Esercizi di Algebra Lineare e Geometria
Prof. Ernesto Dedò Dipartimento di Matematica
Politecnico di Milano ernesto.dedo@polimi.it
II edizione, gennaio 2012
1
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Queste dispense sono state composte con LATEX
Indice
Indice i
Elenco delle figure iv
Elenco delle tabelle vi
Prefazione vii
1 Introduzione 1
1.1 Esercizi di ripasso . . . 1 1.2 Calcolo combinatorio . . . 8
2 I sistemi lineari, introduzione 11
I Algebra lineare 15
3 Matrici 17
3.1 Definizione di matrice . . . 17 3.2 Operazioni sulle matrici . . . 18 3.3 Matrici a blocchi ed equivalenza di matrici . . . 21
4 Spazi vettoriali 25
4.1 Sottospazi e basi . . . 25 4.2 Quesiti . . . 34 5 Determinante e rango di una matrice. Matrice inversa 37 5.1 Determinante e rango . . . 37 5.2 Matrice inversa . . . 43 5.3 Quesiti . . . 44
6 Teoria dei sistemi 45
6.1 Quesiti . . . 54
7 Applicazioni lineari, prodotti scalari 57
i
7.1 Applicazioni lineari e matrice rappresentativa . . . 57
7.2 Prodotti scalari . . . 64
7.3 Basi ortonormali . . . 66
7.4 Quesiti . . . 68
8 Autovalori ed autovettori 71 8.1 Quesiti . . . 79
9 Diagonalizzazione, matrici ortogonali 83 9.1 Quesiti . . . 92
10 Teorema di Cayley–Hamilton. Polinomio minimo 95 10.1 Quesiti . . . 98
II Geometria piana 101 11 La retta nel piano 103 11.1 Coordinate cartesiane . . . 103
11.2 La retta, esercizi introduttivi . . . 104
11.3 Esercizi vari sulla retta . . . 109
12 La circonferenza nel piano 111 13 Le coniche 117 13.1 Quesiti . . . 122
14 Fasci di coniche 125 15 Luoghi geometrici 133 16 Proiettività ed involuzioni 139 17 Polarità piana 145 18 Centro 153 18.1 centro . . . 153
18.2 Triangoli autopolari . . . 159
III Geometria dello spazio 163 19 Generalità sulllo spazio 165 20 Rette e piani nello spazio 169 20.1 Piani e rette . . . 169
Indice iii
20.2 Esercizi vari . . . 175
20.3 Quesiti . . . 179
20.4 Vero o Falso . . . 179
20.5 A risposta multipla . . . 179
21 Sfera e circonferenza nello spazio 181 21.1 Sfera . . . 181
21.2 Circonferenza nello spazio . . . 184
21.3 Quesiti . . . 186
22 Cilindri, coni e proiezioni 189 22.1 Cilindro e cono . . . 189
22.2 Proiezioni . . . 194
22.3 Quesiti . . . 197
23 Superfici rigate e di rotazione 199 23.1 Quesiti . . . 205
24 Quadriche 207 25 Luoghi nello spazio 213 Esercizi di ricapitolazione 217 Esercizi . . . 217
Quesiti . . . 222
Temi esame dell’ultimo anno . . . 224
Elenco delle figure
1.1 Il cubo dell’esercizio 1.20 . . . 3
1.2 Triangolo con tre semicerchi dell’esercizio 1.25 . . . 4
1.3 Esercizio 24.1 . . . 7
1.4 finestra: esercizio 1.61 . . . 8
11.1 Esercizio 11.3 . . . 103
12.1 I triangoli simili dell’Esercizio 12.5 . . . 113
12.2 Esercizio 12.9 . . . 114
13.1 . . . 117
13.2 . . . 118
13.3 . . . 119
14.1 . . . 128
14.2 . . . 130
15.1 . . . 134
15.2 . . . 135
15.3 . . . 135
15.4 . . . 136
15.5 . . . 137
16.1 . . . 142
17.1 . . . 147
17.2 . . . 148
17.3 Esercizio 17.20 . . . 149
18.1 . . . 154
18.2 Esercizio 18.21 . . . 158
18.3 . . . 160
19.1 . . . 165 iv
Elenco delle figure v
20.1 Distanza di due rette sghembe . . . 177
21.1 Circonferenza nello spazio . . . 184
22.1 Proiezione sul piano xy . . . 191
23.1 . . . 203
23.2 . . . 204
Elenco delle tabelle
1 Lettere greche . . . ix 2 Simboli usati nell’eserciziario . . . x
vi
Prefazione
If you can’t solve a problem, you can always look up the answer. But please, try first to solve it by yourself; then you’ll learn more and you’ll learn faster.
Se non sai risolvere un problema, puoi sempre andare a vedere la risposta. Ma per favore, tenta prima di risolverlo da solo: imparerai di più e più alla svelta.
Donald E. Knuth1 The TEXbook (1983)
Questa raccolta di esercizi è soprattutto rivolta agli studenti del corso di Geometria ed algebra lineare. Le notazioni sono quelle presenti nelle dispense del corso.
Di molti esercizi è dato un esempio di risoluzione, a volte in più modi, che è bene confrontare tra loro. Di qualcuno è dato solo un suggerimento per la risoluzione, di quasi tutti il risultato finale.
Gli esercizi contrassegnati con un ∗ presentano maggiori difficoltà op- pure contengono spunti particolari od ancora costituiscono veri e propri complementi, per esempio sono contrassegnati tutti quelli svolti in più di un modo.
Il primo capitolo contiene una sessantina di esercizi di ripasso, cioè esercizi che chi inizia questo genere di studi dovrebbe saper affrontare con disinvoltu- ra. Essi sono volutamente in ordine sparso, per allenare lo studente a passare con disinvoltura e sicurezza da un argomento all’altro, e costituiscono un buon test per verificare la propria preparazione.
