ˆx ∂ ∂x + ˆy ∂ ∂y + ˆz∂ ∂z operatore “nabla” o “del” F(x, y, z)= Fx(x, y, z)ˆx + Fy(x, y, z)ˆy + Fz(x, y, z)ˆz ∇φ(x, y, z)= grad φ(x, y, z) =∂φ ∂x ˆx +∂φ ∂y ˆy +∂φ ∂z ˆz ∇·F(x, y, z)= div F(x, y, z) =∂Fx ∂x +∂Fy ∂y +∂Fz ∂z ∇×F(x, y, z)= rot F(x, y, z

IDENTITA’ VETTORIALI Se u= uxˆx + uyˆy + uzˆz

v= vxˆx + vyˆy + vzˆz w= wxˆx + wyˆy + wzˆz

allora (prodotto scalare) u·_{v= uxvx+ uyvy+ uzvz}

(prodotto vettoriale) u×v=     

ˆx ˆy ˆz u_x u_y u_z vx vy vz

    

= (uyv_z− uzv_y)ˆx + (uzv_x− uxv_z)ˆy + (uxv_y− uyv_x)ˆz

modulo di u= |u| =√ u·_u=

q

u²_x+ u²y+ u²z angolo compreso fra u e v= cos⁻¹

u·v

|u||v|



identit`a dei prodotti tripli: u·_{(v×w)= v}·_{(w×u)= w}·_{(u×v) u×(v×w)= (u}·_{w)v− (u}·_v)w

IDENTITA’ CONTENENTI GRADIENTE, DIVERGENZA, ROTORE E LAPLACIANO

∇= ˆx ∂

∂x + ˆy ∂

∂y + ˆz∂

∂z operatore “nabla” o “del” F(x, y, z)= Fx(x, y, z)ˆx + Fy(x, y, z)ˆy + Fz(x, y, z)ˆz

∇φ(x, y, z)= grad φ(x, y, z) =∂φ

∂x ˆx +∂φ

∂y ˆy +∂φ

∂z ˆz ∇·_{F(x, y, z)}= div F(x, y, z) =∂Fx

∂x +∂Fy

∂y +∂Fz

∂z

∇×F(x, y, z)= rot F(x, y, z) =      

ˆx ˆy ˆz

∂x∂ ∂

∂y ∂

∂z Fx Fy Fz

     

=

∂Fz

∂y −∂Fy

∂z

 ˆx +

∂Fx

∂z −∂Fz

∂x

 ˆy +

∂Fy

∂x −∂Fx

∂y

 ˆz

a·_{∇ f= ax}^∂f

∂x+ ay

∂f

∂y+ az∂f

∂z (a·_{∇)F= a}·_∇Fx

ˆx + a·_∇Fy

ˆy + a·_∇Fz
ˆz

∇(φψ)= φ∇ψ + ψ∇φ ∇·_{(F×G)= (∇×F)}·_{G− F}·_(∇×G)

∇·_{(φF)= (∇φ)}·_{F+ φ (∇}·_{F) ∇×(F×G)= F(∇}·_{G)− G (∇}·_{F)− (F}·_{∇)G+ (G}·_∇)F

∇×(φF)= (∇φ)×F + φ (∇×F) ∇(F·_G)= F×(∇×G) + G×(∇×F) + (F·_{∇)G+ (G}·_∇)F

∇×(∇φ)= 0 (rot grad= 0) ∇·_{(∇×F)= 0 (div rot= 0)}

∇²φ(x, y, z)= ∇·∇φ(x, y, z)= div grad φ =∂²φ

∂x²+∂²φ

∂y²+∂²φ

∂z² ∇×(∇×F)= ∇(∇·_{F)− ∇}²_{F (rot rot}= grad div − laplaciano )

VERSIONI DEL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Z _b

a

f^′(t) dt= f (b) − f (a) (teorema fondamentale in una dimensione)

Z

C

∇φ·_{dr= φ r(b)}

− φ r(a)

se C `e la curva r= r(t), (a ≤ t ≤ b)

