Oscillatore Armonico in M.Q.
Oscillatore Armonico Unidimensionale Risoluzione in coordinate cartesiane
L’oscillatore armonico unidimensionale è un sistema che ha la seguente Hamiltoniana:
𝐻 = 𝑃2 2𝑀 +
1
2 𝑀𝜔2𝑥2
Tale Hamilatoniana è indipendente dal tempo, l’equazione di Shroedinger da risolvere è quindi quella indipendente dal tempo degli auto valori dell’energia:
𝐻�𝜓 = 𝐸𝑛𝜓
L’operatore 𝐻� è quello corrispondente all’Hamiltoniana precedente:
𝐻� = −ℏ2 2𝑀
𝜕2
𝜕𝑥2+1
2 𝑀𝜔2𝑥2 Quindi l’equazione è
− ℏ2 2𝑀
𝜕2
𝜕𝑥2𝜓𝑛+1
2 𝑀𝜔2𝑥2𝜓𝑛= 𝐸𝑛𝜓𝑛
Questa equazione è comunemente risolta nei testi base di Meccanica Quantistica.
Per la risoluzione si osserva che asintoticamente
𝜕2
𝜕𝑥2𝜓 ∝ 𝑥2𝜓 Quindi si cerca una soluzione del tipo
𝜓𝑛= 𝐶𝑛𝑃𝑛(𝛼𝑥)𝑒−𝑚𝜔2ℏ 𝑥2
Dove 𝐶𝑛 è un coefficiente di normalizzazione, 𝑃𝑛 è un polinomio (soluzione in serie di potenze) ed 𝛼 è una costante che ha le dimensioni dell’inverso di una lunghezza per rendere adimensionale la variabile del polinomio 𝛼𝑥.
Ponendo
𝛼 = �𝑚𝜔 ℏ �
12
L’equazione che si ottiene per 𝑃𝑛 è allora
𝑃̈(ℰ) − 2ℰ𝑃̇(ℰ) + �2𝐸
ℏ𝜔 − 1� 𝑃(ℰ) = 0 Scrivendo il polinomio
𝑃(ℰ) = � 𝑎𝑘ℰ𝑘
∞
𝑘=0
Otteniamo la relazione
(𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝑎𝑘+2= �2𝑘 + 1 −2𝐸 ℏ𝜔� 𝑎𝑘
Dal fatto ce il polinomio deve contenere un numero finito di termini, altrimenti la soluzione sarebbe non normalizzabile, otteniamo che deve esistere k intero tale che
2𝑘 + 1 −2𝐸 ℏ𝜔 = 0 Da qui otteniamo che gli auto valori del sistema devono essere
𝐸𝑛= ℏ𝜔 �1 2 + 𝑛�
La relazione lega ogni coefficiente k-esimo a quello k-2-esimo, quindi a priori per ogni n ci potrebbero essere due serie indipendenti, una di coefficienti di potenze pari ed una di potenze dispari.
Però per n pari terminerà solo la serie dei coefficienti di potenze pari, e per n dispari solo quella dispari, e quindi la soluzione può contenere solo potenze pari per n pari e solo potenze dispari per n dispari.
Questo è coerente col fatto che poiché l’Hamiltoniana commuta con la parità le soluzioni devono essere auto stati della parità, cioè avere parità definita.
I primi coefficienti non nulli sono sempre necessariamente quello per k=0 nel casi pari e k=1 nel caso dispari, in quanto (𝑘 + 2)(𝑘 + 1) non si annulla per nessun 𝑘 ≥ 0.
I polinomi soluzioni dell’equazione sono i polinomi di Hermite 𝐻𝑛
Tali polinomi sono ortogonali rispetto al prodotto
� 𝑑ℰ+∞
−∞ 𝑒−ℰ2𝐻𝑛(ℰ)𝐻𝑚(ℰ)
Come ci aspettavamo essendo auto vettori dell’Hamiltoniana riferiti a differenti auto valori.