In ogni altro capitolo, dopo i primi esercizi introduttivi, vi sono esercizi di difficoltà paragonabile a quella dei temi d’esame, molti di essi, infatti sono addirittura stati proposti come temi d’esame negli anni passati.
In alcuni capitoli sono anche presenti quesiti a risposta chiusa.
Il testo è seguito da due appendici, la prima delle quali contiene una raccolta di esercizi vari, in ordine sparso, tratti spesso da temi d’esame, che dovrebbero servire a misurare la preparazione dell’allievo. Di questi esercizi o quesiti non è data nè la risposta nè una traccia di soluzione, in modo che
1Matematico ed informatico americano nato nel 1938, autore, tra l’altro di The TEXbook.
vii
l’allievo possa allenarsi a verificare i risultati ottenuti, mentre la seconda contiene i testi dei temi d’esame dello scorso anno.
Questo testo non è un eserciziario, cioè non è un testo in cui ogni capitolo contiene un numero di esercizi sufficiente a garantire la preparazione su quel particolare argomento, ma piuttosto una raccolta di esercizi a partire dai quali si può formare un adeguato allenamento.
Consigli per la risoluzione degli esercizi2
Come si risolve un esercizio di Matematica? Ecco una domanda che mi è stata rivolta centinaia di volte. Questa domanda ha una sola risposta Non esiste un metodo, una ricetta, una regola generale per risolvere un esercizio di Matematica.
Quasi ogni quesito, esercizio, problema può essere affrontato da vari punti di vista e svolto, di conseguenza, in molti modi, anche significativamente diversi.
Tuttavia qualche consiglio di carattere generale si può sempre dare.
Per imparare a risolvere un esercizio di Matematica, soprattutto un pro- blema di tipo nuovo, mai visto, occorre abituarsi prima ancora di procedere materialmente alla risoluzione a:
1. leggere attentamente l’enunciato dell’esercizio, se necessario anche più volte: molto spesso si possono evitare gravi ma banali errori se si legge e si medita sulla formulazione dell’esercizio;
2. cercare di cogliere a quali argomenti della teoria l’esercizio si riferisce e, per ciascuno di essi, identificare le condizioni necessarie e sufficienti a risolvere l’esercizio;
3. richiamare le nozioni che servono allo svolgimento dell’esercizio da quanto si è imparato, oppure andando sui libri a ripassarle
e dopo, ma solo dopo questo lavoro impostare la risoluzione.
Spesso molti studenti, soprattutto i migliori, si rendono conto che uno stesso esercizio si può risolvere in più modi e chiedono quale si deve usare. Io credo che la cosa migliore sia di usare quello con cui ci si sente più a proprio agio. Per poter fare ciò occorre quindi provare a risolvere gli esercizi in più modi, alcuni dei quali saranno più lunghi, altri più rapidi, altri più eleganti (non sempre gli ultimi due coincidono).
Siccome in Matematica è fin troppo facile sbagliare e l’errore è sempre in agguato, è importantissimo abituarsi fin dal principio a verificare i risultati ottenuti: è sempre necessaria (ed in molti casi sufficiente) una verifica “a buon senso” della ragionevolezza dei risultati ottenuti: per esempio se si chiede
“. . . l’equazione dell’ellisse che. . . ” e si ottiene l’equazione di una parabola, significa, ovviamente, che c’è qualcosa di sbagliato3. In caso di errore si
2Da leggere con attenzione e non saltare a pie’ pari
3L’esempio scelto è volutamente provocatorio, ma non è assurdo: capita spesso di trovare errori analoghi nella correzione dei temi di esami, errori che con un minimo di attenzione si potevano evitare.
ix
può verificare passaggio per passaggio tutta la risoluzione dell’esercizio alla ricerca dell’errore, ma spesso è più utile rifare l’esercizio in un modo diverso perché, verificando passaggio per passaggio, è facile rifare lo stesso errore nello stesso punto. Altre volte si possono usare i risultati ottenuti per un controllo, ad esempio se si deve risolvere un sistema arrivati alla soluzione si può controllare sostituendo i valori trovati nel sistema dato.
In ogni caso la cosa più importante è quella di abituarsi sempre a fare una, almeno sommaria, verifica.
Sarò grato a chi mi segnalerà eventuali errori od omissioni.
La tabella 1 fornisce un elenco di tutte le lettere greche, maiuscole e mi- nuscole, con il loro nome in italiano. Mentre la tabella 2 a pagina x elenca i simboli maggiormente usati nel testo con il loro significato.
Tabella 1: Lettere greche Lettere greche minuscole maiuscole nome
α A alfa
β B beta
γ Γ gamma
δ ∆ delta
eo ε E epsilon
ζ Z zeta
η H eta
θo ϑ Θ theta
ι I iota
κ K kappa
λ Λ lambda
µ M mi
ν N ni
ξ Ξ csi
o O omicron
π Π pi
ρo $ R ro
σo ς Σ sigma
τ T tau
υ Υ ipsilon
φo ϕ Φ fi
χ X chi
ψ Ψ psi
ω Ω omega
Tabella 2: Simboli usati nell’eserciziario N insieme dei numeri naturali Z insieme dei numeri interi Q insieme dei numeri razionali R insieme dei numeri reali C insieme dei numeri complessi
∀ per ogni
∃ esiste
∃! esiste un unico
∈ appartiene ad un insieme
∪ unione di insiemi
∩ intersezione di insiemi
∑ somma
∏ prodotto
⊥ perpendicolare
h·,·i prodotto scalare
∞ infinito
℘ insieme delle parti
< minore
> maggiore
≤ minore o uguale
≥ maggiore o uguale
⊂ sottoinsieme proprio
⊆ sottoinsieme
⊕ somma diretta di insiemi
Ø insieme vuoto
< #»v1, . . . , #»vn> spazio vettoriale generato dai vettori #»v1, . . . , #»vn
Pn(x) Insieme dei polinomi di grado n nella variabile x Mn Insieme delle matrici quadrate di ordine n Mm,n Insieme delle matrici di tipo m×n
Capitolo 1
Introduzione
1.1 Esercizi di ripasso
Questi esercizi introduttivi costituiscono un utile ripasso di argomenti fondamentali appartenenti al programma della Scuola Superiore: alcuni sono praticamente imme- diati, altri necessitano di qualche riflessione, comunque vanno svolti tutti e con molta cura, soprattutto nell’intento di utilizzarli come un “test” della propria preparazione.
