Trattamento e Analisi statistica dei dati sperimentali

Trattamento e Analisi statistica dei dati sperimentali

Modulo IV: Inferenza Statistica

L3. Test-Z

Prof. Carlo Meneghini

dip. di Scienze Università Roma Tre e-mail: [email protected]

Test Z

Dati

Valore osservato X_oss Valore Atteso x_att

Dev.St. σ

Ipotesi nulla H_o: x_oss=x_att

Ipotesi alternative :

: :

Statistica Test

z_att z

p(z)

z_lim+

z_lim-

Il modello (statistica Test) segue una distribuzione Normale (Gaussiana) Il modello (statistica Test) segue una

distribuzione Normale (Gaussiana)

Test Z:

x_att x

p(x)

x_lim+

x_lim-

X_lim- = INV.NORM(α/2;x_att;σ) X_lim- = INV.NORM(α/2;x_att;σ)

1) Regione di rifiuto: dato α 1) Regione di rifiuto: dato α

X_lim+ = INV.NORM(1-α/2;x_att; σ) X_lim+ = INV.NORM(1-α/2;x_att; σ)

Ipotesi alternativa

2 code :

2 code

Se x ∉ , rifiuto l'ipotesi nulla con rischio massimo α

Se x ∉ , rifiuto l'ipotesi nulla con rischio massimo α

Dati

Valore osservato x_oss Valore Atteso x_att

Dev.St. σ

Ipotesi nulla H_o: x_oss=x_att

Ipotesi alternative :

: :

Statistica Test

Test Z

x_att x

p(x)

x_lim-

X_lim- = INV.NORM(α;x_att; σ) X_lim- = INV.NORM(α;x_att; σ)

Ipotesi alternativa

1 coda (sx) :

1 coda (sx)

Se x rifiuto l'ipotesi nulla con rischio massimo α

Se x rifiuto l'ipotesi nulla con rischio massimo α

1) Regione di rifiuto: dato α 1) Regione di rifiuto: dato α

x_att x_lim+ x

p(x)

X_lim- = INV.NORM(1-α;x_att; σ) X_lim- = INV.NORM(1-α;x_att; σ)

Ipotesi alternativa

1 coda (dx) :

1 coda (dx)

Se x rifiuto l'ipotesi nulla con rischio massimo α

Se x rifiuto l'ipotesi nulla con rischio massimo α

p = 2*DISTRIB.NORM(x_oss;x_att;σ;1) p = 2*DISTRIB.NORM(x_oss;x_att;σ;1)

2) p-value

2) p-value Ipotesi alternativa

2 code :

2 code

Il rischio di sbagliare rifiutando l'ipotesi nulla è p Il rischio di sbagliare rifiutando l'ipotesi nulla è p

Test Z

x_att

p(x)

x_oss

p = 2*(1-DISTRIB.NORM(x_oss;x_att;σ;1)) p = 2*(1-DISTRIB.NORM(x_oss;x_att;σ;1)) x_oss<x_att

x_oss<x_att

x_oss>x_att x_oss>x_att

2) p-value

2) p-value 1 coda1 coda

Il rischio di sbagliare rifiutando l'ipotesi nulla è p Il rischio di sbagliare rifiutando l'ipotesi nulla è p

Test Z

x_oss<x_att

x_oss<x_att p = DISTRIB.NORM(xp = DISTRIB.NORM(x_ossoss;x;x_attatt;;σσ;1);1)

Ipotesi alternativa :

p = 1-DISTRIB.NORM(x_oss;x_att;σ;1) p = 1-DISTRIB.NORM(x_oss;x_att;σ;1)

Ipotesi alternativa :

x_oss x_att

x_oss>x_att x_oss>x_att

Test Z: statistica Test Gaussiana

Dati

Valore osservato x_oss x Valore Atteso x_att x_o Dev.St.: incertezza su x_oss σ

Ipotesi nulla H_o: x=x_o

Ipotesi alternative :

: :