I primi polinomi di Hermite sono:
𝐻0(𝑥) = 1 𝐻1(𝑥) = 2𝑥 𝐻2(𝑥) = 4𝑥2− 1 𝐻3(𝑥) = 8𝑥3− 12𝑥 𝐻4(𝑥) = 16𝑥4− 48𝑥2+ 12 𝐻5(𝑥) = 32𝑥5− 160𝑥3+ 120𝑥
Dalla condizione di ortonormalità delle funzioni d’onda otteniamo
𝐶𝑛 = �𝑚𝜔 𝜋ℏ�
14
� 1 2𝑛𝑛!�
12
E otteniamo l’espressione generale per la funzione d’onda:
𝜓𝑛 = �𝑚𝜔 𝜋ℏ�
14
� 1 2𝑛𝑛!�
12
𝐻𝑛��𝑚𝜔 ℏ �
12
𝑥� 𝑒−𝑚𝜔2ℏ 𝑥2
Elenchiamo qui le prime funzioni d’onda in ordine di 𝑛 crescente:
𝜓0(𝑥) =𝑒−𝑚𝜔𝑥2ℏ2(𝑚𝜔ℏ )1 4⁄ 𝜋1 4⁄
𝜓1(𝑥) =𝑒−𝑚𝜔𝑥2ℏ2𝑥(𝑚𝜔ℏ )3 4⁄ 𝜋1 4⁄
𝜓2(𝑥) =𝑒−𝑚𝜔𝑥2ℏ2(−2 + 4𝑚𝜔𝑥ℏ )(2 𝑚𝜔 ℏ )1 4⁄ 8𝜋1 4⁄
𝜓3(𝑥) =𝑒−𝑚𝜔𝑥2ℏ2𝑥(2𝑚𝜔𝑥2− 3ℏ)(𝑚𝜔ℏ )3 4⁄ 12𝜋1 4⁄ ℏ
𝜓4(𝑥) =𝑒−𝑚𝜔𝑥2ℏ2(𝑚𝜔ℏ )1 4⁄ (4𝑚2𝜔2𝑥4+ 3ℏ(−4𝑚𝜔𝑥2+ ℏ)) 96𝜋1 4⁄ ℏ
Oscillatore Armonico Bidimensionale
L’oscillatore armonico bimensionale è un sistema che ha la seguente Hamiltoniana:
𝐻 = 𝑃2 2𝑀 +
1
2 𝑀𝜔2𝑟2= 𝑃𝑥2 2𝑀 +
1
2 𝑀𝜔2𝑥2+𝑃𝑦2
2𝑀 + 1
2 𝑀𝜔2𝑦2
Risoluzione in coordinate cartesiane
Tale Hamilatoniana è indipendente dal tempo, l’equazione di Shroedinger da risolvere è quindi quella indipendente dal tempo degli auto valori dell’energia, ma stavolta serviranno 2 auto valori per determinare lo stato del sistema:
𝐻�𝜓 = 𝐸𝑎,𝑏𝜓
L’operatore 𝐻� è quello corrispondente all’Hamiltoniana precedente:
𝐻� = − ℏ2 2𝑀
𝜕2
𝜕𝑥2− ℏ2 2𝑀
𝜕2
𝜕𝑦2+1
2 𝑀𝜔2𝑥2+1
2 𝑀𝜔2𝑦2
Quindi l’equazione è
− ℏ2 2𝑀
𝜕2
𝜕𝑥2𝜓𝑎,𝑏− ℏ2 2𝑀
𝜕2
𝜕𝑦2𝜓𝑎,𝑏+1
2 𝑀𝜔2𝑥2𝜓𝑎,𝑏+1
2 𝑀𝜔2𝑦2𝜓𝑎,𝑏= 𝐸𝑎,𝑏𝜓𝑎,𝑏
Vediamo che l’equazione ammette come soluzioni normalizzabili solo soluzioni a variabili separabili, cioè del tipo
𝜓𝑎,𝑏(𝑥, 𝑦) = Ψ𝑎(𝑥)Ψ𝑏(𝑦) Se dividiamo da entrambe la parti per la funzione d’onda otteniamo
− ℏ2 2𝑀
Ψ𝑎̈ (𝑥) Ψ𝑎(𝑥) −
ℏ2 2𝑀
Ψ𝑏̈ (𝑦) Ψ𝑏(𝑦) +
1
2 𝑀𝜔2𝑥2+1
2 𝑀𝜔2𝑦2 = 𝐸𝑎,𝑏
Il termine
− ℏ2 2𝑀
Ψ𝑎̈ (𝑥) Ψ𝑎(𝑥) +
1
2 𝑀𝜔2𝑥2 Dipende al più da da 𝑥, mentre l’altro termine
− ℏ2 2𝑀
Ψ𝑏̈ (𝑦) Ψ𝑏(𝑦) +
1
2 𝑀𝜔2𝑦2