Volutamente non sono nè in ordine di difficoltà nè in ordine di argomento.
1.1 Enunciare un teorema vero il cui inverso sia falso.
1.2 Si considerino nel piano 8 rette delle quali 4 parallele tra loro; quanti sono, al massimo, i loro punti di intersezione?
1.3 Dire quali delle seguenti terne di numeri possono rappresentare le lun- ghezze dei lati di un triangolo non degenere:
a 3; 4; 5 b 2; 8; 8 c 1; 5; 7 d 2; 10; 12 e 3; 10; 15
.
1.4 Perché la retta r sia perpendicolare al piano α, a quante rette di α occorre e basta che sia perpendicolare? Tali rette possono essere in posizione generica o devono sottostare a qualche vincolo?
1.5 Senza far conti inutili, risolvere l’equazione:
2 3−
3 7
2
1 2
3
−37
x−5
4
=0.
1.6 Per quanti valori del parametro a le equazioni
x3+ax+2=0 e x3+x+2a=0 hanno almeno una radice in comune?
1
1.7 Scrivere un’equazione di primo grado che abbia come radice 3.
1.8 Enunciare un teorema falso il cui inverso sia vero.
1.9 Un quadrato di lato 20cm ha un vertice nel centro di un altro quadrato di lato 10cm; calcolare l’area della regione comune.
1.10 Scrivere un’equazione di primo grado in due incognite che abbia come soluzione la coppia ordinata (−3, 4).
1.11 Enunciare un inverso del Teorema di Pitagora.
1.12 Senza far conti inutili, risolvere l’equazione:
2 3−
3 7
2
1 2
3
−37
x−5
4
3x− 3
7
=0
1.13 Quale delle seguenti proposizioni è la negazione della proposizione
”Ogni numero è pari”:
a Tutti i numeri sono dispari b esiste un numero dispari c esiste un numero multiplo di 3
1.14 Si considerino nello spazio un piano α ed un punto P tale che P6∈α. Per ciascuno dei seguenti quesiti scegliere una tra le risposte: nessuno, uno ed uno solo, infiniti.
i) Quante sono le rette passanti per P e parallele ad α?
ii) Quante sono le rette passanti per P e perpendicolari ad α?
iii) Quanti sono i piani passanti per P e paralleli ad α?
iv) Quanti sono i piani passanti per P e perpendicolari ad α?
1.15 Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono false e, per ciascuna, dire quale delle rimanenti ne costituisce la negazione:
a Ogni quadrato è un parallelogrammo b Ogni parallelogrammo è un quadrato c Esiste un quadrato che è un parallelogrammo d Esiste un parallelogrammo che è un quadrato e Nessun quadrato è un parallelogrammo f Nessun parallelo- grammo è un quadrato g Esiste un parallelogrammo che non è un quadrato h Esiste un quadrato che non è un parallelogrammo.
1.16 Scrivere tre equazioni di secondo grado in una incognita che abbiano come radici(−2, 7).
1.17 L’espressione 2−x
2+2x2+2−3x
è equivalente a:
a 2−x+2−x3+23x2 b 2−x+1+2−x+x2+2−4x c 21x+2x+2−3 d 4−x+4−x3+43x2.
1.1. Esercizi di ripasso 3
1.18 Se a e b sono numeri reali positivi tali che ab=bae b=9a, il valore di a è:
a 9 b 19 c √9
9 d √3
9 e √4 3.
1.19 Siano a e b due numeri interi positivi tali che il loro prodotto sia multiplo di 10. Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera?
a a e b sono entrambi multipli di 10 b a è multiplo di 10 oppure b è multiplo di 10 c a è un numero pari oppure b è un numero pari d a è pari e b è multiplo di 5
e a e b sono entrambi pari
.
1.20 Nel cubo di figura 1.1 si consideri il triangolo ABC dove AC è uno spigolo, AB la diagonale di una faccia e BC la diagonale del cubo. Allora:
AB= AC 2 vero 2 falso
Il triangolo ABC è rettangolo 2 vero 2 falso
BC è il lato più lungo 2 vero 2 falso
l’angolo A ˆBC è di 45◦ 2 vero 2 falso
Figura 1.1: Il cubo dell’esercizio 1.20
1.21 Sia x un numero reale; indichiamo conbxcil più grande intero relativo minore o uguale a x. Quale delle seguenti affermazioni è vera qualunque siano i numeri reali x e y?
