(2.4) Osservazione 2.45 Anche qui si tratta di una somma finita dato che i termini coinvolti sono nulli ad esempio sek <−mo sek &gt

Passiamo ad una formula meno semplice dato che non sembra avere una facile interpretazione combinatoria.

Proposizione 2.44 Sianor, s, m, n∈N. Allora

�

k∈Z

(−1)^k

� r

m + k

� �s + k n

�

= (−1)^r+m

�s− m n− r

�

. (2.4)

Osservazione 2.45 Anche qui si tratta di una somma finita dato che i termini coinvolti sono nulli ad esempio sek <−m^{o se}k > r− m^.

Dimostrazione. Proviamo la formula per induzione su r. Per r = 0 il termine

� 0

m + k

�

`e non nullo solo perk =−m^{ed essendo}

�

k∈Z

(−1)^k

� 0

m + k

� �s + k n

�

= (−1)^m

�s− m n

�

= (−1)^0+m

�s− m n− 0

� , la formula `e valida. Supponiamo la formula vera perr ≥ 0. Essendo

�r + 1 m + k

�

=

� r

m + k

� +

� r

m + k− 1

�

si ha, grazie all’ipotesi induttiva,

�

k

(−1)^k

�r + 1 m + k

� �s + k n

�

=

=^�

k

(−1)^k

� r

m + k

� �s + k n

�

+^�

k

(−1)^k

� r

(m− 1) + k

� �s + k n

�

= (−1)^r+m

�s− m n− r

�

+ (−1)^r+(m−1)

�s− (m − 1) n− r

�

= (−1)^r+1+m

��s− (m − 1) n− r

�

−

�s− m n− r

��

= (−1)^r+1+m

� s− m n− r − 1

�

= (−1)^r+1+m

� s− m

n− (r + 1)

� :

la formula (2.4) `e quindi vera per ognir ∈N. �

2.4 Esercizi

Esercizio 2.1 Quanti modi ci sono di disporre ordinatamente le 52 carte di un mazzo?

Esercizio 2.2 Quanti modi ci sono di distribuire 9 libri diversi tra 15 bambini se nessun bambino ottiene pi`u di un libro?

Esercizio 2.3 Quanti sono i possibili anagrammi della parola INDICATI?

Esercizio 2.4 Se una moneta viene lanciata 10 volte qual `e la probabilit`a che si ottenga almeno 8 volte testa?

Esercizio 2.5 Per ogni “ruota” vengono estratte (senza ripetizione) cinque palline da un’urna contenente 90 palline numerate da 1 a 90. Calcolare la probabilit`a che, in una data settimana, sulla ruota di Venezia,

(a) il primo numero estratto sia il 37;

(b) il secondo estratto sia il 37;

(c) il primo e il secondo estratto siano, rispettivamente, il 37 e il 51.

Esercizio 2.6 Quante sequenze di 4 numeri ci sono, con un solo 8 e senza che nessun numero venga ripetuto esattamente due volte (ammettiamo che una sequenza possa iniziare con 0)?

Esercizio 2.7 Quante volte `e scritta la cifra 5 se si elencano tutti i numeri da 1 a10<sup>5</sup>? Esercizio 2.8 Se si lanciano tre dadi distinti, qual `e la probabilit`a che il numero pi`u alto sia il doppio di quello pi`u basso?

Esercizio 2.9 Quante sono len-sequenze diI3 con esattamente nove cifre uguali a 1?

Esercizio 2.10 Quanti possibili comitati possono essere formati con 4 uomini e 6 donne tali che:

(a) ci siano almeno 2 uomini e almeno il doppio di donne rispetto agli uomini?

(b) ci siano in tutto 4 membri, almeno due dei quali siano donne e non possano essere contemporaneamente scelti il signore e la signora Baggiolo?

Esercizio 2.11 Ci sono 6 diversi libri di inglese, 8 di russo e 5 di spagnolo. Quanti sono i modi di disporre i libri in fila su una mensola con tutti i libri della stessa lingua raggruppati insieme?

Esercizio 2.12 Quante parole di 10 lettere distinte si possono formare utilizzando le 5 vocali e 5 consonanti scelte tra le 16 possibili consonanti dell’alfabeto italiano?

Qual `e la probabilit`a che una di queste parole non contenga due consonanti vicine?

Esercizio 2.13 Quanti sono i modi possibili di distribuire 40 caramelle identiche tra 4 bambini:

(a) senza restrizioni?

(b) con ogni bambino che ottiene 10 caramelle?

(c) con ogni bambino che ottiene almeno una caramella?

Esercizio 2.14 Qual `e la probabilit`a che in una sequenza senza ripetizione di {a, b, c, d, e, f}^{si abbia:}

(a) a, bvicini?

(b) ache compare prima dib?

Esercizio 2.15 Un uomo hanamici ed invita ogni sera un sottoinsieme diverso di 4 di loro a casa sua per un intero anno (di 365 giorni). Quanto grande deve esseren? Esercizio 2.16 Supponiamo che venga scelto per estrazione un sottoinsieme di 60 giorni diversi dell’anno. Qual `e la probabilit`a che ci siano 5 giorni di ogni mese nel sottoinsieme? (per semplicit`a assumere che ci siano 12 mesi con 30 giorni ciascuno.) Esercizio 2.17 In quante mani di bridge il giocatore Nord e quello Sud hanno tutte le picche?