Dipende al più da 𝑦, e la loro somma è una costante. Allora i due termini devono essere entrambi indipendenti sia da 𝑥 che da 𝑦, ed essere delle costanti. Possiamo allora scomporre l’equazione nel seguente sistema:
⎩⎪
⎨
⎪⎧− ℏ2𝑀2 Ψ𝑎̈ (𝑥) Ψ𝑎(𝑥) +
1
2 𝑀𝜔2𝑥2+1
2 𝑀𝜔2𝑥2= 𝐸𝑎
− ℏ2 2𝑀
Ψ𝑏̈ (𝑦) Ψ𝑏(𝑦) +
1
2 𝑀𝜔2𝑥2+1
2 𝑀𝜔2𝑦2 = 𝐸𝑏 𝐸𝑎+ 𝐸𝑏= 𝐸𝑎,𝑏
Le due equazioni differenziali sono uguali a quelle dell’oscillatore armonico unidimensionale, quindi le soluzioni sono quelle già trovate. Otteniamo così che gli auto valori sono
𝐸𝑎,𝑏 = ℏ𝜔 �1
2 + 𝑎� + ℏ𝜔 � 1
2 + 𝑏� = ℏ𝜔(1 + 𝑎 + 𝑏) E le funzioni d’onda sono in forma generale:
𝜓𝑎,𝑏(𝑥, 𝑦) = �𝑚𝜔 𝜋ℏ�
12
� 1 2𝑎𝑎!�
12
� 1 2𝑏𝑏!�
12
𝐻𝑎��𝑚𝜔 ℏ �
12
𝑥� 𝐻𝑏��𝑚𝜔 ℏ �
12
𝑦� 𝑒−𝑚𝜔2ℏ 𝑥2𝑒−𝑚𝜔2ℏ 𝑦2
Risoluzione in coordinate polari
L’operatore 𝐻� va scritto ora in coordinate polari:
𝐻� = − ℏ2 2𝑀 �
1 𝑟
𝜕
𝜕𝑟 �𝑟
𝜕
𝜕𝑟� + 1 𝑟2
𝜕2
𝜕𝜃2� +1
2 𝑀𝜔2𝑟2
𝐻� = − ℏ2 2𝑀
1 𝑟
𝜕
𝜕𝑟 �𝑟
𝜕
𝜕𝑟� − ℏ2 2𝑀
1 𝑟2
𝜕2
𝜕𝜃2+1
2 𝑀𝜔2𝑟2
Si può riconoscere nel secondo termine il quadrato dell’operatore 𝐿𝑧:
𝐻� = − ℏ2 2𝑀
1 𝑟
𝜕
𝜕𝑟 �𝑟
𝜕
𝜕𝑟� − 𝐿�𝑧2
2𝑀𝑟2+1
2 𝑀𝜔2𝑟2 𝐿�𝑧 = −𝑖 ℏ 𝜕
𝜕𝜃
In queste coordinate allora si possono trovare soluzioni che siano auto sati sia dell’energia che di 𝐿𝑧. L’equazione è:
− ℏ2 2𝑀
1 𝑟
𝜕
𝜕𝑟 �𝑟
𝜕
𝜕𝑟 𝜓𝑛,𝑚� − ℏ2 2𝑀
1 𝑟2
𝜕2
𝜕𝜃2𝜓𝑛,𝑚+1
2 𝑀𝜔2𝑟2𝜓𝑛,𝑚= 𝐸𝑛,𝑚𝜓𝑛,𝑚
Ponendo
𝜓𝑛,𝑚(𝑟, 𝜃) = 𝐴𝑛,𝑚ϱ𝑛,𝑚(𝑟)φ𝑚(𝜃)
dove 𝐴𝑛 è un opportuno coefficiente di normalizzazione, dividendo per la funzione d’onda e moltiplicando per 𝑟2 troviamo
− ℏ2 2𝑀
𝑟2 𝑟ϱ𝑛,𝑚(𝑟)
𝜕
𝜕𝑟 �𝑟
𝜕
𝜕𝑟 ϱ𝑛,𝑚(𝑟)� − ℏ2 2𝑀
φ𝑚̈ (𝜃) φ𝑚(𝜃) +
1
2 𝑀𝜔2𝑟4= 𝐸𝑛,𝑚𝑟2 Il termine
− ℏ2 2𝑀
𝑟2 𝑟ϱ𝑛,𝑚(𝑟)
𝜕
𝜕𝑟 �𝑟
𝜕
𝜕𝑟 ϱ𝑛,𝑚(𝑟)� +1
2 𝑀𝜔2𝑟4− 𝐸𝑛,𝑚𝑟2 Dipende al più da da 𝑟, mentre l’altro termine
− ℏ2 2𝑀
φ𝑚̈ (𝜃) φ𝑚(𝜃)
Dipende al più da 𝜃, e la loro somma è una costante. Allora i due termini devono essere entrambi indipendenti sia da 𝑟 che da 𝜃, ed essere delle costanti.
