Circonferenza e cerchio
Circonferenza e cerchio
Definizione di circonferenza Definizione di circonferenza
Si definisce Si definisce
circonferenza il circonferenza il
luogo geometrico luogo geometrico
dei punti del piano dei punti del piano
equidistanti da un equidistanti da un
punto detto centro punto detto centro
della circonferenza della circonferenza
Definizione di cerchio Definizione di cerchio
Si definisce Si definisce cerchio la
cerchio la porzione di porzione di
piano racchiusa piano racchiusa
da una da una
circonferenza
circonferenza
Raggio Raggio
Si definisce Si definisce raggio di una raggio di una
circonferenza in circonferenza in
segmento che segmento che
unisce il centro unisce il centro
con un qualsiasi con un qualsiasi
punto della punto della
circonferenza circonferenza
Corda e diametro Corda e diametro
Si definisce corda Si definisce corda
qualsiasi segmento che qualsiasi segmento che
unisce due punti della unisce due punti della
circonferenza circonferenza
Si definisce diametro Si definisce diametro
una corda che passa per una corda che passa per
il centro della il centro della
circonferenza circonferenza
È facile vedere che : È facile vedere che :
d d = = 2r 2r
Rapporto fra circonferenza e Rapporto fra circonferenza e
diametro diametro
Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei numeri che più ricorrono e non solo in matematica numeri che più ricorrono e non solo in matematica
Si tratta di un numero che non può essere espresso Si tratta di un numero che non può essere espresso come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla
categoria dei numeri irrazionali categoria dei numeri irrazionali
Abbiamo già trovato un numero di questo tipo quando Abbiamo già trovato un numero di questo tipo quando abbiamo studiato i quadrati ricordate ….. d/l = √2
abbiamo studiato i quadrati ricordate ….. d/l = √2
Nel nostro caso abbiamo che:Nel nostro caso abbiamo che:
d C 3,14…
Formule Formule
C = x d
Ma d = 2 x r alloraCirconferenza uguale a p greco per il diametro
C = x 2r
Circonferenza uguale a p greco per due volte il raggio
Formu le invers
e
d C r C
problemi problemi
Trovare la lunghezza di una circonferenza sapendo che il suo Trovare la lunghezza di una circonferenza sapendo che il suo diametro misura 12 cm
diametro misura 12 cm
c = c = x dx d
c = 3,14 x 12 cm = 37,68 cmc = 3,14 x 12 cm = 37,68 cm
Una circonferenza misura 75,36 cm ; trovare il raggioUna circonferenza misura 75,36 cm ; trovare il raggio
r = c/2r = c/2
r = 75,36 cm / (2 x 3,14) = 75,36 / 6,28 = 12 cmr = 75,36 cm / (2 x 3,14) = 75,36 / 6,28 = 12 cm
Trovare la lunghezza di una circonferenza il cui raggio misura 15 cmTrovare la lunghezza di una circonferenza il cui raggio misura 15 cm
c = 2 x c = 2 x x r x r
c = 2 x 3,14 x 15 cm = 2,28 x 15 cm = 94,2 cmc = 2 x 3,14 x 15 cm = 2,28 x 15 cm = 94,2 cm
Una circonferenza misura 72,22 cm trovare il diametroUna circonferenza misura 72,22 cm trovare il diametro
d = c/ d = c/
d = 72,22 cm / 3,14 = 23 cmd = 72,22 cm / 3,14 = 23 cm
Area del cerchio Area del cerchio
Consideriamo i seguenti poligoni regolariConsideriamo i seguenti poligoni regolari
Un poligono a 6 latiUn poligono a 6 lati
Un poligono a 10 latiUn poligono a 10 lati
Un poligono a 24 latiUn poligono a 24 lati
La formula per calcolare l’area di questi La formula per calcolare l’area di questi poligoni è sempre la stessa:
poligoni è sempre la stessa:
A = (2P x a) : 2 A = (2P x a) : 2 dove a è l’apotema (celeste)dove a è l’apotema (celeste)
2P = n x l 2P = n x l ((n n = numero dei lati = numero dei lati ll lato) lato)
Ogni poligono è inscritto in un circonferenza Ogni poligono è inscritto in un circonferenza ed in rosso è mostrato il raggio
ed in rosso è mostrato il raggio
Asserviamo cosa succede al poligono Asserviamo cosa succede al poligono
all’aumentare del numero dei lati fissando all’aumentare del numero dei lati fissando
prima la nostra attenzione sulla differenza fra prima la nostra attenzione sulla differenza fra
poligono e circonferenza circoscritta poligono e circonferenza circoscritta
Puoi osservare che all’aumentare del numero dei lati il poligono tende
sempre di più ad assomigliare ad una circonferenza tanto che già a 24 lati si fa fatica a distinguerli
Adesso fissiamo la nostra attenzione sul raggio e sull’apotema Si nota che nella prima figura la differenza e percettibile ma
nell’ultima essa diventa trascurabile
Se noi facciamo diventare infinito il numero dei lati il poligono
coinciderà con la circonferenza e l’apotema con il raggio