Esercizio 2.18 Qual `e la probabilit`a di scegliere a caso una 10-sequenza senza ripetizioni diI10nella quale:

(a) in prima posizione ci sia una cifra dispari e una tra1, 2, 3, 4, 5 sia in ultima posizione?

(b) 5non sia in prima posizione e9non sia in ultima posizione?

Esercizio 2.19 Qual `e la probabilit`a che in una mano di 5 carte prese da un mazzo di 52 vi sia:

(a) almeno una di ciascuna delle seguenti carte: asso, re, regina, jack?

(b) almeno una delle seguenti carte: asso, re, regina, jack?

(c) lo stesso numero di cuori e picche?

Esercizio 2.20 Quante sono le possibilit`a di formare un gruppo (non ordinato) di 4 coppie di persone scelte tra 30?

Esercizio 2.21 Siakun numero naturale fissato con 1 ≤ k ≤ 17; fissiamo poi 4 numeri diversi scelti tra1e20.

(a) Qual `e la probabilit`a chekcompaia tra i quattro numeri scelti e sia il pi`u piccolo dei quattro?

(b) Qual `e la probabilit`a chekcompaia tra i quattro numeri scelti e sia il secondo numero in ordine di grandezza?

Esercizio 2.22 Qual `e la probabilit`a che lanciando cinque volte un dado escano solo due numeri?

Esercizio 2.23 Data una raccolta di2noggetti,nidentici e gli altrintutti differenti tra loro, quanti sono le possibili collezioni dinoggetti?

Esercizio 2.24 In un lago sono stati marchiati 10 pesci sui k presenti. Vengono pescati venti pesci. Qual `e la probabilit`a che due dei venti pesci siano marchiati?

Esercizio 2.25 Vogliamo organizzare tre cene in tre serate consecutive in ciascuna delle quali invitare tre amici scelti tra gli ncompagni di scuola con i quali siamo ancora in contatto. In quanti modi posso scegliere gli invitati nelle tre serate?

Esercizio 2.26 Abbiamo organizzato dieci cene in dieci serate consecutive. A queste cene vogliamo invitare otto amici scelti tra i15compagni di scuola con i quali siamo ancora in contatto, ma siamo incerti se invitarli tutti la prima sera o non pi`u di uno per sera o altro ancora. Quante scelte ho?

Esercizio 2.27 Qual `e la probabilit`a che in una mano di 5 carte prese tra 52:

(a) si abbia esattamente una coppia (non due coppie o un tris)?

(b) si abbia una coppia o pi`u (un tris, una doppia coppia, un poker-quattro carte uguali- o un full di carte-una coppia e un tris)?

(c) si abbia almeno una carta di picche, una di cuori, nessuna di quadri n´e di fiori e i valori delle carte di picche tutti strettamente pi`u alti dei valori delle carte di cuori?

Esercizio 2.28 Quanti sono i sottoinsiemi formati da tre naturali diversi scelti tra1e 90inclusi la cui somma sia:

(a) un numero pari?

(b) divisibile per3? (c) divisibile per4?

Esercizio 2.29 Quanti sono i modi in cui si possono scegliere 10 monete da un gruzzolo di monete da 1 cent, 2 cent, 5 cent e 10 cent?

Esercizio 2.30 Dobbiamo stabilire quanti posti in una commissione di 15 deputati avranno i Democratici, i Repubblicani e gli Indipendenti. Quante possibilit`a vi sono se ogni partito deve avere almeno due membri in commissione? E se in pi`u nessun partito deve avere la maggioranza in commissione?

Esercizio 2.31 In quanti modi si possono distribuire 18 ciambelle al cioccolato, 12 ciambelle alla cannella, 14 ciambelle allo zucchero caramellato tra 4 scolari se ognuno di questi richiede almeno 2 ciambelle di ogni tipo?

Esercizio 2.32 Quante sono le soluzioni intere dix1+ x2+ x3 = 0conxi≥ −5^? Esercizio 2.33 Quanti sono i possibili risultati elettorali (numero di voti per ciascun candidato) se ci sono 3 candidati e 30 votanti? Se in aggiunta qualche candidato ottiene la maggioranza assoluta?

Esercizio 2.34 Quanti numeri tra0e10 000ci sono tali che la somma delle loro cifre sia

(a) pari a7?

(b) minore o uguale a7? (c) uguale a13?

Esercizio 2.35 Quante sono le soluzioni intere≥ 0dell’equazione 2x1+ 2x2+ x3+ x4= 12

Esercizio 2.36 Quante sono le soluzioni intere≥ 0del sistema di disequazioni

� x1+ x2+ ... + x6 ≤ 20 x1+ x2+ x3 ≤ 7

Esercizio 2.37 Quante sono le sequenze contenentinvolte lo0emvolte l’1conk gruppi di 0 consecutivi?

Esercizio 2.38 Quante sono le sequenze binarie di n termini che contengono esattamentemvolte il pattern01?

Esercizio 2.39 Quanti sono i modi di distribuirerpalle identiche innscatole distinte dove le primemscatole in totale contengono almenospalle?

Esercizio 2.40 (a) In una fila del cinema formata da 15 poltrone, in quanti modi si possono disporre 8 persone?