a bxc = −bxc b bx2c = bxc2 c b2xc =2· bxc d bx+1c = bxc +1 e se x<y; allorabxc < byc
1.22 Si considerino i numeri interi multipli di 6.
a quelli compresi tra 1 e 100 sono meno di quelli compresi tra 12001 e 12100 b quelli compresi tra 1 e 100 sono tanti quanti quelli compresi tra 12001 e 12100 c quelli
compresi tra 1 e 100 sono più di quelli compresi tra 12001 e 12100 d quelli compresi tra 1 e 100 sono la metà di quelli compresi tra 12001 e 12100 e quelli compresi tra 1 e 100 sono il doppio di quelli compresi tra 12001 e 12100
1.23 Siano m, n e p tre numeri interi positivi; se m> n> p si può dedurre che:
a m−p≥2 b p−m>2 c m>1 e n>1 e p>1 d m−n>n−p e m+p>4
1.24 Siano x ed y due numeri reali; se x>y si può dedurre che:
a 2x>y b x>2y c x+y>0 d y−x<0 e x>y+1
1.25 Sia ABC un triangolo rettangolo di ipotenusa AC; siano C1e C2i semi- cerchi aventi per diametri i cateti e sia C3quello avente per diametro AC (vedi figura 1.2). Quale delle seguenti affermazioni è sempre vera?
a L’area di C3è minore della somma delle aree di C1e C2 b L’area di C3è uguale alla somma delle aree di C1e C2 c L’area di C3è maggiore della somma delle aree di C1e C2
Figura 1.2: Triangolo con tre semicerchi dell’esercizio 1.25
1.26 Quante terne ordinate di numeri reali non nulli hanno la proprietà che ciascuno di essi è il prodotto degli altri due?
a 1 b 2 c 3 d 4 e 5
1.27 Un triangolo ha un lato lungo 6cm ed uno lungo 10cm. Quale delle seguenti non può essere la misura del terzo lato?
a 6.5cm b 10cm c 15.5cm d 17cm
1.28 Siano S la somma dei numeri interi da 1 a 100 eΣ la somma degli interi pari da 2 a 200. Allora:
a S>Σ b Σ=2100S c S=2Σ d Σ=2S e S=Σ
1.1. Esercizi di ripasso 5
1.29 Affinché un poligono di n lati sia regolare. . .
a è necessario che sia circoscrivibile ad una circonferenza b è sufficiente che sia circoscrivibile ad una circonferenza c è necessario e sufficiente che sia circoscrivibile ad una circonferenza d non è nè necessario nè sufficiente che sia circoscrivibile ad una circonferenza
1.30 Un trapezio ABCD circoscritto ad una circonferenza di raggio 5cm ha l’area di 150cm2. Allora la somma dei lati obliqui AD e BC è:
a 30cm solo se il trapezio è rettangolo b sempre 30cm c 30cm solo se il trapezio è isoscele d è sempre diversa da 30cm
1.31 Si considerino le seguenti affermazioni riguardanti due numeri reali a e b
α) Se ab=0 allora a =0 e b=0
β) Se ab=0 allora o a =0 oppure b=0 γ) Se ab=1 allora o a =1 oppure b=1
δ) Se ab=1 allora a =1 e b=1 Dire quali sono vere:
a Solo la β b sia la α che la β c solo la γ d sia la γ che la δ e sia la α che la δ
1.32 Un esagono regolare ha lo stesso perimetro di un triangolo equilatero;
qual è il rapporto tra l’area dell’esagono e quella del triangolo?
a 1 b 43 c 32 d √
3 e 2
1.33 Siano a, b e c tre numeri interi con massimo comun divisore uguale a 1.
Allora:
a due di essi sono primi fra loro b il prodotto dei tre numeri è il loro minimo comune multiplo c fra i tre numeri non ce ne sono due pari d almeno uno dei tre numeri è multiplo di 3 e nessuna delle precedenti risposte è vera
1.34 Considera l’affermazione: Per ogni numero naturale n il numero 2n+1 è primo. Mostrare con un esempio che è falsa.
1.35 P è un punto interno al triangolo acutangolo ABC tale che i tre triangoli APB, APC e BPC hanno la stessa area. Questo accade sicuramente se P coincide con:
a il baricentro b l’ortocentro c l’incentro d il circocentro e nessuna delle precedenti risposte è vera
1.36 Siano m ed n due numeri interi positivi qualsiasi, e p e q così definiti:
p = MCD(m, n)e q= MCD(2m, 4n); quale delle seguenti affermazioni è vera?
a È sempre p=q b È sempre q=2p c È sempre q=4p d se m è dispari e allora è q=2p
1.37 La metà di
1 2
80
è:
a
1 4
80
b
1 2
40
c
1 2
81
d
1 2
79
1.38 Risolvere l’equazione x√x =√ xx.
1.39 Sommando i numeri 2n+1, 2n+3, 2n+5, dove n è un numero naturale, si ottiene sempre
a un numero dispari b un multiplo di 3 c il triplo di uno dei tre numeri d tutte e tre le risposte precedenti sono corrette
1.40 Determinare k in modo che l’equazione
3kx2+ (2k+9)x+k−1=0
ammetta come soluzioni due numeri che siano la tangente e la cotangen- te di uno stesso angolo.
1.41 Costruire una circonferenza passante per due punti A e B e tangente ad una retta non passante per alcun punto interno al segmento AB.
1.42 Dividere un numero per 0, 2 equivale a moltiplicarlo per
a 1
5 b 1
2 c 2 d 5
1.43 Risolvere l’equazione xx = √ xx+2
.
1.44 Costruire un triangolo ABC conoscendo il lato AB e le due altezze hBH e hCK.
1.45 Le lunghezze delle diagonali d1e d2e di un lato a di un parallelogrammo ABCD sono espressi rispettivamente dalle formule: d1 = 4uv, d2 = 2(u2−v2)ed a=u2+v2. Dimostrare che ABCD è un rombo.
