Compito di Meccanica Razionale, 25/2/2005
Prof. F. Bagarello
Lo studente risponda ad almeno uno dei seguenti quesiti:
(1) Un punto materiale P di massa m `e vincolato ad una superficie verticale di rotazione liscia, con asse di rotazione l’asse z, di equazione z = log(x2+ y2). Si ottenga la lagrangiana del punto, si verifichi, ottenendoli, che esistono due integrali del moto, e si deducano le equazioni di Eulero-Lagrange. Si suggerisce di utilizzare le coordinate cilindriche.
(2) Consideriamo due punti materiali, P1 e P2, vincolati ad appartenere ad una guida priva di attrito di equazione y = ax2 contenuta nel piano verticale (O; x, y). Sia m la massa dei due punti materiali. Supponiamo poi che tra i punti si eserciti una forza attrattiva descritta da un’energia potenziale π(x1, x2) = k4(x1−x2)4, k > 0, in cui x1e x2sono le ascisse dei punti P1e P2
rispettivamente. Trovare la lagrangiana del sistema, le equazioni di Eulero-Lagrange e le posizioni di equilibrio del sistema al variare di a. In particolare considerare i seguenti casi: a < 0, a = 0 e a > 0 e giustificare i risultati.
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