Ponendoli uguali a una costante osservo che il termine in 𝜃 da gli auto stati di 𝐿𝑧:
− ℏ2 2𝑀
φ𝑚̈ (𝜃) φ𝑚(𝜃) =
𝐿𝑧2 2𝑀 =
ℏ2𝑚2 2𝑀 Dove 𝑚 sarà detto numero quantico azimutale.
Le soluzioni sono
φ𝑚(𝜃) = 𝑒𝑖𝑚𝜃
Perché la funzione d’onda sia periodica di 2𝜋 come deve essere poiché una rotazione di 2𝜋 lascia il sistema invariato, m deve essere un numero intero.
L’equazione per la componente radiale diventa:
− ℏ2 2𝑀
1 𝑟
𝜕
𝜕𝑟 �𝑟
𝜕
𝜕𝑟 ϱ𝑛,𝑚(𝑟)� + ℏ2 2𝑀
𝑚2
𝑟2 ϱ𝑛,𝑚(𝑟) +1
2 𝑀𝜔2𝑟2ϱ𝑛,𝑚(𝑟) = 𝐸𝑛,𝑚ϱ𝑛,𝑚(𝑟) Con lo stesso ragionamento fatto per il sistema unidimensionale separiamo la dipendenza asintotica:
ϱ𝑛,𝑚= 𝑃𝑛,𝑚(𝛼𝑟)𝑒−𝑚𝜔2ℏ 𝑟2 Con
𝛼 = �𝑚𝜔 ℏ �
12
L’equazione per P diventa:
−𝑃̇(ℰ)
ℰ − 𝑃̈(ℰ) + 𝑚2 𝑃
ℰ2 = 2 ��𝐸𝑛,𝑚
ℏ𝜔 − 1� 𝑃(ℰ) − ℰ𝑃̇(ℰ)�
Scrivendo il polinomio
𝑃(ℰ) = � 𝑎𝑘ℰ𝑘
∞
𝑘=0
Otteniamo la relazione
(𝑚2− 𝑘2)𝑎𝑘= 2 �𝐸𝑛,𝑚
ℏ𝜔 + 1 − 𝑘� 𝑎𝑘−2
Dal fatto che il polinomio deve contenere un numero finito di termini, altrimenti la soluzione sarebbe non normalizzabile, otteniamo che deve esistere k intero tale che
𝐸𝑛,𝑚
ℏ𝜔 + 1 − 𝑘 = 0 Quindi troviamo che gli auto valori sono, come ci attendevamo:
𝐸𝑛,𝑚= 𝐸𝑛= ℏ𝜔(1 + 𝑛) E la relazione diventa
(𝑚2− 𝑘2)𝑎𝑘= 2(𝑛 + 2 − 𝑘)𝑎𝑘−2
Il primo termine non nullo di ogni polinomio sarà dato da 𝑘 che annulla i coefficiente del membro sinistro, e quindi per 𝑘 = |𝑚|, mentre l’ultimo sarà dato dal 𝑘 − 2 tale che si annulli il coefficiente del membro destro, quindi per 𝑘 = 𝑛.