Z Z

R

∂Fy

∂x −∂F_x

∂y

 d A=

I

C F·_dr=

I

C

Fx(x, y) d x + Fy(x, y) d y

dove C `e il contorno di R orientato positivamente (teorema di Green)

Z Z

S

∇×F·_{ˆn d S =} I

C F·_dr=

I

C

Fx(x, y, z) d x+ Fy(x, y, z) d y+ Fz(x, y, z) dz

dove C `e il contorno orientato di S (teorema di Stokes)

Versioni tridimensionali: S `e il contorno chiuso di V , con vettore normale esternoˆn Z Z Z

V

∇·_{F d V=} Z

Z

S F·_{ˆn d S}

Z

V

∇·_F= I

S

F·_ˆn (teorema della divergenza)

Z Z Z

V

∇φ d V= Z

Z

S φˆn d S

Z

V

∇φ= I

S

φˆn (teorema del gradiente)

Z Z Z

V

∇×F d V= − Z

Z

S F׈n d S

Z

V

∇×F= − I

S

F׈n (teorema del rotore)

COORDINATE POLARI PIANE

vettore posizione: r= r cos θ ˆx + r sin θ ˆy fattori di scala: hr=   

∂r

∂r  

^{= 1, hθ=}   

∂r

∂θ   ^{= r} trasformazione: r=p

x²+ y² θ= tan2⁻¹(y, x)

x= r cos θ y= r sin θ

base locale: ˆr(θ) = cos θ ˆx + sin θ ˆy θˆ(θ )= − sin θ ˆx + cos θ ˆy

ˆx = cos θ ˆr(θ) − sin θ ˆθ(θ ) ˆy = sin θ ˆr(θ) + cos θ ˆθ(θ ) elemento di area: d V= r dr dθ

campo scalare: f (r, θ ) campo vettoriale: F(r, θ )= Fr(r, θ )ˆr(θ) + Fθ(r, θ ) ˆθ(θ )

gradiente: ∇f=∂f

∂r ˆr(θ) +1 r

∂f

∂θθˆ(θ ) divergenza: ∇·_F=¹

r

∂

∂r r Fr

+1 r

∂Fθ

∂θ

rotore: ∇×F=

1 r

∂

∂r r Fθ

−1 r

∂F_r

∂θ

 ˆz

laplaciano: ∇²f=1 r

∂

∂r

 r∂f

∂r

 + 1

r²

∂²f

∂θ² lapl. vett.: ∇²F=



∇²Fr−F_r r² − 2

r²

∂Fθ

∂θ

 ˆr(θ)

+



∇²Fθ−Fθ r² + 2

r²

∂Fr

∂θ

 θˆ(θ )

advezione: a·∇ f = ar

∂f

∂r+aθ r

∂f

∂θ advez.: (a·∇)F=

 a_r∂Fr

∂r +aθ r

∂Fr

∂θ − Fθ



ˆr(θ)

+

 ar

∂Fθ

∂r +aθ r

∂Fθ

∂θ + Fr



θˆ(θ )

COORDINATE CILINDRICHE

vettore posizione: r= R cos θ ˆx + R sin θ ˆy + z ˆz fattori di scala: hR=   

∂r

∂R  

^{= 1, hθ=}   

∂r

∂θ  

^{= R, hz=}   

∂r

∂z   ^{= 1} trasformazione: R=p

x²+ y² θ= tan2⁻¹(y, x) z= z

x= R cos θ y= R sin θ z= z

base locale: ˆR(θ )= cos θ ˆx + sin θ ˆy θˆ(θ )= − sin θ ˆx + cos θ ˆy

ˆx = cos θ ˆR(θ) − sin θ ˆθ(θ ) ˆy = sin θ ˆR(θ) + cos θ ˆθ(θ )

elemento di volume: d V= R dR dθ dz

campo scalare: f (R, θ, z) campo vett.: F(R, θ, z)= FR(R, θ, z) ˆR(θ )+ Fθ(R, θ, z) ˆθ(θ )+ Fz(R, θ, z)ˆz

gradiente: ∇f= ∂f

∂RˆR(θ) + 1 R

∂f

∂θθˆ(θ )+∂f

∂zˆz divergenza: ∇·_F= ¹

R

∂

∂R R FR

+ 1 R

∂Fθ

∂θ +∂Fz

∂z

rotore: ∇×F=

1 R

∂Fz

∂θ −∂Fθ

∂z

 ˆR(θ) +

∂FR

∂z −∂Fz

∂R

 θˆ(θ )

