B =^h−1 h−1 k k−2



determinare i valori di k e h in modo che sia verificata la relazione A·B=0.

[h=k=1]

2.11 Si consideri la matrice A =^{a b} c 1−a



. Determinare gli eventuali valori dei parametri in modo che A sia idempotente (cioè sia A² = A). [bc=a−a²]

2.12 Siano date le matrici

A=^{0 k 1} k −2 0



e B =^k −1 0

k 0 2

 .

2.2 Operazioni sulle matrici 17

Verificare che non esiste alcun valore di k per cui sia BAT =I.

[ Se poniamo C=BA_Tl’elemento c21è:

c21 =b21a11+b22a21+b23a31 =k·0+0·k+2·1=26=0 e quindi C non può essere la matrice unità. ]

2.13 Data la matrice A = ^{k 0} 2 k+1



, determinare k in modo che la matrice

B= A²+A−2I sia simmetrica. [k= −_1]

2.14 Verificare che per qualunque valore del parametro k la matrice A =^{2 0} 4 3

 soddisfa la disuguaglianza

A²+kA+I 6=₀

2.15 Determinare per quali valori di a, b, c e d sono non nulle e permutabili le matrici A=^{a 0}

b a



e B=^{ c d} 0 c



. [b·d=0 e a6=0 oppure c6=0]

2.16 Verificare che ogni matrice simmetrica permutabile con la matrice A =

1 0 2 3



è permutabile con qualunque matrice di ordine 2.

2.17 Determinare tutte le matrici quadrate di ordine 2 triangolari inferiori non simmetriche per cui si abbia A²+A=0 [0 0

b −2

 ,

−2 0 b 0



con b6=0]

2.18 Determinare tutte le matrici permutabili con A =

−1 1

−1 2

 .

[ Le matrici cercate devono, ovviamente, essere quadrate e di ordine 2: sia X = ^{a b}

c d



si ha AX = ^{ c}−a d−b 2c−a 2c−b



e XA =

−a−b a+2b

−c−d c+2d

 ugua-

gliando gli elementi di ugual posto si ottiene il sistema











c−a= −a−b d−b=a+2b 2c−a= −c−d 2d−b=c+2d che ammette la soluzione c= −b e d=3b+a da qui le matrici

 a b

−b a+3b

 . ]

18 Matrici

2.19 Trovare tutte le matrici quadrate X di ordine 2 tali che X² = I =^{1 0}

0 1



[

±1 0 k ±1

 

±1 k 0 ±1

 

±√

1−hk h

k ±√

1−hk

 ]

2.20 Si considerino le matrici A = ^{1 1} 0 h



e B =

−1 2 0 1



. Verificare che le relazioni (AB)² = A²B² e AB 6= BA sono incompatibili per qualsiasi valore di h.

2.21 Determinare due matrici non nulle A e B di ordine 2 tali che sia BA =2AB.

[Ad esempio A=^{0 x} 0 y



e B=^{ a b} 0 0



con ax+by=0.]

2.22 Sia A =^{1 0} 2 1



. Dimostrare, ad esempio per induzione, che Aⁿ =^{ 1 0} 2n 1

 . 2.23 Dimostrare che non esiste nessuna matrice per cui valgano simultaneamen- te le relazioni X²+2X−2I =0e X²−X−6I =0 cioè che è impossibile il sistema matriciale

(X²+2X−2I =0 X²−X−6I =0.

2.24 Siano A(2, 3), B(3, 4) C(4, 1), esiste la matrice D = A·B·C? se si di che

tipo è? [ Si, di tipo(2, 1)]

2.25 Siano A(2, 3) B(3, 3) e C(3, 2). La matrice ABC è quadrata? se sì di che

ordine? [Sì, di ordine 2]

2.26 Scrivere tre matrici A , B e C tali che non esista ABC ma esistano AB ed AC.

2.27 Scrivere due matrici A e B di tipi rispettivamente (2, 3) e (3, 2) tali che AB=0e BA6= 0

2.28 Sia A =





1 0 1 0 1 0 1 1 1



; calcolare A³. [A³=





4 3 4 0 1 0 4 3 4



]

2.29 Facendo riferimento alla matrice dell’esercizio 2.28 ed al risultato trovato,

calcolare A⁵ [A⁵=





16 15 16

0 1 0

4 3 4



]

2.3 Matrici a blocchi ed equivalenza di matrici 19

2.30 Date le matrici A = ^{1 0} a b



e B = ^{2 x} 3 y



, calcolare A²·B² e (AB)² e osservare i risultati.