Il numero quantico 𝑚 dovrà avere la stessa parità di 𝑛 ed inoltre dovrà rispettare la disequazione
|𝑚| ≤ 𝑛
Anche in questo caso il coefficiente k-esimo è legato al coefficiente k-2-esimo, e i polinomi sono contengono solo potenze pari o dispari, infatti l’equazione per r è invariante per parità.
Elenchiamo ora i primi polinomi:
𝑃0,0(𝑟) = 1 𝑃1,1(𝑟) = 𝑟 𝑃2,0(𝑟) = 1 − 𝑟2
𝑃2,2(𝑟) = 𝑟2 𝑃3,1(𝑟) = 𝑟 −1
2 𝑟3 𝑃3,3(𝑟) = 𝑟3
𝑃4,0(𝑟) = 1 −1 2 𝑟2+1
2 𝑟4 𝑃4,2(𝑟) = 𝑟2−1
3 𝑟4 𝑃4,4(𝑟) = 𝑟4
𝑃5,1(𝑟) = 𝑟 − 𝑟3+1 6 𝑟5 𝑃5,3(𝑟) = 𝑟3−1
4 𝑟5 𝑃5,5(𝑟) = 𝑟5 Ricordandoci che
𝑃𝑛,−𝑚 = 𝑃𝑛,𝑚
E le funzioni d’onda sono allora
𝜓𝑛,𝑚(𝑟, 𝜃) = �1 2𝜋�
12 𝑃𝑛,𝑚(𝛼𝑟)𝑒−𝑚𝜔2ℏ 𝑟2
∫ 𝑑𝑟 �𝑃0+∞ 𝑛,𝑚(𝛼𝑟)�2𝑒−𝑚𝜔ℏ 𝑟2𝑟𝑒𝑖𝑚𝜃
Elenchiamo qui le prime funzioni d’onda, in ordine di 𝑛 crescente, e quindi di 𝑚 crescente:
𝜓0,0(𝑟, 𝜃) = 𝑒−𝑚𝜔𝑟2ℏ2
√𝜋� ℏ𝑚𝜔
𝜓1,1(𝑟, 𝜃) =𝑒−𝑚𝜔𝑟2ℏ2𝑒𝑖𝜃𝑟
√𝜋� ℏ𝑚22𝜔2
𝜓2,0(𝑟, 𝜃) =𝑒−𝑚𝜔𝑟2ℏ2�1 − 𝑚𝑟2𝜔 ℏ �
√𝜋� ℏ𝑚𝜔
𝜓2,2(𝑟, 𝜃) =𝑒−𝑚𝜔𝑟2ℏ2𝑒2𝑖𝜃𝑟2
√2𝜋� ℏ𝑚33𝜔3
𝜓3,1(𝑟, 𝜃) =𝑒−𝑚𝜔𝑟2ℏ2𝑒𝑖𝜃�2𝜋�𝑟 −𝑚𝑟3𝜔 2ℏ �
� ℏ𝑚22𝜔2
𝜓3,3(𝑟, 𝜃) =𝑒−𝑚𝜔𝑟2ℏ2𝑒3𝑖𝜃𝑟3
√6𝜋� ℏ𝑚44𝜔4
𝜓4,0(𝑟, 𝜃) =𝑒−𝑚𝜔𝑟2ℏ2�1 + 𝑚𝑟2𝜔(𝑚𝑟2𝜔 − 4ℏ)
2ℏ2 �
√𝜋� ℏ𝑚𝜔
𝜓4,2(𝑟, 𝜃) =𝑒−𝑚𝜔𝑟2ℏ2𝑒2𝑖𝜃𝑟2(−𝑚𝑟2𝜔 + 3ℏ)
√6𝜋ℎ𝑡� ℏ3 𝑚3𝜔3
𝜓4,4(𝑟, 𝜃) =𝑒−𝑚𝜔𝑟2ℏ2𝑒4𝑖𝜃𝑟4 2√6𝜋� ℏ𝑚55𝜔5
Oscillatore Armonico Tridimensionale
L’oscillatore armonico trimensionale è un sistema che ha la seguente Hamiltoniana:
𝐻 = 𝑃2 2𝑀 +
1
2 𝑀𝜔2𝑟2= 𝑃𝑥2 2𝑀 +
1
2 𝑀𝜔2𝑥2+𝑃𝑦2
2𝑀 + 1
2 𝑀𝜔2𝑦2+𝑃𝑧2 2𝑀 +
1
2 𝑀𝜔2𝑧2
Risoluzione in coordinate cartesiane
