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♦ Funzioni
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♦ Immagine e controimmagine
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♦ Funzioni iniettive, surgettive, bigettive
Rosalba Barattero
ESERCITAZIONE N.4 21 ottobre 2008
ESERCIZIOC1.
Funzioni – Immagini e controimmagini – iniettività - surgettività
Sia f: ZxZ→ N la relazione definita da f(a,b) = |ab|.
b) Verificare che f è una funzione.
c) Determinare f(0,1), f(1,0), f(2,-3) ( = immagini di elementi di ZxZ).
c) Determinare f –1(0) (=controimmagine di 0∈N tramite f ), f –1(1).
d) Se p è un numero primo, quanti elementi ha f-1(p) ? e) Stabilire se f è iniettiva, surgettiva.
a)
• ZxZ : prodotto cartesiano di due insiemi
Il prodotto cartesiano AxB di due insiemi A e B è per def. l’insieme di tutte le coppie ordinate (a,b) con a∈A e b∈B. Ad es. (1,0) è diverso da (0,1) !!
• f è una funzione se ad ogni elemento dell’insieme di partenza ( dominio) fa corrispondere uno ed un solo elemento dell’insieme di arrivo ( codominio) .
A ogni (a,b)∈ZxZ la nostra f fa corrispondere |ab|, il valore assoluto del prodotto di a per b, che è sem- pre un unico numero naturale ( fissati a e b in Z ).
b) f : ZxZ → N definita da f (a,b) = |ab|.
Determinare f(0,1), f(1,0), f(2,3) f(0,1) = ? ZxZ → N
(0,1)→ |0⋅1| = 0 ⇒ f(0,1) =0 f(1,0) = |1⋅0| = 0 ⇒ f(1,0) =0
f(2,3) = |2⋅(-3)| = |-6|= 6 ⇒ f(2,3) =6
c) f: A → B, x ∈ B : f –1(x) = {a∈A| f(a) = x }
f-1(0) = { (a,b)∈ZxZ | |ab| =0}
⇒ f-1(0) = { (a,b)∈ZxZ | ab =0 }
(Il valore assoluto di un numero è zero ⇔il numero è zero)
= { (a,b)∈ZxZ | a = 0 oppure b = 0}
= { (0,b) | b∈Z } ∪ { (a,0) | a∈Z } f –1(1) ={ (a,b)∈ZxZ | |ab| =1}
= { (a,b)∈ZxZ | a = 1, -1 oppure b = 1,-1}
= { (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1)}
d) Se p è un numero primo,quanti elementi ha f-1(p)?
f-1(p) = { (a,b)∈ZxZ | |ab| = p } = { (a,b)∈ZxZ | |a|⋅|b| =p }
Ma ogni numero primo p si decompone così:
1⋅ p oppure p ⋅ 1 . Da cui segue che:
|a| = 1 , |b| =p oppure |a|=p, |b| = 1, cioè a = ± 1, b = ± p oppure a = ± p, b = ± 1.
Quindi f-1(p) è l'insieme di 8 elementi :
{(1, p),(1,-p),(-1, p),(-1, -p),(p,1),(p, -1),(-p, 1),(-p, -1)}
c) f è iniettiva se trasforma elementi distinti del dominio in elementi distinti del codominio
Detto con una metafora:
″ f è iniettiva se i bersagli che vengono raggiunti, lo sono con una sola freccia ! ″
In simboli : f è iniettiva se e solo se :
x≠y in A ⇒ f(x) ≠ f(y) in B o equivalentemente f(x) = f(y) in B ⇒ x = y in A
f non è iniettiva perché ad es. da b) sappiamo che (1,0) e (0,1) sono due elementi distinti di ZxZ che hanno uguale immagine mediante f :
f(1,0) = |1⋅ 0| = 0 f(0,1) = |0⋅ 1| = 0
♦ Una caratterizzazione equivalente dell’iniettività è:
f:A → B è iniettiva ⇔∀ b ∈ B risulta : f –1(b) = ∅ oppure f –1(b) ={a}, a∈A Nel ns. caso ad es. f –1(1) ={(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)}
e quindi f Non è iniettiva.