(b) In quante delle precedenti disposizioni 3 amici fissati fra le 8 persone si siedono in posti adiacenti?

Esercizio 2.41 Se una moneta viene lanciatanvolte qual `e la probabilit`a che:

(a) la prima testa compaia dopo esattamentemcroci?

(b) lai-esima testa compaia dopo esattamentemcroci?

Esercizio 2.42 In quanti modi si possono distribuire 3 diversi orsacchiotti e 9 lecca- lecca identici tra quattro bambini:

(a) senza restrizioni?

(b) senza che nessun bambino ottenga due o pi`u orsacchiotti?

(c) con ciascun bambino che ottiene 3 “beni?

Esercizio 2.43 Determinare il numero di 20-sequenze binarie con esattamente 15 termini uguali a 0 e 5 termini uguali a 1. Quante sono quelle con 15 termini di un tipo e 5 dell’altro?

Esercizio 2.44 Senoggetti distinti sono distribuiti a caso innscatole distinte qual `e la probabilit`a che:

(a) nessuna scatola sia vuota?

(b) una sola scatola sia vuota?

(c) due sole scatole siano vuote?

Esercizio 2.45 Quanti sono i modi per dividere 4 palle rosse, 5 blu, 7 nere tra:

(a) due scatole?

(b) due scatole nessuna delle quali vuota?

(c) Quanti sono i modi per dividere tra due scatole 4 palle rosse, 6 blu e 8 nere?

Trattare separatamente il caso in cui le scatole sono distinte e quello in cui sono indistinguibili.

Esercizio 2.46 In una casa di quattro piani (oltre al piano terra) un ascensore parte dal piano terra con 5 persone. Non sale nessun altro, e ogni persona scende a caso ad uno dei quattro piani. Calcolare la probabilit`a che l’ascensore

(a) arrivi vuoto al quarto piano;

(b) arrivi vuoto al terzo piano;

(c) si vuoti esattamente al terzo piano;

(d) arrivi al quarto piano con 2 persone.

Esercizio 2.47 Vogliamo aprire una porta chiusa a chiave. Disponiamo di un mazzo di 100 chiavi che contiene esattamente 2 chiavi che aprono la porta in questione. Le chiavi vengono provate successivamente una ad una.

(a) Qual `e la probabilit`a che la 56 - esima chiave apra la porta?

(b) Qual `e la probabilit`a che la 56 - esima chiave sia la seconda chiave che apre la porta?

Esercizio 2.48 Vengono estratte simultaneamente 5 palline da un’urna contenen- te 10 palline rosse e 20 palline blu. Determinare la probabilit`a che venga estratta esattamente una sola pallina blu.

Esercizio 2.49 Quante commissioni di 5 persone con almeno due donne ed almeno un uomo si possono realizzare scegliendole da un gruppo di 6 donne e 8 uomini?

Esercizio 2.50 Utilizzando la formula del binomio, si vede che

�2n n

�

`e il coef- ficiente di x<sup>n</sup>y<sup>n</sup> nello sviluppo di (x + y)<sup>2n</sup>. Si scriva (x + y)<sup>2n</sup> nella forma (x + y)<sup>n</sup>(x + y)<sup>n</sup>, si espandano entrambi i fattori(x + y)<sup>n</sup>utilizzando la formula del binomio, e si cerchi il coefficiente dix<sup>n</sup>y<sup>n</sup>che risulta svolgendo il prodotto. Si mo- stri che questo procedimento conduce ad una dimostrazione alternativa dell’identit`a 2 nella Proposizione 2.18.

Esercizio 2.51 Si provi la seguente identit`a:

�n 0

� �m k

� +

�n 1

� � m k− 1

� +

�n 2

� � m k− 2

� + ...

... +

� n

k− 1

� �m 1

� +

�n k

� �m 0

�

=

�n + m k

� .

[Suggerimento: si pu`o procedere in modo simile alla dimostrazione dell’identit`a 2 nella Proposizione 2.18, oppure si pu`o utilizzare la formula del binomio, come nell’esercizio precedente.]

Soluzioni degli esercizi

Soluzione es. 2.1. Si tratta di contare le 52-sequenze senza ripetizioni di I52: sono S(52, 52) = 52!

Soluzione es. 2.2. Si tratta di contare le 9-sequenze diI15: sonoS(15, 9) = 15!

6! = 1816214400.

Soluzione es. 2.3. Determiniamo in una prima fase le posizioni delle tre I, e poi in una seconda fase la sequenza con cui riempire le posizioni disponibili con le altre lettere.

Si tratta di un prodotto condizionato di molteplicit`a(C(8, 3), 5!); pertanto vi sono 5!× C(8, 3) = 8!

3! diversi anagrammi.