1.46 Dimostrare che ogni numero naturale dispari è la somma di due naturali consecutivi.
1.47 Dimostrare che se si aumenta di 1 il prodotto di quattro numeri naturali consecutivi si ottiene un quadrato.
1.48 Se in un triangolo denotiamo i lati con a, b e c e gli angoli ad essi relativamente opposti con α, β, γ, verificare che vale l’identità:
a(sin β−sin γ) +b(sin γ−sin α) +c(sin α−sin β) =0
1.49 Se aggiungiamo 1 al numeratore ed al denominatore di una frazione positiva minore di 1 otteniamo
a Una frazione equivalente alla precedente b Una frazione minore della prece- dente c Una frazione maggiore della precedente d Non si può dire in generale
1.1. Esercizi di ripasso 7
1.50 Nella figura 1.3 sono rappresentati il quadrato ABCD ed il rettangolo ARST. Sapendo che il lato del quadrato è di 10cm, che PC= PS e che la lunghezza del segmento PC è la metà della lunghezza della diagonale del quadrato, calcolare l’area del rettangolo ARST
Figura 1.3: Esercizio 24.1
1.51 Esistono due triangoli non congruenti aventi due lati ed un angolo rispettivamente congruenti? Se no dimostrarlo, se sì esibire un esempio.
1.52 Se h e k sono due numeri interi positivi legati dalla relazione 3k = 2h, allora possiamo affermare che:
a La loro somma è un multiplo di 5 b La loro somma è un numero dispari c Il loro prodotto è pari e non è mai multiplo di 4 d Uno dei due è dispari e Nessuno dei precedenti asserti è necessariamente verificato
1.53 Mostrare che l’equazione
√5
x+√ x =√3
x non ammette soluzioni positive.
1.54 Se x e y sono due numeri reali che assumono tutti i valori nell’intervallo (−2, 3)escluso lo zero, dire quali sono i valori massimi e minimi che possono assumere le espressioni x+y, x−y, x·y, x
y.
1.55 Senza usare strumenti di calcolo automatico, confrontare i numeri√3 81 e√
27.
1.56 Discutere e risolvere l’equazione x
1−a2 − x
a−1+ x
a+1 =1.
1.57 Sapendo che è log107 = 0.845 . . . determinare il numero delle cifre di 7100
1.58 Quanti sono gli assi di simmetria di un triangolo equilatero?
1.59 Risolvere a mente l’equazione
(x−5)2=25
1.60 Una popolazione di 1000 stelle marine aumenta del 20% all’anno. Qual è l’aumento, in percentuale, ogni due anni?
Figura 1.4: finestra: esercizio 1.61
1.61 Una finestra ha la forma di un rettangolo sormontato da un semicerchio avente per diametro un lato del rettangolo, come mostrato in figura 1.4.
Sapendo che l’altezza complessiva della finestra è di 6m e l’area della parte rettangolare è 18m2calcolare l’area della finestra.
1.2 Calcolo combinatorio
Alcuni semplici esercizi di calcolo combinatorio per risolvere i quali basta poco più della definizione delle nozioni viste
1.62 Scrivere tutte le possibili permutazioni dei seguenti insiemi:
A={1}; B={5, 6}; C= {a, b, c}
1.2. Calcolo combinatorio 9
1.63 Calcolare i) 5!+6!
ii) 52!
50!
[ i) 5!=2·3·4·5=120; 6!=5!·6=120·6=720 quindi 5!+6!=840 ii) 52!
50! = 52·51·50!
50! =52·51=2652 ]
1.64 Trovare il numero delle disposizioni di 10 elementi a 4 a 4.
1.65 Trovare il numero delle disposizioni di n+4 elementi presi a n−2 alla volta.
[ Essendo Dnk=n(n−1)· · · (n−k+1)si ha:
(n+4)(n+3)· · · [n+4− (n−2) +1] = (n−4)(n−3)· · ·8·7 ]
1.66 Risolvere l’equazione Dn,5=30Dn−2,4
[ Ricordando l’espressione di Dnksi ha:
n(n−1)(n−2)(n−3)(n−4) =
=30(n−2)(n−3)(n−4)(n−5)
ed osservando che dev’essere n≥6 si ha, dividendo ambo i membri per (n−2)(n−3)(n−4)che è: n(n−1) =30(n−5)da cui le due soluzioni n1=6 e n2=25 ]
1.67 Calcolare C15,13e C6,4+C5,0 [ 105; 16]
1.68 Risolvere il sistema (
Cx,y =Cx,y+2
Cx,2=66
[ Risolviamo la seconda equazione: si hax(x2−1) =66 da cui le due soluzioni x1=−11 e x2=12. La prima, essendo x >2 è da scartare, sostituendo la seconda nella prima equazione si ha C12,y=C12,y+2ma dalle propriete.i coefficienti binomiali sappiamo anche che Cm,n =Cm,m−nqundi C12,y = C12,12−yda cui 12−y=y+2 e quindi y=5. ]
1.69 Risolvere le seguenti equazioni:
Dn−2,3 =4Dn−3,2 20Dn−2,3 =Dn,5 Dn,4=15Dn−2,3
[6; 5; 10; 6]
1.70 Verificare le seguenti uguaglianze:
i) Cn,6= Dn,n−6
Pn−6 C15,6=C15,9 C10,5+C10,6 =C11,6
1.71 Il numero delle combinazioni di n elementi a 3 a 3 è un quinto del numero delle combinazioni di n+2 elementi a 4 a 4. Trovare n.
[n=14 oppure n=3]
1.72 Qual è il massimo numero n di elementi di un insiemeI tale che il numero delle permutazioni diI sia inferiore a 100? e a 200?
1.73 Risolvere i seguenti sistemi di equazioni:
a)
(Cn,m =Cn,m+2
Cn,2=153 b)
(Cm,n =Cm,n+1
Dm,2 =20 .
[a) m=8, n=18 b) m=5 n=2]
Capitolo 2
I sistemi lineari, introduzione
In questo capitolo vengono proposti alcuni sistemi da risolvere con metodi elementari, cioè quelli imparati nelle Scuole Superiori. È importante provare a risolverli con metodi diversi e verificare sempre i risultati trovati.