+

1 R

∂

∂R R Fθ

− 1 R

∂F_R

∂θ

 ˆz

laplaciano: ∇²f= 1 R

∂

∂R

 R∂f

∂R

 + 1

R²

∂²f

∂θ²+∂²f

∂z² lapl. vett.: ∇²F=



∇²FR−F_R R²− 2

R²

∂Fθ

∂θ

 ˆR(θ)

+



∇²Fθ−Fθ R²+ 2

R²

∂FR

∂θ

 θˆ(θ )

+

∇²Fz

ˆz

advezione: a·_{∇ f = aR}^∂f

∂R+aθ R

∂f

∂θ + az

∂f

∂z advez.: (a·_∇)F=



a·_∇FR−^aθFθ R

 ˆR(θ) +



a·_∇Fθ+^aθFR R

 θˆ(θ )

+ a·_∇Fz

ˆz

=

 a_R∂FR

∂R +aθ R

∂FR

∂θ − Fθ

 + az

∂FR

∂z

 ˆR(θ)

+

 aR

∂Fθ

∂R +aθ R

∂Fθ

∂θ + FR

 + az

∂Fθ

∂z

 θˆ(θ )

+

 a_R∂Fz

∂R+aθ R

∂Fz

∂θ + az

∂Fz

∂z

 ˆz

COORDINATE SFERICHE

vettore posizione: r= r sin θ cos φ ˆx + r sin θ sin φ ˆy + r cos θ ˆz fattori di scala: h_r=   

∂r

∂r   = 1, hθ=

  

∂r

∂θ   = r, hφ=

  

∂r

∂φ   = r sin θ trasformazione: r=p

x²+ y²+ z² θ= cos⁻¹ z/p

x²+ y²+ z²
φ= tan2⁻¹(y, x)

x= r sin θ cos φ y= r sin θ sin φ z= r cos θ

base locale: ˆr(θ, φ) = sin θ cos φ ˆx + sin θ sin φ ˆy + cos θ ˆz θˆ(θ, φ)= cos θ cos φ ˆx + cos θ sin φ ˆy − sin θ ˆz

φˆ(φ)= − sin φ ˆx + cos φ ˆy

ˆx = sin θ cos φ ˆr(θ, φ) + cos θ cos φ ˆθ(θ, φ)− sin φ ˆφ(φ) ˆy = sin θ sin φ ˆr(θ, φ) + cos θ sin φ ˆθ(θ, φ)+ cos φ ˆφ(φ) ˆz = cos θ ˆr(θ, φ) − sin θ ˆθ(θ, φ)

elemento di volume: d V= r²sin θ dr dθ dφ

campo scalare: f (r, θ, φ) c. vett.: F(r, θ, φ)= Fr(r, θ, φ)ˆr(θ, φ) + Fθ(r, θ, φ) ˆθ(θ, φ)+ Fφ(r, θ, φ) ˆφ(φ)

gradiente: ∇f=∂f

∂r ˆr(θ, φ) +1 r

∂f

∂θθˆ(θ, φ)+ 1 r sin θ

∂f

∂φφˆ(φ) divergenza: ∇·_F= ¹ r²

∂

∂r r²F_r

+ 1

r sin θ

∂

∂θ sin θ Fθ

+ 1 r sin θ

∂Fφ

∂φ

rotore: ∇×F=

 1 r sin θ

∂

∂θ sin θ Fφ

− 1 r sin θ

∂Fθ

∂φ

 ˆr(θ, φ)