Analogamente al caso in due dimensioni, si ha:
𝜓𝑎,𝑏,𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑧) = Ψ𝑎(𝑥)Ψ𝑏(𝑦)Ψ𝑐(𝑧) E quindi avremo
𝐸𝑎,𝑏,𝑐 = ℏ𝜔 �1
2 + 𝑎� + ℏ𝜔 � 1
2 + 𝑏� + ℏ𝜔 � 1
2 + 𝑐� = ℏ𝜔 � 3
2 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐�
E per le funzioni d’onda 𝜓𝑎,𝑏,𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑧)
= �𝑚𝜔 𝜋ℏ�
34
� 1 2𝑎𝑎!�
12
� 1 2𝑏𝑏!�
12
� 1 2𝑐𝑐!�
12
𝐻𝑎��𝑚𝜔 ℏ �
12
𝑥� 𝐻𝑏��𝑚𝜔 ℏ �
12
𝑦� 𝐻𝑐��𝑚𝜔 ℏ �
12
𝑧� 𝑒−𝑚𝜔2ℏ 𝑥2𝑒−𝑚𝜔2ℏ 𝑦2𝑒−𝑚𝜔2ℏ 𝑧2
Risoluzione in coordinate cilindriche
L’operatore 𝐻� va scritto ora in coordinate cilindriche:
𝐻� = − ℏ2 2𝑀 �
1 𝑟
𝜕
𝜕𝑟 �𝑟
𝜕
𝜕𝑟� + 1 𝑟2
𝜕2
𝜕𝜃2+ 𝜕2
𝜕𝑧2� +1
2 𝑀𝜔2𝑟2+1
2 𝑀𝜔2𝑧2
𝐻� = − ℏ2 2𝑀
1 𝑟
𝜕
𝜕𝑟 �𝑟
𝜕
𝜕𝑟� − ℏ2 2𝑀
1 𝑟2
𝜕2
𝜕𝜃2− ℏ2 2𝑀
𝜕2
𝜕𝑧2+1
2 𝑀𝜔2𝑟2+1
2 𝑀𝜔2𝑧2 Ancora una volta si vede che le uniche soluzioni sono a variabili separabili:
𝜓𝑛,𝑚,𝑐(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝐴𝑛,𝑚,𝑐ϱ𝑛,𝑚(𝑟)φm(θ)Ψ𝑐(𝑧)
⎩⎪
⎨
⎪⎧= −ℏ2 2𝑀 �
1 𝑟
𝜕
𝜕𝑟 �𝑟
𝜕
𝜕𝑟� + 1 𝑟2
𝜕2
𝜕𝜃2+ 𝜕2
𝜕𝑧2� +1
2 𝑀𝜔2𝑟2= 𝐸𝑛
− ℏ2 2𝑀
Ψ𝑐̈ (𝑧) Ψ𝑐(𝑧) +
1
2 𝑀𝜔2𝑧2= 𝐸𝑐 𝐸𝑛+ 𝐸𝑐 = 𝐸𝑛,𝑚,𝑐
E quindi
𝐸𝑛,𝑚,𝑐 = 𝐸𝑛,𝑐 = ℏ𝜔(1 + 𝑛) + ℏ𝜔 �1
2 + 𝑐� = ℏ𝜔 � 3
2 + 𝑛 + 𝑐�
e
𝜓𝑛,𝑚,𝑐(𝑟, 𝜃, 𝑧) = � 1 2𝜋�
12 𝑃𝑛,𝑚(𝛼𝑟)𝑒−𝑚𝜔2ℏ 𝑟2
∫0+∞𝑑𝑟 �𝑃𝑛,𝑚(𝛼𝑟)�2𝑒−𝑚𝜔ℏ 𝑟2𝑟𝑒𝑖𝑚𝜃�𝑚𝜔 𝜋ℏ�
14
� 1 2𝑐𝑐!�
12
𝐻𝑐��𝑚𝜔 ℏ �
12
𝑧� 𝑒−𝑚𝜔2ℏ 𝑧2
Anche in questo caso abbiamo trovato delle soluzioni che sono contemporaneamente auto vettori sia di 𝐻�
che di 𝐿�𝑧.