2.31 Risolvere, quando è possibile, i seguenti sistemi matriciali:

(X−2Y= I X+Y=2Y

( X²+X−2I =0 X²−_3X+_2I =0 (X−2I =XT

X+2XT =0

[X= ⁵₃I, Y= ¹₃I; X =I; impossibile]

2.32 Determinare per quali valori di k il sistema matriciale







X² =kX X−Y =0 (X−I)Y+YX =0

ammette soluzioni non nulle. [k= ¹₂]

2.33 Risolvere il sistema matriciale

( X = −YT

2X+2Y=0

[X= −Y con X ed Y emisimmetriche]

2.3. Matrici a blocchi ed equivalenza di matrici

2.34 Ripartire le seguenti matrici in quattro blocchi conformabili ed eseguire il prodotto a blocchi

A =





1 2 1 0 0 2 0 0 3



 B =





0 a b 0 c d 1 e f





2.35 Si consideri la matrice A =





1 2 3 3 2 1 2 1 3



. Trovare una matrice equivalente

alla A che sia triangolare superiore. [





1 2 3

0 −4 −8

0 0 3



]

20 Matrici

2.36 Sia A la matrice dell’esercizio 2.35. Trovare una matrice equivalente ad A

che sia triangolare bassa. [





−¹²₅ 0 0

7

3 5

3 0

2 1 3



]

2.37 Se A è ancora la matrice dell’esercizio 2.35, esiste una matrice diagonale equivalente ad A?

2.38 Trovare il rango delle seguenti matrici:

A =





1 2 0 2 1 1 3 3 1



 B=









1 2 3 1 2 6 0 0 3 3 0 1









C =





0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1





[r(A) =3, r(B) =3, r(C) =2]

2.39 Sia

A =









0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1







 .

Se B è una matrice 4×4 divisa in blocchi B = ^{ B1} B2



dove B₁ e B2 sono matrici 2×4, mostrare che AB = ^{ B2}

B2



con una opportuna partizione in

blocchi di A. Verificare il risultato con B=









2 3 −2 −3 1 −_{1 1} −₁

−2 1 2 −1 1 2 −1 −2









2.40 Ripartire le seguenti matrici in quattro blocchi conformabili ed eseguire il prodotto a blocchi

A=





1 2 1 0 0 2 0 0 3



 B=





0 a b 0 c d 1 e f





2.41

* Se A è una matrice m×n e B è una matrice p×q chiamiamo somma diretta di A e B la matrice a blocchi, di tipo(n+p) × (m+q) A⊕B=^{ A 0}

0 B

 . In

2.4 Quesiti 21

generale A1⊕A₂⊕ · · · ⊕An =









A1 0 . . . 0 0 A₂ . . . 0

· · · · 0 0 . . . An









. Siano ora

A₁=^{ 1 2}

−1 1



A₂ =^{0 1} 1 0



B₁=^3 −₁ 1 −2



B₂ =^{1 2} 3 4



Mostrare che:

i) (_A1⊕_A2) + (_B1⊕_B2) = (_A1+_B1) ⊕ (_A2+_B2) ii) (A₁⊕A₂) · (B₁⊕B₂) = (A₁B₁) ⊕ (A₂B₂)

2.42 Tenendo conto della definizione data nell’esercizio 2.41, se A_i e B_i sono matrici quadrate di ordine ni(i =1, . . . , m), mostrare che

(A1⊕ · · · ⊕Am)(B1⊕ · · · ⊕Bm) = (A1B1⊕ · · · ⊕AmBm)

2.43 Se A_i è quadrata di ordine n_i(i=1, . . . , l) e se A= A₁⊕ · · · ⊕A_lmostrare

che m

k

∑

c_kA^k =

∑

c_kA^k₁

!

⊕ · · · ⊕

∑

c_kA^k_l

!

2.44

* Sia z =a+ib un numero complesso. Definiamo la matrice reale M(z) = ^a −b

b a

 .