+

 1 r sin θ

∂Fr

∂φ −1 r

∂

∂r r Fφ

 θˆ(θ, φ)

+

1 r

∂

∂r r Fθ

−1 r

∂F_r

∂θ

 φˆ(φ)

∇²f= 1 r²

∂

∂r

 r²∂f

∂r



+ 1

r²sin θ

∂

∂θ

 sin θ∂f

∂θ



+ 1

r²sin²θ

∂²f

∂φ² ∇²F=



∇²Fr−2Fr r² − 2

r²sin θ

∂(sin θ Fθ)

∂θ − 2

r²sin θ

∂Fφ

∂φ

 ˆr(θ, φ)

+



∇²Fθ− Fθ

r²sin²θ− 2 cos θ r²sin²θ

∂Fφ

∂φ + 2 r²

∂Fr

∂θ

 θˆ(θ, φ)

+



∇²Fφ− Fφ

r²sin²θ+ 2 cos θ r²sin²θ

∂Fθ

∂φ + 2 r²sin θ

∂Fr

∂φ

 φˆ(φ)

advezione: a·∇ f = ar

∂f

∂r+aθ r

∂f

∂θ+ aφ r sin θ

∂f

∂φ (a·∇)F=



a·∇F_r−aθFθ+ aφFφ r

 ˆr(θ, φ)

+



a·_∇Fθ+^{aθFr− cot θ aφFφ} r

 θˆ(θ, φ)

+



a·∇Fφ+aφ(F_r+ cot θ Fθ) r

 φˆ(φ)

=

 a_r∂Fr

∂r +aθ r

∂Fr

∂θ − Fθ

 +aφ

r

 1 sin θ

∂Fr

∂φ − Fφ



ˆr(θ, φ)

+

 ar

∂Fθ

∂r +aθ r

∂Fθ

∂θ + Fr

 + aφ

r sin θ

∂Fθ

∂φ − cos θ Fφ



θˆ(θ, φ)

+

 a_r∂Fφ

∂r +aθ r

∂Fφ

∂θ +aφ r

 1 sin θ

∂Fφ

∂φ + cos θ Fθ

 + Fr



φˆ(φ)

COORDINATE CILINDRICHE PER PROBLEMI ASSISIMMETRICI CON EVENTUALE “SWIRL”

versori: ˆR(θ )→ ˆR e θˆ(θ )→ ˆθ

campo scalare: f (R, z) campo vettoriale: F(R, z)= FR(R, z) ˆR+ Fz(R, z)ˆz + Fθ(R, z) ˆθ

gradiente: ∇f= ∂f

∂RˆR +∂f

∂zˆz divergenza: ∇·_F= ¹

R

∂

∂R R FR

+∂Fz

∂z

rotore: ∇×F= −∂Fθ

∂z ˆR +1 R

∂

∂R R Fθ

ˆz +

∂FR

∂z −∂Fz

∂R

 θˆ

laplaciano: ∇²f= 1 R

∂

∂R

 R∂f

∂R

 +∂²f

∂z² lapl. vett.: ∇²F=



∇²FR−F_R R²

 ˆR +

∇²Fz

ˆz +



∇²Fθ− Fθ R²

 θˆ

advezione: a·_{∇ f = aR}^∂f

∂R+ az

∂f

∂z advez.: (a·_∇)F=



a·_∇FR−^aθFθ R

 ˆR +

a·_∇Fz ˆz +



a·_∇Fθ+^aθFR R

 θˆ

=

 aR

∂FR

∂R + az

∂FR

∂z −aθFθ R

 ˆR +

 aR

∂Fz

∂R+ az

∂Fz

∂z

 ˆz

+

 aR∂Fθ

∂R + az∂Fθ

∂z +aθFR R

 θˆ

COORDINATE SFERICHE PER PROBLEMI ASSISIMMETRICI CON EVENTUALE “SWIRL”