Risoluzione in coordinate polari sferiche
L’operatore 𝐻� va scritto ora in coordinate sferiche:
𝐻� = − ℏ2 2𝑀 �
1 𝑟
𝜕2
𝜕𝑟2(𝑟) + 1 𝑟2𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜕
𝜕𝜃 �𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜕
𝜕𝜃� + 1 𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃
𝜕2
𝜕𝜑2� +1
2 𝑀𝜔2𝑟2
𝐻� = − ℏ2 2𝑀
1 𝑟
𝜕2
𝜕𝑟2(𝑟) − ℏ2 2𝑀
1 𝑟2𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜕
𝜕𝜃 �𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜕
𝜕𝜃� − ℏ2 2𝑀
1 𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃
𝜕2
𝜕𝜑2+1
2 𝑀𝜔2𝑟2 Possiamo riconoscere al suo interno l’operatore 𝐿� 2
Pongo
𝜓𝑛,𝑙,𝑚(𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝐵𝑛,𝑙𝜒𝑛,𝑙(𝑟)
𝑟 Y𝑙,𝑚(𝜃, 𝜑) Ottengo per 𝜒𝑛,𝑙(𝑟) l’equazione
− ℏ2
2𝑀 𝜒̈𝑛,𝑙(𝑟) + ℏ2 2𝑀
𝑙(𝑙 + 1)
𝑟2 𝜒𝑛,𝑙(𝑟) +1
2 𝑀𝜔2𝑟2𝜒𝑛,𝑙(𝑟) = 𝐸𝑛,𝑙,𝑚𝜒𝑛,𝑙(𝑟) Ponendo
𝜒𝑛,𝑙(𝑟) = 𝑃𝑛,𝑙(𝛼𝑟)𝑒−𝑚𝜔2ℏ 𝑟2 Ottengo per 𝑃𝑛,𝑙(𝑟) l’equazione:
𝑙(𝑙 + 1)𝑃(ℰ)
ℰ2 − 𝑃̈(ℰ) = 2 ��𝐸𝑛,𝑙,𝑚
ℏ𝜔 − 1
2� 𝑃(ℰ) − ℰ𝑃̇(ℰ)�
Scrivendo il polinomio (non includiamo il termine noto altrimenti la funzione d’oda divergerebbe nell’origine):
𝑃(ℰ) = � 𝑎𝑘ℰ𝑘
∞
𝑘=1
Otteniamo la relazione
(𝑙(𝑙 + 1) − 𝑘(𝑘 + 1))𝑎𝑘+1 = 2 �𝐸𝑛,𝑙,𝑚 ℏ𝜔 +
1
2 − 𝑘� 𝑎𝑘−1
Dal fatto che il polinomio deve contenere un numero finito di termini, altrimenti la soluzione sarebbe non normalizzabile, otteniamo che deve esistere 𝑘 ≥ 2 intero tale che
𝐸𝑛,𝑙,𝑚 ℏ𝜔 +
1
2 − 𝑘 = 0 Quindi troviamo che gli auto valori sono, come ci attendevamo:
𝐸𝑛,𝑙,𝑚 = 𝐸𝑛= ℏ𝜔 �3 2 + 𝑛�
E la relazione diventa
(𝑙(𝑙 + 1) − 𝑘(𝑘 − 1))𝑎𝑘 = 2(𝑛 + 3 − 𝑘)𝑎𝑘−2
Il primo termine non nullo di ogni polinomio sarà dato da 𝑘 che annulla i coefficiente del membro sinistro, e quindi per 𝑘 = 𝑙 + 1, mentre l’ultimo sarà dato dal 𝑘 − 2 tale che si annulli il coefficiente del membro destro, quindi per 𝑘 = 𝑛 + 1
Il numero quantico 𝑙 dovrà avere la stessa parità di 𝑛 ed inoltre dovrà quindi rispettare la disequazione 𝑙 ≤ 𝑛
Mentre m essendo il numero quantico azimutale delle armoniche sferiche dovrà rispettare
|𝑚| ≤ 𝑙
Anche in questo caso il coefficiente k-esimo è legato al coefficiente k-2-esimo, e i polinomi sono contengono solo potenze pari o dispari, infatti l’equazione per r è invariante per parità.
