ANALISI REALE E COMPLESSA
Area dell’Ingegneria dell’Informazione
Appello del 15.06.2009
Esercizio 1 [7 punti]
Sia
f (x) = eix x2− i. (a) Si provi che f ∈ L1(R);
(b) Si calcoli con metodi di variabile complessa la trasformata di Fourier di f . Esercizio 2 [7 punti]
Data la successione di funzioni
fn(x) = χ[n,+∞[(x)
1 + |x| , x ∈ R, n ∈ N ,
se ne studi la convergenza puntuale ed uniforme in R, la convergenza in L1(R) e in L2(R) e la convergenza in S0(R).
Esercizio 3 [9 punti]
Sia f la prolungata 4-periodica dispari di g(x) =
(1 per 0 ≤ x < 1 0 per 1 ≤ x ≤ 2 .
(a) Si discuta la convergenza della serie di Fourier di f in L2(−2, 2) e puntuale ed uniforme in R;
si dica in particolare a quale valore tale serie converge per x = −1;
(b) si calcolino i coefficienti di Fourier di f ; (c) si calcoli la somma della serie
∞
X
n=0
1 (2n + 1)2. Esercizio 4 [9 punti]
Sia u ∈ L1(R), continua, tale che per ogni x ∈ R valga u(x) +
Z +∞
−∞
e−|x−y|u(y) dy = xe−|x|. (a) Si determini la trasformata di Fourier bu di u.
(b) Sia α > 0. Si calcoli mediante integrazione diretta la trasformata di Fourier di sign(x)e−α|x|. (c) Si calcoli esplicitamente u.
Tempo a disposizione: due ore e 45 minuti.
Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.
Viene corretto solo ci`o che `e scritto sul foglio intestato.
E vietato usare libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.` Ogni affermazione deve essere adeguatamente giustificata.