Conclusioni Conclusioni
Nella formula
diventa
Formula della lunghezza di una circonferenza
diventa
segue A = (2r x r) : 2
infi ne
L’area del cerchio è data dal prodotto
di p greco per il raggio al quadrato
Formula inversa
Formula inversa
problemi problemi
Un cerchio ha il raggio di 10 cm trovare circonferenza e area del Un cerchio ha il raggio di 10 cm trovare circonferenza e area del cerchio
cerchio
c = 2 c = 2 r A = r A = r r22
Un cerchio ha l’area di 1256 cmUn cerchio ha l’area di 1256 cm2 2 trovare raggio, diametro e trovare raggio, diametro e circonferenza del cerchio
circonferenza del cerchio
r = √ (A/r = √ (A/) )
r = √ (1256 cmr = √ (1256 cm2 2 /3,14) = √ 400 cm = 20 cm/3,14) = √ 400 cm = 20 cm
d = 2 x r = 2 x 20 cm = 40 cmd = 2 x r = 2 x 20 cm = 40 cm
c = c = d = 3,14 x 40 cm = 125,6 cm d = 3,14 x 40 cm = 125,6 cm
La somma delle circonferenze di due cerchi è di 60 La somma delle circonferenze di due cerchi è di 60 cm, una è i 7/5 cm, una è i 7/5 dell’altra. Trovare le aree dei due cerchi
dell’altra. Trovare le aree dei due cerchi
c = 2 x 3,14 x 10 cm = 62,4 cm A = 3,14 x (10 cm )2= 314 cm2
c1 +c2 = 60 cm c2 = 7/5 c1 c1 + 7/5 c1 = 60 cm 5
5 c1 + 7 c1
= 60 cm 12
5 c1 60 cm
c1 60 cm x 5
c1 = 25 cm12
C2 = 35 cm d1 = 25 cm/ r1 = 12,5 cm A1 = (12,5 cm)2 = 152,5 cm2
Arco di circonferenza
Prendiamo una
circonferenza e mettiamo su di essa due punti
Si definisce arco di
circonferenza ciascuna delle in cui la
circonferenza risulta suddivisa dai due
punti
I punti B e C individuano l’arco c e l’arco d
Arco e angolo al centro
Se degli estremi di un arco di
circonferenza traccio i due raggi si forma un angolo al centro
Tale angolo prende il nome di angolo al centro
Si dice che l’arco AB sottende un angolo e l’angolo a è sotteso da un arco AB
Cosa succede se in una
circonferenza aumento l’ampiezza dell’arco?
Cosa succede all’angolo ?
Vediamo che esso aumenta e questo aumento è proporzionale all’ampiezza dell’arco
Calcolo della lunghezza dell’arco
Se il valore il valore
dell’angolo al centro arriva a 360° il corrispondente
valore dell’arco sarà l’intera circonferenza
Questo valore sarà uguale a rapporto di un arco e del
corrispondente angolo al centro
Da cui ottengo il modo di calcolarmi l
Sapendo che c = x 2r
C 360°
l
=
l=
C360°
x
l
=
x 2r x 360°
Formule Inverse
c = 360°
x
x l
= l x 360° d
x
r = l 360°
x
= c
l x 360°
d = l x 360°
x
x
= l 360° r
x
Settore circolare
Prendiamo un cerchio e un suo arco BC
Tracciamo i due raggi che
uniscono gli estremi dell’arco con il centro
Otteniamo cosi una porzione di cerchio
Si dice settore
circolare la porzione di cerchio racchiusa da due raggi e un
arco di circonferenza.
Cosa succede se aumento ?
Calcolo dell’area settore circolare
L’area del settore circolare è proporzionale al valore
dell’angolo al centro
Se il valore il valore dell’angolo al centro arriva a 360° il
corrispondente settore circolare coinciderà con l’area del cerchio
Questo rapporto e quello precedente saranno uguali
Da questa constatazione posso impostare la proporzione per calcolarmi l’area de settore circolare
La cui soluzione mi darà l’area del settore circolare
A
s = A
c
A
s= A
cx
A
s= r
2x
Formule Inverse
A
c= 360°
x
x A
sr = 360°
x
= 360°
x
x
r
2= 360°
x A
sA
cA
sA
sSegmento circolare
Consideriamo un cerchio ed una sua corda a
La corda divide il cerchio in due parti
Si definisce segmento circolare ciascuna delle due parti
Si definisce
segmento circolare una porzione di
cerchio delimitata da una corda
Caso 1
il segmento non contiene il centro In questo caso debbo considerare il settore circolare il cui arco
sottende al corda AB e il triangolo ABO
L’area del segmento
circolare sarà data dalla differenza fra l’area del settore circolare a l’area del triangolo
A
sc= A
s- A
tCaso 2 il segmento contiene il centro
In questo caso debbo considerare il settore circolare il cui arco sottende al corda AB e il triangolo ABO
L’area del segmento circolare sarà data
dalla somma fra l’area del settore circolare a l’area del triangolo
Asc = As + At
Se non
diversamente specificato il
segmento circolare si riferisce
all’angolo convesso
Corona circolare
Consideriamo due
circonferenze concentriche di raggio r1 ed r2 con r1 > r2
fra le due circonferenze si trova una porzione di piano
Chiamiamo questa porzione di piano corona circolare
Si definisce corona circolare la
porzione di piano racchiusa fra due circonferenze
Area della corona circolare
L’area della corona circolare si ottiene sottraendo all’area del cerchio maggiore quella del
cerchio minore