Soluzione es. 2.4. Prendiamo come spazio campionario l’insieme Ω delle 10- sequenze di {T, C}. L’evento esce almeno otto volte Testa `e uguale all’unione disgiunta dell’insieme delle 10-sequenze con esattamente 8 Teste, di quello con esattamente 9 teste e di quello con esattamente 10 Teste. La probabilit`a cercata `e dunque

C(10, 8) + C(10, 9) + C(10, 10)

2¹⁰ = 45 + 10 + 1

1 024 ≡ 0.055 = 5, 5%

Soluzione es. 2.5. (a) 1/90

(b) 1/90 (spazio campionario: tutti i 90 possibili secondi numeri)

(c) Spazio campionario: 2-sequenze senza ripetizione diI90,P = 1/(90× 89)^. Soluzione es. 2.6. Le sequenze di 4 numeri con un solo 8 si ottengono scegliendo pri-

ma la posizione del 8 e poi completando con una 3-sequenza di numeri diversi da 8:

in tutto sono

�4 1

�

× 9³. Da queste devo togliere le sequenze nelle quali un nume- ro viene ripetuto esattamente due volte. Quest’ultime si ottengono scegliendo prima la posizione del 8, poi il numero da ripetere due volte e le due posizioni occupate da questo, ed infine scegliendo l’altro numero che compare una volta: in tutto sono

�4 1

�

× 9 ×

�3 2

�

× 8. Le sequenze cercate sono2 052.

Soluzione es. 2.7. Si tratta di numeri che hanno da una a 5 cifre (100 000non con- tiene infatti il 5); vi sono i numeri che contengono il 5 una volta sola, quelli che lo contengono due volte, sino a quello che lo contiene 5 volte. I primi si ottengono decidendo prima dove piazzare il 5 e poi scegliendo le altre cifre, tra le quali c’`e an- che lo 0; si tratta dunque di un prodotto condizionato di molteplicit`a(5, 9, 9, 9, 9). I secondi si ottengono decidendo prima dove i due 5 e poi scegliendo le altre cifre, tra le quali c’`e anche lo 0; si tratta dunque di un prodotto condizionato di moltepli- cit`a(

�5 2

�

, 9, 9, 9). Nello stesso modo si risolvono gli altri casi. Pertanto la cifra 5 compare

1× 5 × 9⁴+ 2×

�5 2

�

× 9³+ 3×

�5 3

�

× 9²+ 4×

�5 4

�

× 9 + 5 Soluzione es. 2.8. Scegliamo allora come spazio campionarioΩil prodotto cartesiano

I6× I6× I6. Le terne ordinate che appartengono all’evento considerato sono di tre tipi: quelle formate da un 1, un 2 ed un numero compreso tra 1 e 2; quelle formate da un 2, un 4 ed un numero compreso tra 2 e 4; infine quelle formate da un 3, un 6 ed un numero compreso tra 3 e 6. Quelle del primo tipo sono 6, quelle del secondo tipo sono 12, quelle del terzo tipo sono 18. La probabilit`a cercata `e 6 + 12 + 18

6³ = 1 6^. Soluzione es. 2.9. Le sequenze del tipo cercato possono essere ottenute con la seguen-

te procedura in fasi: scegliamo le posizioni dei nove 1, poi riempiamo glin− 9^buchi rimasti con una(n− 9)-sequenza di{2, 3}. La prima fase ha

�n 9

�

esiti, la seconda ne ha2ⁿ⁻⁹. Per il principio di motiplicazione le sequenze cercate sono

�n 9

�

× 2^n−9. Soluzione es. 2.10. (a): i comitati del tipo cercato possono avere 2 o 3 uomini; se hanno 2 uomini allora possono avere 4 o 5 o 6 donne, se hanno 3 uomini allora hanno 6 donne. In tutto i comitati sono:

�4 2

� (

�6 4

� +

�6 5

� +

�6 6

� ) +

�4 3

� �6 6

�

= 6× (15 + 6 + 1) + 4 = 136.

(b): i comitati del tipo cercato, a parte le richiesta sui coniugi Baggiolo, sono

�6 2

� �4 2

� +

�6 3

� �4 1

� +

�6 4

�

= 15× 6 + 40 × 4 + 15. I comitati del tipo cercato con entrambi i coniugi Baggiolo sono

�5 2

� +

�5 1

� �3 1

�

= 10 + 15. Allora i comitati cercati sono

90 + 80 + 15− 10 − 15 = 160.

Soluzione es. 2.11. Possiamo collocare i libri con la seguente procedura in fasi: sce- gliamo in che ordine collocare le tre diverse lingue (3!modi), poi collochiamo i libri della prima lingua, poi quelli della seconda ed infine quelli della terza. I libri possono essere collocati in3!× 6! × 8! × 5!^modi.

Soluzione es. 2.12. Seguo la seguente procedura per costruire una parola di 10 lettere distinte utilizzando le 5 vocali e 5 consonanti scelte tra le 16 possibili: scelgo la posi- zione delle vocali, metto in sequenza le vocali, colloco una sequenza delle consonanti nei buchi rimasti. In tutto abbiamo

�10 5

�

× 5! × 16!/11!Tra queste parole, contiamo quelle senza consonanti vicine: poniamo x1 uguale al numero di vocali che prece- dono la prima consonante,x2uguale al numero di vocali comprese tra la prima e la seconda consonante, ..., ex6 uguale al numero di vocali dopo la quinta consonante.

Deve esserex1+ x2+ x3+ x4+ x5+ x6= 5conx1, x6 ≥ 0ex2, x3, x4, x5≥ 1. Questa equazione haC(6, 1)soluzioni. Per ciascuna di queste soluzioni, piazziamo una sequenza di vocali ed una di consonanti nei relativi posti. In tutto le parole senza consonanti vicine sono:C(6, 1)× 5! × 16!/11!La probabilit`a cercata vale

�6 1

�

× 5! × 16!/11!