2.1 (
x=7 3x+5y=1
(x+y=5 x−y=9
[ x=7, y=−4; x=7, y=−2]
2.2 (
x+y=0 x−y=4
( x−y=1 x+2y=3
[ x=2, y=−2; x=5 3, y= 2
3]
2.3 (
4y−x=y−4x x+y−1=1−x−y
[ non ha soluzioni]
2.4
x+y(x+1) = (x−1)(y−1) 3x+2y= 1
3
[
−2 3,7
6
]
2.5
x+y
11 +y+1 6 =2
x
2 = 2y−1 3
[[6, 5]]
11
2.6
1 2x+ 2
3y−4=4x−3 2y+1 (x−1)2+ (y+1)2= (x+1)2+ (y−1)2
[
−15 4;−15
4
]
Risolvere i seguenti sistemi letterali, verificare le soluzioni ed eventual- mente discuterle1:
2.7 (
x+y= a x−y=b
(ax+by=ac x =by
[
a+b 2 ;a−b
2
;
ac a+1; ac
b(a+1)
con b6=0 e a6= −1. . . ]
2.8 (
ax+by= ab bx+ay= ab
( ax−by= b2−2a2 ax+2by= a2−2b2
[
ab a+b; ab
a+b
con a6= ±b. . . ;
−a;a2−b2 b
con a6=0 e b6=0. . . ]
2.9
nx
m2−n2 + py
n2−m2 = 1 m+n nx+py=m+n
[
m n;n
p
]
Risolvere i seguenti sistemi di più di due equazioni in più di due incognite
2.10
x+y=8 y+z=28 z+x=14
3x−5y=1 4x+3z=2 3y−2z=7
[[−3, 11, 17];[2, 1,−2]]
2.11
x−1=3z 1−z=y 2(1−4x)−3z=9y+3
x+y+z=14 x+z=6y 3x−4y−4z=0
[[−2, 2,−1] [8, 2, 4]]
1Discutere un sistema lineare dipendente da uno o più parametri significa trovare per quali valori del o dei parametri il sistema ammette soluzioni e per ciascuno di essi quante ne ammette.
13
2.12
* Determinare i valori di a in modo che risultino impossibili i sistemi ( x+y=1
2x+ay=3
(3ax−y=3 x+2y=6
[a=2; a=−16] 2.13 Consideriamo gli stessi sistemi dell’esercizio precedente; determinare se esistono valori del parametro a per cui essi ammettono infinite soluzioni.
[ No, No]
2.14 Trovare due soluzioni distinte di ciascuno dei seguenti sistemi (che hanno ciascuno infinite soluzioni)
( x+y+z=1 x+2y+3z=4
1
2x−y−2z= 2 3 x+ 1
2y−1 3z =1
[Ad esempio{x=−1, y=1, z=1};{x=−2, y=3, z=0}e{x=0, y=
4
3, z=−1};{x= 1516, y=−152, z=0}. . . ]
2.15 La seguente uguaglianza di rapporti dà luogo ad un certo numero di equazioni indipendenti, quante? quali?
3x−y
3 = z+2y
4 = 3
x−z.
2.16 Indicare quale o quali dei seguenti sistemi può ammettere soluzione nel campo dei numeri reali. (Si richiede di escludere quelli impossibili senza risolvere i sistemi)
a
( x+y=1
x2+y2=−2 b
( x+y=2 3x−y=2 c
(2x+2y=5
x+y=3 d
(x+y =1 x+y =2 e
(x+y=5 x−y=5
Parte I
Algebra lineare
15
Capitolo 3
Matrici
3.1 Definizione di matrice
3.1 Data la matrice A=
1 3 2 2 3 1 3 1 2 2 1 3
, determinare gli elementi a31, a13
[a31=3, a13=2]
3.2 Verificare che per qualunque valore del parametro k la matrice A=
2 0 4 3
soddisfa la disuguaglianza
A2+kA+I 6=0
3.3 Scrivere la trasposta di ciascuna delle seguenti matrici:
A=
−1 0 3
; B=3 0 −4; C=
1 2 3 3 2 1
;
D=
1 2 3 4 5 6 0 0
; E=
1 0 1 0 1 2 2 3 1
; F=
1 2 3
2 5 7
3 7 2005
.
3.4 Calcolare la traccia delle matrici
1 3 0 −1
1 0 1 0 −1 3
3 2 1
a b c b a c c a b
[0, 1, 2a+b]
17
3.2 Operazioni sulle matrici
3.5 Se A e B sono, rispettivamente, le matrici sottoelencate, calcolare, quan- do è posssibile, la matrice C= A+B
i) A=
1 2 3 4
B=
−2 1
3 5
[
−1 3 6 9
]
ii) A=
1 2 3 3 4 5
B=
3 2 0 0 1 3
[
4 4 3
3 5 8
]
iii) A=
1 2 3 4
B=
3 2 0 0 1 3
[Non sono dello stesso tipo]
3.6 Se A e B sono, rispettivamente, le matrici sottoelencate, calcolare, quan- do è posssibile, la matrice C= A·B
i) A=
1 2 3 4
B=
−2 1
3 5
[
4 11 6 23
]
ii) A=
1 2 3 3 4 5
B=
3 2 0 0 1 3
[A non è conformabile con B]
iii) A=
1 2 3 4
B=
3 2 0 0 1 3
[
3 4 6
9 10 12
]
3.7 Sia A una matrice quadrata di ordine n; verificare che risulta A2= −A se e solo se è(I+A)2 = A.
3.8 Siano A una matrice quadrata di ordine m emisimmetrica e P una matri- ce di tipo(m, n). Verificare che la matrice B= PTAP è emisimmetrica.
