Area dell’Ingegneria dell’Informazione, Canali 1 e 4

ANALISI MATEMATICA 1

Area dell’Ingegneria dell’Informazione, Canali 1 e 4

Appello del 7.02.2012

TEMA 1

Esercizio 1 [9 punti] Data la funzione

f (x) = Z x

−1

arctan 3t t dt,

(a) dimostrare che il dominio ` e R, studiarne il segno, calcolarne i limiti agli estremi del dominio, determi- narne gli eventuali asintoti;

(b) calcolare f ⁰ e determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e min- imo) relativo e assoluto di f ; calcolare i limiti di f ⁰ negli eventuali punti di non derivabilit` a;

(c) studiarne concavit` a e convessit` a;

(d) disegnarne un grafico qualitativo.

Esercizio 2 [9 punti] Calcolare il limite

x→0+ lim

e ⁻

cos ln x + cos arctan x − e ⁻

ln(1 + x ² ) − sin x ²

Esercizio 3 [7 punti] Calcolare l’integrale Z 8

0

e

√ x dx.

Esercizio 4 [5 punti] Risolvere l’equazione

i Rez + z ² = |z| ² − 1 e disegnare le soluzioni sul piano complesso.

Esercizio 5 [facoltativo] Sia f : R → R derivabile tre volte e sia x 0 ∈ R tale che f ⁰⁰ (x ₀ ) = 0, f ⁰⁰⁰ (x ₀ ) 6= 0.

Si dimostri che x 0 ` e un punto di flesso per f .

Tempo a disposizione: due ore e 45 minuti. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio

intestato. Viene corretto solo ci` o che ` e scritto sul foglio intestato. ` E vietato usare libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi

tipo. Ogni affermazione deve essere adeguatamente giustificata.

ANALISI MATEMATICA 1

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Appello del 7.02.2012

TEMA 2

Esercizio 1 [9 punti] Data la funzione

f (x) = Z x

2

arctan 2t t dt,

(a) dimostrare che il dominio ` e R, studiarne il segno, calcolarne i limiti agli estremi del dominio, determi- narne gli eventuali asintoti;

(b) calcolare f ⁰ e determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e min- imo) relativo e assoluto di f ; calcolare i limiti di f ⁰ negli eventuali punti di non derivabilit` a;

(c) studiarne concavit` a e convessit` a;

(d) disegnarne un grafico qualitativo.

Esercizio 2 [9 punti] Calcolare il limite

x→0+ lim

e ⁻

sin ln x + cos sin 2x − e ^−2x

ln(1 − x ² ) + arctan x ²

Esercizio 3 [7 punti] Calcolare l’integrale Z 9

0

√ x e

√ x dx.

Esercizio 4 [5 punti] Risolvere l’equazione

i Imz + z ² = |z| ² − 1 e disegnare le soluzioni sul piano complesso.

Esercizio 5 [facoltativo] Sia f : R → R derivabile tre volte e sia x 0 ∈ R tale che f ⁰⁰ (x 0 ) = 0, f ⁰⁰⁰ (x 0 ) 6= 0.

Si dimostri che x ₀ ` e un punto di flesso per f .

Tempo a disposizione: due ore e 45 minuti. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio

intestato. Viene corretto solo ci` o che ` e scritto sul foglio intestato. ` E vietato usare libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi

tipo. Ogni affermazione deve essere adeguatamente giustificata.

ANALISI MATEMATICA 1

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Appello del 7.02.2012

TEMA 3

Esercizio 1 [9 punti] Data la funzione

f (x) = Z x

−2

arctan 2t t dt,

(a) dimostrare che il dominio ` e R, studiarne il segno, calcolarne i limiti agli estremi del dominio, determi- narne gli eventuali asintoti;

(b) calcolare f ⁰ e determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e min- imo) relativo e assoluto di f ; calcolare i limiti di f ⁰ negli eventuali punti di non derivabilit` a;

(c) studiarne concavit` a e convessit` a;

(d) disegnarne un grafico qualitativo.

Esercizio 2 [9 punti] Calcolare il limite

x→0+ lim

e ⁻

cos ln x ² − cos sinh 2x + e ^−2x

ln(1 + x ² ) − tan x ²

Esercizio 3 [7 punti] Calcolare l’integrale

Z 16 1

e

√ x

√

x dx.

Esercizio 4 [5 punti] Risolvere l’equazione

i Rez − z ² + 1 = |z| ² e disegnare le soluzioni sul piano complesso.

Esercizio 5 [facoltativo] Sia f : R → R derivabile tre volte e sia x 0 ∈ R tale che f ⁰⁰ (x ₀ ) = 0, f ⁰⁰⁰ (x ₀ ) 6= 0.

Si dimostri che x 0 ` e un punto di flesso per f .

Tempo a disposizione: due ore e 45 minuti. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio

intestato. Viene corretto solo ci` o che ` e scritto sul foglio intestato. ` E vietato usare libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi

tipo. Ogni affermazione deve essere adeguatamente giustificata.

ANALISI MATEMATICA 1

Area dell’Ingegneria dell’Informazione, Canali 1 e 4

Appello del 7.02.2012

TEMA 4

Esercizio 1 [9 punti] Data la funzione

f (x) = Z x

1

arctan 3t t dt,

(a) dimostrare che il dominio ` e R, studiarne il segno, calcolarne i limiti agli estremi del dominio, determi- narne gli eventuali asintoti;

(b) calcolare f ⁰ e determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e min- imo) relativo e assoluto di f ; calcolare i limiti di f ⁰ negli eventuali punti di non derivabilit` a;

(c) studiarne concavit` a e convessit` a;

(d) disegnarne un grafico qualitativo.

Esercizio 2 [9 punti] Calcolare il limite

x→0+ lim

e ⁻

sin ln x − cos tan x + e ⁻

ln(1 − x ² ) + sinh x ²

Esercizio 3 [7 punti] Calcolare l’integrale

Z 27 1

e

√ x dx.

Esercizio 4 [5 punti] Risolvere l’equazione

i Imz − z ² + 1 = |z| ² e disegnare le soluzioni sul piano complesso.

Esercizio 5 [facoltativo] Sia f : R → R derivabile tre volte e sia x 0 ∈ R tale che f ⁰⁰ (x ₀ ) = 0, f ⁰⁰⁰ (x ₀ ) 6= 0.

Si dimostri che x 0 ` e un punto di flesso per f .

Tempo a disposizione: due ore e 45 minuti. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al

foglio intestato. Viene corretto solo ci` o che ` e scritto sul foglio intestato. E vietato usare libri, appunti, telefoni e `

calcolatrici di qualsiasi tipo. Ogni affermazione deve essere adeguatamente giustificata.