�10 5

�

× 5! × 16!/11!

= 6 252 = 1

42 ≈ 0.0238 = 2.39%

Soluzione es. 2.13. (a): Indicato conxiil numero di caramelle ricevute dal bambino i, dobbiamo contare le soluzioni dix1+ x2+ x3+ x4= 40: queste sono

�43 3

� . (b): ovviamente uno solo.

(c): prima diamo una caramella ad ogni bambino, poi distribuiamo le altre. Dob- biamo quindi contare le soluzioni di x1 + x2+ x3 + x4 = 40− 4: queste sono

�39 3

� .

Soluzione es. 2.14. (a)La richiesta cheaebsiano vicini corrisponde a contare le se- quenze di{(ab), c, d, e, f}e quelle di{(ba), c, d, e, f}: in tutto2×5!La probabilit`a cercata `e2× 5!/6! = 1/3^.

(b)Se2 ≤ i ≤ 6, le sequenze richieste conbin posizioneisono(i− 1) × 4!

Pertanto la probabilit`a cercata `e(

�6 i=2

(i− 1) × 4!)/6! = 15/30 = 1/2^.

Soluzione es. 2.15. Deve essere

�n 4

�

≥ 365. Pertanto deve esseren≥ 12^.

Soluzione es. 2.16. La probabilit`a `e

�30 5

�12

/

�360 60

� .

Soluzione es. 2.17. Scelgo nell’ordine le carte di Est, Ovest, Nord, Sud:

�39 13

�

×

�26 13

�

×

�26 13

� .

Soluzione es. 2.18. (a) Contiamo separatamente le sequenze che terminano con 1, 3, 5 dalle altre: comunque, in entrambi i casi prima scegliamo la cifra finale, poi scegliamo la cifra dispari in prima posizione e poi le altre.

�3 1

�

×

�4 1

�

× 8! +

�2 1

�

×

�5 1

�

× 8!

10!

(b)Le sequenze non volute sono:9! + 9!− 8!Pertanto la probabilit`a cercata `e 1− 8!17

10! = 1−17

90 = 0, 81.

Soluzione es. 2.19. (a)Contiamo dapprima le mani con due assi, un re, una regina ed un jack. Una tale mano pu`o essere costruita in 4 fasi: nella prima fase si scelgono i due assi, nella seconda il re, nella terza la regina e nella quarta il jack. In tutto si hanno

�4 2

�

× 4³mani di questo tipo. Altrettante sono le mani con con un asso, due re, una regina ed un jack, o quelle con un asso, un re, due regine ed un jack o ancora con un asso, un re, una regina e due jack. Poi vi sono le mani con esattamente un asso, un re, una regina ed un jack che sono4⁴× 36. La probabilit`a cercata `e pertanto

4×

�4 2

�

× 4³+ 4⁴× 36

�52 5

� = 10 752

2 598 960 ≈ 0, 004 = 0, 4%

(b): Una mano di 5 carte senza assi, re, regine e jack pu`o essere scelta in

�36 5

� modi.

La probabilit`a cercata `e

1−

�36 5

�

�52 5

� = 1−36!47!1

31!52! = 1−36× 35 × ... × 32

52× 51 × ... × 48 = 0, 855

(c): vi possono essere 1 cuori ed 1 picche oppure 2 cuori e 2 picche. La probabilit`a cercata `e

13× 13 ×

�26 3

� +

�13 2

�

×

�13 2

�

× 26

�52 5

�

Soluzione es. 2.20. Le sequenze di 4 coppie scelte tra 30 sono

�30 8

�

×

�8 2

�

×

�6 2

�

×

�4 2

�

. Per il principio di divisione le possibilit`a cercate sono

1 4!(

�30 8

�

×

�8 2

�

×

�6 2

�

×

�4 2

� )

Soluzione es. 2.21. (a)La probabilit`a cercata `e(

�20− k 3

� )/(

�20 4

� ). (b)La probabilit`a cercata `e(

�20− k 2

�

×

�k− 1 1

� )/(

�20 4

� ).

Soluzione es. 2.22. Scegliamo come spazio campionario l’insieme delle 5-sequenze diI6. I casi favorevoli si possono ottenere con la seguente procedura: prima fase si scelgono i due numeri, seconda fase si costruisce una 5-sequenza dell’insieme forma- ta dai due numeri scelti, escludendo le due 5-sequenze formate da u solo numero. La probabilit`a cercata `e pertanto uguale a

�6 2

�

× (2⁵− 2)

6⁵ ≈ 0.0579 = 5.79%

Soluzione es. 2.23. Le possibili collezioni sono

�n i=0

�n i

�

= 2ⁿ: infatti ogni col- lezione `e determinata dagli elementi dell’insieme di n oggetti differenti che vi appartengono.

Soluzione es. 2.24. La probabilit`a cercata `e(

�10 2

�

×

�k− 10 18

� )/(

�k 20

� ).

Soluzione es. 2.25. Per ogni serata devo scegliere 3 amici tra n: pertanto ho a disposizione

�n 3

�3

scelte possibili.