• f:A → B è surgettiva se
Im(f) = {f(x)| x∈A } (Immagine di f) coincide con B.
Ciò vuol dire che ogni elemento di B proviene da al- meno un elemento di A : ∀ b∈B ∃ a ∈ A t.c. f(a)=b
Con una metafora: "f è surgettiva se tutti i bersagli vengono raggiunti."
Nel ns. caso : f(0,1)=0 f(1,1)=1 f(2,1)=2 f(3,1)=3
…
f: ZxZ→ N tale che f(a,b) = |ab| è surgettiva se
∀ n ∈N ∃ (a,b) ∈ ZxZ t.c. f(a,b) = n.
Quindi il quesito è :
∀ n ∈N ∃ (a,b)∈ZxZ t.c. |ab| = n ?
sì, basta scegliere ad esempio a=n, b=1 e si è trovato un elemento (n,1)∈ZxZ (n∈Z, perché n∈N) che va be- ne, poiché f(n,1)=n !
♦ Una caratterizzazione equivalente della surgettività è:
f:A → B è surgettiva ⇔ ∀ b ∈ B risulta f –1(b) ≠ ∅ Qui espressa così: ∀ n ∈ N risulta f –1(n) ≠ ∅ perché contiene almeno la coppia (n,1) ( opp. (1,n)… ).
Questa caratterizzazione con la controimmagine viene usata anche in negativo :
f:A → B non è surgettiva ⇔ ∃ b ∈ B t.c. f –1(b) = ∅
OSSERVAZIONE :Per le funzioni dell’analisi l’iniettività e surget- tività si interpretano tramite il grafico.
-1
x y
x y
f:R→R def. da f(x) = x3-x
SU - NON IN f:R→R def. da f(x) = |x|
NON IN – NON SU
f:R→R def. da f(x)=arctg(x)
IN - NON SU f:R→R def. da f(x) = x+1
IN – SU
1
ESERCIZIO2.
iniettività – surgettività Sia f:ZxZ→Z la funzione definita da f(x,y)=8x-10y.
Stabilire se f è iniettiva, surgettiva.
a) iniettività :
f(a,b)=f(c,d)⇒(a,b)=(c,d) per ogni coppia (a,b),(c,d)∈ZxZ ? Si vede facilmente ad es. che f(0,0) = 0 = f(10,8) , quindi f Non è iniettiva: abbiamo nel dominio (0,0) ≠ (10,8) , ma f(0,0)=f(10,8) .
b) surgettività:
f:ZxZ → Z è surgettiva se
Im(f)={f(x,y)| (x,y)∈ZxZ } (Immagine di f) coincide con Z, o equivalentemente
∀ c∈Z ∃ almeno una coppia (x,y)∈ZxZ t.c. f(x,y)=c o equivalentemente
∀ c∈Z risulta f –1(c) ≠ ∅
Si osserva che 8x-10y è pari, quindi ad es. 1∉ Im(f), ed f NON è surgettiva.
E’ utile notare che qui il problema della surgettività si tradu- ce nello stabilire se ∀ c∈Z l’ equazione diofantea 8x-10y =c ha almeno una soluzione (x,y)∈ZxZ.
Sappiamo che 8x-10y=c ha soluzioni in Z⇔M.C.D.(8,10) divide c.
M.C.D.(8,10)=2 ⇒ se ad es. c= 3 , 2 non divide 3 e quindi 8x-10y=3 non ha soluzioni in Z. Così f-1(3)=∅ e ritroviamo che f NON è surgettiva !
ESERCIZIOC3.