versori:ˆr(θ, φ) → ˆr(θ), ˆθ(θ, φ)→ ˆθ(θ ) e φˆ(φ)→ ˆφ

campo scalare: f (r, θ ) campo vett.: F(r, θ )= Fr(r, θ )ˆr(θ) + Fθ(r, θ ) ˆθ(θ )+ Fφ(r, θ ) ˆφ

gradiente: ∇f=∂f

∂r ˆr(θ) +1 r

∂f

∂θθˆ(θ ) divergenza: ∇·F= 1

r²

∂

∂r r²F_r

+ 1

r sin θ

∂

∂θ sin θ Fθ

rotore: ∇×F= 1 r sin θ

∂

∂θ sin θ Fφ
ˆr(θ) −1

r

∂

∂r r Fφ
_ˆ θ(θ )

+

1 r

∂

∂r r Fθ

−1 r

∂Fr

∂θ

 φˆ

laplaciano: ∇²f= 1 r²

∂

∂r

 r²∂f

∂r



+ 1

r²sin θ

∂

∂θ

 sin θ∂f

∂θ



lapl. vett.: ∇²F=



∇²Fr−2Fr r² − 2

r²sin θ

∂(sin θ Fθ)

∂θ

 ˆr(θ)

+



∇²Fθ− Fθ r²sin²θ+ 2

r²

∂Fr

∂θ

 θˆ(θ )

+



∇²Fφ− Fφ r²sin²θ

 φˆ

advezione: a·_{∇ f = ar}^∂f

∂r+aθ r

∂f

∂θ advez.: (a·_∇)F=



a·_∇Fr−^{aθFθ+ aφFφ} r

 ˆr(θ)

+



a·_∇Fθ+^{aθFr− cot θ aφFφ} r

 θˆ(θ )

+



a·_∇Fφ+^{aφ(Fr+ cot θ Fθ)} r

 φˆ

=

 ar∂Fr

∂r +aθ r

∂Fr

∂θ − Fθ



−aφFφ r

 ˆr(θ)

+

 ar

∂Fθ

∂r +aθ r

∂Fθ

∂θ + Fr



− cot θaφFφ r

 θˆ(θ )

+

 ar∂Fφ

∂r +aθ r

∂Fφ

∂θ +aφ

r(Fr+ cot θ F^θ)

 φˆ

COORDINATE CURVILINEE ORTOGONALI

trasformazione: x= x(u, v, w), y= y(u, v, w), z= z(u, v, w) vettore posizione: r= x(u, v, w) ˆx + y(u, v, w) ˆy + z(u, v, w) ˆz

fattori di scala: h_u=   

∂r

∂u   ^{, hv}=

  

∂r

∂v   ^{, hw}=

  

∂r

∂w  

 base locale:ˆu(u, v, w) = 1 hu

∂r

∂u, ˆv(u, v, w) = 1 hv

∂r

∂v, ˆw(u, v, w) = 1 hw

∂r

∂w elemento di volume: d V= huhvhwdu dv dw

campo scalare: f (u, v, w) campo vettoriale: F(u, v, w)= Fu(u, v, w)ˆu + Fv(u, v, w)ˆv + Fw(u, v, w)ˆw

gradiente: ∇f= 1 hu

∂f

∂uˆu + 1 hv

∂f

∂vˆv + 1 hw

∂f

∂w ˆw divergenza: ∇·_F= ¹

huhvhw

∂

∂u hvhwFu

+ ∂

∂v huhwFv

+ ∂

∂w huhvFw



∇²f= 1 huhvhw

∂

∂u

_hvhw hu

∂f

∂u

 + ∂

∂v

_h

uhw hv

∂f

∂v

 + ∂

∂w

_h

uhv hw

∂f

∂w



rotore: ∇×F= 1 huhvhw

      

huˆu hvˆv hwˆw

∂

∂u

∂

∂v

∂

∂w huFu hvFv hwFw

      

EQUAZIONI DI LAPLACE E DI BERNOULLI PER CORRENTI INCOMPRIMIBILI IRROTAZIONALI DEI FLUIDI NON VISCOSI

∇²_{φ= 0}

∂φ

∂n|S= bn(rS,t)

