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Circonferenza e cerchio Circonferenza e cerchio

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Academic year: 2021

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(1)

Circonferenza e cerchio

Circonferenza e cerchio

(2)

Definizione di circonferenza Definizione di circonferenza

Si definisce Si definisce

circonferenza il circonferenza il

luogo geometrico luogo geometrico

dei punti del piano dei punti del piano

equidistanti da un equidistanti da un

punto detto centro punto detto centro

della circonferenza della circonferenza

(3)

Definizione di cerchio Definizione di cerchio

Si definisce Si definisce cerchio la

cerchio la porzione di porzione di

piano racchiusa piano racchiusa

da una da una

circonferenza

circonferenza

(4)

Raggio Raggio

Si definisce Si definisce raggio di una raggio di una

circonferenza in circonferenza in

segmento che segmento che

unisce il centro unisce il centro

con un qualsiasi con un qualsiasi

punto della punto della

circonferenza circonferenza

(5)

Corda e diametro Corda e diametro

Si definisce corda Si definisce corda

qualsiasi segmento che qualsiasi segmento che

unisce due punti della unisce due punti della

circonferenza circonferenza

Si definisce diametro Si definisce diametro

una corda che passa per una corda che passa per

il centro della il centro della

circonferenza circonferenza

È facile vedere che : È facile vedere che :

d d = = 2r 2r

(6)

Rapporto fra circonferenza e Rapporto fra circonferenza e

diametro diametro

Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei numeri che più ricorrono e non solo in matematica numeri che più ricorrono e non solo in matematica

Si tratta di un numero che non può essere espresso Si tratta di un numero che non può essere espresso come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla

categoria dei numeri irrazionali categoria dei numeri irrazionali

Abbiamo già trovato un numero di questo tipo quando Abbiamo già trovato un numero di questo tipo quando abbiamo studiato i quadrati ricordate ….. d/l = √2

abbiamo studiato i quadrati ricordate ….. d/l = √2

Nel nostro caso abbiamo che:Nel nostro caso abbiamo che:

d C   3,14…

(7)

Formule Formule

C =  x d

Ma d = 2 x r allora

Circonferenza uguale a p greco per il diametro

C =  x 2r

Circonferenza uguale a p greco per due volte il raggio

Formu le invers

e

d  C r C



(8)

problemi problemi

Trovare la lunghezza di una circonferenza sapendo che il suo Trovare la lunghezza di una circonferenza sapendo che il suo diametro misura 12 cm

diametro misura 12 cm

c = c = x dx d

c = 3,14 x 12 cm = 37,68 cmc = 3,14 x 12 cm = 37,68 cm

Una circonferenza misura 75,36 cm ; trovare il raggioUna circonferenza misura 75,36 cm ; trovare il raggio

r = c/2r = c/2

r = 75,36 cm / (2 x 3,14) = 75,36 / 6,28 = 12 cmr = 75,36 cm / (2 x 3,14) = 75,36 / 6,28 = 12 cm

Trovare la lunghezza di una circonferenza il cui raggio misura 15 cmTrovare la lunghezza di una circonferenza il cui raggio misura 15 cm

c = 2 x c = 2 x x r x r

c = 2 x 3,14 x 15 cm = 2,28 x 15 cm = 94,2 cmc = 2 x 3,14 x 15 cm = 2,28 x 15 cm = 94,2 cm

Una circonferenza misura 72,22 cm trovare il diametroUna circonferenza misura 72,22 cm trovare il diametro

d = c/ d = c/

d = 72,22 cm / 3,14 = 23 cmd = 72,22 cm / 3,14 = 23 cm

(9)

Area del cerchio Area del cerchio

Consideriamo i seguenti poligoni regolariConsideriamo i seguenti poligoni regolari

Un poligono a 6 latiUn poligono a 6 lati

Un poligono a 10 latiUn poligono a 10 lati

Un poligono a 24 latiUn poligono a 24 lati

La formula per calcolare l’area di questi La formula per calcolare l’area di questi poligoni è sempre la stessa:

poligoni è sempre la stessa:

A = (2P x a) : 2 A = (2P x a) : 2 dove a è l’apotema (celeste)dove a è l’apotema (celeste)

2P = n x l 2P = n x l ((n n = numero dei lati = numero dei lati ll lato) lato)

Ogni poligono è inscritto in un circonferenza Ogni poligono è inscritto in un circonferenza ed in rosso è mostrato il raggio

ed in rosso è mostrato il raggio

Asserviamo cosa succede al poligono Asserviamo cosa succede al poligono

all’aumentare del numero dei lati fissando all’aumentare del numero dei lati fissando

prima la nostra attenzione sulla differenza fra prima la nostra attenzione sulla differenza fra

poligono e circonferenza circoscritta poligono e circonferenza circoscritta

(10)

Puoi osservare che all’aumentare del numero dei lati il poligono tende

sempre di più ad assomigliare ad una circonferenza tanto che già a 24 lati si fa fatica a distinguerli

Adesso fissiamo la nostra attenzione sul raggio e sull’apotema Si nota che nella prima figura la differenza e percettibile ma

nell’ultima essa diventa trascurabile

Se noi facciamo diventare infinito il numero dei lati il poligono

coinciderà con la circonferenza e l’apotema con il raggio

(11)

Conclusioni Conclusioni

Nella formula

diventa

Formula della lunghezza di una circonferenza

diventa

segue A = (2r x r) : 2

infi ne

L’area del cerchio è data dal prodotto

di p greco per il raggio al quadrato

(12)

