Area dell’Ingegneria dell’Informazione, Canali 1 e 4

ANALISI MATEMATICA 1

Area dell’Ingegneria dell’Informazione, Canali 1 e 4

Appello del 18.09.2012

TEMA 1

Esercizio 1 [10 punti] Data la funzione

f (x) = ln cosh x − 1 2 x − 1

2 ln | sinh x|

(a) determinarne il dominio ed eventuali simmetrie, calcolarne i limiti agli estremi del dominio e determi- narne gli eventuali asintoti; provare che f (x) > 0 se e solo se x < ^ln(2+

√ 5)

2 ;

(b) calcolare f ⁰ e determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e mini- mo) relativo e assoluto di f ;

(c) studiarne concavit` a e convessit` a;

(d) disegnarne un grafico qualitativo.

Esercizio 2 [9 punti] Studiare la convergenza della serie

∞

X

n=1

1 n ²

h

e ⁻ⁿ sin n + cos sin 1

n − e

+ 1 12

1 n ⁴

i α

al variare del parametro α ∈ R.

Esercizio 3 [8 punti] Data la funzione

f (x) =

√ x − 27

√ x − 3 √

x
2 , si calcoli una primitiva di f (sugg.: effettuare la sostituzione x = t ⁶ ).

Esercizio 4 [5 punti] Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione z ⁶ − iz ³ + 2 = 0

e rappresentarle sul piano di Gauss.

Tempo a disposizione: tre ore. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.

Viene corretto solo ci` o che ` e scritto sul foglio intestato. ` E vietato usare libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. Ogni

affermazione deve essere adeguatamente giustificata.

ANALISI MATEMATICA 1

Area dell’Ingegneria dell’Informazione, Canali 1 e 4

Appello del 18.09.2012

TEMA 2

Esercizio 1 [10 punti] Data la funzione

f (x) = ln cosh x + 1 2 x − 1

2 ln | sinh x|

(a) determinarne il dominio ed eventuali simmetrie, calcolarne i limiti agli estremi del dominio e determi- narne gli eventuali asintoti; provare che f (x) > 0 se e solo se x > ^ln(−2+

√ 5)

2 ;

(b) calcolare f ⁰ e determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e mini- mo) relativo e assoluto di f ;

(c) studiarne concavit` a e convessit` a;

(d) disegnarne un grafico qualitativo.

Esercizio 2 [9 punti] Studiare la convergenza della serie

∞

X

n=1

1 n ³

h 1 12

1

n ⁴ + cosh sinh 1

n − e

− e ⁻²ⁿ cos n i α

al variare del parametro α ∈ R.

Esercizio 3 [8 punti] Data la funzione

f (x) =

√ x − 8

√ x − 2 √

x
2 , si calcoli una primitiva di f (sugg.: effettuare la sostituzione x = t ⁶ ).

Esercizio 4 [5 punti] Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione z ⁶ + 2iz ³ + 3 = 0

e rappresentarne le soluzioni sul piano di Gauss.

Tempo a disposizione: tre ore. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.

Viene corretto solo ci` o che ` e scritto sul foglio intestato. ` E vietato usare libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. Ogni

affermazione deve essere adeguatamente giustificata.