P_{(r, t)}

ρ = −∂φ(r, t)

∂t −|∇φ(r, t)|²

2 − χ(r) + C(t)

Condizione di compatibilit`a:

Z

Z

S

bn(rS,t) d S= 0

EQUAZIONI DI EULERO PER CORRENTI INCOMPRIMIBILI DEI FLUIDI NON VISCOSI

∂u

∂t + (u·∇)u+∇P ρ = g(r, t)

∇·_{u= 0} u(r, 0)= u0(r) ˆn·_{u(r, t)}

|S= bn(rS,t)

Condizioni di compatibilit`a:

∇·_{u0= 0} Z

Z

S

bn(rS,t) d S= 0

ˆn·u₀(r)_|S= bn(rS,0)

EQUAZIONI DI NAVIER–STOKES PER CORRENTI INCOMPRIMIBILI DEI FLUIDI VISCOSI (NEWTONIANI)

∂u

∂t + (u·∇)u− ν∇²u+∇P

ρ = g(r, t) [ν= µ/ρ]

∇·_{u= 0} u(r, 0)= u0(r)

u(r, t)_|S= b(r^S,t)

Condizioni di compatibilit`a:

∇·_{u0= 0} Z

Z

S

ˆn·_b(rS,t) d S= 0

ˆn·_u0(r)

|S= ˆn·_b(rS,0)

EQUAZIONI DI EULERO PER FLUIDI COMPRIMIBILI NON VISCOSI Forma convettiva:

∂ρ

∂t + u·_{∇ρ+ ρ∇}·_{u= 0}

∂u

∂t + (u·_∇)u+^∇P ρ = g(r, t)

∂e

∂t+ u·_∇e+^P ρ∇·_{u= 0} P= P(e, ρ), T= T (e, ρ)

Forma intermedia:

∂ρ

∂t+ ∇·_{(ρu)= 0}

∂(ρu)

∂t + ∇·_(ρu⊗ u) + ∇P = ρg(r, t)

∂(ρe)

∂t + ∇·_{(ρeu)+ P ∇}·_{u= 0} P= P(e, ρ), T= T (e, ρ)

Forma conservativa con variabili conservative:

∂ρ

∂t + ∇·_{(ρu)= 0}

∂(ρu)

∂t + ∇· _{ρu⊗ u + P I}

= ρg(r, t)

∂(ρe^t)

∂t + ∇· _(ρe^t_{+ P)u}

= ρu·_{g(r, t)}

P= P(e, ρ), T= T (e, ρ), e^t= e^tot= e +¹₂|u|²

EQUAZIONI DI NAVIER–STOKES PER FLUIDI COMPRIMIBILI VISCOSI (NEWTONIANI) Forma con energia interna:

∂ρ

∂t + ∇·_{(ρu)= 0}

∂(ρu)

∂t + ∇·(ρu⊗ u) + ∇P = ∇·S(u)+ ρg(r, t)

∂(ρe)

∂t + ∇·(ρeu)+ P ∇·u= ∇·(κ∇T )+ S(u) : E (u) S(u)= 2µ E (u) + λ (∇·_{u) I}

E (u)←→ ei, j(u)=¹₂ ˆ

ηi·_(ˆηj·_{∇)u+ ˆ}ηj·₍η_ˆi·_∇)u

, i, j= 1, 2, 3 P= P(e, ρ), T= T (e, ρ)

Forma conservativa con variabili conservative:

∂ρ

∂t+ ∇·_{(ρu)= 0}

∂(ρu)

∂t + ∇· ρu⊗ u + P I

= ∇·S(u)+ ρg(r, t)

∂(ρe^t)

∂t + ∇· _(ρe^t_{+ P)u}

= ∇· _{κ∇T+ u}·_S(u)

