Compito di Fisica Matematica, 25/2/2005
Laurea in Ingegneria Elettronica Prof. F. Bagarello
Risolvere i seguenti quesiti:
(1) Applicare la procedura di Gram-Schmidt alle funzioni f0(x) = 1, f1(x) = x e f2(x) = x2, ed ottenere tre funzioni ortonormali in L2(0, 1).
(2) Risolvere l’equazione differenziale y00(t)+8y0(t)+7y(t) = 0, con le condizioni iniziali y(0) = 5 e y0(0) = 2 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(3) Sviluppare in serie di Fourier la funzione
f (x) = (
e|x|, x ∈ [−π/2, π/2];
0, altrove.
Ricavare l’uguaglianza di Parceval.
(4) Verificare che la mappa
<< f, g >>:=
Z π
−π
f (x)g(x) sin(x) dx,
non definisce un prodotto scalare su L2(−π, π).
(5) Sia f (x) una funzione di L([−π, π]), che risulti derivabile tre volte, soddisfacente le f (−π) = f (π), f0(−π) = f0(π) e la f00(−π) = f00(π) e che inoltre abbia derivata seconda f000(x) continua in [−π, π]. Dimostrare che il coefficiente Pn = 1πRπ
−πf (x) cos(nx) dx dell’espansione di Fourier della f (x) tende a zero quando n diverge almeno come n13. Cosa si pu`o dire per il coefficiente Dn?
(6) Dopo avere verificato che la funzione
f (x) = ( eix
2a, |x| < a;
0, altrove
appartiene ad L2(R), a > 0, lo studente ne calcoli la trasformata di Fourier.
(7) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione
f (t) =
2, t ∈ [0, 2[;
1, t ∈ [2, 3[;
0, altrove.
1