Statistica Test

Dati

Valore medio x_oss ̅

Valore atteso µ

N.di misure N

Dev.St. (nota) σ

Dev.St.media,

incertezza su ̅ " _̅ "

#

Ipotesi nulla H_o: ̅=µ

Ipotesi alternative : ̅ $ : ̅ $ : ̅ $

Statistica Test

̅ %

&'

A) valore osservato

B) valore medio

Test Z

Dati

Differenza tra valori osservati ∆=x₁- x₂ Valore Atteso delle differenza ∆=0

Dev.St. (note) σ₁, σ₂

Dev.st (∆) "_∆ "⁾ + "₎⁾ σ_∆

Ipotesi nulla

H_o: ∆=0 Ipotesi alternative

: ∆ 0 : ∆ 0

: ∆ 0 Statistica Test

∆

∆ Dati

Differenza tra valori medi ∆ ̅ − ̅₎ Valore Atteso della differenza ∆=0

Dev.St. (note) σ₁, σ₂

Numero di osservazioni Ν₁, Ν₂

Dev.St.medie " _̅ "

# Dev.st (∆) "_∆ "⁾_̅ + "⁾_̅) σ_∆

C) Confronto tra valori C') Confronto tra valori medi

Test Z

Dati

Freq. osservata N_i

Freq. attesa N_o

Dev.st "_- # 1 − ^-/0_- σ_Ni

N. di osservazioni: N

Ipotesi nulla H_o: N_i=Ν_o

Ipotesi alternative

: N_i N_o : N_i N_o : N_i N_o

D) Analisi di frequenze

Ipotesi

i) N_i segue una distribuzione binomiale con dev.st:

"_-/ #2 1 − 2

ii) Si può approssimare la distribuzione di f_i ad una distribuzione Gaussiana

Ipotesi

i) N_i segue una distribuzione binomiale con dev.st:

"_-/ #2 1 − 2

ii) Si può approssimare la distribuzione di f_i ad una distribuzione Gaussiana

Statistica Test -_/ -

5/

Test Z

Dati

Freq. relativa osservata f_i

Freq. relativa attesa f_o

Dev.st "₆ ⁶ _- ⁶ σ_f

N. di osservazioni:

Freq. Assoluta

N N_i

Ipotesi nulla H_o: f_i=f_o

Ipotesi alternative

: f_i f_o : f_i f_o : f_i f_o

E) Analisi di proporzioni

Ipotesi

i) N_i segue una distribuzione binomiale con dev.st:

"_-/ #2 1 − 2

ii) Si può approssimare la distribuzione di f_i ad una distribuzione Gaussiana

(# → ∞, 2 → 0)

Ipotesi

i) N_i segue una distribuzione binomiale con dev.st:

"_-/ #2 1 − 2

ii) Si può approssimare la distribuzione di f_i ad una distribuzione Gaussiana

(# → ∞, 2 → 0)

Statistica Test 6_/ 6

7

Test Z: Funzione Excel

=TESTZ(dati,µ,σ) 8 _;^̅ 9 $, " :

NOTE:

• confronta il valore medio ̅, di una matri dati con un valore di riferimeno (µ=x_att)

• restituisce il p-value corrispondente alla coda sx della distribuzione,

• per un test a 2 code deve essere moltiplicato per 2

se σ viene omesso lo calcola dai dati (in questo caso sarebbe più corretto usare un test-T) NOTE:

• confronta il valore medio ̅, di una matri dati con un valore di riferimeno (µ=x_att)

• restituisce il p-value corrispondente alla coda sx della distribuzione,

• per un test a 2 code deve essere moltiplicato per 2

se σ viene omesso lo calcola dai dati (in questo caso sarebbe più corretto usare un test-T)

̅ $

=TESTZ(dati,µ,σ)

̅<µ =TESTZ(dati,µ,σ)

̅ µ

̅

$

p-value=TESTZ(dati,µ,σ) p-value=1-TESTZ(dati,µ,σ)