Soluzione es. 2.26. Intanto scegliamo 8 amici tra 15:

�15 8

�

modi. Poi decidiamo a che cena invitarli, indicando per ciascuno di essi conila decisione di invitarlo alla i-esima cena: si tratta di fissare una 8-sequenza diI10. In tutto vi sono pertanto

�15 8

�

× 10⁸= 643 500 000 000possibilit`a.

Soluzione es. 2.27. (a)La probabilit`a `e (13×

�4 2

�

×

�12 3

�

× 4³)/(

�52 5

�

)≈ 0.423 = 42.3%

Scelgo prima il numero che compare nella coppia, poi i semi della coppia, poi i 3 numeri distinti delle rimanenti 3 carte ed infine, a partire dal numero pi`u piccolo, i loro semi.

(b)Conto in quanti modi posso avere una mano senza che vi sia nemmeno una coppia; scelgo dunque 5 numeri distinti tra 13 e poi assegno a ciascuno di loro un seme: in tutto

�13 5

�

× 4⁵possibilit`a. La probabilit`a cercata `e allora

1−

�13 5

�

× 4⁵

�52 5

� ≈ 0.493 = 49.3%

(c)Detto1 ≤ i ≤ 4il numero di carte di picche, una mano cercata si trova scegliendo una 5-collezione diI13 senza ripetizioni e poi prendendo di picche glii valori pi`u alti. La probabilit`a cercata `e dunque

�4 i=1

�13 5

�

�52 5

� =

4×

�13 5

�

�52 5

� ≈ 0.002 = .2%

Soluzione es. 2.28. (a)La somma di tre naturali `e pari se e solo se o sono tutti pari o sono due dispari ed uno pari. I sottoinsiemi cercati sono

�45 3

� +

�45 1

�

×

�45 2

� .

(b)Tra i numeri compresi fra 1 e 90 ce ne sono 30 divisibile per 3, 30 che divisi per 3 danno resto 1 e ancora 30 che divisi per 3 danno resto 2. La somma di tre numeri

`e divisibile per 3 se e solo se(i): sono tutti divisibili per 3,(ii): tutti hanno resto 1 nella divisione per 3,(iii): uno `e divisibile per 3, uno ha resto 1 ed uno ha resto 2,(iv): tutti hanno resto 2 nella divisione per 3. Allora i sottoinsiemi cercati sono

�30 3

� +

�30 3

�

+ 30³+

�30 3

� .

(c)Tra i numeri compresi fra 1 e 90 ce ne sono 22 divisibile per 4, 23 che divisi per 4 danno resto 1, 23 che divisi per 4 danno resto 2, e ancora 22 che divisi per 4 danno resto 3. La somma di tre numeri `e divisibile per 4 se e solo se(i): sono tutti divisibili per 4,(ii): uno `e divisibile per 4 e gli altri due hanno resto 2,(iii): uno `e divisibile per 4, uno ha resto 1 ed il terzo ha resto 3,(iv): due hanno resto 1 ed uno ha resto 2,(v): uno ha resto 2 e due hanno resto 3. Allora i sottoinsiemi cercati sono

�22 3

�

+ 22×

�23 2

�

+ 22× 23 × 22 +

�23 2

�

× 23 +

�23 1

�

×

�22 2

�

= 29 370 Soluzione es. 2.29. Indichiamo conxiquante monete daicent prendiamo; dobbiamo

allora contare il numero delle soluzioni dell’equazionex1+ x2+ x5+ x10 = 10. Queste sono

�13 3

� .

Soluzione es. 2.30. Dobbiamo contare le soluzioni dell’equazionexD+xR+xI = 15 con xD, xR, xI ≥ 2. Queste sono tante quante le soluzioni di y1 + y2 + y3 = 15− 6 = 9^{, ovvero}

�11 2

�

. Se nessun partito deve avere la maggioranza in com- missione, si vuole anche chexD, xR, xI < 8. Bisogna pertanto scartare dal numero precedente le soluzioni nelle quali una tra lexD, xR, xIsia≥ 8. Non potendo essere contemporaneamente in due≥ 8si ottiene

�11 2

�

− 3 ×

�5 2

� .

Soluzione es. 2.31. Ogni distribuzione di ciambelle corrisponde ad una soluzione di una equazione. Le ciambelle al cioccolato possono essere distribuite in tanti modi quante sono le soluzioni dix1+ x2+ x3+ x4 = 18conxi ≥ 2^{, ovvero}

�13 3

� . Analogamente per le altre tipologie di ciambelle. Per il principio di moltiplicazione le ciambelle possono essere distribuite in

�13 3

�

×

�7 3

�

×

�9 3

� .

Soluzione es. 2.32. Postoyi = xi+ 5, le soluzioni cercate sono tante quante quelle dell’equazioney1+ y2+ y3= 15, ovvero

�17 2

� .

Soluzione es. 2.33. Indicato conxiil numero di voti ottenuti dal candidatoi, si tratta di contare le soluzioni dix1+ x2+ x3 = 30: queste sono

�32 2

�

. Se il candidatoi ottiene la maggioranza assoluta, alloraxi ≥ 16; in tal caso le soluzioni sono

�16 2

� . Questo numero deve essere moltiplicato per 3 per considerare i casi in cui il primo, o il secondo o il terzo candidato raggiungano la maggioranza assoluta.