Formula inversa

Formula inversa

(13)

problemi problemi

Un cerchio ha il raggio di 10 cm trovare circonferenza e area del Un cerchio ha il raggio di 10 cm trovare circonferenza e area del cerchio

cerchio

c = 2 c = 2 r A = r A = r r22

Un cerchio ha l’area di 1256 cmUn cerchio ha l’area di 1256 cm2 2 trovare raggio, diametro e trovare raggio, diametro e circonferenza del cerchio

circonferenza del cerchio

r = √ (A/r = √ (A/) )

r = √ (1256 cmr = √ (1256 cm2 2 /3,14) = √ 400 cm = 20 cm/3,14) = √ 400 cm = 20 cm

d = 2 x r = 2 x 20 cm = 40 cmd = 2 x r = 2 x 20 cm = 40 cm

c = c = d = 3,14 x 40 cm = 125,6 cm d = 3,14 x 40 cm = 125,6 cm

La somma delle circonferenze di due cerchi è di 60 La somma delle circonferenze di due cerchi è di 60 cm, una è i 7/5 cm, una è i 7/5 dell’altra. Trovare le aree dei due cerchi

dell’altra. Trovare le aree dei due cerchi

c = 2 x 3,14 x 10 cm = 62,4 cm A = 3,14 x (10 cm )2= 314 cm2

c1 +c2 = 60  cm c2 = 7/5 c1 c1 + 7/5 c1 = 60 cm 5

5 c1 + 7 c1

= 60  cm 12

5 c1 60  cm

c1 60 cm x 5

c1 = 25 cm12

C2 = 35  cm d1 = 25 cm/ r1 = 12,5 cm A1 = (12,5 cm)2  = 152,5 cm2

(14)

Arco di circonferenza

Prendiamo una

circonferenza e mettiamo su di essa due punti

Si definisce arco di

circonferenza ciascuna delle in cui la

circonferenza risulta suddivisa dai due

punti

I punti B e C individuano l’arco c e l’arco d

(15)

Arco e angolo al centro

Se degli estremi di un arco di

circonferenza traccio i due raggi si forma un angolo al centro 

Tale angolo prende il nome di angolo al centro

Si dice che l’arco AB sottende un angolo  e l’angolo a è sotteso da un arco AB

Cosa succede se in una

circonferenza aumento l’ampiezza dell’arco?

Cosa succede all’angolo ?

Vediamo che esso aumenta e questo aumento è proporzionale all’ampiezza dell’arco

(16)

Calcolo della lunghezza dell’arco

Se il valore il valore

dell’angolo al centro arriva a 360° il corrispondente

valore dell’arco sarà l’intera circonferenza

Questo valore sarà uguale a rapporto di un arco e del

corrispondente angolo al centro

Da cui ottengo il modo di calcolarmi l

Sapendo che c =  x 2r

C 360°

l

=

l

=

C

360°

x

l

=

x 2r x

360°

(17)

Formule Inverse

c = 360°

x

x l

= l x 360° d

 

x

r = l 360°

 x

= c

l x 360°

d = l x 360°

x

x

= l 360° r

 

x

(18)

Settore circolare

Prendiamo un cerchio e un suo arco BC

Tracciamo i due raggi che

uniscono gli estremi dell’arco con il centro

Otteniamo cosi una porzione di cerchio

Si dice settore

circolare la porzione di cerchio racchiusa da due raggi e un

arco di circonferenza.

Cosa succede se aumento ?

(19)

Calcolo dell’area settore circolare

L’area del settore circolare è proporzionale al valore

dell’angolo al centro

Se il valore il valore dell’angolo al centro arriva a 360° il

corrispondente settore circolare coinciderà con l’area del cerchio

Questo rapporto e quello precedente saranno uguali

Da questa constatazione posso impostare la proporzione per calcolarmi l’area de settore circolare

La cui soluzione mi darà l’area del settore circolare

A

s

 = A

c



A

s

= A

c

x 



A

s

=  r

2

x 



(20)

Formule Inverse

A

c

= 360°

x

x A

s

r = 360°

x

= 360°

x

x

r

2

= 360°

 

x A

s

A

c

A

s

A

s

(21)

Segmento circolare

Consideriamo un cerchio ed una sua corda a

La corda divide il cerchio in due parti

Si definisce segmento circolare ciascuna delle due parti

Si definisce

segmento circolare una porzione di

cerchio delimitata da una corda

(22)

Caso 1

il segmento non contiene il centro

In questo caso debbo considerare il settore circolare il cui arco

sottende al corda AB e il triangolo ABO

L’area del segmento

circolare sarà data dalla differenza fra l’area del settore circolare a l’area del triangolo

A

sc

= A

s

- A

t

(23)

Caso 2 il segmento contiene il centro

In questo caso debbo considerare il settore circolare il cui arco sottende al corda AB e il triangolo ABO

L’area del segmento circolare sarà data

dalla somma fra l’area del settore circolare a l’area del triangolo

Asc = As + At

Se non

diversamente specificato il

segmento circolare si riferisce

all’angolo convesso

(24)

Corona circolare

Consideriamo due

circonferenze concentriche di raggio r1 ed r2 con r1 > r2

fra le due circonferenze si trova una porzione di piano

Chiamiamo questa porzione di piano corona circolare

Si definisce corona circolare la

porzione di piano racchiusa fra due circonferenze

(25)

Area della corona circolare

L’area della corona circolare si ottiene sottraendo all’area del cerchio maggiore quella del

cerchio minore

Acc = r

22

– r

12

Acc = (r

22

– r

12

)

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