Per scrivere le soluzioni è più conveniente usare i
𝑄(ℰ) =𝑃(ℰ) ℰ Scriviamo i primi 𝑄𝑛,𝑙(ℰ):
𝑄0,0(𝑟) = 1 𝑄1,1(𝑟) = 𝑟 𝑄2,0(𝑟) = 1 − 3𝑟2
𝑄2,2(𝑟) = 𝑟2 𝑄3,1(𝑟) = 𝑟 − 𝑟3
𝑄3,3(𝑟) = 𝑟3
𝑄4,0(𝑟) = 1 − 5𝑟2+5 2 𝑟4 𝑄4,2(𝑟) = 𝑟2−3
5 𝑟4 𝑄4,4(𝑟) = 𝑟4
𝑄5,1(𝑟) = 𝑟 −5 3 𝑟3+1
2 𝑟5 𝑄5,3(𝑟) = 𝑟3−3
7 𝑟5
𝑄5,5(𝑟) = 𝑟5 E le funzioni d’onda sono allora
𝜓𝑛,𝑙,𝑚(𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝑄𝑛,𝑙(𝛼𝑟)𝑒−𝑚𝜔2ℏ 𝑟2
∫0+∞𝑑𝑟 �𝑄𝑛,𝑙(𝛼𝑟)�2𝑒−𝑚𝜔ℏ 𝑟2𝑟2𝑌𝑙,𝑚(𝜃, 𝜑)
Elenchiamo qui le prime funzioni d’onda, in ordine di 𝑛 crescente, quindi di 𝑙 crescente, e quindi di 𝑚 crescente:
𝜓0,0,0(𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝑒−𝑚𝜔2ℏ 𝑟2 𝜋3 4⁄ � 1
(𝑚𝜔ℏ )3 2⁄
𝜓1,1,0[𝑟, 𝜃, 𝜑],√2𝑒−𝑚𝜔2ℏ 𝑟2𝑟Cos[𝜃]
𝜋3 4⁄ � 1 (𝑚𝜔ℏ )5 2⁄
𝜓1,1,1[𝑟, 𝜃, 𝜑], −𝑒−𝑚𝜔2ℏ 𝑟2𝑒𝑖𝜑𝑟Sin[𝜃]
𝜋3 4⁄ � 1 (𝑚𝜔ℏ )5 2⁄
𝜓2,0,0[𝑟, 𝜃, 𝜑],2𝑒−𝑚𝜔2ℏ 𝑟2(1 − 3𝑚𝜔𝑟ℏ )2
√103𝜋3 4⁄ � 1 (𝑚𝜔ℏ )3 2⁄
𝜓2,2,0[𝑟, 𝜃, 𝜑],𝑒−𝑚𝜔2ℏ 𝑟2𝑟2(−1 + 3Cos[𝜃]2)
√3𝜋3 4⁄ � 1
�𝑚𝜔ℏ �
7 2⁄
𝜓2,2,1[𝑟, 𝜃, 𝜑], −√2𝑒−𝑚𝜔2ℏ 𝑟2𝑒𝑖𝜑𝑟2Cos[𝜃]Sin[𝜃]
𝜋3 4⁄ � 1 (𝑚𝜔ℏ )7 2⁄
𝜓2,2,2[𝑟, 𝜃, 𝜑],𝑒−𝑚𝜔2ℏ 𝑟2𝑒2𝑖𝜑𝑟2Sin[𝜃]2
√2𝜋3 4⁄ � 1 (𝑚𝜔ℏ )7 2⁄
Anche in questo caso abbiamo trovato delle soluzioni che sono contemporaneamente auto vettori sia di 𝐻�
che di 𝐿� e di 𝐿�2 𝑧.