Ancora sulle funzioni iniettive , surgettive
1) Sia f: Z→ ZxZ la funzione definita da f(n)=(n2,n).
a) Determinare la controimmagine f−1(1,1).
b) Stabilire se f è iniettiva.
c) Stabilire se f è surgettiva.
1a) f−1(1,1) = {n ∈ Z | f(n)= (1,1) } = {n ∈ Z | (n2,n) = (1,1) }
= {n ∈ Z | n2 = 1 e n= 1) } = {1}
Due coppie (a,b), (c,d) sono uguali se e solo se hanno gli elementi ordinatamente uguali, ossia a=c, b=d
ATT.ne È un insieme !
f: Z→ ZxZ la funzione definita da f(n)=(n2,n)
1b) Iniettività : f(x) = f(y) ⇒ x=y
Per def. f(x)=(x2,x), f(y)=(y2,y).
Da (x2,x)=(y2,y) segue che
⎩⎨
⎧
=
= y x
y x2 2
quindi ⎩⎨⎧
=
= + y x
0 y) y)(x - (x
⇒ x=y Ok: f iniettiva
1c) Surgettività: Im(f) = ZxZ
no, ad esempio (-1,1) ∉ Imf
perché non esiste n∈Z t.c. f(n) = (-1,1)
( f(n) =(n2,n)=(-1,1) ⇒ n2 =-1 :assurdo in Z).
ESERCIZIO4.
Funzioni f: ZxZ→ZxZ
Sia f:ZxZ→ZxZ definita da f(x,y)=(x-y,4x-4y).
a) Trovare , se esistono, tre coppie distinte di ZxZ aventi immagine (1,4).
b) Stabilire se f è iniettiva.
c) Stabilire se f è surgettiva.
a) Due coppie si vedono ′ad occhio′ : (1,0) e (0,-1) f(1,0)=f(0,-1)=(1,4), e anche …
In generale occorre stabilire se esistono x ed y tali che ⎩⎨⎧
=
−
=
−
4 4y 4x
1 y
x , ciò vuol dire stabilire se il sistema ha solu-
zioni. In questo caso il sistema è equivalente all’eq.
x-y=1,poiché 4x-4y=4 equivale a x-y=1. Quindi come terza coppia si può scegliere ad esempio (3,2)
⇒ 3 coppie distinte sono: (1,0), (0,-1), (3,2).
b) f NON è iniettiva per a): ci sono almeno due coppie di- stinte nel dominio ZxZ , che hanno uguale immagine.
c) La funzione è surgettiva se Im(f) coincide con ZxZ di arrivo, ossia se l’insieme dei trasformati del dominio mediante f, coincide con il codominio ZxZ.
f trasforma l’elemento (x,y) del dominio ZxZ in (x-y,4x-4y) elemento del codominio ZxZ.
Gli elementi (x-y,4x-4y) al variare di x, y in Z danno tutto ZxZ ?
• Un modo di rispondere è : gli elementi (x-y,4x-4y) hanno la seconda componente pari, quindi non possono
‘ricoprire’ tutto il codominio, ad esempio l’elemento (1,1) non viene raggiunto (non esiste nessuna coppia (x,y) ∈ZxZ dominio t.c. f(x,y)=(1,1)).Conclusione: f NON è surgettiva.
• Un altro modo è (*): gli elementi (x-y,4x-4y) hanno la seconda componente quadrupla della prima e quindi ad es.
(1,3)∉ Imf.
OSSERVAZIONE
Cosa cambia nell’esercizio se è f: RxR→RxR anziché f:ZxZ→ZxZ ?
Quali risposte sono errate ? a), b) restano invariate
c) non ha senso in R parlare di ′pari′ :
ogni a∈R si può scrivere come multiplo di 2: a= 2 ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ 2 a Continua a valere l’affermazione (1,3)∉ Imf perché 3≠ 4⋅1 ( vedi (*)).
La prossima volta vediamo un metodo alternativo di procedere per studiare la surgettività e l’iniettività.