+ ρu·_{g(r, t)} S(u)= 2µ E (u) + λ (∇·_{u) I}

E (u)←→ ei, j(u)=¹₂ ˆ

η_i·₍η_ˆj·_{∇)u+ ˆ}η_j·₍η_ˆi·_∇)u

, i, j= 1, 2, 3 P= P(e, ρ), T= T (e, ρ), e^t= e^tot= e +¹₂|u|²

EQUAZIONI DI EULERO DELLA GASDINAMICA IN FORMA CONSERVATIVA Equazioni in una dimensione [q= ρu]:

ρt+ qx= 0

qt+

q² ρ + P



x

= 0

E^t_t+

 E^t+ P
q

ρ



x

= 0

P= P

E^t ρ −|q|²

2ρ², ρ



≡ 5 ρ, q, E^t

Equazioni in una dimensione [q= ρu]:

∂ρ

∂t+∂q

∂x= 0

∂q

∂t + ∂

∂x

q² ρ + P



= 0

∂E^t

∂t + ∂

∂x

 E^t+ P
q

ρ



= 0

P= P

E^t ρ −|q|²

2ρ², ρ



≡ 5 ρ, q, E^t

Equazioni in pi `u dimensioni [q= ρu]:

∂ρ

∂t + ∇·_{q= 0}

∂q

∂t + ∇·

q⊗ q ρ + P I



= 0

∂E^t

∂t + ∇·

 E^t+ P
q

ρ



= 0

P= P

E^t ρ −|q|²

2ρ², ρ



≡ 5 ρ, q, E^t

VETTORE DELLE INCOGNITE E FLUSSI DELLE EQUAZIONI DELLA GASDINAMICA Problemi in una dimensione [q= ρu]:

w=









 ρ

q

E^t











, f (w)=









 q q²

ρ + P E^t+ P
q

ρ











Problemi in pi `u dimensioni [q= ρu]:

w=









 ρ

q E^t











, f(w)=











 q q⊗ q

ρ + P I E^t+ P
q

ρ













FORMA CONSERVATIVA E FORMA QUASI-LINEARE DELLE EQUAZIONI DELLA GASDINAMICA Sistema iperbolico in una dimensione:

wt+ [ f (w)]x= 0

wt+ A(w) wx= 0

A(w)=∂f (w)

∂w

Sistema iperbolico in una dimensione:

∂w

∂t +∂f (w)

∂x = 0

∂w

∂t + A(w)∂w

∂x = 0 A(w)=∂f (w)

∂w

Sistema iperbolico in pi `u dimensioni:

∂w

∂t + ∇·_{f(w)= 0}

∂w

∂t + A(w)·_{∇w= 0} A(w)=∂f(w)

∂w

EQUAZIONI DELLA GASDINAMICA PER CORRENTI ISENTROPICHE IN FORMA CONSERVATIVA Equazioni in una dimensione [q= ρu]:

ρt+ qx= 0

qt+

q² ρ + P(ρ)



x

= 0

[P= P(ρ) = P(s, ρ)]

Equazioni in una dimensione [q= ρu]:

∂ρ

∂t+∂q

∂x= 0

∂q

∂t + ∂

∂x

q² ρ + P(ρ)



= 0

[P= P(ρ) = P(s, ρ)]

Equazioni in pi `u dimensioni [q= ρu]:

∂ρ

∂t + ∇·_{q= 0}

∂q

∂t + ∇·

q⊗ q ρ + P(ρ) I



= 0

[P= P(ρ) = P(s, ρ)]

EQUAZIONI DELLA GASDINAMICA PER GAS IDEALE ISOTERMO IN FORMA CONSERVATIVA Equazioni in una dimensione [q= ρu]:

ρt+ qx= 0

qt+

q² ρ + a²ρ



x

= 0

a²ρ= P(ρ)

Equazioni in una dimensione [q= ρu]:

∂ρ

∂t+∂q

∂x= 0

∂q

∂t + ∂

∂x

q² ρ + a²ρ



= 0

a²ρ= P(ρ)

Equazioni in pi `u dimensioni [q= ρu]:

∂ρ

∂t + ∇·_{q= 0}

∂q

∂t + ∇·

q⊗ q ρ + a²ρ I



= 0

a²ρ= P(ρ)