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mentre una misura simultanea dell’osservabile A compatibile con H da solo due valori a

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Academic year: 2021

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Suggerimenti per la soluzione del

I Parziale di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 15 Novembre 2019

1) Su di uno stato una misura di energia da sempre il valore E

0

mentre una misura simultanea dell’osservabile A compatibile con H da solo due valori a

0

ed a

1

.

- Come posso esprimere lo stato?

- Come posso esprimere la sua evoluzione temporale?

- Se misuro A al tempo t dopo avere misurato l’energia al tempo t = 0 la probabilit` a di ottenere i due possibili valori dipende dal tempo?

Si pu` o notare come H ed A sono misurabili contemporaneamente

A risolve la degenerazione di H quindi lo stato si esprime come somma dei due autostati diA, la degenerazione di A su tali stati permette

di risolvere facilmente i due restanti questiti.

2) Una particella di massa m ` e vincolata su di un segmento [0, L]. La particella ` e in uno stato per cui una misura di energia pu` o fornire esclusivamente i due valori ¯ h

2

π

2

/2mL

2

e 2¯ h

2

π

2

/mL

2

in modo equiprobabile.

- Determinare la densit` a di probabilit` a di trovare la particella nel punto x = L/2 al tempo t.

La funzione d’onda ` e la combinazione lineare di due autostati mentre la densit` a di probabilit` a ` e il suo modulo quadro.

Analizzando la parit` a rispetto a L/2 delle due autofunzioni....

3) In un oscillatore armonico unidimensionale il valor medio dell’operatore di distruzione al tempo zero

` e

< a >= α con α numero complesso.

- Determinare < x(t) > e < p(t) >

E’ utile esprimere il valor medio di a

su tale stato e poi applicare il teorema di Eherefest...

4) Una particella libera unidimensionale si massa m ` e descritta dalla funzione d’onda nella rappresen- tazione degli impulsi:

φ(p) = A q

p

20

− p

2

con |p| < p

0

mentre φ(p) = 0 altrimenti.

- Normalizzare la funzione d’onda.

- Determinare < p > su tale stato.

- Determinare il valor medio < x(t) > nel tempo.

E’ utile analizzare la parita della autofunzione nella rappresentazione degli impulsi...

1

(2)

5) La funzione d’onda associata ad uno stato pu` o essere:

a) un autofunzione dell’oscillatore armonico unidimensionale

b) una combinazione lineare normalizzata di due autostati distinti dell’oscillatore armonico unidi- mensionale

- Determinare nei due casi la corrente associata.

Bisogna notare come le autofunzioni dell’oscillatore armonico unidimensionale siano reali...

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