Soluzione es. 2.34. Indichiamo conx1x2x3x4un qualunque numero compreso tra 0 e 9 999.

(a): deve esserex1+ x2+ x3+ x4= 7; allora i numeri cercati sono

�10 3

� . (b): deve esserex1+ x2+ x3+ x4≤ 7; le soluzioni di tale disequazione sono tante quante le soluzioni dix1+ x2+ x3+ x4+ x = 7, ovvero

�11 4

�

. A queste va aggiunto il numero10 000che verifica pure lui la condizione:

�11 4

� + 1.

Soluzione es. 2.35. Le soluzioni cercate sono tante quante quelle dei sistemi di equazioni

� x1+ x2 = i

x3+ x4 = 12− 2i ^coni≤ 6^:

�6 i=0

�i + 1 1

�

×

�12− 2i + 1 1

�

=

�6 i=0

(i+1)×(12−2i+1) = 13+2×11+3×9+...+7×1 = 140 Soluzione es. 2.36. Le soluzioni cercate sono tante quante quelle dei sistemi di

equazioni

� x1+ x2+ x3 = i

x4+ x5+ x6 ≤ 20 − i ^coni≤ 7^:

�7 i=0

�i + 2 2

�

×

�20− i + 3 3

�

Soluzione es. 2.37. Indicato conxiil numero di 0 che compongono ili-esimo gruppo di 0 consecutivi, possiamo raggruppare gli 0 inkgruppi in tanti modi quante solo le soluzioni dix1 + ... + xk = n, ovvero

�n + k− 1 k− 1

�

. Ora si tratta di inserire tra un gruppo e l’altro gli 1: questo si pu`o fare in tanti modi quante sono le soluzioni diy1+ ... + yk+1 = m, cony2, ..., yk ≥ 1^dovey1 conta quanti 1 ci sono prima del primo blocco di 0,y2conta quanti 1 ci sono tra il primo ed il secondo blocco di 0, ...,yk+1conta quanti 1 ci sono dopo ilk-esimo blocco di 0. Gli 1 possono essere inseriti in

�m− (k − 1) + k k

�

modi. Le sequenze cercate sono

�n + k− 1 k− 1

�

� ×

m− (k − 1) + k k

� .

Soluzione es. 2.38. Tra due pattern oppure prima del primo o dopo l’ultimo possono comparire solo un blocco di 1 seguito da un blocco di 0. Indichiamo conx1 e y1

rispettivamente il numero di 1 nel blocco di 1 ed il numero di 0 nel blocco di 0 che precedono il primo pattern;x2ey2rispettivamente indicano il numero di 1 nel blocco di 1 ed il numero di 0 nel blocco di 0 che stanno tra il primo pattern ed il secondo; ...

infinexm+1eym+1rispettivamente il numero di 1 nel blocco di 1 ed il numero di 0 nel blocco di 0 che terminano la sequenza. Deve essere

x1+ y1+ ... + xm+1+ ym+1= n− 2m.

Tale equazione ha

�n− 2m + 2m + 1 2m + 1

�

=

� n + 1 2m + 1

�

soluzioni.

Soluzione es. 2.39. Indicato conxi il numero di palle contenute nella scatolai, deve essere:

x1+ ... + xn = rex1+ ... + xm≥ s La prima equazione ha

�r + n− 1 r

�

soluzioni; da queste dobbiamo eliminare quelle per cuix1+ ... + xm= iconi < sexm+1+ ... + xn = r− i; il risultato pertanto `e

�r + n− 1 r

�

−

s−1

�

i=0

�i + m− 1 i

� �r− i + n − m − 1 r− i

�

Soluzione es. 2.40. (a) S(15, 8) = 15!/7!;

(b) Consideriamo le seguenti due fasi: a) scelta della sequenza W dei 3 amici: 3!

modi; b) posizionamento diW e delle altre 5 persone in una fila con 13 posti disponibili (i tre contano 1):S(13, 6) = 13!/7!modi: in tutto3!× 13!/7!^modi.

Soluzione es. 2.41. SI consideri lo spazio campionarioΩdellen-sequenze di I2 = {T, C}^{; si ha}|Ω| = 2^n.

(a)Le sequenze che cominciano conmcroci seguite da una testa sono2^n−m−1; la probabilit`a cercata `e pertanto1/2^m+1.

(b)Le sequenze che appartengono all’evento considerato sono formate da una sequenza in cui compaionoi− 1teste emcroci, seguita da una testa e quindi indif- ferentemente da croci o teste. Queste sono

�m + i− 1 i− 1

�

× 2^n−m−i. La probabilit`a cercata `e pertanto

�m + i− 1 i− 1

� /2^m+i.

Soluzione es. 2.42. Distribuiamo i doni ai quattro bambini prima distribuendo i 3 orsacchiotti e poi i 9 lecca-lecca.

(a): si tratta di un prodotto condizionato di molteplicit`a(S((4, 3)), C((4, 9))); pertanto la distribuzione si puo’ effettuare in4³×

�12 3

� .

(b): si tratta di un prodotto condizionato di molteplicit`a (S(4, 3), C((4, 9))); pertanto la distribuzione si puo’ effettuare in4!×

�12 3

� .