3.9 Date le matrici A = 1 3 2
e B =
0 1
−3
, determinare AB e BA.
[
−3;
0 0 0
1 3 2
−3 −9 −6
]
.
3.10 Si considerino le matrici A=
h h−1 k k−1
e B=
h−1 h−1 k k−2
determi- nare i valori di k e h in modo che sia verificata la relazione A·B=0.
[h=k=1]
3.11 Si consideri la matrice A=
a b c 1−a
. Determinare gli eventuali valori dei parametri in modo che A sia idempotente (cioè sia A2= A).
[bc=a−a2]
3.2. Operazioni sulle matrici 19
3.12 Siano date le matrici A=
0 k 1 k −2 0
e B=
k −1 0
k 0 2
.
Verificare che non esiste alcun valore di k per cui sia BAT = I.
[ Se poniamo C=BATl’elemento c21è:
c21=b21a11+b22a21+b23a31=k·0+0·k+2·1=26=0 e quindi C non può essere la matrice unità. ]
3.13 Data la matrice A=
k 0 2 k+1
, determinare k in modo che la matrice
B= A2+A−2I sia simmetrica. [k=−1]
3.14 Determinare per quali valori di a, b, c e d sono non nulle e permutabili le matrici A=
a 0 b a
e B =
c d 0 c
. [b·d=0 e a6=0 oppure c6=0]
3.15 Verificare che ogni matrice simmetrica permutabile con la matrice A = 1 0
2 3
è permutabile con qualunque matrice di ordine 2.
3.16 Determinare tutte le matrici quadrate di ordine 2 triangolari inferiori non simmetriche per cui si abbia A2+A=0
[
0 0 b −2
,
−2 0 b 0
con b6=0]
3.17 Determinare tutte le matrici permutabili con A=
−1 1
−1 2
.
[ Le matrici cercate devono, ovviamente, essere quadrate e di ordine 2: sia X=
a b c d
si ha AX=
c−a d−b 2c−a 2c−b
e XA=
−a−b a+2b
−c−d c+2d
ugua-
gliando gli elementi di ugual posto si ottiene il sistema
c−a=−a−b d−b=a+2b 2c−a=−c−d 2d−b=c+2d che ammette la soluzione c=−b e d=3b+a da qui le matrici
a b
−b a+3b
. ]
3.18 Trovare tutte le matrici quadrate X di ordine 2 tali che X2= I =
1 0 0 1
[
±1 0 k ±1
±1 k 0 ±1
±√
1−hk h
k ±√
1−hk
]
3.19 Si considerino le matrici A=
1 1 0 h
e B =
−1 2 0 1
. Verificare che le relazioni(AB)2 = A2B2e AB 6= BA sono incompatibili per qualsiasi valore di h.
3.20 Determinare due matrici non nulle A e B di ordine 2 tali che sia BA=
2AB. [Ad esempio A=
0 x 0 y
e B=
a b 0 0
con ax+by=0.]
3.21 Sia A=
1 0 2 1
. Dimostrare, per induzione, che An=
1 0 2n 1
.
3.22 Dimostrare che non esiste nessuna matrice per cui valgano simultanea- mente le relazioni (
X2+2X−2I=0 X2−X−6I=0.
3.23 Siano A(2, 3), B(3, 4)C(4, 1), esiste la matrice D= A·B·C? se si di che
tipo è? [ Si, di tipo(2, 1)]
3.24 Siano A(2, 3)B(3, 3)e C(3, 2). La matrice ABC è quadrata? se sì di che
ordine? [Sì, di ordine 2]
3.25 Scrivere tre matrici A , B e C tali che non esista ABC ma esistano AB ed AC.
3.26 Scrivere due matrici A e B di tipi rispettivamente(2, 3)e(3, 2)tali che AB=0e BA6=0
3.27 Sia A=
1 0 1 0 1 0 1 1 1
; calcolare A3. [A3=
4 3 4
0 1 0
4 3 4
]
3.28 Facendo riferimento alla matrice dell’esercizio 3.27 ed al risultato trovato,
calcolare A5 [A5=
16 15 16
0 1 0
4 3 4
]
3.29 Date le matrici A =
1 0 a b
e B =
2 x 3 y
, calcolare A2·B2 e(AB)2 e osservare i risultati.
3.3. Matrici a blocchi ed equivalenza di matrici 21
3.30 Risolvere, quando è possibile, i seguenti sistemi matriciali:
(X−2Y= I X+Y=2Y
( X2+X−2I=0 X2−3X+2I=0 (X−2I= XT
X+2XT =0
[X= 53I, Y=13I; X=I; impossibile]
3.31 Determinare per quali valori di k il sistema matriciale
X2=kX X−Y =0 (X−I)Y+YX=0
ammette soluzioni non nulle. [k=12]
3.32 Risolvere il sistema matriciale
( X =−YT
2X+2Y =0
[X=−Y con X ed Y emisimmetriche]
3.3 Matrici a blocchi ed equivalenza di matrici
3.33 Ripartire le seguenti matrici in quattro blocchi conformabili ed eseguire il prodotto a blocchi
A=
1 2 1 0 0 2 0 0 3
B=
0 a b 0 c d 1 e f
3.34 Si consideri la matrice A=
1 2 3 3 2 1 2 1 3
. Trovare una matrice equivalente
alla A che sia triangolare superiore. [
1 2 3
0 −4 −8
0 0 3
]
3.35 Sia A la matrice dell’esercizio 3.34. Trovare una matrice equivalente ad
A che sia triangolare bassa. [
−125 0 0
7
3 5
3 0
2 1 3
]
3.36 Se A è ancora la matrice dell’esercizio 3.34, esiste una matrice diagonale equivalente ad A?
3.37 Trovare il rango delle seguenti matrici:
A=
1 2 0 2 1 1 3 3 1
B=
1 2 3 1 2 6 0 0 3 3 0 1
C=
0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
[r(A) =3, r(B) =3, r(C) =2]
3.38 Sia
A=
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1
.
