Trattamento e Analisi statistica dei dati sperimentali
Modulo III: Inferenza Statistica
L2. Calcolo delle probabilità: definizioni
Prof. Carlo Meneghini
dip. di Scienze Università Roma Tre e-mail: [email protected]
Probabilità di ottenere 6 lanciando due dadi a 6 facce A: 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1
NA=5; =36 P(6)=5/36
Definizioni: probabilità di un evento
Propensione
Tot A
N P(A) = N
Probabilità di ottenere 3 lanciando un dato a sei facce:
NA=2; NTot=6 P(2)=1/6
NA = n. casi favorevoli NTot= n. casi possibili
NTot
casi equiprobabili
Una compagnia di assicurazioni distingue le età dei
conducenti in 3 gruppi in base alla probabilità di avere un incidente in un anno:
A (sotto i 25 anni); P(A)=11%
B (25-39 anni, 43%); P(B)=3%
C (da 40 anni in su); P(C)=2%
Definizioni: probabilità di un evento
Propensione
Tot A
N A N
P( ) =
Tot A
A N
f = N NA = n. successi
NTot= n. prove indipendenti
ripetute nelle medesime condizioni
Nota: la definizione Frequentista è una stima basata sui dati, come tale è affetta da incertezza.
Definizioni: valore atteso di un evento
P(A) = la probabilità dell'evento A Ntot = numero di prove indipendenti
NA = numero di successi attesi dopo Ntot prove indipendenti
) ( A P
N N
A=
Totlancio 100 volte una moneta il numero di Teste atteso è 50...
perchè ne osservo a volte 48, a volte 45, a volte 55, a volte 61, a volte....?
Definizioni: probabilità di un evento
P(Ω)= 1 probabilità dell'evento certo
P(0) = 0 probabilità dell'evento impossibile Ω
Ω spazio dei possibili eventi
0 ≤P(A) ≤ 1 probabilità di un qualunque evento
Definizioni: probabilità di un evento OR
Ω
) (
) ( )
( )
(A B P A P B P A B
P ∪ = + − ∩
) ( )
( )
(A B P A P B
P ∪ = + nel caso di eventi incompatibili Probabilità di A oppure B
: ) ( A B P ∪
Β
Α A ∩ B
Definizioni: probabilità di un evento OR
Ω
B
Α A ∩
Β
Probabilità che estraendo una carta da un mazzo di 40, questa
sia spade o una figura qualunque:
25 . 40 0
) 10
(s = = P
3 . 40 0
) 12
( f = = P
075 . 40 0
) 3
( f ∩ s = = P
Probabilità di A oppure B
: ) ( A B P ∪
475 .
40 0 19 40
3 12 ) 10
( + − = =
=
∪ F s
P
475 .
0 075
. 0 25 . 0 3 . 0 )
(s ∪ F = + − =
P
Definizioni: probabilità di un evento
A A
Ω
=
∪ A A
Eventi
Complementari
) ( 1
)
( A P A
P = −
) ( 1
)
( A P A
P = −
Definizioni: probabilità di un evento AND
Ω
)
| ( ) ( )
| ( ) ( )
(A B P A P B A P B P A B
P ∩ = =
Α
Β
nel caso di eventi indipendenti Probabilità di A e B
: ) ( A B P ∩
B A ∩
) ( ) ( )
(A B P A P B P ∩ =
ta condiziona à
probabilit )
|
(B A = P
Definizioni: probabilità di un evento AND
Ω
Α
Β eventi indipendenti
Probabilità di A e B
: ) ( A B P ∩
B A ∩
12 1 6
1 2
) 1 ( ) ( )
6
(Pari ∩ = P A P B = × = P
Probabilità che lanciando due dadi si ottenga un numero pari
sul primo e 6 sul secondo
Definizioni: probabilità di un evento AND
Ω
Α
Β
eventi dipendenti Probabilità di A e B
: ) ( A B P ∩
B A ∩
5 1 6
) 2
| (
) (
)
(N2 ∩ N1 = P N1 P N2 N1 = × P
Un sacchetto contiene 4 palline bianche e 2 nere. Quale è la probabilità di estrarre insieme due
palline nere
nella seconda estrazione il numero di palline nere rimaste e il numero di palline nel sacchetto sono diverse, quindi:
) ( )
|
(N2 N1 P N1
P ≠
probabilità condizionata
Ω
Α
)
| (A B P
Β
B A ∩
) (
) ) (
|
( P B
B A
B P A
P ∩
=
Una tua amica ha due figli, uno dei due è maschio, quale è la probabilità che
abbia un maschio e una femmina?
4 ) 2 (M ∩ F = P
4 ) 3 (M = P
2 )
) (
|
( ∩ =
= P M F
M MF P
3 ) 2
|
(MF M = P
I II
M F F M M M
P(MF)=pb. di un maschio e una femmina
propensione
probabilità condizionata: teorema di Bayes
Ω
Α
Β
B A ∩