(c): una volta assegnati gli orsacchiotti, i lecca-lecca vengono distribuiti in modo obbligato. Pertanto , la distribuzione si pu`o effettuare in4³modi.

Soluzione es. 2.43. Le prime sono

�20 5

�

= 15 504. Le seconde sono il doppio:

30 108.

Soluzione es. 2.44. Tenendo conto ordinatamente per ogni oggetto del numero della scatola nella quale lo inseriamo, si ottiene lo spazio campionarioΩdellen-sequenze con eventuali ripetizioni diIn: si ha|Ω| = n^n.

(a): in tal caso la sequenza dei numeri delle scatole non ha ripetizioni, altrimenti non ci potrebbe essere un oggetto per scatola. Pertanto la probabilit`a cercata `en!/nⁿ. (b): prima scegliamo la scatola vuota (npossibilit`a); poi esattamente una scatola dovr`a contenere due oggetti (n− 1 possibilit`a per scegliere la scatola e

�n 2

� per scegliere gli oggetti da inserire); infine inseriamo un oggetto in ciascuna scatola ((n− 2)!possibilit`a). Pertanto la probabilit`a cercata `e(n×(n−1)×

�n 2

�

×(n−2)!)/nⁿ = (n!

�n 2

� )/nⁿ.

(c): prima scegliamo le due scatole vuote (

�n 2

�

possibilit`a); contiamo separata- mente i casi in cui vi sia una scatola con 3 oggetti e quelli con due scatole con 2 oggetti ciascuna (sono(n− 2) ×

�n 3

�

× (n − 3)! +

�n− 2 2

� �n 2

� �n− 2 2

�

× (n − 4)!^).

Pertanto la probabilit`a cercata `e

�n 2

�

×

�

(n− 2) ×

�n 3

�

× (n − 3)! +

�n− 2 2

� �n 2

� �n− 2 2

�

× (n − 4)!

�

nⁿ .

Soluzione es. 2.45. Cominciamo con il caso in cui le scatole sono distinte.

(a): Le palle rosse possono essere distribuite tra le due scatole in 5 modi (infatti nella prima scatola posso inserire 0, 1, 2, 3, o 4 palle). Analogamente ho 6 e 8 modi per distribuire le palle blu e nere. In tutto abbiamo5×6×8 = 240modi per dividere le palle tra le due scatole.

(b): Dai modi considerati al punto precedente vanno eliminati le due distribu- zioni che assegnano tutte le palle alla prima o alla seconda scatola. In tutto abbiamo 240− 2 = 238modi per dividere le palle tra le due scatole, senza che nessuna delle due sia vuota.

(c): Ragionando come in(a)si ottengono5× 7 × 9 = 315modi per dividere le palle tra le due scatole.

Analizziamo ora il caso in cui le scatole siano indistinguibili:

Per quanto riguarda i punti(a)e(b), basta dividere per due i risultati ottenuti in precedenza. Infatti ad ogni distribuzione nelle due scatole indistinte restano associate due diverse distribuzioni in scatole distinte: si osservi infatti che mai le due scatole possono avere lo stesso contenuto. Nel punto(c) invece dobbiamo tener conto del caso in cui le due scatole contengono entrambe 2 palle rosse, 3 blu e 4 nere: a tale distribuzione resta associata un solo caso anche quando le due scatole sono distinte.

In tal caso dunque le palle possono essere distribuite tra le due scatole indistinte in (315− 1)/2 + 1 = 158^modi.

Soluzione es. 2.46. Si consideri come spazio campionario l’insieme Ω delle 5- sequenze di I4: si ha |Ω| = 4^{5. L’evento} A al quale siamo interessati `e nei vari casi:

(a) A =5-sequenze diI3,|A| = 3⁵ (b) A =5-sequenze diI2,|A| = 2⁵

(c) A =5-sequenze diI3 con almeno un 3, ovvero 5-sequenze diI3che non sono sequenze diI2:|A| = 3⁵− 2⁵.

(d) A =5-sequenze diI4con esattamente due 4,|A| =

�5 2

� 3³. In ogni casoP (A) =|A|/|Ω|^.

Soluzione es. 2.47. Si consideri come spazio campionario l’insiemeΩ =delle 100- sequenze di {0, 1}con due 1 e novantotto 0,|Ω| =

�100 2

�

. L’evento A al quale siamo interessati `e nei vari casi:

(a) A =100-sequenze diΩcon 1 al 56-esimo posto,|A| = 99^,P (A) = 1/50 (b) A = 100-sequenze di Ω con 1 in un posto tra 1 e 55, 1 al 56-esimo posto:

|A| = 55^,P (A) = 110/(100× 99)^. Soluzione es. 2.48. Casi possibili:

�30 5

�

; Casi favorevoli:

�20 1

�

×

�10 4

� . La probabilit`a cercata `e

�20 1

�

×

�10 4

� /

�30 5

�

= 20× 10 × 9 × 8 × 7 30× 29 × 28 × 27 × 26

5!

4!

Soluzione es. 2.49. Contiamo separatamente le commissioni con2donne e 3 uomini, 3 donne e 2 uomini, 4 donne ed 1 uomo. In tutto abbiamo:

�6 2

�

×

�8 3

� +

�6 3

�

� × 8 2

� +

�6 4

�

×

�8 1

�

commissioni.