Verificare che per ogni coppia di numeri complessi z e w si ha M(z+w) = M(z) +M(w); M(zw) = M(z)M(w).

2.4. Quesiti

Q.2.1 AC = In, AB=0_n =⇒ B=0. 2 vero 2 falso

Q.2.2 Sia A emisimmetrica, allora A²è simmetrica. 2 vero 2 falso Q.2.3 Siano A e B due matrici linearmente indipendenti, allora A, I ed A+B

sono linearmente indipendenti. 2 vero 2 falso

3. Spazi vettoriali

La scrittura< ~v1, . . . ,~vn >indica lo spazio vettoriale generato dai vettori~v1, . . . ,~vn

cioè l’insieme di tutte le possibili combinazioni lineari di questi vettori. Indicheremo da qui in avanti conPn(x)lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado non maggiore di n nella variabile x, e conMm,n(_K)quello delle matrici di tipo n×m sul campoK; dove non esplicitamente precisato si sottintende K≡_R.

3.1. Sottospazi e basi

3.1 Fornire esempi di leggi di composizione in insiemi numerici che non corrispondano ad operazioni dell’aritmetica elementare.

3.2 Fornire esempi di insiemi non chiusi rispetto ad opportune leggi di compo- sizione.

3.3 Scrivere due differenti combinazioni lineari dei vettori

~v=1 0 −1

w~ =^−1 0 2

~u =0 2 1 ~z =0 0 3

3.4 Scrivere 3 vettori diR⁴linearmente indipendenti

3.5 Scrivere tre vettori diR⁴linearmente dipendenti ma non proporzionali a due a due.

3.6 Riferendosi ai vettori dell’esercizio 3.3 dire:

i) se sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti

[4 vettori inR³sono sempre dipendenti]

ii) dire se~v,~w e~u sono linearmente indipendenti [Si]

iii) dire se~v,w e~ ~z sono linearmente dipendenti o indipendenti.

[Da a[1, 0,−1] +b[−1, 0, 2] +c[0, 0, 3] =0si ottiene a=b= −3c e quindi

~v,~w e~z sono linearmente dipendenti perché esiste una loro combinazione lineare, ad esempio 3~_v+3~_w−~z, che coincide con il vettore nullo senza che siano nulli tutti i coefficienti.]

24 Spazi vettoriali

3.7 Dati i seguenti 4 vettori di R³ : ~_e1 = [1, 0, 0],_e~₂ = [0, 1, 0],~_u = [3, 4, 2] e

~v = [2, 5, 0], quale bisogna eliminare tra~u e~v in modo che i rimanenti 3 formino una base. [~v=2~e1+5~e2. . . ]

3.8 Trovare una base{~e₁,~e2}diR²tale che [1, 0] = ~e1+ ~e2

[0, 1] = ~e1− ~e2.

[~e₁=^h1₂,¹₂i

,~e₂=^h1₂,−¹₂ⁱ]

3.9 Sia V = R²+l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali strettamente positivi. Definiamo in V le seguenti operazioni come somma e prodotto per uno scalare:

[a, b] ⊕ [c, d] = [ac, bd] e α⊗ [a, b] = [a^α, b^α] Verificare che:

i) Rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto per uno scalare V non è uno spazio vettoriale.

ii) Rispetto a queste operazioni, V è uno spazio vettoriale suR e deter- minare il vettore nullo e l’opposto del vettore[a, b].

[. . . 0= [1, 1],−[a, b] =^h1_a,¹_bi

; . . . ]

3.10 Sia V uno spazio vettoriale sul campoK e rispettivamente~v ew due vettori~ di V e λ e µ due scalari diK; dimostrare che

i) λ~v=_λw, λ~ 6=0 =⇒ ~v= ~w ii) λ~v=_µ~v,~v6=0 =⇒ _λ =_µ 3.11

* Verificare che l’insieme V ≡

 a 2b 3b a



: a, b ∈ _R



è un sottospazio dello spazio vettoriale M2 delle matrici quadrate di ordine 2.

[ Dobbiamo controllare che l’operazione di combinazione lineare sia interna adV . Consideriamo due matrici generiche di V , ad esempio A1=^{ a1 2b1}

3b₁ a₁