Se B è una matrice 4×4 divisa in blocchi B=
B1 B2
dove B1e B2sono matrici 2×4, mostrare che AB=
B2 B2
con una opportuna partizione in
blocchi di A. Verificare il risultato con B=
2 3 −2 −3
1 −1 1 −1
−2 1 2 −1
1 2 −1 −2
3.39 Ripartire le seguenti matrici in quattro blocchi conformabili ed eseguire il prodotto a blocchi
A=
1 2 1 0 0 2 0 0 3
B=
0 a b 0 c d 1 e f
3.40
* Se A è una matrice m×n e B è una matrice p×q chiamiamo somma diretta di A e B la matrice a blocchi A⊕B =
A 0 0 B
. In generale
A1⊕A2⊕ · · · ⊕An =
A1 0 . . . 0 0 A2 . . . 0
· · · · 0 0 . . . An
. Siano ora
A1=
1 2
−1 1
A2 =
0 1 1 0
B1=
3 −1 1 −2
B2=
1 2 3 4
Mostrare che:
3.3. Matrici a blocchi ed equivalenza di matrici 23
i) (A1⊕A2) + (B1⊕B2) = (A1+B1)⊕ (A2+B2) ii) (A1⊕A2)· (B1⊕B2) = (A1B1)⊕ (A2B2)
3.41 Tenendo conto della definizione data nell’esercizio 3.40, se Aie Bi sono matrici quadrate di ordine ni (i=1, . . . , m), mostrare che
(A1⊕ · · · ⊕Am)(B1⊕ · · · ⊕Bm) = (A1B1⊕ · · · ⊕AmBm) 3.42 Se Ai è quadrata di ordine ni (i = 1, . . . , l) e se A = A1⊕ · · · ⊕Al
mostrare che
∑
m k=1ckAk =
∑
m k=1ckAk1
!
⊕ · · · ⊕
∑
m k=1ckAkl
!
3.43
* Sia z =a+ib un numero complesso. Definiamo la matrice reale M(z) = a −b
b a
. Verificare che per ogni coppia di numeri complessi z e w si ha M(z+w) = M(z) +M(w); M(zw) =M(z)M(w).
Capitolo 4
Spazi vettoriali
La scrittura< ~v1, . . . ,~vn>indica lo spazio vettoriale generato dai vettori~v1, . . . ,~vn cioè l’insieme di tutte le possibili combinazioni lineari di questi vettori. Indicheremo da qui in avanti conPn(x)lo spazio vettoriale dei polinomi di grado non maggiore di n nella variabile x, e conMm,n(K)quello delle matrici di tipo n×m sul campo K; dove non esplicitamente precisato si sottintende K=R.
4.1 Sottospazi e basi
4.1 Fornire esempi di leggi di composizione in insiemi numerici che non corrispondano ad operazioni dell’aritmetica elementare.
4.2 Fornire esempi di insiemi non chiusi rispetto ad opportune leggi di composizione.
4.3 Scrivere due differenti combinazioni lineari dei vettori
~v= 1 0 −1 w~ =−1 0 2 ~u=0 2 1
~z=0 0 3
4.4 Scrivere 3 vettori diR4linearmente indipendenti
4.5 Scrivere tre vettori diR4linearmente dipendenti ma non proporzionali a due a due.
4.6 Riferendosi ai vettori dell’esercizio 4.3 dire:
i) se sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti
[4 vettori inR3sono sempre dipendenti]
ii) dire se~v,~w e~u sono linearmente indipendenti [Si]
iii) dire se~v,~w e~z sono linearmente dipendenti o indipendenti.
25
[Da a[1, 0,−1] +b[−1, 0, 2] +c[0, 0, 3] = 0si ottiene a = b = −3c e quindi~v,~w e~z sono linearmente dipendenti perché esiste una loro combinazione lineare, ad esempio 3~v+3~w−~z, che coincide con il vettore nullo senza che siano nulli tutti i coefficienti.]
4.7 Dati i seguenti 4 vettori diR3:~e1= [1, 0, 0],e~2 = [0, 1, 0],~u= [3, 4, 2]e
~v= [2, 5, 0], quale bisogna eliminare tra~u e~v in modo che i rimanenti 3 formino una base. [~v=2~e1+5~e2. . . ]
4.8 Trovare una base{~e1,~e2}diR2tale che [1, 0] = ~e1+ ~e2 [0, 1] = ~e1− ~e2.
[~e1=h12,12i
,~e2=h12,−12i] 4.9 Sia V=R2+l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali strettamente positivi. Definiamo in V le seguenti operazioni come somma e prodotto per uno scalare:
[a, b]⊕ [c, d] = [ac, bd] e α⊗ [a, b] = [aα, bα] Verificare che:
i) Rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto per uno scalare V non è uno spazio vettoriale.
ii) Rispetto a queste operazioni, V è uno spazio vettoriale su R e determinare il vettore nullo e l’opposto del vettore[a, b].
[. . . 0= [1, 1],−[a, b] =h1a,1bi
; . . . ]
4.10 Sia V uno spazio vettoriale sul campoK e rispettivamente~v e~w due vettori di V e λ e µ due scalari diK; dimostrare che
i) λ~v=λ~w, λ6=0 =⇒ ~v= ~w ii) λ~v=µ~v,~v6=0 =⇒ λ=µ 4.11
* Verificare che l’insieme V ≡
a 2b 3b a
: a, b∈R
è un sottospazio dello spazio vettorialeM2 delle matrici quadrate di ordine 2.
